（新知衔接）专题02 长方体和正方体的展开图（新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏教版小学数学五升六年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题02 长方体和正方体的展开图 （新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：长方体的展开图特点 4 考点二：长方体的六个面与长、宽、高的关系 6 考点三：长方体展开图的应用 8 考点四：正方体展开图的特征 11 考点五：正方体展开图的特征规律探究问题 13 考点六：正方体展开图的特征的作图题 14 基础达标练 16 能力拔高练 22 1、认识长方体、正方体的展开图。能在展开图中找到长方体、正方体相对的面，能判断一些平面图形折叠后能否围成长方体或正方体。 2、在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 教学重点：掌握长方体和正方体展开图的特点。 教学难点：判断一些平面图形折叠后能否围成长方体或正方体。。 一个正方体纸盒，像下面的样子沿着画有红线的棱剪开，就可以得到它的展开图。 沿着其他棱试着剪一剪 拿一个长方体纸盒，沿着一些棱剪开，看看它的展开图。 你能从展开图中找到长方体3组相对的面吗？ 把长方体纸盒剪开，得到它的展开图。 你能标出长方体的下面、 后面和左面吗？ 1. 沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2. 正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 一、长方体的展开图 定义：长方体的展开图是将一个长方体沿着它的棱剪开，得到的平面图形。 特征： 长方体的展开图由6个长方形（或正方形）组成。 这6个长方形（或正方形）按照长方体的结构关系进行排列。 在展开图中，相对的面（即长方体的上下面、左右面、前后面）不相邻。 分类： 根据长方体的形状和剪开方式，其展开图有多种形式。但通常我们可以将其归纳为几种常见的类型，如“1-4-1”型（即上面1个长方形，中间4个长方形，下面1个长方形），以及其他类似的排列方式。 识别：在识别长方体的展开图时，我们需要注意各个面的形状和大小是否一致，以及它们之间的相对位置关系是否正确。 二、正方体的展开图 定义：正方体的展开图是将一个正方体沿着它的棱剪开，得到的平面图形。 特征：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成。这6个正方形按照正方体的结构关系进行排列。 类型： 正方体的展开图有多种类型，常见的包括“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型等。 识别：在识别正方体的展开图时，我们需要注意每个正方形的形状和大小是否完全相同，以及它们之间的相对位置关系是否正确。 注意事项： 在剪开正方体得到展开图时，要确保沿着棱剪开，并且各个面要互相联在一起。 要找两个相对面时，需要记住它们之间相隔一个面。 一、长方体展开图的易错点 面的识别和排列： 学生可能会混淆长方体的面和它们的相对位置关系。例如，错误地将不是相对的面放在一起，或者错误地排列了面的顺序。 正确理解：长方体的展开图由6个长方形（或正方形）组成，其中相对的面不相邻。在识别时，应注意各个面的形状和大小是否一致，以及它们之间的相对位置关系是否正确。 面的数量： 学生可能会忘记长方体有6个面，导致在绘制或识别展开图时遗漏了某个面。 正确理解：确保展开图中包含了长方体的所有6个面，每个面都是唯一的且未被遗漏。 二、正方体展开图的易错点 面的形状和大小： 学生可能会错误地认为正方体的展开图中各个面的形状和大小可以不同。 正确理解：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成，每个正方形的边长都相等。 展开图的类型： 学生可能会混淆正方体展开图的不同类型，或者在尝试将展开图折叠回正方体时出错。 正确理解：正方体展开图有多种类型，如“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型等。每种类型都有其特定的排列方式和折叠方法。 相对面的识别： 学生可能会错误地判断正方体展开图中哪两个面是相对的。 正确理解：在正方体展开图中，相对的面之间相隔一个面。例如，在“1-4-1”型展开图中，上下的两个正方形是相对的面，左右两边的正方形也是相对的面。 考点一：长方体的展开图特点 【典例精讲】（2023•建阳区模拟）如图是一个长方体的展开图，请判断相对面上的字各是什么？ 与“创”相对的面上的字是“　会　”； 与“建”相对的面上的字是“　谐　”； 与“和”相对的面上的字是“　社　”。 【思路点拨】长方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个长方形，所以“建”与“谐”相对，“和”与“社”相对，剩下的“创”与“会”相对，据此解答。 【规范解答】解：如图： ， 与“创”相对的面上的字是“会”； 与“建”相对的面上的字是“谐”； 与“和”相对的面上的字是“社”。 故答案为：会；谐；社。 【考点评析】本题考查了长方体的展开图知识，结合题意分析解答即可。 【变式演练01】（2023春•巨野县期中）请补充长方体展开图的另外两个面，并标出这两个面的相关数据。 【思路点拨】根据长方体的展开图的特点进行作图。 【规范解答】解： 【考点评析】本题主要考查长方体展开图的特点。 【变式演练02】（2023春•锦江区期末）在学校举办的“爱成都，迎大运”活动中，奇思设计了一个长方体礼物包装盒，包装盒上面分别写有“爱成都，迎大运”6个字。 请帮助奇思在方格纸中画出展开图的另外2个面并标注对应的汉字，使“大”与“迎”相对“爱”与“都”相对。 【思路点拨】根据长方体展开图的特征，结合相对的面所对应的字，完成作图。 【规范解答】解：如图： 【考点评析】本题主要考查长方体展开图的特征的应用。 考点二：长方体的六个面与长、宽、高的关系 【典例精讲】（2023春•四川期末）下面哪几个面可以组成长方体？同学们有以下想法，不正确的是（　　） A．长方体相对的两个面完全一样，我先找出三组完全一样的面 B．①③⑤⑥⑦⑧可以组成长方体 C．②和③只有一个，不能用 D．①④⑤⑥⑦⑧可以组成长方体 【思路点拨】根据长方体的特征相对的面完全相等即可解答。 【规范解答】解：不正确的是①③⑤⑥⑦⑧可以组成长方体。 故选：B。 【考点评析】此题主要考查长方体的特征，以及表面积的计算。 【变式演练01】（2022春•中山区期末）淘气要用下面的五张纸板做一个无盖的长方体纸盒，请你帮助他画出纸盒的草图，并在图上标出长、宽、高的数据。 【思路点拨】根据长方体面的特征：相对的两个面相等，据此画出长方体纸盒的草图，即可解答。 【规范解答】解：纸盒的底面是长15厘米；宽是6厘米； 前面和后面的两个面是长是15厘米，宽是10厘米； 左右两个面是长是6厘米，宽是10厘米； 用五张纸板做一个无盖的长方体纸盒； 图如下： 这个长方体的长是12厘米，宽是6厘米，高是10厘米。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，长方体的长、宽、高的意义及应用。 【变式演练02】（2024春•郧阳区期中）看一看、想一想。 把一个长方体的6个面分别展开，如图所示。 （1）在展开图中，分别用“上、下、前、后、左、右”标注6个面。 （2）哪些面的面积相等？ （3）前面、上面、左侧面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？ 【思路点拨】（1）展开图中，左右两个小的面，分别是左侧面和右侧面；上面的第一个面是上面，第二个面是前面，第三个面是下面，第四个面是后面，由此标注； （2）长方体上、下两个面的面积相等，左、右两个面的面积相等，前、后两个面的面积相等。 （3）前、后两个面的长和宽分别是长方体的长和高，上、下两个面的长和宽分别是长方体的长和宽，左、右两个面的长和宽分别是长方体的宽和高。 【规范解答】解：（1）标注如下： （2）长方体上、下两个面的面积相等，左、右两个面的面积相等，前、后两个面的面积相等。 （3）前面的长和宽分别是长方体的长和高，上面的长和宽分别是长方体的长和宽，左侧面的长和宽分别是长方体的宽和高。 【考点评析】本题考查了长方体展开图的特点。 考点三：长方体展开图的应用 【典例精讲】（2024春•新城区期中）如图左图是一个长方体，右面是它的展开图。展开图中已经标出了上面、左面和后面，在相应的位置标出下面、右面和前面。 【思路点拨】根据长方体展开图的几种情况即可确定相对面。 【规范解答】解：如下图所示： 【考点评析】本题考查了长方体的展开图的应用。 【变式演练01】（2024春•鼓楼区期中）如图，一个长方体的展开图画在方格里。 （1）图上写了“前面”，　④　号是后面。 （2）展开图只画了五个面，还有一个面在哪里呢？请在格子图上画出剩余的那一个面，使它成为一个完整的长方体展开图。 【思路点拨】（1）根据长方体的展开图的情形直接作答即可； （2）长方体展开图“目”字型可知②的对面没有画出来，在“前面”的下面画出即可； 【规范解答】解：（1）根据长方体的展开图可知，和前面相对的后面是④号； （2）如下图所示： 故答案为：④ 【考点评析】本题考查了长方体的展开图的应用。 【变式演练02】（2023春•无棣县期末）亮亮用长方形纸板制作一个长方体，他先把一张长16厘米，宽7厘米的纸板沿着虚线对折，做出了长方体相邻的两个面（如图），然后再用纸板做出其它4个面，围成长方体。 （1）这个长方体的长是 　10　厘米，宽是 　7　厘米，高是 　6　厘米。 （2）计算这个长方体的右面、上面、前面的面积各是多少平方厘米？ 【思路点拨】（1）根据题意可知，这个长方体的长是10厘米，宽是7厘米，高是（16﹣10）厘米； （2）根据长方形的面积公式，用7×（16﹣10）即可求出右面的面积；用10×7即可求出上面的面积；用10×（16﹣10）即可求出前面的面积。 【规范解答】解：（1）16﹣10＝6（厘米） 答：这个长方体的长是10厘米，宽是7厘米，高是6厘米； （2）右面：7×6＝42（平方厘米） 上面：10×7＝70（平方厘米） 前面：10×6＝60（平方厘米） 答：右面的面积是42平方厘米，上面的面积是70平方厘米，前面的面积是60平方厘米。 故答案为：10；7；6。 【考点评析】本题主要考查了长方体的认识以及长方体表面的面积求解。 考点四：正方体展开图的特征 【典例精讲】（2024•溧阳市）下列各图中，沿着折痕不能折成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，选项A属于正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，选项B和选项D属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，沿着折痕都能折成正方体；选项C不属于正方体展开图，沿着折痕不能折成正方体． 【规范解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A、选项B和选项D沿着折痕都能折成正方体；选项C沿着折痕不能折成正方体． 故选：C． 【考点评析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【变式演练01】（2024春•科左中旗期中）用做一个，数字“6”的对面是数字（　　） A．“4” B．“1” C．“3” 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，数字“1”与“6”相对；“2”与“5”相对；“3”与“4”相对． 【规范解答】解：如图 做一个，数字“6”的对面是数字“1”． 故选：B． 【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题． 【变式演练02】（2023春•青县期中）下面三图形都能围成正方体。 　×　（判断对错） 【思路点拨】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个，此种结构有6种展开图；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形，此种结构有3种展开图。 【规范解答】解：，符合正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，能围成正方体； ，不符合正方体展开图的特征，不能围成正方体； ，符合正方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，能围成正方体。 下面三图形中，中间的不能围成正方体。 原题干说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。 考点五：正方体展开图的特征规律探究问题 【典例精讲】（2024春•曲江区期中）如图，每颗骰子上分别刻有1～6个圆点，用于表示数字1～6，且相对的两个面的点数之和为7，下列展开图中，有（　　）幅图能够折成这样的骰子。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】展开图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，第一行的正方形与第三行的正方形相对，第二行的第一个与第三个相对，第二个与第四个相对，根据各正方形中的点数，即可作出选择。 【规范解答】解：1+5＝6，3+4＝7，2+6＝8，第一个展开图不符合题意； 4+3＝7，5+2＝7，1+6＝7，第二个展开图符合题意； 3+4＝7，1+6＝7，5+2＝7，第三个展开图符合题意； 1+3＝4，4+6＝10，2+5＝7，第四个展开图不符合题意。 即上列展开图中有2幅图能够折成这样的骰子。 故选：B。 【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 【变式演练01】（2023秋•余庆县期末）妈妈在魔方的六个面贴上了1～6这6个数字，第一次心心看到，第二次心心又看到，你能帮心心找到1对应　6　，2对应　4　，3对应　5　． 【思路点拨】由第一次、第二次看到的结果，与数字3相邻的四个数字分别是1、2、4、6，从而推出与数字3相邻的是数字5；由第一次看到的可以推出2、3、5相邻，由第二次看到的可以推出3、4、5相邻，从而推出2与4相邻，里面推出1与6相邻． 【规范解答】解：为了便于说明，第一次看到的叫图1，第二次看到的叫图2 由图1、图2可知，与数字3相邻的四个数字分别是1、2、4、6，从而推出与数字3相对的是数字5 由图1、图2及3的对面是5可知，2、3、5相邻，3、4、5相邻，从而推出4的对面是2 进而推出1的对面是6 即1对应6，2对应4，3对应5． 故答案为：6，4，5． 【考点评析】由图1、图2推出3的对面是5不难，关键是根据图1、图2及已推出的结果确定4的对面是2，这也是本题的难点． 【变式演练02】（2023春•济南期末）一个正方体的6个面上分别标有1、2、3、4、5、6六个字，从三个不同角度看到的如图所示，那么标有数字6的的对面所标的数字是 　2　。 【思路点拨】根据正方体的展开图即可解答。 【规范解答】解：一个正方体的6个面上分别标有1、2、3、4、5、6六个字，从三个不同角度看到的如图所示，那么标有数字6的的对面所标的数字是2。 故答案为：2。 【考点评析】此题考查了正方体的展开图。 考点六：正方体展开图的特征的作图题 【典例精讲】（2023春•英德市期中）如图是一个正方体的表面展开图的一部分，请你添上两个正方形，将图形补完整。 【思路点拨】根据正方体展开图的11种形式分析，添上两个正方形，将图形补完整即可得解。 【规范解答】解：解答如下： （画法不唯一） 【考点评析】熟悉正方体的展开图的常见形式，是解答此题的关键。 【变式演练01】（2022•西城区）下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开。 （1）你认为 　③　号图形是这个无盖纸盒的展开图。 （2）在你选择的展开图中标出“O”的位置。 【思路点拨】（1）图形①属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，是一个完整的正方体展开图，排除；图②、图③属于正方体展开图“1﹣4﹣1”型少1个面，其中下行的1个正方形为底，上行的4个正方形为侧面，由无盖正方体纸盒中的剪线（粗线）可以看出，底不与侧面一端的正方形齐，由此再排队图形②；经验证，是③号图形。 （2）由分析（1）可知，哪个正方形是底，在底上标出“O”位置。 【规范解答】解：（1）“我”认为③号图形是这个无盖纸盒的展开图。 （2）在“我”选择的展开图中标出“O”的位置（如图）。 。 故答案为：③。 【考点评析】此题可亲自操作一下。弄清“1﹣4﹣1”正方体展开图折成正方体后，哪些面相对是关键。 【变式演练02】（2023春•密云区期末）如图两幅图是不完整的正方体展开图，请分别把它们补充成完整的正方体展开图． 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，左图再在四个正方形的下面添上一个正方形，即成为正方体展开图的“1 4 1”结构，就是一个完整的正方体展开图；右图在下行左边添上一个正方形，即成为正方体展开图的“2 2 2”结构，就是一个完整的正方体展开图． 【规范解答】解：根据分析画图如下： 故答案为： 【考点评析】本题是考查正方体的展开图，培养学生的观察能力和空间想象能力． 基础达标练 1．（2024春•永顺县期中）如图，把一张纸片沿虚线折起来，可成为一个正方体，和2号面相对的面是（　　）号面。 A．2 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，沿虚线折成正方体后，①号面与④号面相对，②号面与⑥号面相对，③号面与⑤号面相对。 【规范解答】解：由分析可知： 把一张纸片沿虚线折起来，可成为一个正方体，和2号面相对的面是6号面。 故选：D。 【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 2．（2024春•丹东期中）如图，折一折，想一想，盖住的是几点（　　） A．1 B．4 C．6 D．5 【思路点拨】这个图形属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，1点与5点相对，2点与6点相对，3点与4点相对。当折成正方体后，正面是3点，右面是2点时，上面是1点。 【规范解答】解：如图： 盖住了1点。 故选：A。 【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 3．（2023秋•海口期末）把一张长方形纸沿虚线折一折，能折成长方体侧面的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据长方体对面相同的特征，把一张长方形纸沿虚线折一折，能折成长方体侧面的是，据此解答即可。 【规范解答】解：把一张长方形纸沿虚线折一折，能折成长方体侧面的是。 故选：D。 【考点评析】解答本题的关键是熟练掌握长方体的基本特征。 4．（2024春•内乡县期中）如图所示是一个长方体纸盒的表面展开图。 （1）长方体纸盒的长是 　14　厘米，宽是 　6　厘米，高是 　5　厘米； （2）长方体纸盒的占地面积是 　84平方厘米　，体积是 　420立方厘米　。 【思路点拨】（1）14cm为长方体的长；6cm为长方体的宽，用38减去2个14cm，再除以2，即可求出高。 （2）长方体的占地面积为长×宽，体积＝长×宽×高，代入数值进行计算即可。 【规范解答】解：（1）（38﹣14×2）÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 答：长方体纸盒的长是14厘米，宽是6厘米，高是5厘米。 （2）14×6＝84（平方厘米） 14×6×5＝420（立方厘米） 答：长方体纸盒的占地面积是84平方厘米，体积是420立方厘米。 故答案为：14，6，5；84平方厘米，420立方厘米。 【考点评析】本题考查长方体展开图的认识以及长方体体积的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 5．（2023秋•东台市期末）小明在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图。 （1）请你帮他在方格纸上画出外盒的展开图。 （2）火柴盒的容积是 　15　立方厘米。（厚度不计） 【思路点拨】（1）根据题意可知，火柴盒的外盒是由4个面组成的，据此解答即可。 （2）火柴盒的盒长是5厘米，宽是3厘米，高是1厘米，根据V＝abh，解答即可。 【规范解答】解：（1）在方格纸上画出外盒的展开图。如图： （画法不唯一） （2）火柴盒的盒长是5厘米，宽是3厘米，高是1厘米。 5×3×1＝15（立方厘米） 答：火柴盒的容积是15立方厘米。 故答案为：15。 【考点评析】此题主要考查了长方体的特征及展开图知识，结合长方体的体积公式解答即可。 6．（2023•西城区模拟）如图是一个正方体的展开图，已经画出了五个面，在方格图上再画出第六个面。这个正方体的体积是 　8　立方厘米。 【思路点拨】画法不唯一，根据正方体展开图的11种特征，可画成“1﹣4﹣1”型或“1﹣3﹣2”型。折成的正方体的棱长是2厘米，根据正方体棱长计算公式“V＝a3”即可求出这个正方体的体积。 【规范解答】解：根据题意画图如下（画法不唯一）： 23＝2×2×2＝8（立方厘米） 答：这个正方体的体积是8立方厘米。 故答案为：8。 【考点评析】此题考查了正方体展开图的认识、正方体体积的计算。 7．（2024春•慈利县期中）用做成一个，数字“3”的对面是数字“　1　”． 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，数字“1”与“3”相对；“2”与“4”相对，“5”与“6”相对． 【规范解答】解：如图做成一个，数字“3”的对面是数字“1”． 故答案为：1． 【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题． 8．（2023春•青县期中）折一折，用如图做一个正方体，4的对面是6。 　×　（判断对错） 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，1与3相对，2与6相对，4与5相对。 【规范解答】解：如图： 做一个正方体，4的对面是5。 原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 9．（2023春•社旗县期中）将如图折叠后可以围成一个正方体，1和3、4和5、2和6分别是相对的面。 　×　（判断对错） 【思路点拨】根据正方体的展开图即可解答。 【规范解答】解：如图折叠后不可以围成一个正方体。 故答案为：×。 【考点评析】此题考查了正方体的展开图。 10．（2022秋•淮阴区期末）所有的坚持，会驱散阴霾和黑暗！所有的信念，会凝聚起力量和希望！我们终将战胜疫情！在下面这个正方体的展开图里分别填上“战”和“胜”，使得这个展开图围成正方体后，“疫”与“战”相对，“情”与“胜”相对。 【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，在这个正方体的展开图里分别填上“战”和“胜”，这个展开图围成正方体后，“疫”与“战”相对，“情”与“胜”相对。 【规范解答】解：根据题意，解答如下： 【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。 11．（2023•西城区）图是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色。 （1）如果正方体纸盒的棱长为4分米，求涂色部分的面积。 （2）请将涂色部分在下面的展开图中补充完整。 【思路点拨】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，由图可知，涂色部分的面积等于正方体表面积的一半； （2）由图可知，完全涂色的正方形相邻的四个正方形只有一半涂色，正方体的展开图中，已经涂色的正方形的左面竖直涂右半部分、右面竖直涂左半部分、上面竖直涂左半部分、下面竖直涂右半部分，据此解答。 【规范解答】解：（1）图示部分的面积： 4×4×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方分米） 答：涂色部分的面积是48平方分米。 （2）分析可知如图： 【考点评析】本题主要考查正方体的展开图和正方体的表面积，解题时可以动手实际操作一下。 能力拔高练 一、选择题 1．（2024.01.30·七中）在图中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】A选项， ，不是一个正方体表面展开图； B选项，，不是一个正方体表面展开图； C选项，，是一个正方体表面展开图； D选项，，不是一个正方体表面展开图。 故答案为：C。 【思路点拨】根据正方体展开图的11种形式对各小题分析判断即可得解；正方体共有11种展开图，可以用口诀：一三二，一四一， 一在同层可任意，两个三日状连，三个二，成阶梯，相邻必有日整体没有田，来加强记忆，从而即可以判断得出答案。 2．（2023六上·深州期末）一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每个相对面上的两个数的和相等。如下图，你能看到的数为3，6，7，则六个整数的和是（　　）。 A．27 B．28 C．33 【答案】C 【规范解答】解：A项：当这六个数分别是2、3、4、5、6、7时，2＋7=9、3＋6=9、4＋5=9，但是图中3和6不是相对的面，排除； B项：28不是3的倍数，排除； C项：33÷3=11 11-3=8 11-6=5 11-7=4，这六个数分别是3、4、5、6、7、8，所以和是33。 故答案为：C。 【思路点拨】因为每个相对面上的两个数的和相等，所以每个相对两个面的和是33÷3=11，据此求出其余几个面上的数字。 3．（2022六上·兴化期中）把下图中左边正方体的表面展开，得到的展开图是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：A：三角和黑色面不相邻，此选项错误； B：三角应该在左边。此选项错误； C：三角和黑色面不相邻，此选项错误； D：正确。 故答案为：D。 【思路点拨】观察三个面的位置，这三个面是相邻的，根据正方体的特征确定展开图即可。 二、填空题 4．（2023六上·定州期末）一个正方体的六个面分别涂上红黄蓝绿白黑六种颜色，根据下图看到的颜色推断出红面对　 　面，绿面对　 　面，蓝面对　 　面。 【答案】黑；黄；白 【规范解答】 根据分析可得：红面对黑面，绿面对黄面，蓝面对白面。 故答案为：黑；黄；白。 【思路点拨】观察图1可得，红面不可能与绿面和白面相对，观察图3可得，红面不可能与黄面和蓝面相对，则红面与黑面相对；观察图2可得，黄面不可能与黑面和白面相对，观察图3可得，黄面不可能与红面和蓝面相对，则黄面与绿面相对；剩下的蓝面与白面相对，据此解答。 5．（2020六上·赣榆期中）如图是一个正方体的展开图，与6号面相对的是　 　号面。 【答案】3 【规范解答】假定6号是底面，则3号是上面，所以如图是一个正方体的展开图，与6号面相对的是3号面。 故答案为：3。 【思路点拨】正方体共有11种展开图，可以用口诀：一三二，一四一， 一在同层可任意，两个三日状连，三个二，成阶梯，相邻必有日整体没有田，来加强记忆，从而即可判断得出答案。 三、操作题 6．（2023六上·溧阳月考）图形与操作。 （1）在方格纸的左边画一个面积是 12 平方厘米的三角形，使它的底和高的比是 3：2(每个小方格的边长为1厘米) （2）方格纸右边的阴影部分是正方体的4个面，再补上2个面，并涂上阴影，使得能围成一个正方体。 【答案】（1）解：。 （2）解：。 【思路点拨】（1）三角形的面积=底×高÷2，然后根据三角形的底和高的比作图即可； （2）正方体展开图的特征：141型、132型、222型、33型，据此作答即可。 7．（2023六上·金湖期末）如图是一个长方体表面展开图的一半，请在图形中画出长方体表面展开图另一半。（每小格表示1平方厘米） 【答案】 【思路点拨】长方体表面展开图另一半和图中的一半完全相同；同行或同列隔一个面的两个面是对面，据此作图。 四、解决问题 8．（2022六上·固镇月考）下面是一个长方体的展开图，标出它的下面、左面和后面。 【答案】解：。 【思路点拨】长方体相对面的特征：3个连续的面排成的一行的两端；“Z”字形的两端。 9．（2021六上·鼓楼期末）下图是小明画的长方体展开图。 （1）请观察分析展开图是否有问题：若有多余部分，请把图中多余部分画上斜线以示去掉，如果缺少，请直接在图中补全。 （2）请在图上标出“上面、左面、右面、前面和后面”。 【答案】（1） （2） 【思路点拨】（1）观察图形可知，底面左右两边的正方形是相对的面，所以最左边的正方形是多余的部分； （2）底面左右分别是左右面，底面下边的是前面，最上边的是后面，最下边的是上面。 10．如图是一个长方体纸盒的表面展开图，做成的这个纸盒的容积是多少？ 【答案】解：（9－5）÷2＝2（dm） 20÷2－2＝8（dm） 8×5×2＝80（dm3） 答：做成的这个纸盒的容积是80dm3。 【思路点拨】由图可知，长方体的高=（9-5）÷2=2dm；长方体的宽=5dm；长方体的长=20÷2-高=20÷2-2=8dm，长方体的容积=长×宽×高，以此求得。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 长方体和正方体的展开图 （新知讲练+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：长方体的展开图特点 4 考点二：长方体的六个面与长、宽、高的关系 5 考点三：长方体展开图的应用 7 考点四：正方体展开图的特征 8 考点五：正方体展开图的特征规律探究问题 9 考点六：正方体展开图的特征的作图题 9 基础达标练 10 能力拔高练 13 1、认识长方体、正方体的展开图。能在展开图中找到长方体、正方体相对的面，能判断一些平面图形折叠后能否围成长方体或正方体。 2、在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 教学重点：掌握长方体和正方体展开图的特点。 教学难点：判断一些平面图形折叠后能否围成长方体或正方体。。 一个正方体纸盒，像下面的样子沿着画有红线的棱剪开，就可以得到它的展开图。 沿着其他棱试着剪一剪 拿一个长方体纸盒，沿着一些棱剪开，看看它的展开图。 你能从展开图中找到长方体3组相对的面吗？ 把长方体纸盒剪开，得到它的展开图。 你能标出长方体的下面、 后面和左面吗？ 1. 沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2. 正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 一、长方体的展开图 定义：长方体的展开图是将一个长方体沿着它的棱剪开，得到的平面图形。 特征： 长方体的展开图由6个长方形（或正方形）组成。 这6个长方形（或正方形）按照长方体的结构关系进行排列。 在展开图中，相对的面（即长方体的上下面、左右面、前后面）不相邻。 分类： 根据长方体的形状和剪开方式，其展开图有多种形式。但通常我们可以将其归纳为几种常见的类型，如“1-4-1”型（即上面1个长方形，中间4个长方形，下面1个长方形），以及其他类似的排列方式。 识别：在识别长方体的展开图时，我们需要注意各个面的形状和大小是否一致，以及它们之间的相对位置关系是否正确。 二、正方体的展开图 定义：正方体的展开图是将一个正方体沿着它的棱剪开，得到的平面图形。 特征：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成。这6个正方形按照正方体的结构关系进行排列。 类型： 正方体的展开图有多种类型，常见的包括“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型等。 识别：在识别正方体的展开图时，我们需要注意每个正方形的形状和大小是否完全相同，以及它们之间的相对位置关系是否正确。 注意事项： 在剪开正方体得到展开图时，要确保沿着棱剪开，并且各个面要互相联在一起。 要找两个相对面时，需要记住它们之间相隔一个面。 一、长方体展开图的易错点 面的识别和排列： 学生可能会混淆长方体的面和它们的相对位置关系。例如，错误地将不是相对的面放在一起，或者错误地排列了面的顺序。 正确理解：长方体的展开图由6个长方形（或正方形）组成，其中相对的面不相邻。在识别时，应注意各个面的形状和大小是否一致，以及它们之间的相对位置关系是否正确。 面的数量： 学生可能会忘记长方体有6个面，导致在绘制或识别展开图时遗漏了某个面。 正确理解：确保展开图中包含了长方体的所有6个面，每个面都是唯一的且未被遗漏。 二、正方体展开图的易错点 面的形状和大小： 学生可能会错误地认为正方体的展开图中各个面的形状和大小可以不同。 正确理解：正方体的展开图由6个完全相同的正方形组成，每个正方形的边长都相等。 展开图的类型： 学生可能会混淆正方体展开图的不同类型，或者在尝试将展开图折叠回正方体时出错。 正确理解：正方体展开图有多种类型，如“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型等。每种类型都有其特定的排列方式和折叠方法。 相对面的识别： 学生可能会错误地判断正方体展开图中哪两个面是相对的。 正确理解：在正方体展开图中，相对的面之间相隔一个面。例如，在“1-4-1”型展开图中，上下的两个正方形是相对的面，左右两边的正方形也是相对的面。 考点一：长方体的展开图特点 【典例精讲】（2023•建阳区模拟）如图是一个长方体的展开图，请判断相对面上的字各是什么？ 与“创”相对的面上的字是“　 　”； 与“建”相对的面上的字是“　 　”； 与“和”相对的面上的字是“　 　”。 【变式演练01】（2023春•巨野县期中）请补充长方体展开图的另外两个面，并标出这两个面的相关数据。 【变式演练02】（2023春•锦江区期末）在学校举办的“爱成都，迎大运”活动中，奇思设计了一个长方体礼物包装盒，包装盒上面分别写有“爱成都，迎大运”6个字。 请帮助奇思在方格纸中画出展开图的另外2个面并标注对应的汉字，使“大”与“迎”相对“爱”与“都”相对。 考点二：长方体的六个面与长、宽、高的关系 【典例精讲】（2023春•四川期末）下面哪几个面可以组成长方体？同学们有以下想法，不正确的是（　　） A．长方体相对的两个面完全一样，我先找出三组完全一样的面 B．①③⑤⑥⑦⑧可以组成长方体 C．②和③只有一个，不能用 D．①④⑤⑥⑦⑧可以组成长方体 【变式演练01】（2022春•中山区期末）淘气要用下面的五张纸板做一个无盖的长方体纸盒，请你帮助他画出纸盒的草图，并在图上标出长、宽、高的数据。 【变式演练02】（2024春•郧阳区期中）看一看、想一想。 把一个长方体的6个面分别展开，如图所示。 （1）在展开图中，分别用“上、下、前、后、左、右”标注6个面。 （2）哪些面的面积相等？ （3）前面、上面、左侧面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？ 考点三：长方体展开图的应用 【典例精讲】（2024春•新城区期中）如图左图是一个长方体，右面是它的展开图。展开图中已经标出了上面、左面和后面，在相应的位置标出下面、右面和前面。 【变式演练01】（2024春•鼓楼区期中）如图，一个长方体的展开图画在方格里。 （1）图上写了“前面”，　 　号是后面。 （2）展开图只画了五个面，还有一个面在哪里呢？请在格子图上画出剩余的那一个面，使它成为一个完整的长方体展开图。 【变式演练02】（2023春•无棣县期末）亮亮用长方形纸板制作一个长方体，他先把一张长16厘米，宽7厘米的纸板沿着虚线对折，做出了长方体相邻的两个面（如图），然后再用纸板做出其它4个面，围成长方体。 （1）这个长方体的长是 　 　厘米，宽是 　 厘米，高是 　 　厘米。 （2）计算这个长方体的右面、上面、前面的面积各是多少平方厘米？ 考点四：正方体展开图的特征 【典例精讲】（2024•溧阳市）下列各图中，沿着折痕不能折成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【变式演练01】（2024春•科左中旗期中）用做一个，数字“6”的对面是数字（　　） A．“4” B．“1” C．“3” 【变式演练02】（2023春•青县期中）下面三图形都能围成正方体。 　 　（判断对错） 考点五：正方体展开图的特征规律探究问题 【典例精讲】（2024春•曲江区期中）如图，每颗骰子上分别刻有1～6个圆点，用于表示数字1～6，且相对的两个面的点数之和为7，下列展开图中，有（　　）幅图能够折成这样的骰子。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式演练01】（2023秋•余庆县期末）妈妈在魔方的六个面贴上了1～6这6个数字，第一次心心看到，第二次心心又看到，你能帮心心找到1对应　 　，2对应　 　，3对应　 　． 【变式演练02】（2023春•济南期末）一个正方体的6个面上分别标有1、2、3、4、5、6六个字，从三个不同角度看到的如图所示，那么标有数字6的的对面所标的数字是 　 　。 考点六：正方体展开图的特征的作图题 【典例精讲】（2023春•英德市期中）如图是一个正方体的表面展开图的一部分，请你添上两个正方形，将图形补完整。 【变式演练01】（2022•西城区）下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开。 （1）你认为 　 　号图形是这个无盖纸盒的展开图。 （2）在你选择的展开图中标出“O”的位置。 【变式演练02】（2023春•密云区期末）如图两幅图是不完整的正方体展开图，请分别把它们补充成完整的正方体展开图． 基础达标练 1．（2024春•永顺县期中）如图，把一张纸片沿虚线折起来，可成为一个正方体，和2号面相对的面是（　　）号面。 A．2 B．4 C．5 D．6 2．（2024春•丹东期中）如图，折一折，想一想，盖住的是几点（　　） A．1 B．4 C．6 D．5 3．（2023秋•海口期末）把一张长方形纸沿虚线折一折，能折成长方体侧面的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•内乡县期中）如图所示是一个长方体纸盒的表面展开图。 （1）长方体纸盒的长是 　 厘米，宽是 　 　厘米，高是 　 　厘米； （2）长方体纸盒的占地面积是 　，体积是 　。 5．（2023秋•东台市期末）小明在方格纸上画了一个火柴盒内盒的展开图。 （1）请你帮他在方格纸上画出外盒的展开图。 （2）火柴盒的容积是 　 　立方厘米。（厚度不计） 6．（2023•西城区模拟）如图是一个正方体的展开图，已经画出了五个面，在方格图上再画出第六个面。这个正方体的体积是 　 　立方厘米。 7．（2024春•慈利县期中）用做成一个，数字“3”的对面是数字“　 　”． 8．（2023春•青县期中）折一折，用如图做一个正方体，4的对面是6。 　 　（判断对错） 9．（2023春•社旗县期中）将如图折叠后可以围成一个正方体，1和3、4和5、2和6分别是相对的面。 　 　（判断对错） 10．（2022秋•淮阴区期末）所有的坚持，会驱散阴霾和黑暗！所有的信念，会凝聚起力量和希望！我们终将战胜疫情！在下面这个正方体的展开图里分别填上“战”和“胜”，使得这个展开图围成正方体后，“疫”与“战”相对，“情”与“胜”相对。 11．（2023•西城区）图是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色。 （1）如果正方体纸盒的棱长为4分米，求涂色部分的面积。 （2）请将涂色部分在下面的展开图中补充完整。 能力拔高练 一、选择题 1．（2024.01.30·七中）在图中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（　　）。 A． B． C． D． 2．（2023六上·深州期末）一个正方体，六个面上分别写着六个连续的整数，且每个相对面上的两个数的和相等。如下图，你能看到的数为3，6，7，则六个整数的和是（　　）。 A．27 B．28 C．33 3．（2022六上·兴化期中）把下图中左边正方体的表面展开，得到的展开图是（　　）。 A． B． C． D． 二、填空题 4．（2023六上·定州期末）一个正方体的六个面分别涂上红黄蓝绿白黑六种颜色，根据下图看到的颜色推断出红面对　 　面，绿面对　 　面，蓝面对　 　面。 5．（2020六上·赣榆期中）如图是一个正方体的展开图，与6号面相对的是　 　号面。 三、操作题 6．（2023六上·溧阳月考）图形与操作。 （1）在方格纸的左边画一个面积是 12 平方厘米的三角形，使它的底和高的比是 3：2(每个小方格的边长为1厘米) （2）方格纸右边的阴影部分是正方体的4个面，再补上2个面，并涂上阴影，使得能围成一个正方体。 7．（2023六上·金湖期末）如图是一个长方体表面展开图的一半，请在图形中画出长方体表面展开图另一半。（每小格表示1平方厘米） 四、解决问题 8．（2022六上·固镇月考）下面是一个长方体的展开图，标出它的下面、左面和后面。 9．（2021六上·鼓楼期末）下图是小明画的长方体展开图。 （1）请观察分析展开图是否有问题：若有多余部分，请把图中多余部分画上斜线以示去掉，如果缺少，请直接在图中补全。 （2）请在图上标出“上面、左面、右面、前面和后面”。 10．如图是一个长方体纸盒的表面展开图，做成的这个纸盒的容积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$