2.2.3 直线的一般式方程（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

直线和圆的方程 第二章 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线 的一般式方程，培养数学运算的核心素养（重点）.2.会进行直 线方程的五种形式间的转化，提升逻辑推理的核心素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个 点的 ⁠，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足 二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一 条 .在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是 直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任 意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 坐标　 直线　 必备知识 基础落实 要点　直线的一般式方程 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 一般式方程的概念：把关于 x ， y 的二元一次方程 ⁠ （其中 A ， B 不同时为0）叫做直线的 ⁠ ，简称 ⁠. Ax ＋ By ＋ C ＝0　 一般式方 程　 一般式　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：当 A ＝0或 B ＝0时，方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0分别表示什 么样的直线？ 提示：（1）若 A ＝0，此时 B ≠0，方程化为 y ＝－ ，表示与 y 轴垂直的一条直线. （2）若 B ＝0，此时 A ≠0，方程化为 x ＝－ ，表示与 x 轴垂直 的一条直线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）直线的一般式方程都可以化为截距式方程.（　　） （2）当 A ， B 同时为零时，方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0也可表示为 一条直线.（　　） （3）直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线. （　　） （4）对于二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0，当 A ＝0， B ≠0时， 方程表示斜率不存在的直线.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.直线的一般式方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝0，其中 A ， B 不同时为0，当 C ＝0时，一般式不能化为截距式. （2）错误.当 A ， B 都同时为零时，若 C ＝0，则方程对任意的 x ， y 都成立，故方程表示整个坐标平面；若 C ≠0，则方程无 解，此时方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0不表示任何图形. （3）正确.由一般式方程的概念可知. （4）错误.当 A ＝0， B ≠0时，方程表示斜率为0的直线. 答案：（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 直线方程最终都可以转化为一般式，反过来，直线的一般式方 程也可以向其他形式转化，但它的参数要有限制. （1）若 A ≠0， B ＝0，则直线垂直于 x 轴，它不能转化为其余 的四种形式. （2）若 B ≠0， A ＝0，则直线与 y 轴垂直，它只能转化为点斜 式和斜截式. 关键能力 素养提升 探究一　直线的一般式方程 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）若 AB ≠0， C ＝0，则直线的方程可转化为点斜式、斜截 式和两点式，不能用截距式表示. （4）若 ABC ≠0，则直线的方程可转化为任何形式. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式 方程. （1）斜率是 ，且经过点 A （2，3）； （2）斜率为4，在 y 轴上的截距为－1； （3）经过 A （－1，5）， B （2，－1）两点； （4）在 x ， y 轴上的截距分别是3，－1. 解析：（1）由点斜式方程可知，所求直线方程为 y －3＝ （ x －2），化为一般式方程为 x － y ＋3－2 ＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）由斜截式方程可知，所求直线方程为 y ＝4 x －1，化为一 般式方程为4 x － y －1＝0. （3）由两点式方程可知，所求直线方程为 ＝ ，化 为一般式方程为2 x ＋ y －3＝0. （4）由截距式方程可得，所求直线方程为 ＋ ＝1，化为一 般式方程为 x －3 y －3＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】根据下列各条件写出直线的方程，并化为一般式. （1）斜率是－ ，且经过点 A （8，－6）的直线方程 为 　　　　　　； 解析：（1）由点斜式方程可知， 所求直线方程为 y ＋6＝－ （ x －8）， 化为一般式方程为 x ＋2 y ＋4＝0. 答案：（1） x ＋2 y ＋4＝0 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 和－3的直线方程 为 　　　　　　； 解析：（2）由截距式方程可知， 所求直线方程为 ＋ ＝1， 化为一般式方程为2 x － y －3＝0. 答案：（2）2 x － y －3＝0 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）经过点 P1（3，－2）， P2（5，－4）的直线方程 为 　　　　　　. 解析：（3）由两点式方程可知， 所求直线方程为 ＝ ， 化为一般式方程为 x ＋ y －1＝0. 答案：（3） x ＋ y －1＝0 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 （1）利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0（ A1， B1不同时为0）， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0（ A2， B2不同时为0）. ① l1∥ l2⇔ A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1≠0或 A1 C2－ A2 C1≠0. ② l1⊥ l2⇔ A1 A2＋ B1 B2＝0. 探究二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）过一点与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间 的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程. ②可利用如下待定系数法：与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不 同时为0）平行的直线方程可设为 Ax ＋ By ＋ C1＝0（ C1≠ C ），再由直线所过的点确定 C1；与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0 （ A ， B 不同时为0）垂直的直线方程可设为 Bx － Ay ＋ C2＝ 0，再由直线所过的点确定 C2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】判断下列直线的位置关系. （1） l1：2 x －3 y ＋4＝0和 l2：3 x ＋2 y ＋4＝0； （2） l1：2 x －3 y ＋4＝0和 l2：－2 x ＋3 y ＋4＝0； （3） l1：2 x －3 y ＋4＝0和 l2：－4 x ＋6 y －8＝0； （4） l1：（－ a －1） x ＋ y ＝5和 l2：2 x ＋（2 a ＋2）· y ＋ 4＝0. 解析：（1）由题知， ≠ ，故 l1与 l2不平行. 又因为2×3＋（－3）×2＝0，故 l1⊥ l2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）由题知， ＝ ≠ ，故 l1∥ l2. （4）由题知，当 a ＝－1时， l1： y ＝5， l2： x ＋2＝0，故 l1⊥l2. 当 a ≠－1时， ＝ 不成立，故 l1与 l2不平行， 又因为（－ a －1）×2＋（2 a ＋2）×1＝0， 所以 l1⊥ l2. 综上知， l1⊥ l2. （3）由题知， ＝ ＝ ＝－ ， 所以 l1与 l2重合. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】已知直线 l1： ax ＋2 y ＋6＝0和直线 l2： x ＋（ a －1） y ＋ a2－1＝0. （1）若 l1∥ l2，求 a 的值； 解析：（1）若 l1∥ l2，则 即解得 a ＝－1， 故当 a ＝－1时， l1∥ l2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）若 l1⊥ l2，求 a 的值. 解析：（2）因为 l1⊥ l2，所以 a ＋2（ a －1）＝0， 解得 a ＝ ，故当 a ＝ 时， l1⊥ l2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 求含参直线方程中参数的步骤 探究三　直线一般式方程的应用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】设直线 l 的方程为2 x ＋（ k －3） y －2 k ＋6＝0（ k ≠3），分别根据下列条件确定 k 的值. （1）直线 l 的斜率为－1； （2）直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和等于0. 解析：（1）因为 k ≠3，所以直线 l 的方程可化为 y ＝－ x ＋2， 由题意得－ ＝－1，解得 k ＝5. （2）由题意知直线 l 的方程可化为 ＋ ＝1， 则 k －3＋2＝0，解得 k ＝1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】直线 l 的方程为（ a ＋1） x ＋ y ＋2－ a ＝0（ a ∈R）. （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 a 的值； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）当 a ＝－1时，直线 l 的方程为 y ＋3＝0， 显然不符合题意； 当 a ≠－1时，令 x ＝0，则 y ＝ a －2， 令 y ＝0，则 x ＝ ， 因为 l 在两坐标轴上的截距相等， 所以 a －2＝ ，解得 a ＝2或 a ＝0. 综上， a 的值为2或0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围. 解析：（2）直线 l 的方程可化为 y ＝－（ a ＋1） x ＋ a －2，故要使 l 不经过第二象限， 只需解得 a ≤－1. 所以 a 的取值范围为（－∞，－1]. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 直线 l 的方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝0，若 l 过原点和第二、四象 限，则（　　） A. C ＝0， B ＞0 B. C ＝0， B ＞0， A ＞0 C. C ＝0， AB ＜0 D. C ＝0， AB ＞0 答案：D 解析：因为直线 l 过原点，所以 C ＝0，又直线过第二、四象 限，所以斜率为负值，即 k ＝－ ＜0，所以 AB ＞0.故选D项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 直线5 x －2 y －10＝0在 x 轴上的截距为 a ，在 y 轴上的截距为 b ，则（　　） A. a ＝2， b ＝5 B. a ＝2， b ＝－5 C. a ＝－2， b ＝－5 D. a ＝－2， b ＝5 答案：B 解析：令 x ＝0，得 y ＝－5，令 y ＝0，得 x ＝2.所以 a ＝2， b ＝ －5.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 如果两点 A （ x1， y1）和 B （ x2， y2）的坐标分别满足3 x1－ 5 y1＋6＝0和3 x2－5 y2＋6＝0，那么经过这两点的直线方程 是 　　. 解析：因为两点确定一条直线，所以点 A ， B 均满足的直线方 程是3 x －5 y ＋6＝0. 答案：3 x －5 y ＋6＝0 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 设直线 l1：（ a ＋1） x ＋3 y ＋2＝0，直线 l2： x ＋2 y ＋1＝0. 若 l1∥ l2，则 a ＝ 　　　　；若 l1⊥ l2，则 a ＝ 　　　　. 解析：将直线 l1：（ a ＋1） x ＋3 y ＋2＝0，直线 l2： x ＋2 y ＋1 ＝0，分别化为斜截式方程为 y ＝－ x － ， y ＝－ x － .若 l1∥ l2，则－ ＝－ ，解得 a ＝ ；若 l1⊥ l2，则－ × ＝－1，解得 a ＝－7. 答案： 　－7 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$