2.2.2 直线的两点式方程（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

直线和圆的方程 第二章 2.2　直线的方程 2.2.2　直线的两点式方程 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直 线的两点式方程，掌握数学运算的核心素养（重点）.2.了 解直线的截距式方程的形式特征及适用范围，培养数学抽象 的核心素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 名称 两点式 截距式 条件 两点 P1（ x1， y1）， P2 （ x2， y2）（ x1≠ x2， y1≠ y2） 在 x ， y 轴上的截距分别 为 a ， b （ a ≠0， b ≠0） 示意图 必备知识 基础落实 要点　直线的两点式方程和截距式方程 返回目录 数学　选择性必修 第一册 名称 两点式 截距式 方程 ＝ ＋ ＝1 适用范围 ⁠ ⁠ ⁠ 斜率存在且不为0　 斜率存在且不为0，不 过原点　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. （　　） （2）方程 ＝ 和方程（ y － y1）（ x2－ x1）＝ （ x － x1）（ y2－ y1）适用的范围相同.（　　） （3）不经过原点的直线都可以用截距式方程表示.（　　） （4）过点（1，3）和（1，5）的直线可以用两点式方程来表 示.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）正确.能用两点式方程表示的直线必不垂直于坐标 轴，从而斜率一定存在，即可用点斜式方程表示. （2）错误.方程 ＝ 成立的前提是 y1≠ y2且 x1≠ x2. （3）错误.垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程表示. （4）错误.因为1－1＝0不能作分母，故不能用两点式方程来 表示. 答案：（1）√　（2）×　（3）×　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 求过已知两点的直线方程的步骤： （1）设已知的两点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），看是否满 足 x1≠ x2， y1≠ y2，若满足则转入步骤（2），否则不能写出两 点式方程； （2）代入两点式方程公式 ＝ ，即得所求直线的 方程. 关键能力 素养提升 探究一　直线的两点式方程 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】已知三角形的顶点是 A （0，4）， B （－2，6）， C （－8，0），求 AC 边所在直线的方程，以及该边的中线所在 直线的方程. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：由直线的两点式方程得， AC 边所在直线的方程为 ＝ ，整理得 x －2 y ＋8＝0.设 AC 边的中点为 D （ x ， y ）， 则即 D （－4，2）， AC 边上的中线是顶点 B 与 AC 边中点 D 所连线段，由两点式得直线 BD 的方程为 ＝ ，整理可得2 x － y ＋10＝0，即为 AC 边的中线所在 直线的方程. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】过点 A （2，1）和点 B （ a ，2）的直线方程 为 　　　　. 解析：①当 a ＝2时， A ， B 两点的横坐标均为2，直线 AB 垂直 于 x 轴，故所求直线的方程为 x ＝2，即 x －2＝0. ②当 a ≠2时，由直线方程的两点式可得 ＝ ， 整理得 x ＋（2－ a ） y ＋ a －4＝0， （*） 当 a ＝2时，（*）式可化为 x －2＝0. 综合①②可知，所求直线方程为 x ＋（2－ a ） y ＋ a －4＝0. 答案： x ＋（2－ a ） y ＋ a －4＝0 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 求直线的截距式方程的方法和注意点： （1）由已知条件确定横、纵截距； 探究二　直线的截距式方程 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可（此 种情形极易遗漏）；若两截距不为零，则代入公式 ＋ ＝1 中，可得所求的直线方程； （3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距 互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 多少倍等条件时，采用截距式求直线方程一定要注意“零截 距”的情况. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】求过点（4，－3）且在两坐标轴上的截距的绝对值 相等的直线 l 的方程. 解析：设直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a ， b . ①当 a ≠0， b ≠0时，设 l 的方程为 ＋ ＝1. 因为点（4，－3）在直线上，所以 ＋ ＝1. 因为｜ a ｜＝｜ b ｜，所以若 a ＝ b ，则 a ＝ b ＝1， 直线方程为 x ＋ y ＝1；若 a ＝－ b ，则 a ＝7， b ＝－7， 直线方程为 x － y ＝7. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 ②当 a ＝ b ＝0时，直线过原点，且过点（4，－3）， 所以直线方程为3 x ＋4 y ＝0. 综上可知，所求直线 l 的方程为 x ＋ y －1＝0或 x － y －7＝0或3 x ＋4 y ＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】 求过点（2，4）且在坐标轴上的截距之和为0的直 线方程. 解析：①当直线的截距均不为0时，设直线的方程为 ＋ ＝1，将点（2，4）代入得 a ＝－2， 此时直线方程为 x － y ＋2＝0； ②当直线的截距均为0时， 直线过原点，且过点（2，4）， 故直线方程为2 x － y ＝0. 综上知，所求直线方程为2 x － y ＝0或 x － y ＋2＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 直线方程的选择技巧 （1）已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜 式方程，再由其他条件确定直线的斜率. 探究三　直线方程的综合应用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方 程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距. （3）若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点 是与坐标轴的交点，就用截距式方程.若解决直线与坐标轴围 成的三角形的面积问题时，一般选用截距式方程，设直线在x ， y 轴上的截距为 a ， b ，则三角形的面积 S ＝ ｜ a ｜｜ b ｜. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】已知△ ABC 的一个顶点是 A （3，－1），∠ ABC ， ∠ ACB 的平分线方程分别是 x ＝0， y ＝ x . （1）求直线 BC 的方程； （2）求直线 AB 的方程，并求直线 AB 与坐标轴围成的三角形 的面积. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （1）因为∠ ABC ，∠ ACB 的平分线方程分别是 x＝0， y ＝ x ， 所以 AB 与 BC 关于 x ＝0对称， AC 与 BC 关于 y ＝ x 对称. 因为点 A （3，－1）关于 x ＝0的对称点A'（－3，－1） 在直线 BC 上， A 关于 y ＝ x 的对称点 A ″（－1，3） 也在直线 BC 上. 所以由两点式求得直线 BC 的方程为 y ＝2 x ＋5. 解析：△ ABC 的示意图如图所示. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）因为直线 AB 与直线 BC 关于 x ＝0对称，所以直线 AB 与 BC 的斜率互为相反数， 由（1）知直线 BC 的斜率为2，所以直线 AB 的斜率为－2， 又因为点 A 的坐标为（3，－1）， 所以直线 AB 的方程为 y －（－1）＝－2（ x －3）， 即2 x ＋ y －5＝0. 所以直线 AB 在 x 轴上的截距为 ，在 y 轴上的截距为5， 所以直线 AB 与坐标轴围成的 三角形的面积为 S ＝ ×5× ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】已知△ ABC 中， A （1，－4）， B （6，6）， C （－2，0）. （1）求△ ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的方程并化 为截距式方程； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）平行于 BC 边的中位线就是 AB ， AC 中点的连线. 因为线段 AB ， AC 的中点坐标分别为 ，（－ ，－2）， 所以平行于 BC 边的中位线所在直线的方程为 ＝ ，整理 得6 x －8 y －13＝0，化为截距式方程为 ＋ ＝1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）求 BC 边的中线所在直线的方程，并求出此直线与坐标轴 围成的三角形的面积. 解析：（2）因为 BC 边的中点为（2，3）， 所以 BC 边的中线所在直线的方程为 ＝ ， 即7 x － y －11＝0，化为截距式方程为 ＋ ＝1， 所以此直线在 x 轴上的截距为 ， 在 y 轴上的截距为－11， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积 S ＝ × ×｜－11｜＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为（　　） A. 5 x ＋3 y －25＝0 B. 5 x －3 y －25＝0 C. 3 x －5 y －25＝0 D. 5 x －3 y ＋25＝0 答案：B 解析：经过两点（5，0），（2，－5）的直线方程为 ＝ ，整理得5 x －3 y －25＝0.故选B项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为4，－3的直线方程为（　　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1 答案：C 解析：由题意可得直线方程为 ＋ ＝1，即 － ＝1.故选 C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 过点 P （4，－3）且在坐标轴上截距相等的直线有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 答案：B 解析：当直线过原点时，显然符合条件；当直线不过原点时， 设所求直线的方程为 ＋ ＝1，把点 P （4，－3）代入方程得 a ＝1.因而所求直线有2条.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 已知点 A （1，2）， B （3，1），则线段 AB 的垂直平分线 的方程为（　　） A. 4 x ＋2 y ＝5 B. 4 x －2 y ＝5 C. x ＋2 y ＝5 D. x －2 y ＝5 答案：B 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：线段 AB 的中点坐标为 .因为直线 AB 的斜率为 ＝－ ，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率 k ＝2，则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y － ＝2（ x －2），化简得4 x －2 y ＝5.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$