1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.掌握空间向量运算的坐标表示，培养数学抽象的 核心素养（重点）.2.掌握空间向量平行与垂直、几何计算的坐 标表示，强化数学运算的核心素养（难点）.3.能利用空间两点 间的距离公式解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养（重 点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　空间向量的坐标运算 设 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3），则有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a ＋ b a ＋ b ＝ ⁠ ⁠ 减法 a － b a － b ＝ ⁠ ⁠ （ a1＋ b1， a2＋ b2， a3 ＋ b3）　 （ a1－ b1， a2－ b2， a3－ b3）　 必备知识 基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第一册 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a ＋ b a ＋ b ＝ ⁠ ⁠ 数乘 λ a λ a ＝ ⁠， λ∈R 数量积 a · b a · b ＝ ⁠ （ a1＋ b1， a2＋ b2， a3＋ b3）　 （λ a1，λ a2，λ a3）　 a1 b1＋ a2 b2＋ a3 b3　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 由表可知空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示 是完全一致的.例如，一个空间向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去起点坐标. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 练习：已知向量 a ＝（1，1，0）， b ＝（0，1，1），则 a ＋ 2 b ＝ 　　，3 a ·（－ b ）＝ 　　. 解析：由题意得3 a ＝（3×1，3×1，3×0）＝（3，3，0）， 2 b ＝（2×0，2×1，2×1）＝（0，2，2），－ b ＝（－1×0， －1×1，－1×1）＝（0，－1，－1），所以 a ＋2 b ＝ （1，1，0）＋（0，2，2）＝（1＋0，1＋2，0＋2）＝ （1，3，2），3 a ·（－ b ）＝（3，3，0）·（0，－1，－1） ＝3×0＋3×（－1）＋0×（－1）＝－3. 答案：（1，3，2）　－3 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　空间向量的平行、垂直、模及夹角 1. 设 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3），则有 当 b ≠0时， a ∥ b ⇔ a ＝λ b ⇔ a1＝λ b1， a2＝λ b2， a3＝λ b3 （λ∈R）； a ⊥ b ⇔ a · b ＝0⇔ a1 b1＋ a2 b2＋ a3 b3＝0； ｜ a ｜＝ ＝ ； cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 空间两点间的距离公式 设 P1（ x1， y1， z1）， P2（ x2， y2， z2）是空间中任意两点， 则 P1 P2＝｜ ｜＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）若 A （1，1，0）， B （2，3，1），则 ＝ （－1，－2，－1）.（　　） （2）四边形 ABCD 是平行四边形，则向量 与 的坐标相 同.（　　） （3）对于空间任意两个向量 a ＝（ a1， a2， a3）， b ＝（ b1， b2， b3），若 a 与 b 共线，则 ＝ ＝ .（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）设 a ＝（1，2，－1）， b ＝（0， m ，2），若 a ⊥ b ，则 m ＝1.（　　） 解析：（1）错误.因为一个空间向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以 ＝（1，2，1）. （2）正确.因为平行四边形的对应边平行且相等，所以向量 与 的坐标相同. （3）错误.当 b1， b2， b3至少有一个为0时不成立. （4）正确.由 a ⊥ b 得1×0＋2 m －2＝0，解得 m ＝1. 答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 空间向量的坐标运算的解题思路及技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法 则，同时掌握下列技巧： （1）在运算中注意相关公式的灵活运用，如（ a ＋ b ）·（ a － b ）＝ a2－ b2＝｜ a ｜2－｜ b ｜2，（ a ＋ b ）·（ a ＋ b ）＝（ a ＋ b ）2等. 关键能力 素养提升 探究一　空间向量的坐标运算 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先 进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算（ a ＋ b ）·（ a － b ），既可以先求出 a ＋ b ， a － b ，然后求数量积，也可以把 （ a ＋ b ）·（ a － b ）写成 a2－ b2后计算. （3）向量的数量积运算一般有两种解题思路：一是先求坐 标，再运算；二是先类比多项式进行化简，再代入坐标求解. 解题时应恰当选择解题方法. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】已知 a ＝（1，2，3）， b ＝（－2，－1，2），计算 下列各式的值. （1） a ＋2 b ； （2） a · b ； （3） cos ＜ a ， b ＞； （4）｜ a － b ｜. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）因为 a － b ＝（1，2，3）－（－2，－1，2） ＝（3，3，1）， 所以｜ a － b ｜＝ ＝ . 解析：（1） a ＋2 b ＝（1，2，3）＋（－4，－2，4）＝ （－3，0，7）. （2） a · b ＝（1，2，3）·（－2，－1，2）＝－2－2＋6＝2. （3） cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】已知 a ＝（1，2，3）， b ＝（3，0，－1）， c ＝ （－ ，1，－ ）.给出下列式子：①（ a ＋ b ）· c ＝ a ·（ b ＋ c ）；②（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2；③（ a · b ）· c ＝ a ·（ b · c ）.其中正确的有（　　） A. 0个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 答案：B 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：①因为（ a ＋ b ）· c ＝（4，2，2）·（－ ，1，－ ）＝ － ＋2－ ＝0， a ·（ b ＋ c ）＝（1，2，3）· ＝ ＋2－ ＝0，所以（ a ＋ b ）· c ＝ a ·（ b ＋ c ）；②因为 a · b ＝ 3＋0－3＝0， a · c ＝－ ＋2－ ＝0， b · c ＝－ ＋0＋ ＝0，所 以（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2； ③因为（ a · b ）· c ＝（3＋0－3）· ＝（0，0，0）， a ·（ b · c ）＝（1，2，3）· ＝（0，0，0），所以 （ a · b ）· c ＝ a ·（ b · c ）.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 判断空间向量垂直或平行的步骤 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与 平行； 探究二　坐标形式下向量的平行与垂直问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）对于 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），根据 x1 x2 ＋ y1 y2＋ z1 z2是否等于0，判断两向量是否垂直；根据 x1＝λ x2， y1＝λ y2， z1＝λ z2（λ∈R）或 ＝ ＝ （ x2， y2， z2都不 为0）判断两向量是否平行. （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面 互相垂直， AB ＝ ， AF ＝1， M 是线段 EF 的中点. 求证：（1） AM ∥平面 BDE ； 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：（1）如图，建立空间直角坐标系. 设 AC ∩ BD ＝ N ，连接 NE ，则点 N ， E 的坐标 分别为（ ， ，0），（0，0，1）， 所以 ＝（－ ，－ ，1）. 又点 A ， M 的坐标分别为（ ， ，0）， （ ， ，1）， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 ＝（－ ，－ ，1），所以 ＝ . 因为 NE 与 AM 不共线，所以 NE ∥ AM . 又 NE ⊂平面 BDE ， AM ⊄平面 BDE ， 所以 AM ∥平面 BDE . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2） AM ⊥平面 BDF . 证明：（2）由（1）知 ＝（－ ，－ ，1）. 因为 D （ ，0，0）， F （ ， ，1）， 所以 ＝（0， ，1）， 所以 · ＝0－ × ＋1＝0， 所以 ⊥ .同理， ⊥ . 又 DF ∩ BF ＝ F ，且 DF ⊂平面 BDF ， BF ⊂平 面 BDF ，所以 AM ⊥平面 BDF . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】已知空间三点 A （－2，0，2）， B （－1，1，2）， C （－3，0，4），设 a ＝ ， b ＝ . （1）设｜ c ｜＝3，且 c ∥ ，求 c ； （2）若 ka ＋ b 与 ka －2 b 互相垂直，求 k . 解析：（1）因为 c ∥ ， ＝（－2，－1，2）， 所以可设 c ＝（－2λ，－λ，2λ）， 则｜ c ｜＝ ＝3｜λ｜＝3， 所以λ＝±1，所以 c ＝（－2，－1，2）或 c ＝（2，1，－2）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）因为 a ＝ ＝（1，1，0）， b ＝ ＝（－1，0，2）， 所以 ka ＋ b ＝（ k －1， k ，2）， ka －2 b ＝ （ k ＋2， k ，－4）， 又（ ka ＋ b ）⊥（ ka －2 b ），所以（ ka ＋ b ）·（ ka －2 b ） ＝0， 即（ k －1， k ，2）·（ k ＋2， k ，－4） ＝ k2＋ k －2＋ k2－8＝0， 所以 k ＝2或 k ＝－ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系. （2）根据题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的 坐标，保证点及向量的坐标写正确. （3）利用空间向量的模与夹角的坐标表示求解. 探究三　利用坐标运算求夹角和距离 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】在四棱锥 O － ABCD 中，底面 ABCD 是边长为1的菱 形，∠ ABC ＝ ， OA ⊥底面 ABCD ， OA ＝2， M 为 OA 的中 点，求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小. 解析：作 AP ⊥ CD 于点 P ，如图所示，分别以 AB ， AP ， AO 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 则 A （0，0，0）， B （1，0，0）， M （0，0，1）， D （－ ， ，0）， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 ＝（1，0，0）， ＝（－ ， ，－1）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝－ . 所以异面直线 AB 与 MD 所成角的大小为 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】在长方体 OABC － O1 A1 B1 C1中，｜ OA ｜＝2， ｜ AB ｜＝3，｜ AA1｜＝2， E 是 BC 的中点，建立空间直角坐标 系，用向量方法解决下列问题. （1）求直线 AO1与 B1 E 所成角的余弦值； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （1）由题意得 A （2，0，0）， O1（0，0，2）， B1（2，3，2）， E （1，3，0）， 所以 ＝（－2，0，2）， ＝（－1，0，－2）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ .所 以直线 AO1与 B1 E 所成角的余弦值为 . 解析：建立如图所示的空间直角坐标系. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）由题意得 ⊥ ， ∥ ， C （0，3，0）. 设点 D （ x ， y ，0）， 所以 ＝（ x ， y ，－2）， ＝（ x －2， y ，0）， ＝（－2，3，0）， （2）作 O1 D ⊥ AC 于点 D ，求点 O1到点 D 的距离. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以解得 所以 D . 所以｜ O1 D ｜＝｜ ｜＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 已知 M （5，－1，2）， A （4，2，－1）， O 为坐标原点， 若 ＝ ，则点 B 的坐标为（　　） A. （－1，3，－3） B. （9，1，1） C. （1，－3，3） D. （－9，－1，－1） 答案：B 解析：由题意可得 ＝ ＝ － ，所以 ＝ ＋ ＝（9，1，1），即点 B 的坐标为（9，1，1）.故选B项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 已知向量 a ＝（－2， x ，2）， b ＝（2，1，2）， c ＝（4， －2，1）.若 a ⊥（ b － c ），则 x 的值为（　　） A. －2 B. 2 C. 3 D. －3 答案：A 解析：因为 b － c ＝（－2，3，1），且 a ⊥（ b － c ），所以 a ·（ b － c ）＝4＋3 x ＋2＝0，解得 x ＝－2.故选A项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 已知向量 a ＝（0，－1，1）， b ＝（4，1，0），｜λ a ＋b ｜＝ ，且λ＞0，则λ＝（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 答案：C 解析：λ a ＋ b ＝λ（0，－1，1）＋（4，1，0） ＝（4，1－λ，λ），由已知得｜λ a ＋ b ｜ ＝ ＝ ， 且λ＞0，解得λ＝3.故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 已知 A （2，－5，1）， B （2，－2，4）， C （1，－4， 1），则向量 与 的夹角为 　　　　. 解析：因为 ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0），所以 ｜ ｜＝3 ，｜ ｜＝ ， · ＝0×（－1）＋3×1＋ 3×0＝3，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，又 ＜ ， ＞∈[0，π]，所以＜ ， ＞＝ . 答案： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$