精品解析：河南省商丘市永城市第五初级中学2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2023—2024学年下学期阶段性评价卷二 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数为（ ） A. 6 B. C. D. 2. 李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 3. 化简 的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 5. 下列二次根式中，不能与 合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点M，N分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 1.2 B. 3 C. 3.5 D. 6 7. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为14，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，那么的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D；再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 80 B. 160 C. 40 D. 10. 如图，在正方形中，，相交于点O，点E，F分别为边上的动点（不与线段的端点重合），且，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 面积的最小值是1 D. 四边形的面积始终是1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若平行四边形中一个内角的度数为，则它的对角的度数是________°． 12. 若则a的值为________． 13. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，则B点的坐标是________． 14. 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 15. 如图，在矩形中，，，若P 是射线上一个动点，连接，点A关于直线的对称点为点M，连接，，当P，M，C三点共线时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：其中． 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级的诚诚和同学们学习了“勾股定理”之后，想学以致用，求得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①牵线放风筝的诚诚的手握线的高度为；②根据手中剩余线的长度推算出风筝线的长为；③测得水平距离为，求风筝的垂直高度 ． 19. 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边上的中线”的另一种尺规作图的方法，下面是具体过程． 已知：（如图）． 求作：边上的中线． 作法： ①以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点 P； ②作射线，与交于点D，线段就是所求作的中线． （1）根据小明设计的尺规作图过程，补全图形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：是边上的中线． 20. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接并延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则的长为________． 21. “洛阳牡丹真国色，花开时节动京城”，4月1日，第41届洛阳牡丹文化节在上阳宫文化园举行了开幕式．开幕式上某个歌唱表演中，歌手A，B，C的站位如图所示： （1）当歌手B，C的坐标分别表示点，时，画出相应的平面直角坐标系并写出歌手A的坐标________； （2）在（1）中的坐标系中，若歌手B保持不动，将歌手A向上平移2个单位长度后再向左平移1个单位长度到的位置，将歌手C 向左平移1个单位长度到的位置，画出，并判断是否为直角三角形？说明理由． 22. 【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 （1）化简 的结果为________； （2）已知 求 的值； （3）计算 ． 23. 如图，在中，，连接，恰有，过点 D 作于点E．动点P从点 D出发沿以1的速度向终点A 运动，同时点Q从点B出发，以3的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t． （1）求和的长度； （2）连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； （3）请直接写出当t为何值时，以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年下学期阶段性评价卷二 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是进行解答即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：C． 2. 李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 3. 化简 的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简，先算出根号里面的数字，再化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选C． 5. 下列二次根式中，不能与 合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、能与合并，不符合题意； B、不能与合并，符合题意； C、能与合并，不符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：B 6. 如图，在中，，点M，N分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 1.2 B. 3 C. 3.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，三角形中位线的性质，根据含角的直角三角形的特征求出的长，在判断出为的中位线，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 点M，N分别是的中点， 为的中位线， ， 故选：B． 7. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的，如果小正方形的面积为6，大正方形的面积为14，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，那么的值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式及其变形，由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出，，进而得出，即可求出答案． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在中，．以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D；再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，30度所对的直角边是斜边的一半，先得出是的垂直平分线，再结合30度所对的直角边是斜边的一半，得出根据勾股定理列式计算，再结合列式代入数值，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点D；再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F， ∴是的垂直平分线 ∴ ∵ ∴ 则 ∴ 故选：D． 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 80 B. 160 C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识，由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，相交于点O，点E，F分别为边上的动点（不与线段的端点重合），且，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 面积的最小值是1 D. 四边形的面积始终是1 【答案】C 【解析】 【分析】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 利用可证明出，即可判断A；得到，即可得到，即可判B；证明是等腰直角三角形，由的最小值是O到的距离，即可求得的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项C；根据和正方形被对角线将面积四等分，即可判断选项D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故B正确，不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， 当时，最小，此时， ∴面积的最小值是，故C错误； ∵， ∴， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若平行四边形中一个内角的度数为，则它的对角的度数是________°． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对角相等即可得出答案． 【详解】解：平行四边形的对角相等， 若平行四边形的一个内角的度数为，则它的对角等于， 故答案为：50． 12. 若则a的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的意义，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：12． 13. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，则B点的坐标是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，过点A作于E，根据等角对等边可得，利用勾股定理求出，即可得出B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作于E， ， ， ， ， 点B的横坐标，纵坐标为， 点的坐标是， 故答案为 ． 14. 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 15. 如图，在矩形中，，，若P 是射线上一个动点，连接，点A关于直线的对称点为点M，连接，，当P，M，C三点共线时，的长为________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线时，根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：当点线段上时，如图， 与关于直线对称， ，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， ； 当点在的延长线时，如图， 与关于直线对称， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为2或8， 故答案为：2或8． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的性质以及二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简、以及二次根式的除法，再进行减法运算，即可作答． （2）先化简乘方、零次幂、根据二次根式的性质进行化简，再进行加减法运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，得出，再把代入进行分母有理化，即可作答． 【详解】解：原式 将代入，得 原式． 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级的诚诚和同学们学习了“勾股定理”之后，想学以致用，求得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①牵线放风筝的诚诚的手握线的高度为；②根据手中剩余线的长度推算出风筝线的长为；③测得水平距离为，求风筝的垂直高度 ． 【答案】风箏的垂直高度为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：根据题意得，，与地面垂直， 四边形为矩形， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ． 答：风箏的垂直高度为． 19. 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边上的中线”的另一种尺规作图的方法，下面是具体过程． 已知：（如图）． 求作：边上的中线． 作法： ①以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点 P； ②作射线，与交于点D，线段就是所求作的中线． （1）根据小明设计的尺规作图过程，补全图形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：是边上的中线． 【答案】（1） 补全图形，如图所示： （2） 证明：如图，连接． ， 四边形是平行四边形． ，即点为中点． 是边上的中线． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，证明出四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据小明设计的尺规作图过程补全图形即可； （2）根据作法可证四边形是平行四边形，进而得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接并延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则的长为________． 【答案】（1） 证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，又由即可证明四边形是平行四边形，证明是的中位线，则，得到，即可证明四边形是菱形； （2）先求出，由是的中位线得到，再由勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴， 故答案为： 21. “洛阳牡丹真国色，花开时节动京城”，4月1日，第41届洛阳牡丹文化节在上阳宫文化园举行了开幕式．开幕式上某个歌唱表演中，歌手A，B，C的站位如图所示： （1）当歌手B，C的坐标分别表示点，时，画出相应的平面直角坐标系并写出歌手A的坐标________； （2）在（1）中的坐标系中，若歌手B保持不动，将歌手A向上平移2个单位长度后再向左平移1个单位长度到的位置，将歌手C 向左平移1个单位长度到的位置，画出，并判断是否为直角三角形？说明理由． 【答案】（1）； 平面直角坐标系如图所示． （2） 如图中所示． 为直角三角形．理由如下： 由图可知，， ． ， ． 为直角三角形． 【解析】 【分析】此题主要考查了平移变换以及勾股定理逆定理，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接建立平面直角坐标系，进而得出各点坐标； （2）利用平移的性质得出对应点位置，再利用勾股定理逆定理得出答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 22. 【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 （1）化简 的结果为________； （2）已知 求 的值； （3）计算 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键． （1）利用分母有理化、平方差公式计算； （2）利用分母有理化化简a，b，利用提公因式法把原式变形，代入算即可； （3）根据（1）的结论计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ； 【小问3详解】 ． 23. 如图，在中，，连接，恰有，过点 D 作于点E．动点P从点 D出发沿以1的速度向终点A 运动，同时点Q从点B出发，以3的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t． （1）求和的长度； （2）连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； （3）请直接写出当t为何值时，以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】（1）， （2） 解：，理由如下； ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）2或4 【解析】 【分析】（1）由题意知，，则，由勾股定理得，，由，可得，则，可得，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）先求，则，当时，，，可得，证明四边形是矩形，进而可得； （3）以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，，可得，由题意知，两点停止运动的时间为，，分当时，；当时，，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，， ∴， 由题意知，两点停止运动的时间为，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，当t的值为2或4时，以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $