（新知衔接）专题03 长方体和正方体的表面积（新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏教版小学数学五升六年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题03 长方体和正方体的表面积 （新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：长方体表面积的计算 6 考点二：长方体表面积的应用 8 考点三：正方体表面积的计算 9 考点四：正方体表面积公式的应用 11 考点五：立方体图形的切拼（长方体和正方体的表面积） 13 考点六：组合图形的表面积 15 基础达标练 18 能力拔高练 27 教学目标： 1、理解并掌握长方体和正方体的表面积的含义和计算方法，能运用长方体和正方体的表面积的计算方法解决一些简单的实际问题。 2、在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，发展空间观念和数学思考。 3、进一步感受立体图形的学习价值，增强学习数学的兴趣。 教学重点和难点： 理解并掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。能运用长方体和正方体的表面积的计算方法解决一些简单的实际问题。 做一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体纸盒，至少要用硬纸板多少平方厘米？ 求至少要用硬纸板多少平方厘米，就是求长方体几个面面积的和？你准备怎样计算？ 选择一种方法算出结果 （6×4＋5×4＋6×5）×2 = （24＋20＋30）×2 = 74×2 = 148（cm2） 答：至少要用硬纸板148 平方厘米。 典题精讲一 做一个棱长3分米的正方体纸盒，至少要用硬纸板多少平方分米？ 32×6＝54（dm2） 答：至少要用硬纸板54平方分米。 长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 典题精讲二 计算长方体和正方体的表面积。 （5×2.5＋4×2.5＋5×4）×2 42×6＝96（cm2） = （12.5＋10＋20）×2 = 42.5×2 = 85（cm2） 易错典例 我会填。 一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的(　9　)倍。 辨析：对长(正)方体表面积的意义及计算方法理解不清。一个正方体的棱长扩大到原来的几倍倍，它的表面积扩大到该数的平方倍。 意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。 计算方法： （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6 一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽3分米，高3.5分米。制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？求需要玻璃多少平方分米，就是求长方体哪几个面面积的和？可以怎样计算？ 还有其他的方法吗？选择一种方法算出结果 （5×3.5＋3×3.5）×2＋5×3 = （17.5＋10.5）×2＋15 = 71（dm2） （5×3.5＋3×3.5＋5×3）×2－5×3 = （17.5＋10.5＋15）×2－15 = 86－15 = 71（dm2） 答：至少需要玻璃71平方分米 用计算长方体表面积的方法解决实际问题时，要注意什么？ 在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。 一、长方体的表面积 概念：长方体的表面积是指其6个面的总面积。 计算公式： 长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 也可以表示为：2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) 其中，长、宽、高分别用a、b、c表示，所以公式可以简写为：S = 2(ab + ac + bc) 实际应用：在计算长方体鱼缸、无盖纸盒等物体的表面积时，需要注意可能不是所有面都需要计算。 二、正方体的表面积 概念：正方体的表面积是指其6个面的总面积。由于正方体的每个面都是正方形，所以每个面的面积都相等。 计算公式：正方体表面积 = 棱长 × 棱长 × 6 也可以表示为：6 × 棱长^2 其中，棱长用a表示，所以公式可以简写为：S = 6a^2 理解与应用： 由于正方体的每个面都是相同的正方形，所以计算起来相对简单。 一、长方体表面积的易错点 面的数量与识别： 错误：在计算表面积时，学生可能会忘记长方体有6个面，或者错误地将不是长方体的面也计入表面积。 正确理解：长方体的表面积是6个面的总面积，包括上面、下面、前面、后面、左面和右面。每个面的面积都需要单独计算，然后相加。 面积计算的公式混淆： 错误：学生可能会混淆长方体表面积的计算公式，如忘记乘以2，或者错误地将长、宽、高进行不恰当的组合。 正确理解：长方体表面积的计算公式为：2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)。这个公式确保了每个面都被计算了两次（因为每个面都有一个与之相对的面）。 实际应用中的误解： 错误：在解决实际问题时，学生可能会错误地计算所有面的面积，而不考虑实际情况（如鱼缸、无盖纸盒等只有部分面需要计算）。 正确理解：在计算实际问题中的表面积时，需要根据物体的实际形状和结构来确定需要计算的面。例如，无盖纸盒就不需要计算上面的面积。 二、正方体表面积的易错点 面积计算的简化误解： 错误：由于正方体的每个面都是正方形，学生可能会错误地认为只需要计算一个面的面积，然后乘以6即可。然而，他们可能会忘记正方形面积的计算公式是边长的平方。 正确理解：正方体表面积的计算公式是：6×棱长^2。这意味着需要先计算一个面的面积（棱长^2），然后再乘以6。 与长方体表面积的混淆： 错误：学生可能会将正方体的表面积计算与长方体的表面积计算混淆，错误地应用不同的公式或方法。 正确理解：虽然正方体和长方体都是常见的三维形状，但它们的表面积计算方法是不同的。正方体的每个面都是相同的正方形，而长方体的每个面可能是不同的长方形（或正方形）。 考点一：长方体表面积的计算 【典例精讲】（2021春•江北区期末）一个长方体的底是面积为9平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（　　）平方分米． A．27 B．108 C．144 【思路点拨】由“一个长方体的底是面积是9平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形”可知：底面正方形的周长正好是侧面展开图正方形的边长，也就是说侧面展开图正方形的边长是底面正方形边长的4倍，那么侧面正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，据此即可解答． 【规范解答】解：由分析知：侧面展开正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，即： 侧面积：9×16＝144（平方分米）． 答：这个长方体的侧面积是144平方分米． 故选：C。 【考点评析】解答此题的关键是先通过题意，进行推断，进而得出侧面展开图正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法进行解答即可． 【变式演练01】（2021春•铁力市期末）一个长方体的底面是面积为4平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，这个长方体的侧面积是　64　平方米． 【思路点拨】由“一个长方体的底是面积是4平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形”可知：底面正方形的周长正好是侧面展开图正方形的边长，也就是说侧面展开图正方形的边长是底面正方形边长的4倍，那么侧面正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，据此即可解答． 【规范解答】解：侧面展开正方形的面积就是底面正方形面积的16倍， 即：4×16＝64（平方米） 答：这个长方体的侧面积是64平方米． 故答案为：64． 【考点评析】解答此题的关键是先通过题意，进行推断，进而得出侧面展开图正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法进行解答即可． 【变式演练02】（2024春•三门县期中）一个长方体的棱长和是72厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 【思路点拨】长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，高＝棱长总和÷4﹣（长+宽），再 根据长方体的表面积公式s＝（ab+ah+bh）×2；据此列式解答． 【规范解答】解：长方体的高是 72÷4﹣（9+6） ＝18﹣15 ＝3（厘米） 表面积是： （9×6+9×3+6×3）×2 ＝（54+27+18）×2 ＝99×2 ＝198（平方厘米） 答：它的表面积是198平方厘米． 【考点评析】此题首先根据长方体的棱长总和的计算方法，求出高，再根据长方体的表面积公式s＝（ab+ah+bh）×2解答即可． 考点二：长方体表面积的应用 【典例精讲】（2024春•海城市期中）一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是　48　平方分米． 【思路点拨】前面的面积是长乘高，求出这个面的面积即可． 【规范解答】解：8×6＝48（平方分米）； 答：修理时配上的玻璃的面积是48平方分米． 故答案为：48． 【考点评析】解答此类题目要先看是求长方体的体积还是表面积，是求几个面的面积． 【变式演练01】用三个长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（　　）平方厘米． A．22 B．42 C．54 D．58 【思路点拨】根据三个长方体拼组成大长方体的方法，拼在一起的面越小，那么拼组后的大长方体的表面积就越大，反之，拼组后的表面积就越小；所以要使拼成的一个大长方体的表面积最小，只要把两个大面（3×2）拼在一起，然后用三个小长方体的表面积之和减去减少的面积解答即可． 【规范解答】解：（3×2+3×1+2×1）×2×3﹣3×2×4 ＝11×2×3﹣24 ＝66﹣24 ＝42（平方厘米） 答：这个大长方体的表面积最小是42平方厘米． 故选：B。 【考点评析】解决本题的关键是明确拼组后的长方体的表面积等于这三个小长方体的表面积之和﹣减少的四个面的面积． 【变式演练02】一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（　　）平方分米． A．48 B．30 C．40 【思路点拨】前面的面积是长乘高，根据长方形的面积公式：S＝ab求出这个面的面积即可． 【规范解答】解：8×6＝48（平方分米） 答：修理时配上的玻璃的面积是48平方分米． 故选：A． 【考点评析】解答此类题目要先看是求长方体的体积还是表面积，是求几个面的面积． 考点三：正方体表面积的计算 【典例精讲】（2024春•沧州期中）计算如图各图形的表面积。 （1） （2） 【思路点拨】（1）根据证方体的表面积＝棱长×棱长×6代入数据计算即可； （2）这是一个长是6cm、宽是4cm、高是2cm的长方体的展开图，根据长方体的表面积公式列式计算即可。 【规范解答】解：（1）1.5×1.5×6 ＝2.25×6 ＝13.5（cm） 答：表面积是13.5cm。 （2）（6×4+6×2+4×2）×2 ＝（24+12+8）×2 ＝44×2 ＝88（cm） 答：表面积是88cm。 【考点评析】解答此题要运用正方体和长方体的表面积公式。 【变式演练01】（2024春•临平区期中）计算下面长方体或正方体的表面积。 【思路点拨】先求出正方体的棱长，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（12×4+12×5+4×5）×2 ＝（48+60+20）×2 ＝128×2 ＝256（平方分米） 40÷5＝8（厘米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 答：长方体的表面积是256平方分米，正方体的表面积是384平方厘米。 【考点评析】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式演练02】（2023秋•邵阳县期末）求如图所示图形的表面积。 【思路点拨】长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6。由于题中正方体和长方体相接，那么组合体的表面积比长方体和正方体的表面积之和少两个正方体面的面积，即只需要求正方体四个面的面积。据此解题。 【规范解答】（25×15+25×4+15×4）×2+7×7×4 ＝（375+100+60）×2+196 ＝535×2+196 ＝1070+196 ＝1266（cm2） 答：该图形的表面积为1266cm2。 【考点评析】本题主要考查求复合物体的表面积，将组成该物体的各部分表面积相加，再减去重叠部分即可计算。 考点四：正方体表面积公式的应用 【典例精讲】（2024•永登县）用一根铁丝正好围成了一个长6cm，宽4cm，高2cm的长方体框架，这根铁丝长是 　48　cm；如果用这根铁丝围成一个正方体框架，则正方体框架的表面积是 　96　cm2。 【思路点拨】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长+宽+高）×4，代入数据，求出长方体的棱长总和；正方体的棱长总和＝长方体的棱长总和；正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，然后利用正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】解：（6+4+2）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 答：这根铁丝的长度是48厘米，正方体的表面积是96平方厘米。 故答案为：48，96。 【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【变式演练01】（2024春•福清市期末）如图，用棱长为2cm的小正方体搭成一个魔方，角上少了一个小正方体。现在这个魔方的体积是 　208　cm3，表面积是 　216　cm2。 【思路点拨】根据正方体的体积、表面积的意义，从正方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积与原来的表面积不变，体积减少了一个棱长为2cm的小正方体的体积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，据此解答即可。 【规范解答】解：2×3＝6（cm） 6×6×6﹣2×2×2 ＝216﹣8 ＝208（cm3） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm2） 答：现在这个魔方的体积是208cm3，表面积是216cm2。 故答案为：208；216。 【考点评析】本题考查的是正方体的表面积、体积公式的应用。 【变式演练02】（2024春•许昌期中）已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的3倍，王师傅给小正方体表面刷油漆正好用了2罐油漆，那么要给大正方体表面剧油漆需要准备油漆6罐。 　×　（判断对错） 【思路点拨】根据题意，求出大正方体的表面积是小正方体表面积的几倍，那么给大正方体表面刷油漆需要准备油漆的罐数就是小正方体的几倍。据此解答即可。 【规范解答】解：设小正方体的棱长是1厘米，那么大正方体的棱长是： 1×3＝3（厘米） 小正方体的表面积： 1×1×6＝6（平方厘米） 大正方体的表面积： 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 54÷6＝9 2×9＝18（罐） 答：要给大正方体表面剧油漆需要准备油漆18罐。 所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查了正方体表面积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。 考点五：立方体图形的切拼（长方体和正方体的表面积） 【典例精讲】（2023六年级上·江苏·专题练习）如图，从一个较大的长方体木块中挖掉一个小正方体，现在它的表面积（    ）。 A．比原来大 B．与原来相等 C．比原来小 D．无法比较 【答案】B 【思路点拨】根据图意可知，从一个顶点处沿着长宽高挖掉一个小正方体，减少的面与增加的面个数是相等的都是3个面，所以长方体的表面积没发生变化。 【规范解答】因为在长方体的顶点上挖掉一个小正方体后，对于这个图形减少的面与增加的面个数是相等，都是3个，所以长方体的表面积没发生变化。 故答案为：B 【考点评析】本题考查了关于长方体的表面积的问题，考查了学生观察，分析，解决问题的能力。 【变式演练01】（23-24六年级上·山西临汾·期末）用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】84 【思路点拨】一个正方体有6个正方形的面，3个正方体就有6×3＝18个正方形的面，3个正方体拼成一个长方体，有两个拼接处，就减少了2×2＝4个正方形的面，这个长方体的表面积就是18－4＝14个正方形的面积。从“表面积都是36平方厘米的正方体”可知，用36÷6，就可求出正方体一个面的面积，再求14个面的面积即可。 【规范解答】根据分析，拼图解答如下： 36÷6×（6×3－2×2） ＝6×（18－4） ＝6×14 ＝84（平方厘米） 这个长方体的表面积是84平方厘米。 【变式演练02】（23-24六年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】112 【思路点拨】观察图形可知，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少了4个正方形的面积，据此用32除以4即可求出一个正方形的面积。原来的长方体上、下面一共有2个正方形，四个侧面一共有12个正方形，则表面积等于14个正方形的面积之和，据此用一个正方形的面积乘14，即可求出原来长方体的表面积。 【规范解答】32÷4×（12＋2） ＝8×14 ＝112（平方厘米） 则原来长方体的表面积是112平方厘米。 【变式演练03】（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将两个正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积与两个正方体的表面积之和相等。( ) 　   　 【答案】× 【思路点拨】看图，拼成长方体的表面积比原来两个正方体的表面积之和少两个面的面积。据此解题。 【规范解答】如图，将两个正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积之和小。 故答案为：× 考点六：组合图形的表面积 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏南通·期末）把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是（    ）。 A．81cm2 B．90cm2 C．99cm2 D．108cm2 【答案】B 【思路点拨】如下图：把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，表面积减少了小正方体的2个面。先用54÷6求出小正方体1个面的面积；再用2个小正方体的表面积减去小正方体2个面的面积，即可求出大长方体的表面积。 【规范解答】54÷6＝9（cm2） 54×2－9×2 ＝108－18 ＝90（cm2） 所以，这个大长方体的表面积是90cm2。 故答案为：B 【变式演练01】（19-20六年级上·江苏宿迁·期中）下图是由若干个小正方体拼成的立体图形，每个小正方体的棱长都是2厘米，这个立体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．96 C．80 【答案】A 【思路点拨】看图，这个立体图形是长方体缺了一个角，缺角部分少的表面积和由于缺角多出的表面积相等，那么求这个立体图形的表面积，就是求一个完整长方体的表面积。长方体的长、宽、高分别是（3×2）厘米、（2×2）厘米和（2×2）厘米，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式求出这个立体图形的表面积即可。 【规范解答】3×2＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） （6×4＋6×4＋4×4）×2 ＝（24＋24＋16）×2 ＝64×2 ＝128（平方厘米） 所以，这个立体图形的表面积是128平方厘米。 故答案为：A 【考点评析】本题考查了组合体和长方体的表面积，掌握表面积的定义、长方体的表面积公式是解题的关键。 【变式演练02】23-24六年级上·江苏扬州·期末）先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米） 层数 1 2 3 4 5 … 正方体个数 1 3 6 10 15 … 表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 … 照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。 【答案】 21 66 150 【思路点拨】搭成物体的个数： 摆放1层物体需要正方体的个数是1个，可以写成：1×（1＋1）÷2； 摆放2层物体需要正方体的个数是3个，可以写成：2×（2＋1）÷2； 摆放3层物体需要正方体的个数是6个，可以写成：3×（3＋1）÷2； …… 由此可知，摆放n层物体需要正方体的个数是：n×（n＋1）÷2，求出摆6层需要正方体的个数； 根据图中给出的表面积，搭成物体的表面积： 摆放1层物体表面积是6平方厘米，可以写成：5×1＋1×1； 摆放2层物体表面积是14平方厘米，可以写成：5×2＋2×2； 摆放3层层物体表面积是24平方厘米，可以写成：5×3＋3×3； …… 由此可知，摆放n层物体表面积是5×n＋n×n；由此可以求出摆6层物体的表面积，摆10层物体的表面积，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，摆放6层，需要正方体的个数： 6×（6＋1）÷2 ＝6×7÷2 ＝42÷2 ＝21（个） 表面积：5×6＋6×6 ＝30＋36 ＝66（平方厘米） 摆放10层的表面积： 5×10＋10×10 ＝50＋100 ＝150（平方厘米） 摆放6层，搭成物体的个数是21个，表面积是66平方厘米，摆放10层的表面积是150平方厘米。 【考点评析】本题主要考查图形的变化规律，关键是根据给的表格找出对应的规律是解题的关键。 【变式演练03】（23-24六年级上·安徽滁州·期末）两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是( )dm2。 【答案】256 【思路点拨】大正方体与小正方体接触的面如图，画两条辅助线如图，将大正方方体一个面平均分成8份，小正方体一个面占4份，即大正方体一个面是小正方体一个面的2倍，小正方体一个面的面积×2＝大正方体一个面的面积，大正方体一个面的面积×6＝大正方体表面积，大立体图形的表面积＝大正方体表面积＋小正方体4个面的面积，据此列式计算。 【规范解答】16×2×6＋16×4 ＝192＋64 ＝256（dm2） 这个大立体图形的表面积是256dm2。 【考点评析】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式，看懂大正方体一个面的面积和小正方体一个面的面积之间的关系，先确定大正方体一个面的面积。 基础达标练 1．（2024春•福清市期末）将4个长20cm、宽10cm、高4cm的长方体盒子包成一包，下面最节约包装纸的方法是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据长方体表面积的意义，把两盒糖果的最大面（上、下面）重合在一起包装最节约包装纸，据此解答。 【规范解答】A：高＝4×4＝16厘米 （20×16+10×16+20×10）×2 ＝（320+160+200）×2 ＝680×2 ＝1360（平方厘米） B：高＝4×2＝8厘米，长＝20×2＝40厘米 （40×8+10×8+40×10）×2 ＝（320+80+200）×2 ＝600×2 ＝1200（平方厘米） C：宽＝10×2＝20厘米，长＝20×2＝40厘米 （40×4+20×4+40×20）×2 ＝（160+80+800）×2 ＝1040×2 ＝2080（平方厘米） D：宽＝10×2＝20厘米，高＝4×2＝8厘米 （20×8+20×8+20×20）×2 ＝（160+160+400）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 1200＜1360＜1440＜2080 答：B包装最省包装纸． 故选：B。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用。 2．（2024春•交城县期中）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如图）。原来每块长方体彩砖的表面积是（　　）平方厘米。 A．736 B．368 C．1472 D．以上答案都不对 【思路点拨】把一个长方体切成两块，表面积比原来增加了2个切面的面积；从左往右： 图一，增加部分的面积等于原来长方体左、右两个面的面积； 图二，增加部分的面积等于原来长方体前、后两个面的面积； 图三，增加部分的面积等于原来长方体上、下两个面的面积； 把增加部分的面积相加，即是长方体六个面的面积之和，也就是原来每块长方体彩砖的表面积。 【规范解答】解：160+256+320＝736（平方厘米） 答：原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 故选：A。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积的应用。 3．（2024春•桑植县期中）包装两块长7厘米、宽5厘米、厚3厘米的长方体肥皂，包装纸最节省用了（　　）平方厘米的。 A．127 B．214 C．242 D．无法确定 【思路点拨】要想包装纸最节省要将两个面积最大的面重叠在一起，包装纸的面积＝两个长方体的表面积减去两个重叠面的面积。据此解答。 【规范解答】解：（7×5+5×3+3×7）×2×2﹣7×5×2 ＝（35+15+21）×2×2﹣70 ＝71×2×2﹣70 ＝284﹣70 ＝214（平方厘米） 包装纸最节省用了214平方厘米。 故选：B。 【考点评析】掌握长方体的表面积公式是解答此题的关键。 4．（2024春•永寿县期中）如图是一个长方体的三条棱，这个长方体右面的面积是 　15　dm2，棱长总和是 　48　dm。 【思路点拨】通过观察图形可知，这个长方体的右面的长是5分米，宽是3分米，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式求出右面的面积，再根据长方体的棱长总和＝（a+b+h）×4，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：5×3＝15（平方分米） （4+5+3）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 答：这个长方体的右面的面积是15平方分米，棱长总和是48分米。 故答案为：15，48。 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．（2024春•方城县期末）把三块棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积减少了　64　cm2． 【思路点拨】根据长方体、正方体的特征和长方体、正方体的表面积计算方法，正方体的每个面都是完全相同的正方形，把三块棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积减少了4个边长为4厘米的正方形的面积；由此解答． 【规范解答】解：4×4×4＝64（平方厘米）； 答：这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积减少了64平方厘米． 故答案为：64． 【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的特征以及表面积的计算方法．据此解决问题． 6．（2024春•福清市期末）已知一个长方体的底面周长是15cm，高是6cm，那么这个长方体的棱长总和是 　54　cm，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是 　90　cm2。 【思路点拨】长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，即长方体的棱长总和＝（长+宽）×4+高×4，再根据长方体的底面周长＝（长+宽）×2，由此可以推理得出，长方体的棱长总和＝长方体的底面周长×2+高×4； 不含上下面的长方体的表面积＝（长×高+宽×高）×2，即不含上下面的长方体的表面积＝（长+宽）×高×2，再根据长方体的底面周长＝（长+宽）×2，由此可以推理得出，不含上下面的长方体的表面积＝长方体的底面周长×高，据此解答。 【规范解答】解：由分析可知： 长方体的棱长总和：15×2+6×4 ＝30+24 ＝54（cm） 不含上下面的长方体的表面积：15×6＝90（cm2） 答：这个长方体的棱长总和是54cm，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是90cm2。 【考点评析】本题考查的长方体特征以及长方体表面积公式的应用。 7．（2024春•淅川县期中）如图是一个长方体表面展开图。以a面为底面，长方体的长是 　6　cm，宽是 　3　cm，高是 　4　cm，它的表面积是 　108　cm2。 【思路点拨】通过观察可知，这个长方体的长是6cm；从图中可知，2条长+2条高＝20cm，由此求出长方体的高；从图中可知，1条宽+2条高＝11cm，由此求出长方体的宽；再根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，代入数据计算求出这个长方体的表面积。 【规范解答】解：长方体的长是6cm； 高是： （20﹣6×2）÷2 ＝（20﹣12）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 宽是： 11﹣4×2 ＝11﹣8 ＝3（cm） 长方体的表面积： （6×3+6×4+3×4）×2 ＝（18+24+12）×2 ＝54×2 ＝108（cm2） 答：长方体的长是6cm，宽是3cm，高是4cm，它的表面积是108cm2。 故答案为：6，3，4，108。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及运用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 8．（2024春•凤翔区期中）表面积相等的长方体，形状和大小一定完全相同。 　×　（判断对错） 【思路点拨】根据长方体的表面积的意义及长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，可以通过举例证明。 【规范解答】解：如：长宽高分别为2，4，6的长方体表面积为： （2×4+2×6+4×6）×2 ＝（8+12+24）×2 ＝44×2 ＝88 长宽高分别为2，2，10的长方体表面积为： （2×2+2×10+2×10）×2 ＝（4+20+20）×2 ＝44×2 ＝88 所以，两个长方体的表面积相等，那么这两个长方体的形状和大小不一定完全一样。 因此，两个长方体的表面积相等，那么这两个长方体的形状和大象一定完全一样。这种说法是错误的。 故答案为：×。 【考点评析】此题考查的目的是理解长方体表面积的意义，掌握长方体表面积公式及应用。 9．（2024春•科左中旗期中）长方体的棱长总和与正方体相同，所以表面积和体积也相同。 　×　（判断对错） 【思路点拨】设长方体的棱长分别是6、5、4，根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式求出棱长总和。正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12即可求出棱长。再根据正方体的表面积公式：s＝6a2，体积公式V＝a3，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（6+4+5）×4÷12 ＝15×4÷12 ＝60÷12 ＝5 （6×4+6×5+5×4）×2 ＝（24+30+20）×2 ＝74×2 ＝148 6×4×5 ＝24×5 ＝120 5×5×6＝150 5×5×5＝125 148＜150 120＜125 答：正方体的表面积小于长方体的表面积，正方体的体积小于长方体的体积。 所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】此题考查的目的是掌握长方体和正方体的特征，根据长方体和正方体的棱长总和公式、及正方体的表面积、体积公式解答。 10．（2024春•博罗县期中）一个长6分米，宽4分米的长方体，如果高增加1分米，它的表面积就增加10平方分米。 　×　（判断对错） 【思路点拨】由题意可知：当高增加1分米后，增加的面积其实只有4个面，即前、后、左、右面，即表面积增加了2（a+b）×1平方分米，据此解答即可。 【规范解答】解：长方体的长为6分米，宽为4分米。 2（a+b）×1 ＝2×（6+4）×1 ＝2×（6+4）×1 ＝2×10×1 ＝20×1 ＝20（平方分米） 答：一个长6分米，宽4分米的长方体，如果高增加1分米，它的表面积就增加20平方分米，原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】此题主要考查长方体的表面积的计算方法，明确高增加1分米，增加的面积其实只有4个面是解决本题的关键。 11．（2021秋•万柏林区月考）计算下面长方体和正方体的表面积。 （1） （2） 【思路点拨】（1）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。 【规范解答】解：（1）10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 答：这个正方体的表面积是600平方厘米。 （2）（20×13+20×5+13×5）×2 ＝（260+100+65）×2 ＝425×2 ＝850（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是850平方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．（2024春•廉江市期中）一间教室长8m，宽6m、高4m，门窗和黑板的面积一共是20m2，要粉刷这间教室的四周和房顶，粉刷的面积是多少平方米？ 【思路点拨】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出这5个面的总面积，然后减去门窗和黑板的面积就是需要粉刷的面积。 【规范解答】解：8×6+8×4×2+6×4×2﹣20 ＝48+64+48﹣20 ＝160﹣20 ＝140（平方米） 答：粉刷的面积是140平方米。 【考点评析】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．（2024春•新郑市期中）小米的表姐租了一个商铺准备卖鞋子，商铺临街的一面（前面）安装的是铝合金卷帘门，房子内部是一个长方体，从里面量的数据如下。现在要粉刷商铺的墙壁和天花板（没有窗户），粉刷的面积是多少平方米？ 【思路点拨】依据题意结合图示可知，这个长方体的长是8米，宽是4米，高是3米，粉刷的面积＝2个长8米、宽3米的长方形的面积+长4米、宽3米的长方形的面积+长8米、宽4米的长方形的面积，由此解答本题。 【规范解答】解：2×8×3+4×3+4×8 ＝48+12+32 ＝92（平方米） 答：粉刷的面积是92平方米。 【考点评析】本题考查的是长方体表面积的应用。 14．（2024春•方城县期中）如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 【思路点拨】这个木块的表面积相当于原长方体木块的表面积加2个边长为4厘米的正方形面积，再减一个长10厘米，宽4厘米的长方形面积。根据长方体的表面积计算公式“S＝2（ah+bh+ab”、正方形的面积计算公式“S＝a2”、长方形的面积计算公式“S＝ab”即可求出它的表面积。 【规范解答】解：（10×8+4×8+10×4）×2+42×2﹣10×4 ＝（80+32+40）×2+16×2﹣40 ＝152×2+16×2﹣40 ＝304+32﹣40 ＝296（cm2） 答：它的表面积是296平方厘米。 【考点评析】此题主要考查了正方体、长方体表面积的计算。记住并会灵活运用相关计算公式是关键。 能力拔高练 一、选择题 1．（2023六上·灌云期末）一个长方体的长、宽、高分别是a厘米，b厘米、c厘米。如果高增加4厘米，它的表面积增加了（　　）平方厘米。 A．4ab B．64 C．8a+8b D．2ab+2bc 【答案】C 【规范解答】解：c＋4=（c＋4）（厘米） （ab＋ac＋bc）×2=（2ab＋2ac＋2bc）（平方厘米） [（ab＋a（c＋4）＋b（c＋4））]×2=（2ab＋2ac＋2bc＋8a＋8b）（平方厘米） （2ab＋2ac＋2bc＋8a＋8b）-（2ab＋2ac＋2bc）=（8a＋8b）（平方厘米）。 故答案为：C。 【思路点拨】增加的表面积=高增加后的表面积-原来的表面积；其中，长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 2．（2020六上·襄汾期末）如图，一个由8个小正方体拼成的大正方体，如果去掉一个小正方体，得到图形的表面积与原来正方体的表面积相比，（　　） A．无法比较 B．表面积没有变化 C．表面积变小了 D．表面积变大了 【答案】B 【规范解答】解：得到图形的表面积与原来正方体的表面积相比，表面积没有变化。 故答案为：B。 【思路点拨】一个由8个小正方体拼成的大正方体，去掉一个小正方体，少了小正方体的3个面，又露出了小正方体的3个面，所以表面积没有变化。 3．（2020六上·宿迁期中）从一个完整的长方体木块中，挖掉一个小正方体后，它的表面积（　　）. A．比原来小 B．和原来相同 C．无法判断 D．比原来大 【答案】C 【规范解答】 从一个完整的长方体木块中，挖掉一个小正方体后，它的表面积和原来比较，无法判断。 故答案为：C。 【思路点拨】从一个完整的长方体木块中，挖掉一个小正方体后，根据切的位置不同， 原来正方体的表面积会发生不同的变化。当所切的小正方体正好位于顶点时，表面积不变；当所切的小正方体正好位于棱上时，表面积会多出两个小长方形的面积；当所切的小正方体正好位于面上时，表面积会多出4个小长方形的面积。 二、填空题 4．把一个长15厘米，宽10厘米，高5厘米长方体的木块截成完全相同的三块后，表面积增加了　 　平方厘米。 【答案】200、300或600 【规范解答】解：①平行于上下面切割：15×10×4=600（平方厘米）； ②平行于左右面切割：10×5×4=200（平方厘米）； ③平行于前后面切割：15×5×4=300（平方厘米）； 所以表面积增加了200、200或600平方厘米。 故答案为：200、300或600。 【思路点拨】截成完全相同的三块后，表面积会增加4个切面的面积。共三种切割方法，①平行于上下面切割，表面积增加4个（15×10）的面，②平行于左右面切割，表面积增加4个（10×5）的面，③平行于前后面切割，表面积增加4个（15×5）的面。 5．（2021六上·鼓楼期末）一个长方体按照以下三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了16cm²、24cm2、48cm2，原来长方体的表面积是　 　cm2。 【答案】88 【规范解答】16+24+48=88（cm2） 故答案为：88。 【思路点拨】第一种分割方法增加了2个前后面，第二种分割方法增加了2个上下面，第三种分割方法增加了2个左右面，把这6个面的面积相加就是原来长方体的表面积。 6．（2020六上·泗洪期中）下图是用1立方厘米的小正方体堆成的，它的体积是　 　立方厘米，表面积是　 　平方厘米，至少再添上　 　个这样的小正方体就变成较大的正方体。 【答案】13；40；14 【规范解答】体积：7+5+1=13（立方厘米） 表面积：（7+7+7+7+6+6）×1=40（平方厘米） 再添上：33-13=37-13=14（个） 故答案为：13；40；14。 【思路点拨】体积=第一层个数+第二层个数+第三层个数；表面积=13个小正方体总的表面积减去重叠面的数量；再添上小正方体的个数=33-已有的个数。 7．（2022六上·丰县期中）一个底面是正方形的长方体，侧面展开也是正方形。如果它的底面积是5平方分米，那么它的表面积是　 　平方分米；如果底面正方形的边长是5分米，那么它的体积是　 　立方分米。 【答案】90；500 【规范解答】解：5×2＋4×4×5 =10＋16×5 =10＋80 =90（平方分米） 5×5×4×5 =25×4×5 =100×5 =500（立方分米）。 故答案为：90；500。 【思路点拨】一个底面是正方形的长方体，侧面展开也是正方形，则说明这个长方体的高是底面棱长的4倍，它的表面积=底面积×2＋底面周长×高；体积=底面棱长×棱长×高。 三、解决问题 8．（2023六上·上思）工人用混凝土浇筑一根长方体柱子，高3米，底面是边长0.6米的正方形。 （1）如果在柱子的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）解：0.6×3×4 =1.8×4 =7.2（平方米） 答：贴瓷砖的面积是7.2平方米。 （2）问题：浇筑一根长方体柱子需要混凝土多少立方米。 0.6×0.6×3 =0.36×3 =1.08（立方米） 答：浇筑一根长方体柱子需要1.08立方米混凝土。 【思路点拨】（1）用底面边长乘高求出一个面的面积，再乘4即可求出需要贴瓷砖的面积； （2）提出一个求柱子体积的问题，用底面积乘高求出柱子的体积。 9．（2023·）全民健身中心根据国际泳池尺寸标准新建一个游泳池（长50米，宽21米，深2米）。请你算一算。 （1）游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果需在游泳池的底面和四周都铺上地砖，求地砖的总面积？ （3）沿游泳池的内壁1.5米处高处用白漆画一条水位线，水位线全长多少米？ （4）按照要求泳池水深需要在1.8米以上，至少要注水多少立方米？ 【答案】（1）解：50×21=1050（平方米） 答：游泳池的占地面积是1050平方米。 （2）解：50×21+50×2×2+21×2×2 =1050+200+84 =1334（平方米） 答：地砖的总面积为1334平方米。 （3）解：（50+21）×2 =71×2 =142（米） 答：水位线全长142米。 （4）解：50×21×1.8 =1050×1.8 =1890（m3） 答：至少要注水1890立方米。 【思路点拨】（1）游泳池的占地面积=底面长×宽； （2）底面面积=长×宽，四周的面积=长×高×2＋宽×高×2，地砖的总面积=长×宽＋长×高×2＋宽×高×2； （3）水位线长=（长＋宽）×2； （4）注水量=长×宽×高，至少即水深1.8米，所以高为1.8米。 10．（2023六上·霍州期中）王叔叔在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图，底面也浇筑混凝土），这个水槽从外面量长12分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚1分米。 （1）这个水槽最多可以盛水多少升？ （2）如果在水槽外贴一圈瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】（1）解：（12-2）×（8-2）×（5-1） =10×6×4 =240（立方分米） =240（升） 答：这个水槽最多可以盛水240升。 （2）解：12×5×2+8×5×2 =120+80 =200（平方分米） =2（平方米） 答：贴瓷砖的面积是2平方米。 【思路点拨】（1）（长方体的长-混凝土厚×2）×（长方体的宽-混凝土厚×2）×（长方体的长-混凝土厚）=长方体的容积； （2）长×高×2+宽×高×2=贴瓷砖的面积。 11．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 【答案】解：2×2×6＝24（平方分米） （4－1）×2＋（3－1）×2＋（6－1）×2 ＝6＋4＋10 ＝20（个） 2×2×20＋24 ＝80＋24 ＝104（平方分米） 答：这些长方体木块的表面积之和是104平方分米。 【思路点拨】这个木块没有锯之前的表面积=棱长×棱长×6，锯一次会增加2个正方形面，所以锯后一共增加正方形面的个数=（水平方向据成的片数-1）×2+（先竖直方向锯的条数-1）×2+（再竖直据成的块数-1）×2，所以这些长方体木块的表面积之和=锯后一共增加正方形面的个数×每个正方形面的面积+这个木块没有锯之前的表面积。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 长方体和正方体的表面积 （新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：长方体表面积的计算 6 考点二：长方体表面积的应用 7 考点三：正方体表面积的计算 7 考点四：正方体表面积公式的应用 8 考点五：立方体图形的切拼（长方体和正方体的表面积） 8 考点六：组合图形的表面积 9 基础达标练 10 能力拔高练 13 教学目标： 1、理解并掌握长方体和正方体的表面积的含义和计算方法，能运用长方体和正方体的表面积的计算方法解决一些简单的实际问题。 2、在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，发展空间观念和数学思考。 3、进一步感受立体图形的学习价值，增强学习数学的兴趣。 教学重点和难点： 理解并掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。能运用长方体和正方体的表面积的计算方法解决一些简单的实际问题。 做一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体纸盒，至少要用硬纸板多少平方厘米？ 求至少要用硬纸板多少平方厘米，就是求长方体几个面面积的和？你准备怎样计算？ 选择一种方法算出结果 （6×4＋5×4＋6×5）×2 = （24＋20＋30）×2 = 74×2 = 148（cm2） 答：至少要用硬纸板148 平方厘米。 典题精讲一 做一个棱长3分米的正方体纸盒，至少要用硬纸板多少平方分米？ 32×6＝54（dm2） 答：至少要用硬纸板54平方分米。 长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 典题精讲二 计算长方体和正方体的表面积。 （5×2.5＋4×2.5＋5×4）×2 42×6＝96（cm2） = （12.5＋10＋20）×2 = 42.5×2 = 85（cm2） 易错典例 我会填。 一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的(　9　)倍。 辨析：对长(正)方体表面积的意义及计算方法理解不清。一个正方体的棱长扩大到原来的几倍倍，它的表面积扩大到该数的平方倍。 意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。 计算方法： （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 =（长×宽+长×高+宽×高）×2 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6 一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽3分米，高3.5分米。制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？求需要玻璃多少平方分米，就是求长方体哪几个面面积的和？可以怎样计算？ 还有其他的方法吗？选择一种方法算出结果 （5×3.5＋3×3.5）×2＋5×3 = （17.5＋10.5）×2＋15 = 71（dm2） （5×3.5＋3×3.5＋5×3）×2－5×3 = （17.5＋10.5＋15）×2－15 = 86－15 = 71（dm2） 答：至少需要玻璃71平方分米 用计算长方体表面积的方法解决实际问题时，要注意什么？ 在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。 一、长方体的表面积 概念：长方体的表面积是指其6个面的总面积。 计算公式： 长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 也可以表示为：2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) 其中，长、宽、高分别用a、b、c表示，所以公式可以简写为：S = 2(ab + ac + bc) 实际应用：在计算长方体鱼缸、无盖纸盒等物体的表面积时，需要注意可能不是所有面都需要计算。 二、正方体的表面积 概念：正方体的表面积是指其6个面的总面积。由于正方体的每个面都是正方形，所以每个面的面积都相等。 计算公式：正方体表面积 = 棱长 × 棱长 × 6 也可以表示为：6 × 棱长^2 其中，棱长用a表示，所以公式可以简写为：S = 6a^2 理解与应用： 由于正方体的每个面都是相同的正方形，所以计算起来相对简单。 一、长方体表面积的易错点 面的数量与识别： 错误：在计算表面积时，学生可能会忘记长方体有6个面，或者错误地将不是长方体的面也计入表面积。 正确理解：长方体的表面积是6个面的总面积，包括上面、下面、前面、后面、左面和右面。每个面的面积都需要单独计算，然后相加。 面积计算的公式混淆： 错误：学生可能会混淆长方体表面积的计算公式，如忘记乘以2，或者错误地将长、宽、高进行不恰当的组合。 正确理解：长方体表面积的计算公式为：2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)。这个公式确保了每个面都被计算了两次（因为每个面都有一个与之相对的面）。 实际应用中的误解： 错误：在解决实际问题时，学生可能会错误地计算所有面的面积，而不考虑实际情况（如鱼缸、无盖纸盒等只有部分面需要计算）。 正确理解：在计算实际问题中的表面积时，需要根据物体的实际形状和结构来确定需要计算的面。例如，无盖纸盒就不需要计算上面的面积。 二、正方体表面积的易错点 面积计算的简化误解： 错误：由于正方体的每个面都是正方形，学生可能会错误地认为只需要计算一个面的面积，然后乘以6即可。然而，他们可能会忘记正方形面积的计算公式是边长的平方。 正确理解：正方体表面积的计算公式是：6×棱长^2。这意味着需要先计算一个面的面积（棱长^2），然后再乘以6。 与长方体表面积的混淆： 错误：学生可能会将正方体的表面积计算与长方体的表面积计算混淆，错误地应用不同的公式或方法。 正确理解：虽然正方体和长方体都是常见的三维形状，但它们的表面积计算方法是不同的。正方体的每个面都是相同的正方形，而长方体的每个面可能是不同的长方形（或正方形）。 考点一：长方体表面积的计算 【典例精讲】（2021春•江北区期末）一个长方体的底是面积为9平方分米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（　　）平方分米． A．27 B．108 C．144 【变式演练01】（2021春•铁力市期末）一个长方体的底面是面积为4平方米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，这个长方体的侧面积是　 　平方米． 【变式演练02】（2024春•三门县期中）一个长方体的棱长和是72厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？ 考点二：长方体表面积的应用 【典例精讲】（2024春•海城市期中）一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是　 　平方分米． 【变式演练01】用三个长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（　　）平方厘米． A．22 B．42 C．54 D．58 【变式演练02】一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（　　）平方分米． A．48 B．30 C．40 考点三：正方体表面积的计算 【典例精讲】（2024春•沧州期中）计算如图各图形的表面积。 （1） （2） 【变式演练01】（2024春•临平区期中）计算下面长方体或正方体的表面积。 【变式演练02】（2023秋•邵阳县期末）求如图所示图形的表面积。 考点四：正方体表面积公式的应用 【典例精讲】（2024•永登县）用一根铁丝正好围成了一个长6cm，宽4cm，高2cm的长方体框架，这根铁丝长是 　 　cm；如果用这根铁丝围成一个正方体框架，则正方体框架的表面积是 　cm2。 【变式演练01】（2024春•福清市期末）如图，用棱长为2cm的小正方体搭成一个魔方，角上少了一个小正方体。现在这个魔方的体积是 　 m3，表面积是 　 cm2。 【变式演练02】（2024春•许昌期中）已知一个大正方体的棱长是一个小正方体棱长的3倍，王师傅给小正方体表面刷油漆正好用了2罐油漆，那么要给大正方体表面剧油漆需要准备油漆6罐。 　 　（判断对错） 考点五：立方体图形的切拼（长方体和正方体的表面积） 【典例精讲】（2023六年级上·江苏·专题练习）如图，从一个较大的长方体木块中挖掉一个小正方体，现在它的表面积（    ）。 A．比原来大 B．与原来相等 C．比原来小 D．无法比较 【变式演练01】（23-24六年级上·山西临汾·期末）用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式演练02】（23-24六年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式演练03】（23-24六年级上·安徽蚌埠·期中）如图，将两个正方体木块拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积与两个正方体的表面积之和相等。( ) 　   　 考点六：组合图形的表面积 【典例精讲】（22-23六年级上·江苏南通·期末）把两个表面积都是54cm2的小正方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积是（    ）。 A．81cm2 B．90cm2 C．99cm2 D．108cm2 【变式演练01】（19-20六年级上·江苏宿迁·期中）下图是由若干个小正方体拼成的立体图形，每个小正方体的棱长都是2厘米，这个立体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．96 C．80 【变式演练02】23-24六年级上·江苏扬州·期末）先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米） 层数 1 2 3 4 5 … 正方体个数 1 3 6 10 15 … 表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 … 照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。 【变式演练03】（23-24六年级上·安徽滁州·期末）两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是( )dm2。 基础达标练 1．（2024春•福清市期末）将4个长20cm、宽10cm、高4cm的长方体盒子包成一包，下面最节约包装纸的方法是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•交城县期中）在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如图）。原来每块长方体彩砖的表面积是（　　）平方厘米。 A．736 B．368 C．1472 D．以上答案都不对 3．（2024春•桑植县期中）包装两块长7厘米、宽5厘米、厚3厘米的长方体肥皂，包装纸最节省用了（　　）平方厘米的。 A．127 B．214 C．242 D．无法确定 4． （2024春•永寿县期中）如图是一个长方体的三条棱，这个长方体右面的面积是 　 　dm2，棱长总和是 　 　dm。 5．（2024春•方城县期末）把三块棱长都是4cm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积减少了　 　cm2． 6．（2024春•福清市期末）已知一个长方体的底面周长是15cm，高是6cm，那么这个长方体的棱长总和是 　cm，若给这个长方体的四周（不含上下两面）涂上颜色，则涂色面积是 　cm2。 7．（2024春•淅川县期中）如图是一个长方体表面展开图。以a面为底面，长方体的长是 　 　cm，宽是 　 　 cm，高是 　 　cm，它的表面积是 　 　cm2。 8．（2024春•凤翔区期中）表面积相等的长方体，形状和大小一定完全相同。 　 　（判断对错） 9．（2024春•科左中旗期中）长方体的棱长总和与正方体相同，所以表面积和体积也相同。 　 　（判断对错） 10．（2024春•博罗县期中）一个长6分米，宽4分米的长方体，如果高增加1分米，它的表面积就增加10平方分米。 　 　（判断对错） 11．（2021秋•万柏林区月考）计算下面长方体和正方体的表面积。 （1） （2） 12． （2024春•廉江市期中）一间教室长8m，宽6m、高4m，门窗和黑板的面积一共是20m2，要粉刷这间教室的四周和房顶，粉刷的面积是多少平方米？ 13．（2024春•新郑市期中）小米的表姐租了一个商铺准备卖鞋子，商铺临街的一面（前面）安装的是铝合金卷帘门，房子内部是一个长方体，从里面量的数据如下。现在要粉刷商铺的墙壁和天花板（没有窗户），粉刷的面积是多少平方米？ 14．（2024春•方城县期中）如图所示，将一个长10厘米，宽4厘米，高8厘米的一个长方体木块，从中间挖去一个棱长4厘米的小正方体后放在桌面上，求它的表面积。（长方体与桌面的接触面不算） 能力拔高练 一、选择题 1．（2023六上·灌云期末）一个长方体的长、宽、高分别是a厘米，b厘米、c厘米。如果高增加4厘米，它的表面积增加了（　　）平方厘米。 A．4ab B．64 C．8a+8b D．2ab+2bc 2．（2020六上·襄汾期末）如图，一个由8个小正方体拼成的大正方体，如果去掉一个小正方体，得到图形的表面积与原来正方体的表面积相比，（　　） A．无法比较 B．表面积没有变化 C．表面积变小了 D．表面积变大了 3．（2020六上·宿迁期中）从一个完整的长方体木块中，挖掉一个小正方体后，它的表面积（　　）. A．比原来小 B．和原来相同 C．无法判断 D．比原来大 二、填空题 4．把一个长15厘米，宽10厘米，高5厘米长方体的木块截成完全相同的三块后，表面积增加了　 　平方厘米。 5．（2021六上·鼓楼期末）一个长方体按照以下三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了16cm²、24cm2、48cm2，原来长方体的表面积是　 　cm2。 6．（2020六上·泗洪期中）下图是用1立方厘米的小正方体堆成的，它的体积是　 　立方厘米，表面积是　 　平方厘米，至少再添上　 　个这样的小正方体就变成较大的正方体。 7．（2022六上·丰县期中）一个底面是正方形的长方体，侧面展开也是正方形。如果它的底面积是5平方分米，那么它的表面积是　 　平方分米；如果底面正方形的边长是5分米，那么它的体积是　 　立方分米。 三、解决问题 8．（2023六上·上思）工人用混凝土浇筑一根长方体柱子，高3米，底面是边长0.6米的正方形。 （1）如果在柱子的四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）请提出一个数学问题，并解答。 9．（2023·）全民健身中心根据国际泳池尺寸标准新建一个游泳池（长50米，宽21米，深2米）。请你算一算。 （1）游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果需在游泳池的底面和四周都铺上地砖，求地砖的总面积？ （3）沿游泳池的内壁1.5米处高处用白漆画一条水位线，水位线全长多少米？ （4）按照要求泳池水深需要在1.8米以上，至少要注水多少立方米？ 10．（2023六上·霍州期中）王叔叔在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图，底面也浇筑混凝土），这个水槽从外面量长12分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚1分米。 （1）这个水槽最多可以盛水多少升？ （2）如果在水槽外贴一圈瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ 11．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$