1.4.1.2 空间中直线、平面的垂直（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系　 第二课时　空间中直线、平面的垂直 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平 面与平面的垂直关系，培养数学抽象的核心素养.2.能用向量方 法判断或证明直线、平面间的垂直关系，提升逻辑推理和直观 想象的核心素养（重难点）.3.能用向量方法证明必修内容中有 关直线、平面位置关系的判定定理，强化逻辑推理和直观想象 的核心素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 线线垂直的向量表示：设直线 l1， l2的方向向量分别为 u1， u2，则 l1⊥ l2⇔ ⇔ ⁠. 2. 直线和平面垂直的向量表示：设直线 l 的方向向量为 u ，平 面α的法向量为 n ，则 l ⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 ⁠ ⁠. 3. 平面和平面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为 n1， n2，则α⊥β⇔ ⇔ ⁠. u1⊥ u2　 u1· u2＝0　 u ∥ n 　 u ＝λn n1⊥ n2　 n1· n2＝0　 必备知识 基础落实 要点　直线、平面垂直的向量表示 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）方向向量垂直的两直线互相垂直.（　　） （2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线 与平面垂直.（　　） （3）若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是 90°.（　　） （4）若直线 l 是平面α外的一条直线，直线 m 垂直于直线 l 在平 面α内的投影，则 l 与 m 垂直.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）正确.由线线垂直的向量表示可知正确. （2）错误.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该 直线与平面平行或在平面内. （3）正确.若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所 以这两个平面的法向量所成的角一定是90°. （4）错误.若直线 m 在平面α外，例如 m ⊥α，尽管 m 垂直于直 线 l 在平面α内的投影，但也不能得出 l ⊥ m 的结论. 答案：（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 用向量证明空间两条直线相互垂直的主要思路是证明两条直线 的方向向量相互垂直，即证明他们的方向向量的数量积为0， 证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的 坐标，进而求直线的方向向量. 关键能力 素养提升 探究一　证明线线垂直 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】如图，△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直，且 AB ＝ BC ＝ BD ＝2，∠ ABC ＝∠ DBC ＝120°， E ， F 分别为 AC ， DC 的中点.求证： EF ⊥ BC . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：由题意，以点 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过点 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴， BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过点 B 作垂直于 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的 空间直角坐标系. 易得 B （0，0，0）， A （0，－1， ）， D （ ，－1，0）， C （0，2，0）， 从而 E （0， ， ）， F （ ， ，0）， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 ＝（ ，0，－ ）， ＝（0，2，0）， 因此 · ＝0. 从而 ⊥ ，所以 EF ⊥ BC . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】已知正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，点 E ， F 分别是 BB1， D1 B1的中点，用向量法证明： EF ⊥ DA1. 证明：如图，以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为2， 则可得 D （0，0，0）， A1（2，0，2）， E （2，2，1）， F （1，1，2）， 所以 ＝（2，0，2）， ＝（－1，－1，1）， 所以 · ＝2×（－1）＋0×（－1）＋2×1＝0， 所以 ⊥ ，即 EF ⊥ DA1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 用向量证明线面垂直的方法与步骤 （1）①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表 示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④ 分别计算直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的数 量积. （2）①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表 示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向 量平行. 探究二　直线和平面垂直 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】如图所示，在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 B1 B ， DC 的中点，求证： AE ⊥平面 A1 D1 F . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则 A （1，0，0）， E ， A1（1，0，1）， D1（0，0，1）， F ， 所以 ＝ ， ＝（－1，0，0）， ＝ . 设平面 A1 D1 F 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 即解得 令 z ＝1，则 n ＝（0，2，1）. 又 ＝ ，所以 n ＝2 . 所以 n ∥ ，即 AE ⊥平面 A1 D1 F . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是正方 形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD ＝ DC ， E 为 PC 的中点， EF ⊥ BP 于点 F . 求证： PB ⊥平面 EFD . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：由题意得， DA ， DC ， DP 两两垂直，所以以 D 为坐标 原点， DA ， DC ， DP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空 间直角坐标系 Dxyz ，如图， 设 DC ＝ PD ＝1，则 P （0，0，1）， A （1，0，0）， D （0，0，0）， B （1，1，0）， E ， 所以 ＝（1，1，－1）， ＝（0， ， ）， ＝（1， ，－ ）. 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法一　因为 · ＝（1，1，－1）· ＝ 0＋ － ＝0，所以 ⊥ ，即 PB ⊥ DE ， 因为 PB ⊥ EF ，且 EF ∩ DE ＝ E ， EF ， DE ⊂平面 EFD ，所以 PB ⊥平面 EFD . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法二　设 F （ x ， y ， z ），则 ＝（ x ， y ， z －1）， ＝（ x ， y － ， z － ）. 因为 ⊥ ，所以 x ＋ － ＝0， 即 x ＋ y － z ＝0. ① 又因为 ∥ ，所以可设 ＝λ （0≤λ≤1）， 所以 x ＝λ， y ＝λ， z －1＝－λ. ② 由①②可知， x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 ＝（ ，－ ， ）. 设 n2＝（ x2， y2， z2）为平面 EFD 的法向量， 则有 即 所以取 z2＝1，则 n2＝（－1，－1，1）. 所以 ∥ n2，所以 PB ⊥平面 EFD . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 空间向量证明面面垂直常用的两个方法 （1）利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线 面垂直进而转化为线线垂直. （2）直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从 而得到两个平面垂直. 探究三　平面和平面垂直 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】如图，在直三棱柱 ABC － A1 B1 C1中， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝ BB1＝2， E 为 BB1的中点.求证：平面 AEC1⊥平面 AA1 C1 C . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：由题意得 AB ， BC ， B1 B 两两垂直，以 B 为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建 立如图所示的空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， A1（2，0，2）， C （0，2，0）， C1（0，2，2）， E （0，0，1）， 则 ＝（0，0，2）， ＝（－2，2，0）， ＝（－2，2，2）， ＝（－2，0，1）. 设平面 AA1 C1 C 的法向量为 n1＝（ x1， y1， z1）， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 ⇒ 令 x1＝1，得 y1＝1，所以 n1＝（1，1，0）. 设平面 AEC1的法向量为 n2＝（ x2， y2， z2）， 则 ⇒ 令 z2＝2，得 x2＝1， y2＝－1， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 n2＝（1，－1，2）. 因为 n1· n2＝1×1＋1×（－1）＋0×2＝0， 所以 n1⊥ n2，所以平面 AEC1⊥平面 AA1 C1 C . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E 是棱 BC 的中 点，试在棱 CC1上求一点 P ，使得平面 A1 B1 P ⊥平面 C1 DE . 解析：如图所示，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所 在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱 长为1，则 D （0，0，0）， P （0，1， a ）， A1（1，0，1）， B1（1，1，1）， E ， C1（0，1，1）， 则 ＝（0，1，0）， ＝（－1，1， a －1）， ＝ ， ＝（0，1，1）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 设平面 A1 B1 P 的法向量为 n1＝（ x1， y1， z1）， 则 所以 令 z1＝1，得 x1＝ a －1，所以 n1＝（ a －1，0，1）. 设平面 C1 DE 的法向量为 n2＝（ x2， y2， z2）， 则 所以 返回目录 数学　选择性必修 第一册 令 y2＝1，得 x2＝－2， z2＝－1， 所以 n2＝（－2，1，－1）. 因为平面 A1 B1 P ⊥平面 C1 DE ， 所以 n1· n2＝0，即－2（ a －1）－1＝0， 解得 a ＝ . 所以当 P 为 C1 C 的中点时，平面 A1 B1 P ⊥平面 C1 DE . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 若直线 l1， l2的方向向量分别为 a ＝（1，2，－2）， b ＝ （－2，3，2），则（　　） A. l1∥ l2 B. l1⊥ l2 C. l1， l2相交但不垂直 D. 不能确定 答案：B 解析：因为 a · b ＝1×（－2）＋2×3＋（－2）×2＝－2＋6－ 4＝0，所以 a ⊥ b ，所以 l1⊥ l2.故选B项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 已知平面α的法向量为 a ＝（1，2，－2），平面β的法向量 为 b ＝（－2，－4， k ），若α⊥β，则 k ＝（　　） A. 4 B. －4 C. 5 D. －5 答案：D 解析：因为α⊥β，所以 a ⊥ b ，所以 a · b ＝－2－8－2 k ＝0，所 以 k ＝－5.故选D项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 已知直线 l 与平面α垂直，直线 l 的一个方向向量 u ＝（1，－ 3， z ），向量 v ＝（3，－2，1）与平面α平行，则 z ＝ 　　　　. 解析：由题意得 u ⊥ v ，所以 u · v ＝3＋6＋ z ＝0，所以 z ＝－9. 答案：－9 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直 线与平面的位置关系. （1）直线 l1， l2的方向向量分别是 a ＝（1，－3，－1）， b ＝ （8，2，2）； 解析：（1）因为 a · b ＝1×8＋（－3）×2＋（－1）×2＝0， 所以 l1⊥ l2. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）平面α，β的法向量分别是 u ＝（1，3，0）， v ＝（－3，－9，0）； 解析：（2）因为 v ＝（－3，－9，0）＝－3（1，3，0）＝ －3 u ，所以α∥β. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是 a ＝（1，－4，－3）， u ＝（2，0，3）. 解析：（3）因为 a · u ＝－7≠0，所以 l 不与α平行，也不在α内.又 a ， u 不共线，所以 l 与α不垂直.故 l 与α斜交. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$