9.1 不等式 课件-2023-2024学年人教版数学七年级下册

第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 9.1.1 不等式及其解集 1 1.用符号___________表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”表示_______关系的式子也是不等式. “<”或“>” 不等 2.使不等式_______的未知数的_____叫做不等式的解. 成立 值 3.一般地,一个含有未知数的不等式的_______的解,组成这个不等式的解集.求这个不等式的解集的_______叫做解不等式. 所有 过程 2 例1 用不等式表示下列语句： （1） <m></m> 的3倍与2的差是非负数； （2） <m></m> 的 <m></m> 与3的和小于1； （3） <m></m> 与 <m></m> 两数和的平方不小于3； （4） <m></m> 是正数． 【点拨】解此题的关键是把握关键词,如：“＞”表示大于、高出、多余、超过等；“＜”表示小于、低于、不足等； “≥”表示大于或等于、不小于、不低于、至少等；“≤”表示小于或等于、不大于、不超过、至多等.根据这些关键词的含义即可对应地列出不等式． 【解】 （1）<m></m> ; （2） <m></m> ; （3） <m></m> ; （4） <m></m> . 3 变式.学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车.若租用45座客车 辆，租用30座客车 辆，则不等式“ ”表示的实际意义是( ) A.两种客车总的载客量不少于500 B.两种客车总的载客量不超过500 C.两种客车总的载客量不足500 D.两种客车总的载客量恰好等于500 A 例2 在数轴上表示出下列各解集. （1） <m></m> ；（2） <m></m> ；（3） <m></m> ；（4） <m></m> . 【点拨】在数轴上找到对应的数,大于向右,小于向左,有等号画实心点,无等号画空心圆圈. （1）【解】 （2） （3） （4） 变式.用不等式表示图中的解集，其中正确的是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C 易错示例 判断下列说法是否正确． （1）式子 <m></m> 不是不等式； （2） <m></m> 是不等式 <m></m> 的解集． 【错解】（1）正确；（2）正确． 【点拨】上述解法中问题（1）答错的原因在于对不等式的含义理解不透.事实上,只要是用不等号连接成的式子都是不等式,不论它是否成立.问题（2）答错的原因在于对不等式的解集的含义理解不透.虽然所有大于4的数都是不等式 <m></m> 的解,但大于4的数只是其中的一部分解,不是所有的解． 【正解】（1）错误；（2）错误. 1.数学表达式① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，不等式有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C 2.高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙 毫克”，它的含义是指( ) A.每100克内含钙150毫克 B.每100克内含钙不低于150毫克 C.每100克内含钙高于150毫克 D.每100克内含钙不超过150毫克 B 3.下列各数中，能使不等式 成立的是( ) A. B. C. D. D 4.下列各数 , , , , , , 中,______是方程 的解；_____________________是不等式 的解． <m></m> <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 5. 与 的平方和一定是非负数，用不等式可表示为______________. <m></m> 7 6.将下列不等式的解集在数轴上表示出来. （1） <m></m> ; 解：略. （2） <m></m> . 解：略. 8 7.甲种水果保鲜适宜的温度是 ，乙种水果保鲜适宜的温度是 ，将这两种水果放在一起保鲜，最适宜的温度是_____________． <m></m> 9 8.用不等式表示下列语句： （1） <m></m> 的3倍不大于 <m></m> 的2倍； 解： <m></m> ； （2） <m></m> 的 <m></m> 与 <m></m> 的2倍的和是非负数； [答案] <m></m> ； （3） <m></m> 与 <m></m> 的和的平方最多为2； [答案] <m></m> ； （4） <m></m> 的 <m></m> 与 <m></m> 的差不小于 <m></m> 的6倍. [答案] <m></m> . 10 9.若方程 <m></m> 的解为 <m></m> ,想一想不等式 <m></m> 的解集是什么？ 试判断 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 这6个数中哪些数是该不等式的解. 解：把 <m></m> 代入方程 <m></m> ,得 <m></m> , <m></m> , <m></m> .然后把 <m></m> 代入不等式 <m></m> ，得 <m></m> , <m></m> .由此可知 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 这4个数为该不等式的解. 11 $$第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 第1课时 不等式的基本性质 1 不等式的性质有： （1） 不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向_______.即如果 ,那么 ____ . 不变 > （2） 不等式两边乘（或除以）同一个_____数,不等号的方向不变.即如果 , ,那么 ____ （或 ____ ）. 正 > > （3） 不等式两边乘（或除以）同一个_____数,不等号的方向改变.即如果 , ,那么 _____ （或 _____ ）. 负 ＜ ＜ 2 例1 设 <m></m> ,用“＞”或“＜”填空： （1） _____ ； ＜ （2） _____ ； ＜ （3） _____ ； ＞ （4） _____ . ＞ 【点拨】解这类问题时,先看已知不等式与变化后的不等式两边的变化情况,再利用不等式的性质确定不等号的方向． 3 变式.已知 ，有以下不等式：① ；② ；③ ；④ .其中恒成立的不等式是_______.（填序号） ①② 例2 如果关于 <m></m> 的不等式 <m></m> 的解集为 <m></m> ,求 <m></m> 的取值范围． 【点拨】逆用不等式的性质解题时,一定要注意不等号的方向是否改变,从而判断未知系数的正负性． 变式.若点 在第一象限，则 的解集为__________． <m></m> 易错示例 若 ,且 为有理数,则下列各式中正确的有( ) ① ；② ；③ ；④ ；⑤ . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 【错解】B 【解】要将不等式 <m></m> 变形为 <m></m> ,则需要根据不等式的性质3,在原不等式的两边同时除以负数 <m></m> ,即 <m></m> ,故可得 <m></m> ． 【点拨】本题的条件是 <m></m> ,变形是在不等式的两边都乘（或除以） <m></m> 或 <m></m> ,变形正确与否关键就看 <m></m> 或 <m></m> 的取值情况.而本题中 <m></m> 为有理数,说明 <m></m> 可以为正数、负数和0,根据不等式的性质易得出正确答案. 4 1.如果 ，下列不等式中，不一定成立的是( ) A. B. C. D. D 2.如果 ,那么 与 的大小关系是( ) A. B. C. D.无法确定 A 3.下列命题一定是真命题的是( ) A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 D 4.若 ，则 _____n．（填“>”“＜”或“=”） ＞ 5 5.利用不等式的性质填“>”或“＜”. （1） 若 ,则 ____ ； > （2） 若 ,则 ____ ； > （3） 若 ,且 ,则 ____ ； > （4） 若 , , ,则 _____ . ＜ 6.若 <m></m> ，比较 <m></m> 与 <m></m> 的大小，并说明理由． 解： <m></m> ， <m></m> . <m></m> . <m></m> ． 6 7.小燕子竟然推导出了 <m></m> 的结论.请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里. 已知 <m></m> ，两边都乘5，得 <m></m> ，两边都减去 <m></m> ，得 <m></m> ，即 <m></m> ，两边都除以 <m></m> ，得 <m></m> ． 解：问题出在“两边都除以 <m></m> ，得 <m></m> ”. <m></m> ， <m></m> . ∴两边都除以 <m></m> ，得 <m></m> ． 7 8.有人说 <m></m> 一定比 <m></m> 小,你认为这样的说法正确吗？如果不正确,该如何比较它们的大小呢？ 解:不正确.当 <m></m> 时, <m></m> ； 当 <m></m> 时, <m></m> ； 当 <m></m> 时, <m></m> ． 8 $$第九章 不等式与不等式组 9.1 不等式 第2课时 利用不等式的性质解不等式 1 利用不等式的性质解不等式，主要是将不等式化成 <m></m> 或 <m></m> 的形式. （1） 若不等式一边含有未知数，如 ,先将左边的常数 消去,不等式的两边都_________,得____________,再两边都_________； 减去 <m></m> <m></m> 除以 <m></m> （2） 若不等式两边均含有未知数，如 ,先将右边的项 消去,不等式的两边都__________,得______________,再两边都______________． 减去 <m></m> <m></m> 除以 <m></m> 2 例1 利用不等式的性质解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来： （1） <m></m> ;（2） <m></m> ；（3） <m></m> . 【点拨】利用不等式的性质将每个不等式进行变形，使其变为 <m></m> 或 <m></m> 的形式.特别要注意：当不等式两边都乘（或除以）同一个负数时,不等号的方向要改变. 【解】（1）两边同时减去2，得 <m></m> . （2）两边同时除以 <m></m> ，得 <m></m> . （3）两边同时减去 <m></m> ，得 <m></m> . 两边同时乘 <m></m> ，得 <m></m> . 在数轴上表示略. 变式.不等式 的解集是( ) A. B. C. D. C 3 例2 已知不等式 <m></m> 的解集是 <m></m> ,求 <m></m> 的值. 【点拨】先解不等式 <m></m> ,然后令其解集不等号右边的数等于 <m></m> ，即可得 <m></m> 的值. 变式.若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是( ) A. B. C. D. A 【解】由 <m></m> 且 <m></m> ,得 <m></m> , <m></m> . 易错示例 利用不等式的性质解不等式： <m></m> . 【错解】根据不等式的性质1，得 <m></m> ,即 <m></m> .根据不等式的性质3,在 <m></m> 两边同时除以 <m></m> ,得 <m></m> . 【点拨】在上述解答过程中,由于对不等式性质3的内容没记牢,没有将“＜”变为“＞”,导致得出错误的结果. 【正解】根据不等式的性质1,在不等式的两边同时减去5,得 <m></m> .根据不等式的性质3,在不等式 <m></m> 的两边同时除以 <m></m> ,得 <m></m> . 1.不等式 的解集为( ) A. B. C. D. D 2.将不等式 的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. B 3.若 ，则下列不等式中一定成立的是( ) A. B. C. D. C 4.在不等式 的两边同时加上_________,得到不等式 ． <m></m> 6 5.用“＞”或“＜”填空,并说明是根据不等式的哪一条性质. （1） 若 ,则 _____ ,根据________________； ＞ 不等式的性质1 （2） 若 ,则 _____ ,根据________________； ＜ 不等式的性质2 （3） 若 ,则 _____ ,根据________________； ＜ 不等式的性质1 （4） 若 ,则 _____ ,根据________________. ＞ 不等式的性质3 7 6.利用不等式的性质解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来. （1） <m></m> ； [答案] <m></m> . （2） <m></m> ； [答案] <m></m> . （3） <m></m> ； [答案] <m></m> . （4） <m></m> . [答案] <m></m> .（在数轴上表示略） 8 7.某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的 作为输入值，则永远不会有输出值.这个数学兴趣小组所发现的实数 的取值范围是_ _______． <m></m> 8.能不能找到这样的 <m></m> 值，使关于 <m></m> 的不等式 <m></m> 的解集是 <m></m> ？ 解：∵关于 <m></m> 的不等式 <m></m> 的解集是 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> . 经检验， <m></m> 满足题意. 故当 <m></m> 时，关于 <m></m> 的不等式 <m></m> 的解集是 <m></m> ． 9 9.小明和小丽在利用不等式的性质对不等式 <m></m> 进行变形时，小明由于看错了 <m></m> 的符号，从而得到 <m></m> ；小丽由于看错了 <m></m> 的符号，从而得到 <m></m> .求 <m></m> , <m></m> 的值. 解：由 <m></m> ，得 <m></m> . ∵小明看错了 <m></m> 的符号，从而得到 <m></m> ， <m></m> .① 又∵小丽看错了 <m></m> 的符号，从而得到 <m></m> ， <m></m> .② 联立①②，解得 <m></m> ， <m></m> . 10 $$