第08讲 两条直线平行与垂直的判定（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 两条直线平行与垂直的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件； 2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直； 3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 知识点 1 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两条直线斜率都不存在 图示 2、对直线平行判定的理解 （1）成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②不重合． （2）或重合． （3）或两条直线的斜率都不存在． （4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． 知识点 2 两条直线垂直 1、直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、对直线垂直判定的理解 （1）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （2）当两条直线的斜率都存在，且时，两条直线垂直； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 考点一：两条直线平行的判定 例1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式1-2】（23-24高二上·山西临汾·月考）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【变式1-3】（23-24高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 考点二：两条直线平行关系的应用 例2. （23-24高二上·贵州黔西·月考）已知直线过，，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（    ） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【变式2-2】（22-23高二上·福建漳州·期中）过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 考点三：两条直线垂直的判定 例3. （23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【变式3-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【变式3-2】（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 考点四：两条直线垂直关系的应用 例4. （23-24高二上·河南郑州·月考）已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【变式4-1】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知点，若直线，则的值为（    ） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 【变式4-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知过、的直线与过、的直线互相垂直，则点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式4-3】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点，，，且点在线段的垂直平分线上，则（     ） A． B．2 C．8 D． 考点五：直线平行、垂直的综合应用 例5. （23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线的斜率是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【变式5-2】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 考点六：几何图形的特征的应用 例6. （23-24高二上·江苏盐城·期中）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 【变式6-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知，，三点，试判断的形状. 【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知直线过，，且，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 二、多选题 7．（23-24高二上·青海西宁·月考）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 8．（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考月考）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 三、填空题 9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若经过点和的直线与斜率为-4的直线互相平行，则m的值是 ． 10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，，，四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 11．（22-23高二上·北京丰台·月考）在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 13．（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 两条直线平行与垂直的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件； 2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直； 3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 知识点 1 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两条直线斜率都不存在 图示 2、对直线平行判定的理解 （1）成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②不重合． （2）或重合． （3）或两条直线的斜率都不存在． （4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． 知识点 2 两条直线垂直 1、直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、对直线垂直判定的理解 （1）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （2）当两条直线的斜率都存在，且时，两条直线垂直； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 考点一：两条直线平行的判定 例1．（23-24高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【答案】B 【解析】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行.故选：B 【变式1-1】（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线、与x轴正半轴方向所成的角的正切值分别为、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】由题意可知：已经存在， 若∥，则，即充分性成立； 若，则可能重合，即必要性均不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件.故选：A． 【变式1-2】（23-24高二上·山西临汾·月考）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以； 对于B，因为，所以直线不平行； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行.故选：A. 【变式1-3】（23-24高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合 【解析】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 考点二：两条直线平行关系的应用 例2. （23-24高二上·贵州黔西·月考）已知直线过，，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意直线的斜率为， 又因为，所以直线的斜率为.故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（    ） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【解析】由题意得， 因为，所以，即， 化简得，所以或， 又由得＝－1或2，故选:C. 【变式2-2】（22-23高二上·福建漳州·期中）过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【解析】过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为，所以， 因此过两点的直线的斜率为， 因为过两点的直线与直线平行，直线的倾斜角为， 所以有，故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：.故选：B 考点三：两条直线垂直的判定 例3. （23-24高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．故选：B． 【变式3-1】（23-24高二上·河北邯郸·月考）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【解析】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为， 所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.故选：BCD 【变式3-2】（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 【答案】(1)不垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析 【解析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为， ，， ，∴与不垂直． （2）由题意知的倾斜角为90°，则轴； 由题知直线的斜率存在，设为， ，则轴，∴． 【变式3-3】（23-24高二上·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则，所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 考点四：两条直线垂直关系的应用 例4. （23-24高二上·河南郑州·月考）已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【答案】B 【解析】因为，，且， 所以，解得，故选：B. 【变式4-1】（23-24高二上·江西宜春·期中）已知点，若直线，则的值为（    ） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 【答案】A 【解析】∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行. ∵，则CD与x轴不垂直，∴，即. 当AB与x轴垂直时，，解得， 此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意； 当AB与x轴不垂直时，，， ∵，∴，即，解得. 综上，m的值为或，故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知过、的直线与过、的直线互相垂直，则点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【解析】由与，则直线的斜率， 由，则直线的斜率存在，即，且， 由与，则，整理化简可得， 显然该方程有无数个解.故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·广东茂名·期中）已知点，，，且点在线段的垂直平分线上，则（     ） A． B．2 C．8 D． 【答案】C 【解析】由点，，可得线段的中点， 所以得：线段的斜率为， 所以得：线段垂直平分线的斜率为，解之得：.故选：C. 考点五：直线平行、垂直的综合应用 例5. （23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】由斜率公式知，，， ，且四点不共线，则，A选项正确； ，，B选项正确； ，，C选项正确； ，，，，D选项正确．故选：ABCD． 【变式5-1】（22-23高二上·河北石家庄·月考）（多选）直线的斜率是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【答案】AD 【解析】直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴， 若，则，得； 若，则，∴，得，故选：AD 【变式5-2】（23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由，得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即，解得或， 所以当或时，. 【变式5-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 因为，所以，得， 经检验，符合题意，所以； （2）因为的倾斜角互余， 设的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 所以，得． 考点六：几何图形的特征的应用 例6. （23-24高二上·江苏盐城·期中）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 【答案】D 【解析】直线的斜率，直线的斜率， 由，所以， 故是以为直角顶点的直角三角形．故选：D 【变式6-1】（23-24高二上·河南南阳·月考）已知，，三点，试判断的形状. 【答案】直角三角形. 【解析】如图所示，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 由，得，即， 所以是直角三角形. 【变式6-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【解析】如下图示： OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【变式6-3】（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【答案】四边形OPQR为矩形，理由见解析. 【解析】由斜率公式得， , 所以，， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又,所以， 故四边形OPQR为矩形. 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知直线过，，且，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，又，则直线的斜率为.故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（    ） A．－8 B．0 C．2 D．10 【答案】A 【解析】由题意可知，，解得．故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，直线l的斜率必存在，且. 因为直线l与斜率为的直线垂直 所以，解得. 故选：A. 4．（22-23高二下·甘肃兰州·开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】直线的斜率． ①当时，直线的斜率． 因为，所以，即，解得． ②当时，、，此时直线为轴， 又、，则直线为轴，显然． 综上可知，或.故选：C. 5．（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】由题意，设点， 为直角，， 由，，解得或， 所以点的坐标为或故选：B 6．（23-24高二上·全国·课后作业）以为顶点的四边形是（    ） A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 【答案】D 【解析】 在坐标系中画出ABCD点，大致如上图， 其中， ， ， 所以四边形ABCD是直角梯形；故选：D. 二、多选题 7．（23-24高二上·青海西宁·月考）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 【答案】AD 【解析】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合， 又，故，A选项正确； 对于B．由题意知， 所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误； 对于C．由题意知，， 所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误； 对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴， 所以，D选项确．故选：AD 8．（23-24高二上·全国·单元测试）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考月考）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC 三、填空题 9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）若经过点和的直线与斜率为-4的直线互相平行，则m的值是 ． 【答案】/ 【解析】由题意， 又因为直线l与斜率为-4的直线互相平行， 所以，解得. 10．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，，，四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或. 【解析】由题，， 所以，，， 设的坐标为（且且），分以下三种情况： ①当为对角线时，有，， 所以，，，解得，即； ②当为对角线时，有，， 所以，，解得，即； ③当为对角线时，有， 所以，解得，即； 所以D的坐标为或或. 11．（22-23高二上·北京丰台·月考）在平面直角坐标系中，直线经过两点，经过两点，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【解析】由已知， 当时，所以，解得， 当时，，解得， 经验证：当时，不重合. 四、解答题 12．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【答案】(1)；(2)或12或 【解析】（1）依题意可得，即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线，所以. （2）若A为直角，则，即，解得. 若为直角，则，即，解得. 若为直角，则，即，解得. 综上，的值为或12或. 13．（22-23高二上·广东广州·期中）已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为， 所以，即. （2）因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$