精品解析：天津市河西区2023-2024学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试卷

河西区2023—2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A，B互后，那么． ·如果事件A，B相互独立，那么． ·柱体的体职公式，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高． ·锥体的体积公式V=13Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高． ．梭台的体积公式，其中，S表示上下底面面积，h表示锥体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合的并集，再求出补集即可得解. 【详解】因为，， 所以， 又，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的并集和补集的运算，属于基础题. 2. 设，则“”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出和的解，根据充分必要条件的定义判定，即可求出结论, 【详解】得，得， 成立，则成立， 而成立，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小. 【详解】由函数是增函数，则，所以， 由函数是增函数，则，所以， 由函数是减函数，则，所以， 由，， 由函数是增函数，则，即， 故选：B. 4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域排除选项A，根据函数图象过原点排除选项B，根据函数单调性排除选项C，根据定义域和单调性判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，即， 所以或或或， 所以函数的定义域为，A不正确； 对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确； 对于C，对于函数，则，当时，， 则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确， 对于D，对于函数，定义域为，且， ，当时，，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确. 故选：D. 5. 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义可证得数列是等比数列，从而可利用等比数列通项求解问题. 【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以， 故选：C. 6. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（ ） A. 爱好跳绳与性别有关 B. 爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 爱好跳绳与性别无关 D. 爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】C 【解析】 【分析】由列联表中正确读取的数值后，根据公式去计算，将所得结果与10.828进行比较即可解决. 【详解】，，， ，，， 根据小概率值的独立性检验，爱好跳绳与性别无关， 故选：C. 7. 已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得的最小正周期为，即可求得，再由条件可得直线是函数的一条对称轴，从而可得，再结合三角函数的平移代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 因为时，的最小值为， 所以的最小正周期为，且，所以，解得， 即， 又，可得直线是函数的一条对称轴， 所以，解得， 又，当时，，即， 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为， 则. 故选：B 8. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. 1∶1 B. 4∶3 C. 6∶5 D. 7∶5 【答案】D 【解析】 【分析】根据割补法结合棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V， 则， 因为E，F分别为AB，AC的中点，故, 结合题意可知几何体为棱台， 则， 故,故， 故选：D 9. 已知，是椭圆和双曲线公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知，（i为虚数单位），则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数相等求解. 【详解】由， 则，所以. 故答案为：2. 11. 在的展开式中的系数是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知展开式的通项公式，进而可得. 【详解】因为的展开式中， 通项公式， 令，解得， 又， ∴的系数为. 故答案为：． 12. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______. 【答案】5% 【解析】 【分析】令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，设，由全概率公式即可求解. 【详解】解：令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设， 由全概率公式得： ， 而，故. 故答案为：5%. 13. 已知，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A，B，当最小时，点P坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时与直线垂直．写出所在直线方程，与直线的方程联立，求得点坐标． 【详解】化圆为， 圆心，半径． ． 要使最小，则需最小，此时与直线垂直． 直线的方程为，即， 联立，解得． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：解决本题，一是要将问题转化为求的最小值，二是确定所在的直线方程. 14. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可知O为的中点，且， 则； 设，作，交的延长线于E， 在中， 故，则， ，又，故， 则， 故， 当时，取到最大值2， 故答案为：2；2 15. 已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求单调区间和极值，作出函数图像，由零点个数，结合二次函数的性质，转化为的取值范围问题，通过构造函数，列不等式求解. 【详解】当且时，，， 当且时，；当时，． 故，上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 时，；时， 由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下： 令得，设， 得关于的方程（*） 恒成立，设（*）式有两个不等实根，， 当，时，即，满足题意， 当或，满足题意， 方法一： 令，则或， 故或， 综上，实数的取值范围是． 方法二： （*）式化为，令， 易知在，上单调递增， 且，，， 其图象大致如图： 当或时，满足或， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.通过构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、解答题：木大题共5小题，共75分．解各应写出文字说明，证嗍过程或演算步骤． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）求的值； （2）设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）2 （2）（i），；（ii）7 【解析】 【分析】（1）由题意利用余弦定理可推出，再利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系，即可求得答案； （2）（i）根据正切函数的性质，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及两角差的正切公式求解，即得答案. 【小问1详解】 由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； 【小问2详解】 （i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若平面与平面所成角为45°，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点为E，连接，说明，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）求出向量，即可根据空间角的向量求法，求得答案； （3）设，根据平面与平面所成角为45°，结合空间角的向量求法，求出，再根据二面角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 取中点为E，连接，由题意可知， 即四边形为平行四边形，故，而， 故； 又平面ABCD，故以A为坐标原点，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， 故，则； 【小问2详解】 由（1）知， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由题可设，则， 设平面的一个法向量为， ， 由，得， 取，则， 平面的法向量可取为， 平面与平面所成角为45°，则， 解得，则，， , 设平面的一个法向量为， 由，得， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为. （1）求C的方程； （2）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点. 【答案】（1） （2）证明见解析，定点分别为， 【解析】 【分析】（1）由离心率，及顶点坐标得椭圆的方程； （2）设，，将直线方程与椭圆方程联立，求得，，由垂直关系利用数量积等于零，求得圆与x轴的交点. 【小问1详解】 由题可得，，得， 所以椭圆的方程：； 【小问2详解】 椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为， 设，， 由题，联立方程组，消去x得， 所以，， ，得，同理，，得， 设轴上一点，则，同理得:， ， 因为， 得：，即或， 所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，. 19. 已知函数，，其中． （1）若，求实数a的值 （2）当时，求函数的单调区间； （3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导可得，由代入计算，即可求解； （2）求导可得，然后分讨论，即可求解； （3）根据题意，由分离参数可得，然后构造函数求导得最值即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则， 由可得，解得. 【小问2详解】 函数的定义域为， 且， 当时，令，可得或， ①当，即时， 对任意的，，的单调递增区间为． ②当，即时， ，得或，，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 ③当，即时 ，得或；，得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 综上所述，时，函数的单调增区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 时，函数的单调增区间为和，单调减区间为. 【小问3详解】 由，可得，即，其中， 令，， 若存在，不等式成立，则，， ，令，得， 当时，，当时，， 所以函数上递增，在上递减， 所以函数在端点或处取得最小值． 因为，，所以， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是． 20. 已知递增数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案； （2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； 【小问2详解】 （i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于第二问的求和，要将裂项为，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河西区2023—2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A，B互后，那么． ·如果事件A，B相互独立，那么． ·柱体的体职公式，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高． ·锥体的体积公式V=13Sh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高． ．梭台的体积公式，其中，S表示上下底面面积，h表示锥体的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（ ） A 爱好跳绳与性别有关 B. 爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C. 爱好跳绳与性别无关 D. 爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 7. 已知函数（其中，），当时，的最小值为，，将的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. 1∶1 B. 4∶3 C. 6∶5 D. 7∶5 9. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知，（i为虚数单位），则_______. 11. 在的展开式中的系数是______. 12. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______. 13. 已知，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A，B，当最小时，点P坐标为___________. 14. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 15. 已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是_________． 三、解答题：木大题共5小题，共75分．解各应写出文字说明，证嗍过程或演算步骤． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）求的值； （2）设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，，点M在PD上． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若平面与平面所成角为45°，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴的左端点为. （1）求C的方程； （2）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点. 19. 已知函数，，其中． （1）若，求实数a的值 （2）当时，求函数单调区间； （3）若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围． 20. 已知递增数列前n项和为，且，． （1）求数列通项公式； （2）设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$