精品解析：四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023～2024学年度下期期中学业质量监测试题卷 七年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示28纳米是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点E在线段AC的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知D为边延长线上一点，于F交于E，，则的度数为（） A. B. C. D. 5. 小丽从家里出发去超市购物，购物完后从超市返回家中．小丽离家的距离y（米）和所经过的时间x（分）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 小丽家到超市距离是1000米 B. 小丽在超市购物用时20分钟 C. 当时，小丽离家的距离是600米 D. 小丽购物完从超市回到家用时是7.5分钟 6. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　） A. B. C D. 8. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 4047 D. 1 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知，，则的值为_______． 12. 已知一个角补角比这个角的三倍多20°，则这个角的度数为_________． 13. 如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为3，则的面积为__________． 14. 弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表: 物体的质量(kg) 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5 在弹簧能承受的范围内，如果物体的质量为x kg，那么弹簧的长度y cm可以表示为_____. 15. 如图，在中，，点D为边上一点，，，，若，，则线段的长为_______． 三、解答题（共50分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． 18. 如图，于点F，于点M，，，请问与平行吗？说明理由．请完成下列推理过程． 解：，理由如下： ∵，（已知）， ∴，（__________） ∴，（__________）， ∴．（__________） ∵，（已知）， ∴______，（__________）， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∵，（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行）， ∴．（__________） 19. 我们知道图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中一些重要的数量关系．认真观察下面两个拼图，列出等量关系式表示阴影部分的面积． （1）图1表示的等量关系式可以是__________；图2表示的等量关系式可以是__________； （2）已知，，求的值． 20. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 21. 已知是一个完全平方式，则m的值是__________． 22. 的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为__________． 23. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数是__________． 24. 在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，为__________． 25. 如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为__________． 二、解答题（共30分） 26. 一个装有进水管和出水管容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分钟进水__________升； （2）当时，求y与x的关系式； （3）当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 27. 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： （1）【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； （2）【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； （3）【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 28. 问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度下期期中学业质量监测试题卷 七年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方计算并判断． 【详解】解：A、，不同类项不能合并，A选项错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，不是同类项不能合并，C选项错误，不符合题意； D、，D选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示28纳米是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】28纳米 故选：B． 3. 如图，点E在线段AC的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理．根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【详解】A、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故A正确； B、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故B错误； C、，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出，故C错误； D、，不能判定直线平行，故D错误； 故选：A． 4. 如图，已知D为边延长线上一点，于F交于E，，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和为是解题关键．由垂直可得，从而可求得，由对顶角相等得，即可求的度数． 【详解】 故选：C． 5. 小丽从家里出发去超市购物，购物完后从超市返回家中．小丽离家距离y（米）和所经过的时间x（分）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 小丽家到超市的距离是1000米 B. 小丽在超市购物用时20分钟 C. 当时，小丽离家的距离是600米 D. 小丽购物完从超市回到家用时是7.5分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，利用数形结合的思想方法是解答本题的关键．仔细观察图象的横纵坐标所表示的量的意义，逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A．观察图象发现：从小丽家到超市的路程是1000米，故本选项不合题意； B．小丽在超市购物共用了（分钟），故本选项不合题意； C．当时，小丽离家的路程是600米，故本选项不合题意； D．小丽购物完从超市回到家用时（分钟），故本选项符合题意； 故选：D． 6. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A． =，可以用平方差公式； B．= ，可以用平方差公式； C． =，可以用平方差公式； D．=，不能用平方差公式． 故选D． 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，结合判定全等的方法添加条件即可．解题的关键是掌握：判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：A．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； B．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； C．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； D．添加，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 【详解】设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4．  三角形的周长为1+4+4=9． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围． 9. 下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等是解题的关键．根据三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等判断求解即可． 【详解】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，故①正确，符合题意； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误，不符合题意; ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意； ④“对顶角相等”的证明依据是同角的补角相等，故④错误，不符合题意； 只有一个正确； 故选：A． 10. 小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 4047 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，掌握公式结构准确计算是解题关键．利用完全平方公式将原式分别展开，然后利用平方差公式计算求值． 【详解】解：， ， ∴，， ∴=， 故选：C． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法和幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键，将变形为计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 12. 已知一个角的补角比这个角的三倍多20°，则这个角的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设这个角的度数为x，根据补角的定义可求它的补角，再根据题意可列方程，解出x即可． 【详解】设这个角的度数为x，则它的补角为， 根据题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查补角的定义和列方程，熟知补角的定义“若两个角互补，则它们的和是”是解题关键． 13. 如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为3，则的面积为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为3，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：18． 14. 弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表: 物体的质量(kg) 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5 在弹簧能承受的范围内，如果物体的质量为x kg，那么弹簧的长度y cm可以表示为_____. 【答案】y=10+0.5x 【解析】 【分析】由表可知，当物体的质量每增加kg，弹簧的长度伸长cm，由此可得与的关系式． 【详解】解：分析表格可知，当物体的质量每增加kg，弹簧的长度伸长cm， 与的关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律． 15. 如图，在中，，点D为边上一点，，，，若，，则线段的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知条件可得出从而可证，得出，根据，代入计算即可得出． 【详解】解∵， ∵ ∵，即 在和中， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形全等，熟练掌握证三角形全等是解此题的关键． 三、解答题（共50分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂， 负整数指数幂，整式的乘法的综合，掌握乘方的运算法则，整式的乘法的运算，合并同类项的方法是解题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方计算法则求解即可； （2）根据整式的乘法展开，合并同类项即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是关键； （1）根据完全平方公式、单项式乘多项式法则展开合并后再除，最后代入求值即可； （2）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由知，代入计算可得． 【详解】（1） 当，时，原式； （2） ∵ ∴ 原式 18. 如图，于点F，于点M，，，请问与平行吗？说明理由．请完成下列推理过程． 解：，理由如下： ∵，（已知）， ∴，（__________） ∴，（__________）， ∴．（__________） ∵，（已知）， ∴______，（__________）， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∵，（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行）， ∴．（__________） 【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；平行于同一直线两条直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质．根据平行线的判定与性质证明即可得到答案． 【详解】解：，理由如下： ∵，（已知）， ∴，（垂直定义） ∴，（同位角相等，两直线平行）， ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知）， ∴，（等量代换）， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∵，（已知）， ∴，（内错角相等，两直线平行）， ∴．（平行于同一直线的两条直线平行） 故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；平行于同一直线的两条直线平行． 19. 我们知道图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中一些重要的数量关系．认真观察下面两个拼图，列出等量关系式表示阴影部分的面积． （1）图1表示的等量关系式可以是__________；图2表示的等量关系式可以是__________； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式， （1）观察图1可知：阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去长为a，宽为b的2个长方形的面积，图2阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积，然后列出代数式进行计算； （2）根据已知条件，利用完全平方公式，求出答案即可． 【小问1详解】 图1阴影部分的面积为： 图2阴影部分面积为： ∴ ，； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 20. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系：__________， ； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长BE，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展应用：在和中，，，，连接，，将绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时的度数． 【答案】（1），30 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，再分两种情况说明或即可． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案：，30． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴； 当F点在线段上时， 同法可证得：， ， ， ， ； 综上，或． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 21. 已知是一个完全平方式，则m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个，是和 ． 【详解】解： ∴ 故答案为：． 22. 的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则进行化简，然后令含x的项的系数为零，即可得出答案． 【详解】 ∵展开式中不含x的一次项， ∴，解得 故答案为：． 23. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数是__________． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据两直线平行，同旁内角互补的性质求出，即可求解． 【详解】 ∵，纸条的两边互相平行 ∴ ∴ 故答案为：． 24. 在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为、、的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当为“高倍三角形”时，为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“高倍三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可． 详解】设，则， ∵ ∴ ∵为“高倍三角形” 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：（舍）； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：； 当时， 即，解得：；（舍） 当时， 即 ，解得：；（舍） 故答案为：或或． 25. 如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为__________． 【答案】30 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．根据证明与全等，，然后利用代数求解即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， 在上截取，如图所示： 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 二、解答题（共30分） 26. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，7分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完，在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分钟进水__________升； （2）当时，求y与x的关系式； （3）当容器中水全部排完时，整个注水、排水过程共用了多少分钟？ 【答案】（1）8 （2） （3）整个注水、排水过程共用了分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． （1）观察图象得：3分钟进水管注水24升，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）先求出出水管排水的速度，再求出排完20升水所用的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：进水管注水的速度为升/分钟； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：根据题意得：（升/分钟）， ∴整个注水、排水过程共用了分钟． 27. 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： （1）【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； （2）【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； （3）【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【小问1详解】 证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ 【小问3详解】 ∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 28. 【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$