1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系　 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 （见学生用书P23） [学习目标]1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向 向量与平面的法向量，培养数学抽象的核心素养.2.会求直线的 方向向量与平面的法向量，强化数学运算的核心素养（重 点）.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的平行关系，提升数学抽象的核心素养.4.能用向量方法判断 或证明直线、平面间的平行关系，提升逻辑推理和直观想象的 核心素养（难点）.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、 平面位置关系的判断，提升逻辑推理和直观想象的核心素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　空间中点、直线和平面的向量表示 1. 空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点 O 作 为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量 来表示.我们 把向量 称为点 P 的位置向量. 必备知识 基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 空间中直线的向量表示式：如图， a 是直线 l 的方向向量， 点 A 和点 P 为直线 l 上的点，在直线 l 上取 ＝ a ，取定空间中 的任意一点 O ，可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实 数 t ，使 ＝ ＋ ta 　①，将 ＝ a 代入①式得 ＝ ＋ t 　②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此 可知，空间任意直线由 ⁠唯一 确定. 直线上一点及直线的方向向量　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 空间平面的向量表示式：取定空间任意一点 O ，可以得到， 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x ， y ， 使 ③.我们把③式称为空间平面 ABC 的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由 ⁠ 唯一确定. ＝ ＋ x ＋ y 　 空间一点 及两个不共线向量　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 平面的法向量：如图，若直线 l ⊥α，取直线 l 的方向向量 a ，我们称向量 a 为平面α的 ；给定一个点 A 和一个 向量 a ，那么 ⁠的平面完全确 定，可以表示为集合 ⁠. 法向量　 过点 A 且以向量 a 为法向量　 { P ｜ a · ＝0}　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的？ 提示：直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数 个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都是共 线向量.解题时，可以选取坐标最简的向量作为方向向量或 法向量. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　空间中直线、平面的平行 1. 线线平行的向量表示：设 u1， u2分别是直线 l1， l2的方向向 量，则 l1∥ l2⇔ ⇔ ⁠. 2. 线面平行的向量表示：设 u 是直线 l 的方向向量， n 是平面α 的法向量， l ⊄α，则 l ∥α⇔ ⇔ ⁠. 3. 面面平行的向量表示：设 n1， n2 分别是平面α，β的法向 量，则α∥β⇔ ⇔ ⁠. u1∥ u2　 ∃λ∈R，使得 u1＝λ u2　 u ⊥ n 　 u · n ＝0　 n1∥ n2　 ∃λ∈R，使得 n1＝λ n2　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反. （　　） （2）两直线的方向向量平行，则两直线平行.（　　） （3）若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行.（　　） （4）若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向量.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）正确.相互平行的两条直线的方向向量共线，所以 两向量的方向相同或相反. （2）错误.两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或重合. （3）正确.由法向量的概念可知正确. （4）错误.当 k ＝0时， ka ＝0不是直线 l 的方向向量. 答案：（1）√　（2）×　（3）√　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）. （2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量 ， . （3）列方程组：由 列出方程组. 关键能力 素养提升 探究一　求平面的法向量 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）解方程组： （5）赋非零值：取 x ， y ， z 其中一个为非零值（常取±1）. （6）得结论：得到平面的一个法向量. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】如图所示，在四棱锥 S － ABCD 中，底面是直角梯 形， AD ∥ BC ，∠ ABC ＝90°， SA ⊥底面 ABCD ，且 SA ＝ AB ＝ BC ＝1， AD ＝ ，建立适当的空间直角坐标系，分别求 平面 SDC 与平面 SAB 的一个法向量. 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：以 A 为坐标原点， AD ， AB ， AS 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ， 则 A （0，0，0）， D ， C （1，1，0）， S （0，0，1）， 所以 ＝ ， ＝ . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 显然向量 ＝ 是平面 SAB 的一个法向量. 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 SDC 的法向量， 则 即 取 x ＝2，得 y ＝－1， z ＝1， 故平面 SDC 的一个法向量为（2，－1，1）. 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】已知点 A （1，0，1）， B （0，1，1）， C （1，1， 0），求平面 ABC 的一个法向量. 解析：设平面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），由已知可得 ＝（0，1，1）－（1，0，1）＝（－1，1，0）， ＝ （1，1，0）－（0，1，1）＝（1，0，－1），则 n · ＝ （ x ， y ， z ）·（－1，1，0）＝－ x ＋ y ＝0， n · ＝ （ x ， y ， z ）·（1，0，－1）＝ x － z ＝0.不妨令 x ＝1， 则 y ＝ z ＝1.因此可取 n ＝（1，1，1）为平面 ABC 的一个法向量. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 证明空间两直线平行的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，得到 对应直线的方向向量； （2）证明两向量共线； （3）说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所 在的直线上，即可得证. 探究二　直线和直线平行 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】如图所示，在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， PQ 与 直线 A1 D 和 AC 都垂直.求证： PQ ∥ BD1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：以点 D 为坐标原点，以 ， ， 的方向分别为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，令 AD ＝1，则 D （0，0，0）， A1（1，0，1）， A （1，0，0）， C （0，1，0）， D1（0，0，1）， B （1，1，0）， 所以 ＝（1，0，1）， ＝（－1，1，0）， 设 ＝（ a ， b ， c ），由 PQ ⊥ A1 D ， PQ ⊥ AC ， 得 即令 a ＝1， 则 ＝（1，1，－1）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 因为 ＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1） ＝－ ，所以 ∥ .又 PQ 与 BD1没有公共点， 所以 PQ ∥ BD1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E 为 AA1的中点， F 为 CC1的中点.求证： BF ∥ D1 E . 证明：以 A 为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 B （1，0，0）， D1（0，1，1）， E ， F ， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 ＝ ， ＝ ， 因为 ＝－ ，所以 ∥ ， 所以 BF ∥ D1 E . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 利用向量法证明线面平行的三个思路 （1）设直线 l 的方向向量是 a ，平面α的法向量是 u ，要证明 l ∥α，只需证明 a ⊥ u ，即 a · u ＝0.求解法向量时，赋值与运算 一定要准确. 探究三　利用空间向量证明线面平行 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和 一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向 量是共线向量即可. （3）根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平 行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向 量线性表示即可. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】在四棱锥 P － ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 垂直于底面 ABCD ， PD ＝ DC ， E 是 PC 的中点.求 证： PA ∥平面 EDB . 证明：以 D 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系，设 PD ＝ DC ＝ a . 连接 AC ，交 BD 于点 G ，连接 EG ， 依题意得 D （0，0，0）， A （ a ，0，0）， B （ a ， a ，0）， P （0，0， a ）， E . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法一　设平面 EDB 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 又 ＝ ， ＝ ， 则 即 即令 z ＝1，则 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 n ＝（1，－1，1）， 又 ＝（ a ，0，－ a ）， 所以 n · ＝（1，－1，1）·（ a ，0，－ a ）＝ a － a ＝0， 所以 n ⊥ . 又 PA ⊄平面 EDB ，所以 PA ∥平面 EDB . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法二　因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 G 是此正方形的中心， 故点 G 的坐标为 ， 所以 ＝ . 又 ＝（ a ，0，－ a ），所以 ＝2 ，这表明 PA ∥ EG . 而 EG ⊂平面 EDB ，且 PA ⊄平面 EDB ，所以 PA ∥平面 EDB . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法三　假设存在实数λ，μ，使得 ＝λ ＋μ ， 即（ a ，0，－ a ）＝λ ＋μ ， 则解得 所以 ＝－ ＋ ， 又 PA ⊄平面 EDB ，所以 PA ∥平面 EDB . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】如图，在四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， PB 与底面所成的角为45°，底面 ABCD 为直角梯形，∠ ABC ＝∠ BAD ＝90°， PA ＝ BC ＝ AD ＝1，问在棱 PD 上是否存 在一点 E ，使 CE ∥平面 PAB ？若存在，求出点 E 的位置；若 不存在，请说明理由. 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：假设存在点 E ，使 CE ∥平面 PAB ，以 A 为原点，分别 以 AB ， AD ， AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐 标系 Axyz ，如图所示，则 P （0，0，1）， C （1，1，0）， D （0，2，0）. 设 E （0， y ， z ）， 则 ＝（0， y ， z －1）， ＝（0，2，－1）， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 因为 ∥ ，所以（－1）× y －2（ z －1）＝0， ① 因为 ＝（0，2，0）是平面 PAB 的一个法向量， 且 ＝（－1， y －1， z ）， CE ∥平面 PAB ， 所以 ⊥ ， 所以（－1， y －1， z ）·（0，2，0）＝0， 所以 y ＝1，代入①得 z ＝ ， 所以 E 是 PD 的中点， 所以存在点 E ，当点 E 为 PD 的中点时， CE ∥平面 PAB . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 证明面面平行的常用方法 （1）转化为相应的线线平行或线面平行； （2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量 平行. 探究四　平面和平面平行 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题4】已知正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1的棱长为1， E ， F ， G 分别为 AB ， AD ， AA1的中点，求证：平面 EFG ∥平面 B1 CD1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ，则 A （1，0，0）， B （1，1，0）， C （0，1，0）， D （0，0，0）， A1（1，0，1）， B1（1，1，1）， D1（0，0，1）， E ， F （ ，0，0）， G ，所以 ＝ ， ＝ . 设 n1＝（ x1， y1， z1）为平面 EFG 的法向量， n2＝（ x2， y2， z2）为平面 B1 CD1的法向量， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 即 令 x1＝1，可得 y1＝－1， z1＝－1，则 n1＝（1，－1，－1）， 同理可得 n2＝（1，－1，－1）. 由 n1＝ n2，得 n1∥ n2，所以平面 EFG ∥平面 B1 CD1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式4】已知正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1的棱长为2， E ， F 分别是 BB1， DD1的中点，求证：平面 ADE ∥平面 B1 C1 F . 证明：建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ， 则 D （0，0，0）， A （2，0，0）， C （0，2，0）， C1（0， 2，2）， E （2，2，1）， F （0，0，1）， B1（2，2，2）， 所以 ＝（0，2，1）， ＝（2，0，0）， ＝（0，2，1）， ＝（2，0，0）， 设 n1＝（ x1， y1， z1）是平面 ADE 的法向量， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 解得 令 z1＝2，则 y1＝－1，所以可取 n1＝（0，－1，2）. 同理，设 n2＝（ x2， y2， z2）是平面 B1 C1 F 的法向量， 则 解得 令 z2＝2，得 y2＝－1，所以 n2＝（0，－1，2）. 因为 n1＝ n2，即 n1∥ n2，所以平面 ADE ∥平面 B1 C1 F . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 若点 A （－1，0，1）， B （1，4，7）在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为（　　） A. （1，2，3） B. （1，3，2） C. （2，1，3） D. （3，2，1） 答案：A 解析：由题意可得，直线 l 的一个方向向量 ＝（2，4，6），又 ＝（1，2，3），所以向量（1，2，3）是直线 l 的 一个方向向量.故选A项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. （多选）若直线 l1和 l2的方向向量分别是 a ＝（1，－1，2）， b ＝（－2，2，－4），则（　　） A. l1∥ l2 B. l1与 l2相交 C. l1与 l2重合 D. 以上都不正确 答案：AC 解析：因为 b ＝－2 a ，所以 l1与 l2平行或重合.故选AC项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 若两个不重合平面α，β的法向量分别为 u ＝（1，2，－1）， v ＝（－3，－6，3），则（　　） A. α∥β B. α⊥β C. α，β相交但不垂直 D. 以上均不正确 答案：A 解析：因为 v ＝－3 u ，所以 v ∥ u ，故α∥β.故选A项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 已知平面 ABC ，且 A （1，2，－1）， B （2，0，－1）， C （3，－2，1），则平面 ABC 的一个法向量为 　　　　. 解析： ＝（1，－2，0）， ＝（2，－4，2），设平面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即令 y ＝1，得 x ＝2， z ＝0， 故平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（2，1，0）. 答案：（2，1，0）（答案不唯一） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$