2.3.1 2.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

直线和圆的方程 第二章 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提 升数学运算的核心素养.2.会根据方程解的个数判定两条直线的 位置关系，培养逻辑推理的核心素养.3.探索并掌握平面上两点 间的距离公式并会应用，提升数学运算的核心素养（重点）.4. 会用坐标法证明简单的平面几何问题，提升直观想象的核心素 养（难点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　两条直线的交点 必备知识 基础落实 1. 两直线的交点 设直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0（ A1， B1不同时为0）与直线 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0（ A2， B2不同时为0）的交点为 P ，则 点 P 既在直线 l1上，也在直线 l2上，所以点 P 的坐标既满足直线 l1的方程 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0，也满足直线 l2的方程 A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，即点 P 的坐标是方程组的解， 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 两直线的位置关系 在同一平面内的两直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，直线 l1与 l2的位置关系如表所示： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方程组 的解 一组 无数组 ⁠ 直线 l1与 l2的公共点的个数 一个 ⁠ ⁠ 零个 直线 l1与 l2的位置关系 ⁠ 重合 ⁠ 无解　 无数个 相交　 平行　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：观察下面的图象，发现直线都经过点（4，1），怎么 表示出经过 M 点的直线方程？ 提示：当斜率存在时，直线方程为 y －1＝ k （ x －4）（ k∈R）；当斜率不存在时，直线方程为 x ＝4. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　两点间的距离公式 点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）之间的距离公式｜ P1 P2｜ ＝ ⁠. 注意：（1）此公式与两点的先后顺序无关. 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）原点 O （0，0）与任一点 P （ x ， y ）的距离｜ OP ｜＝ . 思考：当两点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）都在同一坐标轴 上时，两点间的距离公式还适用吗？ 提示：适用.当两点都在 x 轴上时，｜ AB ｜＝｜ x1－ x2｜；当 两点都在 y 轴上时，｜ AB ｜＝｜ y1－ y2｜. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的 二元一次方程组的解.（　　） （2）无论 m 为何值， x － y ＋1＝0与 x －2 my ＋3＝0必相交. （　　） （3）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交. （　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）点 P1（0， a ）和点 P2（ b ，0）之间的距离为 a － b . （　　） （5）在两点间的距离公式中 x2与 x1， y2与 y1的位置可以互换， 不影响计算结果.（　　） 解析：（1）正确.由直线交点坐标的概念可知. （2）错误.当 m ＝ 时，两直线平行. （3）错误.当方程组有无数多组解时，两直线重合. （4）错误.｜ P1 P2｜＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （5）正确.两点间的距离公式与坐标之差的平方有关，所以位 置可以互换，不影响计算结果. 答案：（1）√　（2）×　（3）×　（4）×　（5）√ 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 （1）求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组. （2）解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消 元法. 关键能力 素养提升 探究一　两直线的交点问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】（1）已知直线 l1：3 x ＋4 y －5＝0与 l2：3 x ＋5 y －6 ＝0相交，则它们的交点坐标为（　　） A. B. C. D. （2）经过直线2 x － y ＋4＝0与 x － y ＋5＝0的交点，且垂直于 直线 x －2 y ＝0的直线方程为（　　） A. 2 x ＋ y －8＝0 B. 2 x － y －8＝0 C. 2 x ＋ y ＋8＝0 D. 2 x － y ＋8＝0 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）解方程组得故两直 线的交点坐标为 .故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）联立直线方程得解得所以交 点坐标为（1，6），直线 x －2 y ＝0的斜率为 ，所以所求直线 的斜率为－2，所以所求直线的方程为 y －6＝－2（ x －1）， 即2 x ＋ y －8＝0.故选A项. 答案：（1）B　（2）A 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】（1）三条直线 ax ＋2 y ＋7＝0，4 x ＋ y ＝14和2 x －3 y ＝14相交于一点，求 a 的值. 解析：（1）解方程组得 所以两条直线的交点坐标为（4，－2）. 由题意知点（4，－2）也在直线 ax ＋2 y ＋7＝0上， 所以 a ×4＋2×（－2）＋7＝0，解得 a ＝－ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）求过两条直线3 x ＋4 y －2＝0与2 x ＋ y ＋2＝0的交点且垂 直于直线6 x －7 y －3＝0的直线方程. 解析：（2）联立解得 即两直线的交点为（－2，2）. 由题可设所求直线的方程为7 x ＋6 y ＋ m ＝0， 因为此直线过点（－2，2）， 所以7×（－2）＋6×2＋ m ＝0，解得 m ＝2， 故所求的直线方程为7 x ＋6 y ＋2＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 关于两点间距离公式的应用问题通常有两类：一类是已知两 点求距离，可直接套用两点间的距离公式；另一类是已知两 点间的距离求点的坐标，可设出未知数，逆用两点间的距离 公式列出方程（组）求解.使用公式时常结合根与系数的关 系变形应用，要善于从公式到几何意义的逆用，借助数形结 合的思想解题. 探究二　两点间的距离 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】求下列两点间的距离. （1） A （2，0）， B （0，8）； （2） A （1，3）， B （－2，1）； （3） A （5，0）， B （－1，0）； （4） A （ a ，3）， B （ a ，－3）. 解析：（1）｜ AB ｜＝ ＝2 . （2）｜ AB ｜＝ ＝ . （3）由于点 A ， B 均在 x 轴上，故有｜ AB ｜＝｜－1－5｜ ＝6. （4）由于直线 AB ⊥ x 轴，故有｜ AB ｜＝｜－3－3｜＝6. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】（1）已知点 A （－3，4）， B （2， ），在 x 轴 上找一点 P ，使｜ PA ｜＝｜ PB ｜，并求｜ PA ｜的值. 解析：（1）设点 P 的坐标为（ x ，0）， 则有｜ PA ｜＝ ＝ ， ｜ PB ｜＝ ＝ . 由｜ PA ｜＝｜ PB ｜，得 x2＋6 x ＋25＝ x2－4 x ＋7， 解得 x ＝－ .故所求点 P 的坐标为 . 所以｜ PA ｜＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）已知点 M （ x ，－4）与点 N （2，3）间的距离为7 ， 求 x 的值. 解析：（2）由｜ MN ｜＝7 ，得｜ MN ｜＝ ＝7 ， 即 x2－4 x －45＝0，解得 x1＝9或 x2＝－5. 故所求 x 的值为9或－5. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 解含参数的直线恒过定点问题的策略 探究三　直线过定点问题 （1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直 线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的 定点，从而问题得解. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0，其中λ是参数，这就说明了它表 示的直线必过定点，并且其定点可以由方程组 解得.若整理成 y － y0＝ k （ x － x0）的形 式，则表示的所有直线必过定点（ x0， y0）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】求证：不论 m 取什么实数，直线（2 m －1） x ＋（ m ＋3） y －（ m －11）＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标. 证明：将已知方程（2 m －1） x ＋（ m ＋3） y －（ m －11）＝ 0整理为（2 x ＋ y －1） m ＋（－ x ＋3 y ＋11）＝0. 由 m 取值的任意性，得 解得所以无论 m 取什么实数，直线都经过定点 （2，－3）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】已知直线（ a －2） y ＝（3 a －1） x －1，求证：无 论 a 为何值，直线总经过第一象限. 证明：将直线方程整理为 a （3 x － y ）＋（－ x ＋2 y －1）＝0. 因为直线3 x － y ＝0与 x －2 y ＋1＝0的交点为 ，所以直 线（ a －2） y ＝（3 a －1） x －1恒过第一象限内的定点 ， 所以无论 a 为何值，直线总经过第一象限. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 运用坐标法解决平面几何问题常见的步骤 （1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； （2）用坐标表示有关的量； （3）进行有关的代数运算； （4）把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 探究四　运用坐标法解决平面几何问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题4】在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线.求证：｜ AB ｜2 ＋｜ AC ｜2＝2（｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2）. 证明：设 BC 边所在直线为 x 轴，以 D 为原点，建立平面直角 坐标系，如图所示，设 A （ b ， c ）， C （ a ，0）， 则 B （－ a ，0）. 因为｜ AB ｜2＝（ a ＋ b ）2＋ c2，｜ AC ｜2＝（ a － b ）2＋ c2，｜ AD ｜2＝ b2＋ c2，｜ DC ｜2＝ a2， 所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝2（ a2＋ b2＋ c2）， ｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2＝ a2＋ b2＋ c2， 所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝2（｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式4】求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明：如图，以 A 为原点， AB 边所在直线为 x 轴建立平面直角 坐标系，其中 D ， E 分别为 AC 和 BC 边的中点. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 设 A （0，0）， B （ c ，0）， C （ m ， n ）， 则｜ AB ｜＝｜ c ｜. 又由中点坐标公式，得 D ， E ， 所以｜ DE ｜＝ ＝ ，所以｜ DE ｜＝ ｜ AB ｜， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 直线 y ＝ x 上的两点 P ， Q 的横坐标分别是1，5，则｜ PQ ｜ ＝（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 答案：B 解析：由题意可以得到 P （1，1）， Q （5，5），所以 ｜ PQ ｜＝ ＝4 .故选B项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. （多选）若两直线 x ＋4 y －5 k ＝0与 x － ky ＋6＝0的交点在 直线 y ＝ x 上，则 k 的值为（　　） A. －3 B. －2 C. 3 D. 2 答案：BC 解析：在 x ＋4 y －5 k ＝0中，令 x ＝ y ，得 x ＝ y ＝ k ，将点 （ k ， k ）代入 x － ky ＋6＝0，解得 k ＝3或 k ＝－2.故选BC项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 已知点 A （－2，－1）， B （ a ，3），且｜ AB ｜＝5，则 a 的值为（　　） A. 1 B. 5 C. －1或5 D. 1或－5 答案：D 解析：由两点间的距离公式得（－2－ a ）2＋（－1－3）2＝52，所以（ a ＋2）2＝32，所以 a ＋2＝±3，即 a ＝1或 a ＝－5. 故选D项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 不论 m 为何实数，直线 l ：（ m －1） x ＋（2 m －3） y ＋ m ＝0恒过定点 　　　　. 解析：直线 l 的方程可化为 m （ x ＋2 y ＋1）－ x －3 y ＝0，令 解得所以直线 l 恒过定点 （－3，1）. 答案：（－3，1） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 37 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$