复习05空间几何体的表面积与体积（七大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

复习05空间几何体的表面积与体积 一、空间几何体的分类 名称 定义 图示 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 二、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使(或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 三、侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 四、体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 考点01 斜二测画法 【例1】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（    ） A． B．1 C．8 D． 【例2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，若将四边形水平放置，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1-1】（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【变式1-2】已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知是的直观图，其中，轴，那么一定不是（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 考点02 表面积问题 【例3】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为 ． 【例4】已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（    ） A．72 B．82 C．92 D．112 【变式2-1】正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-2】已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 考点03 体积问题 【例5】国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 【变式3-1】已知三棱锥的所有棱长均为6，点分别在棱上，，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）已知是以B为直角的三角形，，，将绕边旋转一周，所得几何体的体积可能为（    ） A． B． C． D． 考点04 最短路径问题 【例7】如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【例8】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【变式4-1】如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【变式4-2】如图，棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则的最小值为 . 【变式4-3】如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.    考点05 外接球问题 【例9】已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 . 【变式5-2】中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是 . 【变式5-3】如图所示，三棱锥中，平面平面ABC，，，，，则三棱锥外接球的体积为 . 考点06 内切球问题 【例11】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例12】若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程．某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为，高为．该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？ 【变式6-2】已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为 ． 【变式6-3】设球O内切于正三棱柱，则球O的体积与正三棱柱的体积的比值为 ． 考点07 截面问题 【例13】（多选）已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【例14】已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱SC上且，过点且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数为 ，的面积为 ． 【变式7-1】已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 【变式7-3】如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 一、单选题 1．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 3．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 5．若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条直径，为底面圆的圆心，设，则（    ） A．过的圆锥的截面中，的面积最大 B．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 C．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 9．如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．线段的长为 C．点的轨迹长为 D．的最大值为 三、填空题 10．直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是 . 11．“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为 . 12．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 四、解答题 13．如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 14．如图，在四棱锥中，，，，，平面. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求四棱锥的表面积. 15．如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.    (1)求三棱台的体积； (2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习05空间几何体的表面积与体积 一、空间几何体的分类 名称 定义 图示 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体 二、斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使(或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 三、侧面积和表面积 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 四、体积 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 考点01 斜二测画法 【例1】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（    ） A． B．1 C．8 D． 【答案】B 【详解】 由直观图还原平面图形可知，在中，，， , 所以 故选：B． 【例2】如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，若将四边形水平放置，用斜二测画法画出它的直观图，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】依题意可知四边形为平行四边形，则直观图也为平行四边形， 其直观图如下所示： 又，，则，，， 所以， 所以. 故选：A 【变式1-1】（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】CD 【详解】对于A，还原平面图如下图，则，，，故A错误； 对于B，如图过作交于点， 由等腰梯形且，又，， 可得是等腰直角三角形，即，故B错误； 对于C，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D，四边形的面积为：，即D正确． 故选：CD． 【变式1-2】已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 【变式1-3】已知是的直观图，其中，轴，那么一定不是（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】依题意，还原，如图，    因为，轴， 所以，轴，则， 所以是等腰直角三角形，即A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 考点02 表面积问题 【例3】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】 【详解】根据题意得，球半径，圆柱底面圆半径， 该圆柱的表面积. 故答案为：． 【例4】已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（    ） A．72 B．82 C．92 D．112 【答案】C 【详解】因为正棱台的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为， 棱台的侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高， 所以一个侧面积， 棱台的上、下底面面积， 所以该棱台的表面积为. 故选:C． 【变式2-1】正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为， 则底面面积为， 侧面积为， 且表面积是底面积的5倍， 则侧面积是底面积的4倍，即， 化简可得，即. 所以. 故选：A 【变式2-2】已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 设圆锥底面为，母线长为，母线，夹角为，则，所以. 因为的面积为，所以. 又. 所以圆锥的表面积为：. 故选：B 【变式2-3】已知三棱锥P-ABC，满足，，则三棱锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，， 由勾股定理可得，，，，则有， 所以， 三棱锥的表面积为. 故选：C 考点03 体积问题 【例5】国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为，，侧棱长为的正四棱台，则该台基的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意作出正四棱台图象，如下图所示：   为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高，正四棱台上、下底面积为和， 所以体积 . 故选：A. 【例6】如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 【答案】D 【详解】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V， 则， 因为E，F分别为AB，AC的中点，故, 结合题意可知几何体为棱台， 则， 故,故， 故选：D 【变式3-1】已知三棱锥的所有棱长均为6，点分别在棱上，，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为，， 所以，，所以， 取的中点，延长BO交CD于M，底面如下图所示： 因为在等边中，，， 所以，所以， 所以为等边的重心，也是中心，则平面， 所以， 故. 故选：C. 【变式3-2】已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线为，高为. 由题意得，解得，， 该圆锥的体积是. 故选：A. 【变式3-3】（多选）已知是以B为直角的三角形，，，将绕边旋转一周，所得几何体的体积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】在直角中，，，则斜边，斜边上的高， 以直线为轴所得圆锥体积； 以直线为轴所得圆锥体积； 以直线为轴所得圆锥体积， 所以几何体的体积可能为. 故选：BC 考点04 最短路径问题 【例7】如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 【例8】如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【答案】/ 【详解】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得， 所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 【变式4-1】如图，在长方体中，是线段上异于的一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将侧面沿着旋转至与平面在同一平面上，连接，如图所示： 由长方体结构特征，易得，由， ， 所以， 由， 故答案为：. 【变式4-2】如图，棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图所示： 将三角形沿翻折得到该图形（与平面共面且与在的异侧）， 连接与相交于点，此时取得最小值，延长，过作于点， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 在中，， 故的最小值为. 故答案为： 【变式4-3】如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.    【答案】50 【详解】    如图，将圆锥沿剪开， 则圆锥的母线即扇形的半径， 圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为， 所以圆心角，即. 又，， 所以，. 所以，这段铁路的长度为公里. 故答案为：50. 考点05 外接球问题 【例9】已知三棱锥的所有棱长均为，球为三棱锥的外接球，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为三棱锥的所有棱长均为，故可把已知三棱锥放置在正方体上，如图所示， 设正方体的棱长为，则，解得， 三棱锥的外接球就是正方体的外接球，故球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 【例10】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的外心为，的外心为，连接，如图所示， 由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点． 在中，由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得外接圆的直径，则， 而球心O到截面ABC的距离， 设直三棱柱的外接球半径为， 由球的截面性质可得，故， 所以该三棱柱的外接球的体积为， 故选：B． 【变式5-1】已知是球表面上的点，平面若球的体积为，则 . 【答案】1 【详解】 因为平面，所以可以将四面体补形为长方体， 因为球的体积为，设球的半径为，所以，所以， ，解得. 故答案为：1. 【变式5-2】中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是 . 【答案】/ 【详解】显然阳马的外接球与直三棱柱的外接球为同一个球， 则外接球球心到平面ABC的距离为， 由，，，得三角形ABC的外接圆半径， 因此外接球半径，而外接球体积，表面积， 所以阳马的外接球的体积与表面积之比. 故答案为： 【变式5-3】如图所示，三棱锥中，平面平面ABC，，，，，则三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【详解】因为PA⊥PC，AC⊥BC，，，所以，， 取AB的中点为O，连接OC，取AC的中点为E，连接PE，OE， 则，， 又平面平面，所以PE⊥平面ABC； 因为平面ABC，所以PE⊥OE，又，所以， 所以是外接球的球心，所以就是外接球的半径， 则三棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 考点06 内切球问题 【例11】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为，，且，则圆台的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图：为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线， 因此，从而，故. 设圆台的体积为，球的体积为，则. 故选：B. 【例12】若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半 径，则内切球的半径，正三棱柱的高． 设正三角形的外接圆半径为R，易得， 所以外接球的半径． 所以它的外接球与内切球体积之比为． 故选：C 【变式6-1】“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程．某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为，高为．该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？ 【答案】表面积为；体积为． 【详解】根据题意，图中，，且 ， 从而有，． 设内切球的半径为R，根据等面积法得， 所以内切球的半径， 故该球的表面积， 体积． 【变式6-2】已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为 ． 【答案】 【详解】作轴截面图如图，设截面的圆心为， 由已知，，，则，， 在中，． 设内切球半径为，由等面积法，, 所以， 得， 所以内切球体积． 故答案为：. 【变式6-3】设球O内切于正三棱柱，则球O的体积与正三棱柱的体积的比值为 ． 【答案】 【解析】设球O半径为R，正三棱柱的底面边长为a，求出，然后正三棱柱的高为2R，然后可算出答案. 【详解】设球O半径为R，正三棱柱的底面边长为a，则R＝＝a，即a＝2R， 又正三棱柱的高为2R， 所以球O的体积与正三棱柱的体积的比值为＝＝ 故答案为： 考点07 截面问题 【例13】（多选）已知一个直三棱柱的顶点都在一个球的球面上，该棱柱的底面为等腰直角三角形，且侧棱长与底面三角形的斜边长相等，现过球心作一截面，则截面的可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【详解】在直三棱柱中，，， 显然四边形是正方形，的截面小圆圆心分别为， 线段中点即为直三棱柱的外接球的球心， 平面过球心，截球及内接直三棱柱得球的截面大圆及内接正方形，B是； 矩形所在平面过球心，截球及内接直三棱柱所得截面如选项D所示，D是； 过三条侧棱中点的平面过球心，截球及内接直三棱柱所得截面如选项C所示，C是； 过球心的截面截直三棱柱所得三角形不可能为球的截面大圆的内接等腰直角三角形，A不是. 故选：BCD    【例14】已知正四棱锥的所有棱长都为2，点在侧棱SC上且，过点且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数为 ，的面积为 ． 【答案】 5 【详解】取中点且，平面，可知平面， 根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图为五边形. 因为，所以，则， 可得， 则，可得， 所以， 又因为与的夹角为与夹角，而与垂直， 易知且，，即为矩形，则， 可得， 故答案为：5； . 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据平面的性质作出图形，分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解. 【变式7-1】已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，与交点即为， 因为，所以‖， 因为‖，所以‖， 所以共面， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 因为正方体的棱长为6，且， 所以， 在中，，则， 在中，，则 ， 在，，则 ， 过作于，则， 所以, 所以等腰梯形的面积为 , 故选：A    【变式7-2】在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 . 【答案】 五/5 / 【详解】过作的平行线交于，交于，连接，交于，连接，则直线与直线共面，且点， 则点也在直线与直线确定的面上， 所以可得五边形为平面截该长方体所得的截面， 如图：为中点，为中点，明显有， 所以，所以为靠近的四等分点， 又，且为中点，所以 又，所以，即为靠近的三等分点， 所以， ，， ，， ， 所以，， ， 所以截面面积为. 故答案为：五；. 【变式7-3】如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. (1)画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积； (2)平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 【答案】(1)截面见解析， (2) 【详解】（1）连接并延长交于，连接交于，则四边形即为平面截正方体所得的截面. 由于平面平面，平面平面， 平面平面，故， 因为是的中点，则、分别为和的中点， 所以在中，且， 因为正方体的棱长为， 所以截面为梯形，且，，利用勾股定理得， 如下图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则易得， 所以，梯形的面积为. （2）多面体为三棱台，，， 该棱台的高为，所以，该棱台的体积为：， 故剩余部分的体积为. 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为. 一、单选题 1．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则， 解得， 故选：D. 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 3．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】如图，在正四棱台中，，，连接，， 则，， 设侧棱长为，则棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为， 解得． 故选：B． 4．如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台上､下底面圆心分别为，则圆台内切球球心一定在中点处，    设球与母线切于点，（为球的半径）， 与全等，，同理 ， 圆台的内切球半径内切球的表面积. 故选：B. 5．若某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，该圆台的体积不小于，则该圆台的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该圆台的高为，则该圆台的体积. 因为该圆台的体积不小于，所以，解得. 故选：B 6．在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得， 在各棱长均为1的正三棱柱中，， 因为，，，，， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 7．以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】①当以直角边所在直线为旋转轴时，得到一个底面圆半径为2，高为2的圆锥，则；      ②当以斜边所在直线为旋转轴时，得到两个同样的圆锥，圆锥底面是以为半径的圆，高为，      则. 故选：. 8．如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条直径，为底面圆的圆心，设，则（    ） A．过的圆锥的截面中，的面积最大 B．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 C．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BD 【详解】对于选项A：设点是底面圆上异于点的任意一点，则，.且. 当时，，此时的面积最大； 当时，若，则，此时的面积不是最大； 故选项A错误. 对于选项B：当时，，即. 圆锥侧面的展开图的圆心角为. 故选项B正确. 对于选项C：如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长. 当时，，即. 圆锥侧面的展开图的圆心角为， 此时的弦长为， 故选项C错误. 对于选项D：当时，，即. 当时，. 因为， 所以三棱锥的外接球的半径为， 则三棱锥的外接球的表面积为. 故选项D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：几何体内接于球的问题，解题时要认真分析图形，明确接点的位置，确定有关元素间的数量关系。如长方体内接于球，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长等于球的直径. 9．如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．线段的长为 C．点的轨迹长为 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，在正方体中，易证平面，平面平面，且两平面间的距离为， 又的面积，所以三棱锥的体积故A正确； 对于B，如图①所示，设的中心为，则， 故B错误； 对于C，如图②所示，由知，， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半故C正确； 对于D，， 为在方向上的投影，由图①可知， 当位于点或的位置时，最小， 此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系， 则，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是 . 【答案】等腰三角形 【详解】在直角坐标系中，如图1所示，以A为坐标原点O，作出直角梯形ABCD， 如图2所示，再作出坐标系，使，以为坐标原点，在轴上作，在轴上作，作，且，连结，则，为等腰三角形. 则ABCD水平放置的直观图中的形状是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形. 11．“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为 . 【答案】 【详解】如下图所示：，，， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为：． 12．在四面体中，，，.则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题意知，将四面体补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示， 设长方体的长、宽、高分别为，，， 则，解得， 所以长方体的体对角线长为， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题 13．如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F， 交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，， 所以五边形即为所求截面. （2）因为，所以，得. 因为，所以，得， 则，，所以， ，， 则截面的周长为. 14．如图，在四棱锥中，，，，，平面. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求四棱锥的表面积. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）因为平面，平面，平面， 所以，， 因为，，所以. 因为，， 所以， 所以，， 由，，可得， 平面. （Ⅱ）由题意可知， ， 由（Ⅰ）可知，平面，平面， 所以，同理可得， 又，， 所以， 所以四棱锥的表面积. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，多面体的表面积，属于中档题. 15．如图，已知四面体的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.    (1)求三棱台的体积； (2)若为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度. 【答案】(1)； (2)最小值为，且取最小值时. 【详解】（1）作点在平面内的射影，连接.    根据题意可知，是等边三角形的中心，则， ，即四面体的高为. 所以， 所以. （2）如图所示，将平面与展开到同一平面，可知.    在中，， 由余弦定理得，即. 因为，所以 所以， 在中，设， 由余弦定理得，即， 解得或，结合图可知. 综上，的最小值为，且取最小值时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$