1.4.2.1 用空间向量研究距离问题（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题　第一课时　用空间向量研究距离问题 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平 行的直线、相互平行的平面的距离问题，培养逻辑推理和直观 想象的核心素养（重难点）.2.能描述解决这一类问题的程序， 体会向量方法在研究几何问题中的作用，提升数学运算的核心 素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　点到直线的距离 如图，已知直线 l 的单位方向向量为 u ， A 是直线 l 上的定点， P 是直线 l 外一点，设向量 ＝ a ，则向量 在直线 l 上的投 影向量 ＝（ a · u ） u ，则点 P 到直线 l 的距离 PQ ＝ ⁠. 　 必备知识 基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为 n ， A 是平面α内的定点， P 是平 面α外一点.过点 P 作平面α的垂线 l ，交平面α于点 Q ，则 n 是直 线 l 的方向向量，且点 P 到平面α的距离就是 在直线 l 上的投 影向量 的长度.因此 PQ ＝ 　 　＝ 　 　 ＝ ⁠. 　 　 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）直线外一点到直线的距离就是该点到直线上任意一点的 距离.（　　） （2）直线和平面平行时，直线上任意一点到平面的距离就是 直线到平面的距离.（　　） （3）两个平面平行时，一个平面上任意一点到另外一个平面 的距离都相等.（　　） （4）任意一条直线与任意一个平面都有距离.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.直线外一点到直线的距离是过该点作已知直 线的垂线段的长度. （2）正确.直线和平面平行时，直线上所有的点到平面的距离 都是相等的，所以直线上任意一点到平面的距离就是直线到平 面的距离. （3）正确.根据面面平行的概念可知正确. （4）错误.当直线与平面相交时，直线与平面的距离无法求出. 答案：（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向 向量上的投影； 关键能力 素养提升 探究一　点到直线的距离 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）利用勾股定理求点到直线的距离. 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转 化. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】在棱长为2的正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 C1 C ， D1 A1的中点，求点 A 到直线 EF 的距离. 解析：方法一　以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在 直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz ，如图所示. 则 A （2，0，0）， E （0，2，1）， F （1，0，2）， ＝ （1，－2，1）. 设点 M 满足 ＝λ 且 AM ⊥ EF ， 令 M （ x ， y ， z ）， 所以（ x －1， y ， z －2）＝λ（1，－2，1）， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 x ＝λ＋1， y ＝－2λ， z ＝λ＋2， 所以 M （λ＋1，－2λ，λ＋2）， 所以 ＝（λ－1，－2λ，λ＋2）， 因为 AM ⊥ EF ，所以 · ＝λ－1＋4λ＋λ＋2＝0，解得λ＝ － ，所以 ＝ ， 所以｜ ｜＝ ＝ ， 所以点 A 到直线 EF 的距离为 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法二　以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz ，如图所示. 则 A （2，0，0）， E （0，2，1）， F （1，0，2）， 所以 ＝（1，－2，1）， ＝（1，0，－2）. 所以｜ ｜＝ ＝ ， · ＝1×1＋0×（－2）＋（－2）×1 ＝－1， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 在 上的投影长度为 ＝ .所以点 A 到直线 EF 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】已知三棱柱 ABC － A1 B1 C1的所有棱长均为2，求点 B 到直线 A1 C1的距离. 解析：以 B 为坐标原点，分别以 BA ， BB1所在直线为 x 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 B （0，0，0）， A1（2，0，2）， C1（1， ，2），所以 A1 C1的方向向量 ＝（－1， ，0）， ＝（1， ，2），所以可得点 B 到直线 A1 C1的距离 d ＝ ＝ ＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 用向量法求点到平面的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求出该平面的一个法向量； （3）找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量； （4）法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向 量的模，即为点到平面的距离. 探究二　点到平面的距离 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】已知正四棱柱 ABCD － A1 B1 C1 D1中， AB ＝1， AA1 ＝2，点 E 为 CC1的中点，求点 D1到平面 BDE 的距离. 解析：以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 如图所示， 所以 D （0，0，0）， B （1，1，0）， D1（0，0，2）， E （0，1，1）， 故 ＝（1，1，0）， ＝（0，1，1）. 设平面 BDE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 n ⊥ ， n ⊥ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 故有 所以 取 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝1，所以 n ＝（1，－1，1）. 又 ＝（0，0，2）， 所以 · n ＝2，｜ n ｜＝ ， 所以点 D1到平面 BDE 的距离 d ＝ ＝ ＝ ， 即点 D1到平面 BDE 的距离为 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】如图所示的多面体是由底面为长方形 ABCD 的长方 体被平面 AEC1 F 所截得到的，其中 AB ＝4， BC ＝2， CC1＝ 3， BE ＝1. 题图 （1）求 BF 的长； （2）求点 C 到平面 AEC1 F 的距离. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 D （0，0，0）， B （2，4，0）， A （2，0，0）， C （0，4，0）， E （2，4，1）， C1（0，4，3）. 设 F （0，0， z ），由题意得四边形 AEC1 F 为平行四边形， 所以 ＝ ，所以（－2，0， z ）＝（－2，0，2）， 所以 z ＝2，所以 F （0，0，2）， 所以 ＝（－2，－4，2）， 于是 ＝2 ，即 BF 的长为2 . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 AEC1 F 的法向量， 由（1）可知 ＝（0，4，1）， ＝（－2，0，2）， 则 ⇒ 令 x ＝1，则 z ＝1， y ＝－ ， 所以 n ＝ . 又 ＝（0，0，3），所以点 C 到平面 AEC1 F 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 （1）求平行于平面的直线到平面的距离可以转化为求直线 上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求 解即可. （2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距 离，利用求点到平面的距离的方法求解即可. 探究三　线面距和面面距 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】在棱长为 a 的正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 BB1， CC1的中点. （1）求证： DA ∥平面 A1 EFD1； （2）求直线 AD 到平面 A1 EFD1的距离. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）证明：如图，以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在 直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则 D （0，0，0）， A （ a ，0，0）， D1（0，0， a ）， A1（ a ，0， a ），所以 ＝（ a ，0，0）， ＝（ a ，0，0），所以 DA ∥ D1 A1. 又 D1 A1⊂平面 A1 EFD1， DA ⊄平面 A1 EFD1， 所以 DA ∥平面 A1 EFD1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）由（1）得 D1（0，0， a ）， F （0， a ， ）， 所以 ＝ ， ＝ . 设 n ＝（ x ， y ， z ）是平面 A1 EFD1的法向量， 则 所以 返回目录 数学　选择性必修 第一册 取 z ＝1，得 y ＝ ，则 n ＝ ， 所以 在 n 上的投影向量的长度即为 点 D 到平面 A1 EFD1的距离 d ＝ ＝ ＝ a . 又 DA ∥平面 A1 EFD1， 所以直线 AD 到平面 A1 EFD1的距离是 a . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】已知正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1的棱长为1，求平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间的距离. 解析：以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ， 则可得 D （0，0，0）， A1（1，0，1）， B （1，1，0）， D1（0，0，1），所以 ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（－1，0，0）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 设平面 A1 BD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 即令 z ＝1， 得 y ＝1， x ＝－1，所以 n ＝（－1，1，1）. 所以点 D1到平面 A1 BD 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 由题意可得 A1 B ∥ D1 C ， A1 D ∥ B1 C ， 且 A1 B ∩ A1 D ＝ A1， D1 C ∩ B1 C ＝ C ， 所以平面 A1 BD ∥平面 B1 CD1， 所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间的距离等于 D1到 平面 A1 BD 的距离， 所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间的距离为 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 已知 A （0，0，2）， B （1，0，2）， C （0，2，0），则点 A 到直线 BC 的距离为（　　） A. B. 1 C. D. 2 答案：A 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 A （0，0，2）， B （1，0，2）， C （0，2，0）， 所以 ＝（1，0，0）， ＝（－1，2，－2），所以点 A 到 直线 BC 的距离为 d ＝ ＝ ＝ .故选A项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 若三棱锥 P － ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA ＝ PB ＝ PC ＝1，则点 P 到平面 ABC 的距离是（　　） A. B. C. D. 答案：D 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：分别以 PA ， PB ， PC 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系，则 P （0，0，0）， A （1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，1）， 所以 ＝（－1，1，0）， ＝（－1，0，1）， ＝（1，0，0）， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 设平面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 即令 x ＝1，则 y ＝ z ＝1， 所以可取 n ＝（1，1，1）， 则点 P 到平面 ABC 的距离 d ＝ ＝ .故选D项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 如图所示，在长方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ＝2， AA1＝ ， E ， F 分别是平面 A1 B1 C1 D1，平面 BCC1 B1的中 心，则 E ， F 两点间的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 答案：C 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：以点 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴， AA1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则点 E （1，1， ）， F （2，1， ），所以｜ ｜2＝ （2－1）2＋（1－1）2＋（ － ）2＝ ， 所以｜ EF ｜＝ .故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 在棱长为1的正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 BC ， CD 的中点，则直线 BD 到平面 EFD1 B1的距离为 （　　） A. B. C. D. 答案：D 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ， 则 B （1，1，0）， E （ ，1，0）， B1（1，1，1）， D1（0，0，1），所以 ＝（ ，0，0）， ＝（－1，－1，0）， ＝（－ ，0，－1）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 设平面 EFD1 B1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 令 z ＝1，则 n ＝（－2，2，1）， 因为 BD ∥ B1 D1， BD ⊄平面 EFD1 B1， B1 D1⊂平面 EFD1 B1， 所以 BD ∥平面 EFD1 B1，所以直线 BD 到平面 EFD1 B1的距离即为点 B 到平面 EFD1 B1的距离，所以直线 BD 到平面 EFD1 B1的距离为 d ＝｜ ｜＝｜ ｜ ＝ .故选D项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$