2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

直线和圆的方程 第二章 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线 的点斜式方程与斜截式方程，培养数学运算的核心素养（重 点）.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题， 提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点　直线的点斜式方程和斜截式方程 必备知识 基础落实 方程类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点 P （ x0， y0） 和 ⁠ 斜率 k 和在 y 轴上的 ⁠ （直线 l 与 y 轴交点（0， b ） 的 叫做直线 l 在 y 轴上的截距） 斜率 k 　 截距 b 　 纵坐标 b 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方程类别 点斜式 斜截式 图示 方程 ⁠ ⁠ y － y0＝ k （ x－ x0） y ＝ kx ＋ b 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：直线的斜截式方程与点斜式方程有何联系？ 提示：直线的点斜式方程 y － y0＝ k （ x － x0），可化为 y ＝ kx ＋（ y0－ kx0）（其中（ y0－ kx0）∈R），即为直线的斜截式 方程，即两种形式可以互化，但都不能表示与 x 轴垂直的直线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）方程 k ＝ 与 y － y0＝ k （ x － x0）表示的意义相同. （　　） （2）直线 y －3＝ k （ x ＋1）恒过定点（－1，3）.（　　） （3）经过 P0（ x0， y0）的任意直线方程可表示为 y － y0＝ k （ x － x0）.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）直线 l 在 y 轴上的截距是直线与 y 轴的交点到原点的距离. （　　） （5）所有的直线都有点斜式和斜截式方程.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.方程 k ＝ 表示的图形中没有点（ x0，y0）. （2）正确.由直线方程的点斜式知，方程 y －3＝ k （ x ＋1）表 示过点（－1，3），斜率为 k 的直线. （3）错误.当直线的斜率存在时，可表示为 y － y0＝ k （ x － x0）；当直线的斜率不存在时，不能表示为点斜式方程，其方 程可表示为 x ＝ x0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）错误.直线 l 在 y 轴上的截距是直线 l 与 y 轴交点的纵坐标， 而不是距离. （5）错误.垂直于 x 轴的直线的倾斜角为90°，即斜率不存 在，没有点斜式和斜截式方程. 答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）×　（5）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 误区防错 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 （1）求直线的点斜式方程的步骤：定点（ x0， y0）→定斜率 k →写出方程 y － y0＝ k （ x － x0）. （2）点斜式方程 y － y0＝ k ·（ x － x0）可表示过点 P （ x0， y0）的所有直线，但 x ＝ x0除外. 关键能力 素养提升 探究一　求直线的点斜式方程 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】根据条件写出下列直线的方程. （1）经过点 A （－1，4），斜率 k ＝－3； （2）经过坐标原点，倾斜角为30°； （3）经过点 B （3，－5），倾斜角为90°. 解析：（1）因为直线经过点 A （－1，4），斜率 k ＝－3， 所以点斜式方程为 y －4＝－3[ x －（－1）]. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）因为直线经过原点（0，0）， 斜率 k ＝tan 30°＝ ， 所以点斜式方程为 y －0＝ （ x －0）. （3）因为直线经过点 B （3，－5）且与 x 轴垂直， 所以直线方程为 x ＝3. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】求下列直线的点斜式方程. （1）经过点 P （1，－2），且倾斜角为30°的直线； 解析：（1）由题意知，直线的斜率 k ＝tan 30°＝ ， 所以直线的点斜式方程为 y ＋2＝ （ x －1）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）经过点 A （－1，1），倾斜角是直线 y ＝ x －2的倾斜 角的2倍的直线； 解析：（2）由题意知，所求直线的倾斜角为120°，则直线的 斜率 k ＝tan 120°＝－ .又直线过点 A （－1，1），所以直 线的点斜式方程为 y －1＝－ [ x －（－1）]. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）经过坐标原点，且倾斜角为135°的直线. 解析：（3）由题意知，直线的斜率 k ＝tan 135°＝－1，所以 直线的点斜式方程为 y －0＝－（ x －0）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 误区防错 直线的斜截式方程的两点注意 （1）截距是直线与 y 轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任 意的实数.当 b ＝0时， y ＝ kx 表示过原点的直线；当 k ＝0且 b ≠0时， y ＝ b 表示与 x 轴平行的直线；当 k ＝0且 b ＝0时， y ＝0 表示与 x 轴重合的直线. （2）斜截式方程与一次函数的表达式相同，但有区别.当 k ≠0 时， y ＝ kx ＋ b 即为一次函数；当 k ＝0时， y ＝ b 不是一次函 数.一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）必是一条直线的斜截式方程. 探究二　直线的斜截式方程 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】已知直线 l1的方程为 y ＝－2 x ＋3， l2的方程为 y ＝4 x －2，直线 l 与 l1平行且直线 l 与 l2在 y 轴上的截距相同，求直线 l 的方程. 解析：由斜截式方程知，直线 l1的斜率 k1＝－2，又因为 l ∥ l1，所以 kl ＝－2. 由题意知， l2在 y 轴上的截距为－2，所以直线 l 在 y 轴上的截距 为－2. 由斜截式可得直线 l 的方程为 y ＝－2 x －2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】本例中若将“直线 l 与 l1平行且直线 l 与 l2在 y 轴上的截 距相等”改为“直线 l 与 l1垂直且直线 l 与 l2在 y 轴上的截距互为相 反数”，求 l 的方程. 解析：因为 l1⊥ l ，直线 l1： y ＝－2 x ＋3， 所以 l 的斜率为 . 因为 l 与 l2在 y 轴上的截距互为相反数，直线 l2： y ＝4 x －2，所 以 l 在 y 轴上的截距为2. 所以直线 l 的方程为 y ＝ x ＋2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 （1）若 l1： y ＝ k1 x ＋ b1， l2： y ＝ k2 x ＋ b2，则 l1∥ l2⇔ k1＝ k2 且 b1≠ b2， l1⊥ l2⇔ k1 k2＝－1. （2）证明直线过定点的基本方法：①点斜式的应用，②代数 方法处理恒成立问题的基本思想. 探究三　点斜式、斜截式方程的综合应用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】（1）当 a 为何值时，直线 l1： y ＝－ x ＋2 a 与直线 l2： y ＝（ a2－2） x ＋2平行？ （2）当 a 为何值时，直线 l1： y ＝（2 a －1） x ＋3与直线 l2： y ＝4 x －3垂直？ 解析：（1）由 a2－2＝－1，且2 a ≠2，解得 a ＝－1.故当 a ＝－ 1时， l1∥ l2. （2）由4（2 a －1）＝－1，解得 a ＝ .故当 a ＝ 时， l1⊥ l2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】求满足下列条件的 m 的值. （1）直线 l1： y ＝－ x ＋1与直线 l2： y ＝（ m2－2） x ＋2 m 平行； 解析：（1）因为 l1∥ l2，所以两直线的斜率相等.所以 m2－2＝ －1且2 m ≠1，所以 m ＝±1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）直线 l1： y ＝－2 x ＋3与直线 l2： y ＝（2 m －1） x － 5垂直. 解析：（2）因为 l1⊥ l2，所以（－2）×（2 m －1）＝－1，所 以 m ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是 （　　） A. x ＝3 B. y ＝－5 C. 2 y ＝ x D. x ＝4 y －1 答案：B 解析：直线的斜截式方程为 y ＝ kx ＋ b ，只有B项符合.故选 B项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 方程 y ＝ k （ x －2）表示（　　） A. 通过点（－2，0）的所有直线 B. 通过点（2，0）的所有直线 C. 通过点（2，0）且不垂直于 x 轴的所有直线 D. 通过点（2，0）且除去 x 轴的所有直线 答案：C 解析：由方程可知，直线通过点（2，0），且直线斜率存在， 故直线不垂直于 x 轴.故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 已知直线 l 的方程为 y － m ＝（ m －1）（ x ＋1），若 l 在 y 轴 上的截距为7，则 m ＝ 　　　　. 解析：因为直线 l 的方程可化为 y ＝（ m －1） x ＋2 m －1，所 以2 m －1＝7，解得 m ＝4. 答案：4 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 求证：不论 m 为何值，直线 l ： y ＝（ m －1） x ＋2 m ＋1总 过第二象限. 证明：因为直线 l 的点斜式方程为 y －3＝（ m －1）（ x ＋2），所以直线 l 过定点（－2，3），由于点（－2，3）在第二象限，故直线 l 总过第二象限. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$