1.3 课时1 线段垂直平分线的性质与判定课件2023～2024学年北师大版八年级数学下册

1.3 线段的垂直平分线 课时1 线段垂直平分线的性质与判定 北师版八年级下册 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理; 2.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展自己的推理证明意识和能力. 教学目标 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? 导入新知 我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗? 定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 能证明吗? 新知讲解 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C,且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB. A C B P M N 证明:∵MN⊥AB ∴∠PCA=∠PCB=90 ∵AC=BC, PC=PC ∴ APC≌ BPC(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) 如果点P与点C重合,那么结论显然成立. 学习目标 线段垂直平分线的性质定理: 文字语言:线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等. 几何语言: ∵PC垂直平分AB(AC=BC,PC⊥AB) ∴PA=PB. 归纳总结 思考:你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗? 逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗? 如果是, 请你证明它. 新知讲解 如图,线段AB外任意一点P到点A,点B的距离相等. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. A B P 证明:过点P作直线l,使得l⊥AB,垂足为O. ∵PO⊥AB, ∴∠POA=∠POB=90 . 在Rt PAO和Rt PBO中, ∴Rt PAO≌Rt PBO(HL). ∴AO=BO. ∵AO=BO,∠POA=∠POB=90 , ∴点P在线段AB的垂直平分线上. l O 线段的垂直平分线的判定: 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号语言: ∵PA=PB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. (PO是线段AB的垂直平分线) 作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上. A B P l O 归纳总结 1.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; 条件:点在线段的垂直平分线上; 结论:这个点到线段两端点的距离相等. 表达方式:如图,l⊥AB,AO=BO,点P 在l 上,则AP=BP. 2.作用:可用来证明两线段相等. 例1、已知:如图 ,在 ABC 中,AB=AC,O是 ABC 内一点,且OB=OC. 求证:直线AO垂直平分线段BC. 证明:∵ AB = AC, ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 同理,点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线). 你还有其他方法证明吗? 典例精析 1.如图,在四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( ) A.AB=AD B.AC 平分∠BCD C.AB=BD D. BEC ≌ DEC 2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( ) A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 C D 课堂练习 方法二: 证明:延长AO交BC于点D, ∵AB=AC, AO=AO, OB=OC , ∴ ABO≌ ACO(SSS). ∴∠BAO=∠CAO, ∵AB=AC,∴AO⊥BC. ∵OB=OC ,OD=OD , ∴Rt DBO≌Rt DCO(HL). ∴BD=CD. ∴直线AO垂直平分线段BC. D 典例精析 3.在 ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50 ,则∠B=_. 4.如图,在 ABC中,∠A=40 ,∠B=90 ,线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D,与AC交于点E,则∠BCD=_. 70 或20 10 课堂练习 5. 已知:如图,AB是线段CD的垂直平分线,E,F是AB上的两点. 求证∠ECF=∠EDF. 因为AB是线段CD的垂直平分线, 所以EC=ED,FC=FD. 在 ECF 和 EDF 中, 所以 ECF≌ EDF(SSS). 所以∠ECF=∠EDF. 证明: 6.如图,在 ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB,AC于点E,D. (1)若 BCD的周长为8,求BC的长; (2) 若BC=4,求 BCD的周长. 解:∵DE是AB的垂直平分线, ∴AD=BD. ∴BD+CD=AD+CD=AC=5. (1)∵ BCD的周长为8, ∴BC= BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3. (2)∵BC=4, ∴ BCD的周长=BC+BD+CD=5+4=9. 解:∵DE是AB的垂直平分线, ∴AD=BD. ∴BD+CD=AD+CD=AC=5. (1)∵ BCD的周长为8, ∴BC= BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3. (2)∵BC=4, ∴ BCD的周长=BC+BD+CD=5+4=9. 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线,得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂总结 $$