精品解析：湖南省邵阳市2024届高三第三次联考数学试卷

2024年邵阳市高三第三次联考 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（ ） A B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算及除法运算可求得，再由模长公式计算即可. 【详解】，，． 故选：B． 2. 已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先根据并集运算求得，然后利用补集的概念求解阴影部分表示的集合即可. 【详解】因为，，所以， 所以图中阴影部分表示的集合或. 故选：D 3. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 4. 下列函数对于任意，都有成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式等价于图象为上凸的函数，再结合函数性质判断各选项. 【详解】满足，则函数为上凸函数， 对于A，的图象是上凸的，符合题意； 对于B，的图象是下凸的，不符合题意； 对于C，的图象是下凸的，不符合题意； 对于D，的图象是下凸的，不符合题意； 故选：A. 5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出在处的切线方程，与抛物线方程联立，利用求出的值，再验证可得答案. 【详解】，， 所以曲线在点处的切线为：，即． 联立与，得，依题意可知，所以或1． 当时，不是抛物线，舍去． 故选：C 6. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 7. 已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可求得和，从而可求离心率的取值范围. 【详解】由题可得：，则， 由直线与圆有公共点，则点到直线的距离， 所以，由离心率． 故选：B． 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ） A. 不为周期函数 B. 的图象不关于点对称 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 则的图象关于点对称，B选项错误． 由，得． 令，则， 由，得的图象关于直线对称． 又的图象关于点对称，则， 所以，即， 则可得的图象关于点对称， 故为周期函数，且周期为8，， 所以，，D选项错误． 又，则， 所以，由得：，故为周期函数，A选项错误． 由，两边求导得：， 由得：，令得：， 利用的周期为8，则，C选项正确． 故选：C． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则角的集合是 B. 若，则 C. 若，则 D. 若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D. 【详解】因为角的终边过点，为第一象限角， 所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同， 所以角的集合是，故A选项正确； 因为，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为， 所以扇形周长为，故，所以D选项不正确． 故选：ABC 10. 如图所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 不存在点，使平面 D. 经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合三棱锥的体积公式、正方体的性质、线面垂直的性质以及线面平行的性质，一一判断即可 【详解】三棱锥中，底面的面积为定值，由平面平面可知， 平面上任意一点到平面的距离都相等， 则可得三棱锥的体积为定值．故A选项正确； 在正方体中，， 平面，且，所以平面， 若存在点使得平面，则与重合或平行， 显然这样的点不存在，故B选项错误； 在正方体中，，平面，平面， 所以平面，当点与重合时，为， 则存在点使得平面，故C选项错误； 因为正方体中，平面， 由题可得平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，平面，则． 当与重合时，． 在正方形中，则可得为与的交点， 即为上底面的中心，故D选项正确． 故选：AD. 11. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ） A. B. （精确到小数点后两位） C. D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊角的函数可以估算并判断AC选项，利用泰勒展开式可以计算并估计B选项，利用导数可以来证明并判断D选项. 【详解】由，，则有，故A选项错误． 由，则， 又（精确到小数点后两位），故B选项正确． ，，则有，故C选项错误． 当时，令，则，， 所以在上为增函数，则， 所以在上为增函数，则， 故当时，恒成立，即．故D选项正确． 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可. 【详解】由的展开式的通项得：， 令，得，故． 故答案为：. 13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出，最后通过代入最高点坐标去求即可. 【详解】 由题知：，，，即， 又，，故，即． 故答案为：. 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则______；若，，，，则的取值范围是______． 【答案】 ①. #### ②. 【解析】 【分析】第一空是由正弦定理角化边，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的线性运算，再计算数量积，从而求出取值范围. 【详解】由及正弦定理，得，由余弦定理可知， 又，． ，，由余弦定理得，， 与的夹角的余弦值为． 又，， 且， ，， ， 故答案为：， 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可； （2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 16. 如图所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，利用平行四边形的判定及性质可得，则有，然后根据线面垂直的判定定理及性质定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求得线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接，取的中点，连接，则. 又，，四边形平行四边形，， ，即， 又平面，平面，， 又，平面，平面，平面， 又平面，. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系，设.则， 依题意得，，，， 则，， ，. 设平面的法向量为， 则 取，得，．. 设直线与平面所成角为，则有. 直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为． （1）求方程； （2）点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量方法去计算三点共线，并求出动点轨迹方程，并注意自变量的取值范围； （2）利用解析几何思想和根与系数关系去计算点到直线的距离，再利用函数思想求取值范围. 【小问1详解】 设，则． 直线的方程为，，． ，． ，， 化简得，其中． 即的方程为：． 【小问2详解】 抛物线的图象关于轴对称，点在上， 点关于轴对称的点也在抛物线的图象上． 设直线的方程为，， ，则． 联立方程得：，整理得． ，，． 设，则，． 三点共线，， ． 即，又，． ． 点关于轴对称，， 为等边三角形，， 直线的斜率， ． 由，得． ，，又，， 则点到直线的距离． 设，则，且， 故． 在上单调递减，． 即点到直线的距离的取值范围是 18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程. （3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）更适合 （2） （3）能 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型. （2）将两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可. （3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可. 【小问1详解】 依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型. 【小问2详解】 由，得， 依题意得， ， 所以，即. 【小问3详解】 零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.10. 19. 已知数列，，函数，其中，均为实数． （1）若，，，，， （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设数列的前项和为，求证：． （2）若为奇函数，，，且，问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，） 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 （2）存在，5 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用构造好的递推关系去得到等比递推公式，并求出通项公式； （ⅱ）利用裂项相消法去求和，再利用单调性去证明不等式； （2）由于递推关系分段且复杂，只能先从前面几项开始逐项分析，从而把问题求解. 【小问1详解】 （ⅰ），， 由， 得，解得， 又， ， ，是以2为公比，2为首项的等比数列． ． （ⅱ）令，则， ． 显然，当时，是递增数列，在时，单调递减， 可得，． ． 小问2详解】 为奇函数， ． ， 又，， ，． ， 由得，． ， ， ，， 在上为增函数， 当时，，； ， ． 当时，． 时，，又， 当时，，． 又，的最大值为5． 【点睛】方法点睛：第二问由于递推关系分段而且复杂，所以就得从前面几项，逐项分析判断，也能求出问题的答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年邵阳市高三第三次联考 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 或 3. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数对于任意，都有成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 6. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ） A. 不为周期函数 B. 的图象不关于点对称 C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则角的集合是 B. 若，则 C 若，则 D. 若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 10. 如图所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 不存在点，使平面 D. 经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心 11. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ） A. B. （精确到小数点后两位） C. D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答） 13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______． 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则______；若，，，，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 16. 如图所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围． 18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中， （1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程. （3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知数列，，函数，其中，均为实数． （1）若，，，，， （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设数列前项和为，求证：． （2）若为奇函数，，，且，问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$