浙江省义乌市第二中学2023-2024学年高一下学期6月阶段性考试数学试题卷

义乌二中高一下学期6月阶段性考试 数学 试题卷 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产量之比为现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有8件，则样本容量n的值为(    ) A. 48 B. 36 C. 54 D. 42 2.某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为那么以下理解正确的是(    ) A. 某人抽奖100次，一定能中奖10次 B. 某人消费1000元，至少能中奖1次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖10次，可能1次也没中奖 3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态。若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则p的最大值为(    ) A. B. C. D. 4.在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则下列结论一定成立的是(    ) A. 四边形EFGH是矩形 B. 四边形EFGH是正方形 C. D. 平面平面ABCD 5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为坐标原点，若向量，对应的复数分别是，，则对应的复数是(    ) A. B. C. D. 6.十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图。假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.已知复数是虚数单位，则下列命题中正确的为(    ) A. B. z的虚部是4 C. 是纯虚数 D. 复数Z的共轭复数为 8.空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为，，，，，，如图是湘阴县连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是(    ) A. 这14天中有4天空气质量指数为“良” B. 从2日到5日空气质量越来越差 C. 这14天中空气质量指数的中位数是103 D. 连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日 9.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是(    ) A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点C到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 10.已知点与，点P在直线AB上，且，则点P的坐标为__________. 11.一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________. 12.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于__________，该“堑堵”的外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题12分 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组第2组第3组第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示： 求样本中数据落在的频率；求样本数据的第50百分位数； 若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 14.本小题12分 如图，在直角梯形中，，E为的中点，沿将折起，使得点A到点P位置，且，M为的中点，N是上的动点与点B，C不重合 证明：平面平面； 是否存在点N，使得二面角的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由． 15.本小题13分 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． 若，， ①求角B；②求若，，求实数t的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 义乌二中高一下学期6月阶段性考试 数学 参考答案 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产量之比为现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有8件，则样本容量n的值为(    ) A. 48 B. 36 C. 54 D. 42 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了分层抽样及其应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 根据分成抽样的比例关系求得答案. 【解答】 解：因为某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，三种产品产量之比为1：2：3， 已知抽得乙种型号的产品12件， 所以 ， 解得 2.某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为那么以下理解正确的是(    ) A. 某人抽奖100次，一定能中奖10次 B. 某人消费1000元，至少能中奖1次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖10次，可能1次也没中奖 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查概率的意义，属于基础题． 根据概率的定义进行判断． 【解答】 解：中奖概率为表示每一次抽奖中奖的可能性都是， 故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，也可能抽一次就中奖， 结合选项可知D正确． 3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态。若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则p的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查相互独立事件的概率，对立事件，属中档题. 【解答】 解：设系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的事件分别为M和 方法一：小区处于安全防范状态的概率为   ， 解得  ，故 p 的最大值为  .故选 方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为  ，解得  ，故 p 的最大值为  .故选 4.如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则下列结论一定成立的是(    ) A. 四边形EFGH是矩形 B. 四边形EFGH是正方形 C. D. 平面平面ABCD 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查空间几何体中线面关系和截面图形形状的判断，属于基础题. 【解答】 解：在矩形  中，因为点E，H分别为  ，  的中点，所以  ，  .同理可得在矩形  中，  ，  .所以  ，  ，所以四边形 EFGH 是平行四边形．在长方体  中，有  平面  ，又  ，所以  平面  ，又  平面  ，所以  ，所以四边形 EFGH 是矩形，故选项A正确．因为根据题中条件无法判断EH，EF的长度是否相等，所以四边形 EFGH 不一定是正方形，故选项B错误．假设  ，则由  ，知  ，连接  ，又点E，F分别为  ，  的中点，所以  ，所以  ，与 BD 和  为相交直线矛盾，故假设不成立，故选项C错误．因为 EF 和 AB 为相交直线，所以平面 EFGH 与平面 ABCD 不平行，故选项D错误．故选 5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为坐标原点，若向量，对应的复数分别是，，则对应的复数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复数的几何意义，平面向量的减法运算，属于中档题. 【解答】 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以   对应的复数为  ，  对应的复数为 ，  对应的复数为   故选 6.十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图。假设该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查组合体中求二面角的余弦值问题，属于中档题. 【解答】 解：如图，连接AC，BD交于点O，连接EF，易知EG过点O，取AB的中点G，连接EG，FG，根据正八面体的几何特征， 可知，，又 平面ABE， 平面ABF，平面 平面，为二面角的平面角.易知平面ABCD，则，是直角三角形，又 ，， ， .在等边三角形AEB中，  ，同理  . 在中，，故选 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.已知复数是虚数单位，则下列命题中正确的为(    ) A. B. z的虚部是4 C. 是纯虚数 D. 复数Z的共轭复数为 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查复数的基本概念，复数的模，共轭复数等知识，属于基础题. 【解答】 解：  ，故A正确；z的虚部为，故B不正确；  ，为实数，故C不正确；复数z的共轭复数是  ，故D正确.故选 8.空气质量指数分为“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重度污染”“严重污染”六个等级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，这六个等级分别对应的指数范围为，，，，，，如图是湘阴县连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是(    ) A. 这14天中有4天空气质量指数为“良” B. 从2日到5日空气质量越来越差 C. 这14天中空气质量指数的中位数是103 D. 连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查方差、中位数等数据特征，属于基础题. 【解答】 解：根据题图分析数据，对选项逐一判断． 对于A，1日，3日，12日，13日，共4天空气质量指数为“良”，故A正确； 对于B，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故B正确； 对于C，这14天的空气质量指数按顺序排列为：25，37，40，57，79，86，86，121，143，158，160，160，217，220，中位数为  ，故C错误； 对于D，方差小说明了个数据的波动较小，由题图可知D正确． 故选 9.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是(    ) A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点C到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查空间中的角线线角、线面角、面面角和距离问题，属于综合性题目. 【解答】 解：如图，取的中点H，连接CH，易证平面，所以是直线BC与平面所成的角，为  ，故A正确. 点C到平面的距离即为CH的长度，为  ，故B正确. 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角，连接AC，易知为等边三角形，所以 ，所以异面直线和所成的角为  ，故C错误. 连接DH，易知，所以， 又， ，平面  平面， 所以为二面角的平面角，易求得 ，又， ， 所以由余弦定理的推论可得 ，故D错误. 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 10.已知点与，点P在直线AB上，且，则点P的坐标为__________. 【答案】 或   【解析】【分析】 本题考查平面向量共线的坐标表示，属于中档题. 【解答】 解：点 P 在直线 AB 上，且  ，  或  当  时，设 P 的坐标为  ，则  ，  ，  解得  . 当  时，同理可得出 P 的坐标为  综上所述，点 P 的坐标为  或  . 11.一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查百分位数，属于基础题. 【解答】 解：数据组共10个数据且从小到大顺序排列， ， 原数据组的第分位数为  即  12.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”，如图，棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于__________，该“堑堵”的外接球的表面积为__________. 【答案】 ；   【解析】【分析】 本题考查空间几何体的截面面积，几何体的外接球表面积，线面平行的判定，属于综合题. 【解答】 解：如图，分别取  的中点E，F，G，连接FG，EP，EF， PG ， 则  且  . 在直三棱柱  中，易知  且  ， ，P分别为  的中点，  且  四边形  为平行四边形，  且  ，  ，且  ，  四点共面． ，F分别为  的中点，  ，又  平面 EFGP ，  平面 EFGP ，  平面 EFGP .  ，且F，G分别为  的中点，  ，  ， 四边形 PEFG 即为符合要求的等腰梯形． 当 E 不是  的中点时， PE 不平行于平面  ， 则四边形 PEFG 不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 取 PE 的中点 D ，连接DF、DG，  ，  ，且点 D 为 PE 的中点， 且  ， 四边形 DEFG 为平行四边形，可得  ，同理可得  ，  、  、  均为等边三角形．  . 将三棱柱  补成正方体  ， 则其外接球即为正方体的外接球，则外接球的直径， 外接球的半径  ，表面积为  . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题12分 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组第2组第3组第4组第5组，得到的频率分布直方图如图所示： 求样本中数据落在的频率； 求样本数据的第50百分位数； 若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】解：由频率分布直方图可知， 样本中数据落在的频率为； 设第50百分位数为 x ，易得 x 位于50和60之间， 则有：  解得：  . 与两组的频率之比为1：2， 现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则组抽取2人，记为a，b，组抽取4人，记为1，2，3，4， 所有可能的情况为，，，， ，，，，，， ，，，，，共15种， 其中至少有1人的年龄在的情况有，，， ，，，，，，共9种， 故所求概率  【解析】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查了百分位数，考查了分层抽样，考查了古典概型，考查转化能力，属于基础题．利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1计算求解即可； 根据频率分布直方图和第50百分位数定义计算即可； 利用分层抽样的概念和古典概型计算公式计算即可． 14.本小题12分 如图，在直角梯形中，，E为的中点，沿将折起，使得点A到点P位置，且，M为的中点，N是上的动点与点B，C不重合 证明：平面平面； 是否存在点N，使得二面角的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由． 【答案】解：Ⅰ，，，EB，平面. 平面. 又平面， 平面平面， 而平面，，且平面平面， 所以平面PEB，而平面PBE， ， 由，知， 而，且PB，平面PBC， 可知平面， 又平面，平面平面. Ⅱ假设存在点满足题意，过作于Q， 由知， 由Ⅰ得平面，所以平面， 过作于，连接， 由平面，且平面， 故，而，且，QR，平面MQR， 则平面MQR，而平面MQR， 则， 即是二面角的平面角， 不妨设，则， 在中，设， 由得， 即，得， ， 依题意知，即， 解得， 此时为的中点. 综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点. 【解析】本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理，考查几何法求二面角的余弦值，属于拔高题． Ⅰ根据题意，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理，证明结论； Ⅱ根据几何关系找出是二面角的平面角，进而可得结果． 15.本小题13分 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． 若，， ①求角B；②求 若，，求实数t的最小值． 【答案】解：①因为 ， ， 所以 ， 即 因为，所以 因为，故 ②由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知P点一定在 的内部. 由余弦定理可得 ， 解得 ， 所以， 所以 由已知中， ， 即， 故，由正弦定理可得， 故为直角三角形，且， 由于点P为的费马点， 则， 设，，，，，， 则由得 由余弦定理得 ， ， ， 故由得： ， 即，而，， 故， 当且仅当，结合， 解得时，等号成立， 又，即有， 解得或负值舍去， 故实数t的最小值为  【解析】本题考查正余弦定理的应用，基本不等式求最值，属于较难题. ①由三角恒等变换可得，即可求得答案； ②由余弦定理可得，然后再利用三角形的面积公式和向量的数量积再进行后面的求解可得； 可得直角三角形，即，再根据费马点定理知 ，设，，，，，，推出 ，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$