精品解析：四川省眉山市东坡区眉山映天学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

高2026届 2023-2024学年度下期半期考试 数学 1. 已知i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 3. 一个水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形，已知，是的中点，则原四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为线段上一点，且，点是的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若将函数的整个图象沿轴向左平移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象沿轴向下平移1个单位，得到函数的图象，则解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ） A B. C. D. 一、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点集合所构成的图形的面积为 10. 已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（    ）   A B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象 11. 已知函数，若，，使得成立，且在区间上值域为，则实数的取值可能是（ ） A B. C. 1 D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 设，若，其中是虚数单位，则_____________ 13. 已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为__________. 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量， （1）若与垂直，求k； （2）若向量，若与共线，求. 16. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 17. 在中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求的面积． 18. 已知为实数，. （1）若，求关于的方程在上的解； （2）若，求函数，的单调减区间； （3）已知为实数且，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角所对的边分别为，且. （1）求角A的值； （2）若点为的费马点，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2026届 2023-2024学年度下期半期考试 数学 1. 已知i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的运算及复数的模长，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由正定理得：， 由于，所以 故选：A 3. 一个水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形，已知，是的中点，则原四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，如图，由勾股定理求出，即可求解. 【详解】由题意知，，， 则，将直观图还原为原图，如图，此时四边形为平行四边形， 在平行四边形中，， 则， 所以原四边形的周长为. 故选：C 4. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 在中，为线段上一点，且，点是的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用、表示向量，再利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 在中，为线段上一点，且，则， 即，所以，， 因为为的中点，所以，， 因此，. 故选：D. 6. 若将函数的整个图象沿轴向左平移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象沿轴向下平移1个单位，得到函数的图象，则解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 利用逆向思维，根据三角函数的平移变换和伸缩变换求解. 【详解】由函数的图象沿轴向上平移1个单位得到， 再将图象上每一点的横坐标缩为原来的(纵坐标不变)得到， 再将整个图象沿轴向右平移个单位得到. 故选：D 【点睛】本题主要考查考查三角函数的图象变换，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题. 7. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 则. 故选：C. 8. 已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由条件可知且，代入计算可得最大值. 【详解】设，则易知，又， 所以， 因为，所以， 所以最大值为． 故选：C. 一、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD． 【详解】对A,由，可得，且，故A错误； 对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确； 对C,若，则的模为，故C错误； 对D,设,若，则， 则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 故选：BD． 10. 已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（    ）   A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合函数解析式，利用五点法作图求出参数，再逐项分析判断得解. 【详解】对于A，观察图象，得，周期，则， 又，则，又，于是， 因此，A正确； 对于B，当时，，而正弦函数在是递减， 因此在区间上单调递减，B正确； 对于C，，的图象关于直线不对称，C错误； 对于D，的图象向右平移个单位长度得，D错误. 故选：AB 11. 已知函数，若，，使得成立，且在区间上的值域为，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据，，使得成立， 结合解析式，得到，求得，得到，再结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，，使得成立， 所以，即， 又由在区间上的值域为， 则， 综上，解得 此时， 因为在区间上的值域为， 所以，即， 当时，， 所以，即. 故选：CD. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 设，若，其中是虚数单位，则_____________ 【答案】7 【解析】 【分析】根据复数相等求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 故答案为： 13. 已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以. 故答案为： 14. 在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件利用三角形面积公式，向量的数量积和三角恒等变换，得，，的外接圆半径，，由向量的模和夹角讨论运算结果的取值范围. 【详解】，又， 由，解得， 由，得，则有，. ， 则有， ，则有，所以有，， 的外接圆为圆O，P为圆O上的点， 由正弦定理得的外接圆半径，则有， ， ，， 为中点，，， 当与方向相同时，有最大值， 当与方向相反时，有最小值， 所以的最大值为，最小值为， 即的取值范围是. 故答案： 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用，本题利用向量数量积的定义结合了图形几何性质求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量， （1）若与垂直，求k； （2）若向量，若与共线，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助数量积的坐标运算即可得； （2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为与垂直，所以， 整理得，解得； 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 因为与共线，故， 所以，解得， 所以，， 所以. 16. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值； （Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，）， ∵，， ∴sinα，cos（α﹣β）， ∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα ， （Ⅱ）由（Ⅰ）得， cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β） ， 又∵，∴β． 【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键. 17. 在中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理与两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理与面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由，以及正弦定理可得：， 即， 即， 又在中，，所以， 又，所以， 【小问2详解】 由余弦定理， 得，因为，所以， 所以的面积． 18. 已知为实数，. （1）若，求关于的方程在上的解； （2）若，求函数，单调减区间； （3）已知为实数且，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）或或 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得在时恒成立，求出在上的值域，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 因为 ， 当时，由，则， 所以，解得， 所以方程在上的解为或或. 【小问2详解】 当时， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. 【小问3详解】 当时， 关于的不等式在时恒成立， 关于的不等式在时恒成立， 由，则，所以， 则，所以，解得， 即的取值范围为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角所对的边分别为，且. （1）求角A的值； （2）若点为的费马点，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）知，故由点为的费马点得， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$