1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题　第二课时　用空间向量研究夹角问题 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.能用向量方法解决简单的夹角问题，提升数学运 算的核心素养（重难点）.2.通过用空间向量解决夹角问题，体 会向量方法在研究几何问题中的作用，培养逻辑推理和直观想 象的核心素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 空间角 向量求法 空间角的范围 异面直线 所成的角 若异面直线 l1， l2所成的角为θ，其 方向向量分别是 u ， v ，则 cos θ ＝｜ cos ＜ u ， v ＞｜ ＝ ⁠ ＝ ⁠ 　 　 要点　空间角的向量求法 必备知识 基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第一册 空间角 向量求法 空间角的范围 直线与 平面所 成的角 直线 AB 与平面α相交于点 B ，设直 线 AB 与平面α所成的角为θ，直线 AB 的方向向量为 u ，平面α的法向 量为 n ，则 sin θ＝｜ cos ＜ u ， n ＞｜＝ ⁠ ＝ ⁠ 　 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 空间角 向量求法 空间角的范围 两个平面 的夹角 若平面α，β的法向量分别是 n1， n2，则平面α与平面β的夹角即为向 量 n1和 n2的 或 ⁠. 设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜ ＝ ⁠ ＝ ⁠ 夹角　 其补角　 　 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：为什么求空间角的公式中都带有绝对值？ 提示：因为异面直线所成的角的范围是 ，直线与平 面所成的角的范围是 ，平面与平面的夹角的范围是 ，而两个向量的夹角的范围是[0，π]，因此计算时要 加绝对值. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等.（　　） （2）直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向 量夹角的余角.（　　） （3）平面与平面的夹角的取值范围与二面角的取值范围相同. （　　） （4）两个平面的夹角就是该二面角两个面的法向量的夹角. （　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量 所成的角相等或互补. （2）错误.直线与平面所成的角和直线的方向向量与该平面法 向量的夹角互余或与其补角互余. （3）错误.平面与平面的夹角的取值范围是 ，二面角的 取值范围是[0，π]. （4）错误.两个平面的夹角与该二面角两个面的法向量的夹角 相等或互补. 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 关键能力 素养提升 （1）利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基 底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量 u ， v ； ③代入公式 cos θ＝ 求解. 探究一　异面直线所成的角 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）两异面直线所成角θ的范围是 ，两向量的夹角α的 范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角 时，就是该异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角 为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】如图所示，在三棱锥 V － ABC 中，顶点 C 在空间直 角坐标系的原点处，顶点 A ， B ， V 分别在 x 轴、 y 轴、 z 轴 上， D 是线段 AB 的中点，且 AC ＝ BC ＝2，∠ VDC ＝θ.当θ＝ 时，异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 　　. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 AC ＝ BC ＝2， D 是 AB 的中点，所以 C （0，0， 0）， A （2，0，0）， B （0，2，0）， D （1，1，0）. 在Rt△ VCD 中， CD ＝ ，当θ＝ 时， VC ＝ ， 所以 V （0，0， ），所以 ＝（－2，0，0）， ＝ （1，1，－ ）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ . 所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 . 答案： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】如图，在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E 为线段 A1 C1 的中点，则异面直线 DE 与 B1 C 所成角的大小为（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 答案：B 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：以 DA ， DC ， DD1所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则可得 D （0，0， 0）， E （1，1，2）， B1（2，2，2）， C （0，2，0），所以 ＝（1，1，2）， ＝（－2，0，－2），所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ － ，所以异面直线 DE 和 B1 C 所成角的余弦值为 .所以异面直 线 DE 和 B1 C 所成角的大小为30°.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 用向量法求直线与平面所成角的基本步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量 ； （3）求平面的一个法向量 n ； （4）计算：设线面角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ，由0°≤θ≤90°，求θ. 探究二　求直线与平面所成的角 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】已知正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1，求 A1 B 与平面 A1 B1 CD 所成的角. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则 D （0，0，0）， A1（1，0，1）， C （0，1，0），所以 ＝（1，0，1）， ＝（0，1，0）. 设平面 A1 B1 CD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 所以 返回目录 数学　选择性必修 第一册 令 z ＝－1，得 x ＝1，所以 n ＝（1，0，－1）. 又因为 B （1，1，0），所以 ＝（0，1，－1）， 所以 cos ＜ n ， ＞＝ ＝ ＝ ， 所以＜ n ， ＞＝60°.所以 A1 B 与平面 A1 B1 CD 所成的角为 30°. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】 正三棱柱 ABC － A1 B1 C1的底面边长为 a ，侧棱长为 a ，求 AC1与侧面 ABB1 A1所成的角. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，0）， B （0， a ，0）， A1（0，0， a ）， C1（－ a ， ， a ）， 所以 ＝（－ a ， ， a ）. 因为平面 ABB1 A1的一个法向量 n ＝（1，0，0）， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ＝－ ， 所以＜ ， n ＞＝120°，即 AC1与侧面 ABB1 A1所成的角是 30°. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 两个平面夹角的向量求法 设 n1， n2分别是平面α，β的法向量，则向量 n1与 n2的夹角（或 其补角）就是两个平面的夹角，用坐标法的解题步骤如下： （1）建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系； （2）求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量 n1，n2； （3）计算： cos θ＝ . 探究三　两平面的夹角 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】已知四边形 ABCD 为矩形， PA ⊥平面 ABCD . 设 PA ＝ AB ＝ a ， BC ＝2 a ，求平面 BPC 和平面 PCD 的夹角 的余弦值. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 B （ a ，0， 0）， C （ a ，2 a ，0）， P （0，0， a ）， D （0，2 a ，0）， 所以 ＝（0，2 a ，0）， ＝（－ a ，0， a ）， ＝（－ a ，0，0）， ＝（0，2 a ，－ a ）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 设平面 PBC 、平面 PCD 的法向量分别为 n1＝（ x1， y1， z1）， n2＝（ x2， y2， z2）， 则有 和 即和 令 x1＝1，可得平面 PBC 的一个法向量 n1＝（1，0，1）， 令 y2＝1，可得平面 PCD 的一个法向量 n2＝（0，1，2）， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 cos ＜ n1， n2＞＝ ＝ . 所以平面 BPC 和平面 PCD 的夹角的余弦值为 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】如图所示，已知四边形 ABCD 为直角梯形，∠ DAB ＝∠ ABC ＝90°， SA ⊥平面 ABCD ， SA ＝ AB ＝ BC ＝1， AD ＝ .求平面 SAB 与平面 SCD 的夹角的余弦值. 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：如图所示，以 A 为坐标原点，分别以 AD ， AB ， AS 所 在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 A （0，0，0）， S （0，0，1）， C （1，1，0）， D ， 所以 ＝ ， ＝（1，1，－1）. 设平面 SCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 所以 所以 令 z ＝1，得 n ＝（2，－1，1）. 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 因为 ＝ 是平面 SAB 的一个法向量，所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ . 所以平面 SAB 与平面 SCD 的夹角的余弦值为 . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 若直线 l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于 ，则直线 l 与平面α所成的角为（　　） A. B. C. D. 以上均错误 答案：B 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为直线 l 与平面α所成的角的范围是 ，且直线 l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于 ，所以直线 l 与平面 α所成的角为 － ＝ .故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 已知平面α与平面β的法向量分别为 a ， b ，若 cos ＜ a ， b ＞ ＝ ，则平面α和平面β的夹角的大小为（　　） A. B. C. 或 D. 或 答案：A 解析：因为 cos ＜ a ， b ＞＝ ，且平面α和平面β的夹角的范围 是 ，所以平面α和平面β的夹角的大小为 .故选A项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 若平面α的一个法向量为 n ＝（4，1，1），直线 l 的一个方 向向量为 a ＝（－2，－3，3），则 l 与α所成角的正弦值为 （　　） A. B. － C. D. － 答案：A 解析： cos ＜ n ， a ＞＝ ＝ ＝ ，故所求正弦 值为 .故选A项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 在长方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，已知 DA ＝ DC ＝4， DD1＝ 3，则异面直线 A1 B 与 B1 C 所成角的余弦值为 　　　　. 解析：如图，建立空间直角坐标系.由已知得 A1（4，0，0）， B （4，4，3）， B1（4，4，0）， C （0，4，3），所以 ＝（0，4，3）， ＝（－4，0，3）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ . 故异面直线 A1 B 与 B1 C 所成角的余弦值为 . 答案： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$