2.1.1 倾斜角与斜率（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

直线和圆的方程 第二章 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，培养数学抽象 的核心素养.2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，培养逻辑 推理的核心素养.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式，提升数 学运算的核心素养（重点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　直线的倾斜角 1. 倾斜角的定义 （1）当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准， x 轴 ⁠ 与直线 l 向上的方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角. （2）当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2. 直线的倾斜角α的取值范围为 ⁠. 正向　 0°≤α＜180°　 必备知识 基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一 定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角； 不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相 同的. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　直线的斜率 1. 直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的 ⁠叫做这条 直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k ＝ ⁠. 正切值　 tan α　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 图示 倾斜角 （范围） α＝0° 0°＜α＜ 90° α＝ 90° 90°＜α＜ 180° 斜率 （范围） k ＝0 k ＞0 不存在 k ＜0 2. 斜率与倾斜角的对应关系 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 过两点的直线的斜率公式：过两点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）（ x1≠ x2）的直线的斜率公式为 k ＝ ⁠. 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与联系吗？ 提示：①直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们都反 映了直线相对于 x 轴的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是 角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度 的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便.②倾斜角α可正、可 零，但不可为负，而斜率 k 不仅可正、可零，还可以为负.③当 α＝90°时，直线斜率不存在，当α≠90°时，可以建立倾斜角α 和斜率 k 之间的函数关系，即 k ＝tan α（α≠90°）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率.（　　） （2）若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.（　　） （3）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.（　　） （4）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.（　　） （5）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　　） （6）若一条直线的斜率为tan 200°，则该直线的倾斜角为 20°.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.倾斜角为90°的直线不存在斜率. （2）错误.若直线的倾斜角为α，则0°≤α＜180°. （3）错误.当倾斜角为90°时，直线对应的斜率不存在. （4）错误.当直线与 x 轴垂直时，直线的斜率不存在，无法用 该公式求斜率. （5）错误.倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率 为负. （6）正确.因为tan 200°＝tan（180°＋20°）＝tan 20°， 所以倾斜角为20°. 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）×　（5）×　 （6）√ 返回目录 数学　选择性必修 第一册 误区防错 直线倾斜角的注意点 （1）求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意 画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. （2）注意倾斜角的范围. 关键能力 素养提升 探究一　直线的倾斜角 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】（1）已知直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜 角α满足的条件是（　　） A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180° C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180° 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）（多选）设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线 l1，那么 l1的倾 斜角可能为（　　） A. α＋45° B. α－135° C. 135°－α D. α－45° 解析：（1）因为α是直线的倾斜角，所以0°≤α＜180°，又直 线 l 经过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角α满足的条件是 90°＜α＜180°.故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知，当 0°≤α＜135°时， l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180° 时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB项. 答案：（1）C　（2）AB 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】 （1）已知直线 l 向上的方向与 y 轴正向所成的角为 30°，则直线 l 的倾斜角为 　　. 解析：（1）有两种情况：①如图a，直线 l 向上的方向与 x 轴 正向所成的角为60°，即直线 l 的倾斜角为60°；②如图b，直 线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角为120°，即直线 l 的倾斜 角为120°.故直线 l 的倾斜角为60°或120°. 答案：（1）60°或120° 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）如图，已知直线 l1的倾斜角α1＝15°，直线 l1与 l2的交点 为 A ，直线 l1与 l2向上的方向所成的角为120°，则直线 l2的倾 斜角为 　　. 解析：（2）设直线 l2的倾斜角为α2，因为 l1与 l2向上的方向所成的角为120°，所以∠ BAC ＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 答案：（2）135° 返回目录 数学　选择性必修 第一册 误区防错 求直线的斜率的注意点 （1）运用公式的前提条件是“ x1≠ x2”，当直线与 x 轴垂直时， 斜率是不存在的. （2）斜率公式与两点 P1， P2的先后顺序无关. （3）若直线 l 的斜率为 k ，它的一个方向向量的坐标为 （ x ， y ），则 k ＝ . 探究二　直线的斜率 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在， 求其斜率. （1） A （2，3）， B （4，5）； （2） C （－2，3）， D （2，－1）； （3） A （ a ， b ）， B （ b ， c ），其中 b ≠ c . 解析：（1）存在.直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝1. （2）存在.直线 CD 的斜率 kCD ＝ ＝－1. （3）当 a ＝ b 时， A ， B 两点的横坐标相等，直线 AB ⊥ x 轴， 斜率不存在；当 a ≠ b 时，斜率存在，由斜率公式知 k ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】（1）若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率 为 　　　　　. 解析：（1）由题意和斜率的概念可得，直线的斜率为 tan 135°＝－1. 答案：（1）－1 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）已知过点 P （－2， m ）， Q （ m ，4）的直线的方向向 量为（1，1），则 m 的值为 　　　　. 解析：（2）由斜率公式得 k ＝ ＝1，解得 m ＝1. 答案：（2）1　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）经过两点 A （1， m ）， B （ m －1，3）的直线的倾斜角 是钝角，则实数 m 的取值范围是 　　　　. 解析：（3）直线的倾斜角是钝角，则直线的斜率 kAB ＝ ＜0，解得 m ＜2或 m ＞3，故实数 m 的取值范围是 （－∞，2）∪（3，＋∞）. 答案：（3）（－∞，2）∪（3，＋∞） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 探究三　倾斜角和斜率的应用 （2）已知一条线段 AB 及线段外一点 P ，求过点 P 的直线 l 与 线段 AB 有交点的情况下直线 l 的斜率的取值范围可按如下步 骤：①连接 PA ， PB ；②由 k ＝ （ x1≠ x2）求出 kPA ， kPB ；③结合图形即可写出满足条件的直线 l 的斜率的取值范围. （1）三点共线问题：实际就是任意两点确定的直线斜率相 等，或者都不存在.解决这类问题需要利用条件建立斜率相等 的关系. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】已知 A （－2，－4）， B （2，0）， C （3，1）三 点，判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由. 解析：由题意可得经过 A ， B 两点的直线的斜率 kAB ＝ ＝1，经过 A ， C 两点的直线的斜率 kAC ＝ ＝1，所以 kAB ＝ kAC . 又因为 A 是公共点，所以 A ， B ， C 三点在同一条直 线上. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】已知 A （3，3）， B （－4，2）， C （0，－2）. （1）求直线 AB 和 AC 的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是 钝角； 解析：（1）由题意和斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝ ，直线 AC 的斜率 kAC ＝ ＝ .由 kAB ＞0及 kAC ＞0可知， 直线 AB 与 AC 的倾斜角均为锐角. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）当点 D 在线段 BC （包括端点）上移动时，求直线 AD 的 斜率的变化范围. 解析：（2）如图所示，当 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的斜率 由 kAB 增大到 kAC ，所以直线 AD 的斜率的变化范围是 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 已知直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为 （　　） A. B. C. － D. － 答案：C 解析：由题意可得斜率 k ＝ ＝－ .故选C项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 已知直线经过点 A （－2，0）， B （－5，3），则该直线的 倾斜角为（　　） A. 150° B. 135° C. 75° D. 45° 答案：B 解析：因为直线经过点 A （－2，0）， B （－5，3），所以其 斜率 k ＝ ＝－1.设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则 tan θ＝－1，所以θ＝135°.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 已知过两点 A （4， y ）， B （2，－3）的直线的倾斜角为 135°，则 y ＝（　　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －5 答案：D 解析：由直线 AB 的斜率 k ＝tan 135°＝－1，得 ＝－1，解 得 y ＝－5.故选D项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 若 A （2，3）， B （3，2）， C 三点共线，则实数 m 的值为 　　　　. 解析：设直线 AB ， BC 的斜率分别为 kAB ， kBC ，则由斜率公 式得 kAB ＝ ＝－1， kBC ＝ ＝－ （ m －2）.因为 A ， B ， C 三点共线，所以 kAB ＝ kBC ，即－1＝－ （ m －2），解 得 m ＝ . 答案： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$