1.3.1 空间直角坐标系（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标 系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系 刻画点的位置，培养直观想象的核心素养（重点）.2.掌握空间 向量的正交分解的坐标表示，提升直观想象的核心素养. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　 空间直角坐标系 必备知识 基础落实 1. 概念：在空间选定一点 O 和一个 基底{ i ， j ， k }.以点 O 为原点，分别以 i ， j ， k 的方向为 ⁠、以它 们的长为 建立三条数轴： x 轴、 y 轴、 z 轴，它们 都叫做 .这时就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz ， O 叫做 ， i ， j ， k 都叫做 ⁠，通过每两个 坐标轴的平面叫做 ，分别称为 Oxy 平面， Oyz 平 面， Ozx 平面，它们把空间分成八个部分. 单位正交　 正方向　 单位长度　 坐标轴　 原点　 坐标向量　 坐标平面　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指 指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐 标系都是右手直角坐标系. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：空间直角坐标系的三个要素是什么？空间直角坐标系 有什么作用？ 提示：空间直角坐标系的三个要素是原点、坐标轴方向和单位 长度.空间直角坐标系的作用是可以通过空间直角坐标系将空 间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　空间向量的坐标表示 1. 点的坐标表示：在空间直角坐标系 Oxyz 中， i ， j ， k 为坐标 向量，对空间任意一点 A ，对应一个向量 ，且点 A 的位置 由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序 实数组（ x ， y ， z ），使 ＝ xi ＋ yj ＋ zk .在单位正交基底 { i ， j ， k }下与向量 对应的 ⁠叫 做点 A 在空间直角坐标系中的坐标，记作 ⁠ ，其中 叫做点 A 的横坐标， 叫做点 A 的纵坐标， 叫做点 A 的竖坐标. 有序实数组（ x ， y ， z ）　 A （ x ， y ，z ） x 　 y 　 z 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 向量的坐标表示：在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a ， 作 ＝ a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 （ x ， y ， z ），使 a ＝ xi ＋ yj ＋ zk .有序实数组 ⁠ 做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，上式可简记 作 ⁠. （ x ， y ，z ） a ＝（ x ， y ， z ）　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定是（0， b ， c ）的形式.（　　） （2）空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标一定 是（ a ，0，0）的形式.（　　） （3）关于坐标平面 Oyz 对称的点其横坐标、纵坐标保持不 变，竖坐标相反.（　　） （4）若点 A 的坐标为（ x ， y ， z ），则 ＝（ x ， y ， z ）. （　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一 定是（ a ，0，0）的形式. （2）错误.空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标 一定是（ a ，0， c ）的形式. （3）错误.关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持 不变，横坐标相反. （4）正确.由点和向量坐标的概念可知正确. 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 求空间一点 P 的坐标常用的两个方法：一是利用点在坐标轴上 的投影求解；二是利用单位正交基底表示向量 ， 的坐 标就是点 P 的坐标. 关键能力 素养提升 探究一　求点的坐标 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】长方体 ABCD －A'B'C'D'的长、宽、高分别为 AB ＝ 8， AD ＝3，AA'＝5.建立适当的空间直角坐标系，并求顶点 A ， B ， C ， D ，A'，B'，C'，D'的坐标. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：如图，以 A 为原点，分别以直线 AB ， AD ，AA'为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz ，则点 A ， B ， C ， D 都在平面 Axy 内，因而其竖坐标 z 都为0，因此 A ， B ， C ， D 的坐标分别是 A （0，0，0）， B （8，0，0）， C （8，3，0）， D （0，3，0）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 由于点A'，B'，C'，D'都在一个垂直于 z 轴的平面A'B'C'D'内. 又AA'＝5，所以这四点的竖坐标 z 都是5.又过A'，B'，C'，D' 分别作 Axy 平面的垂线，垂足分别为 A ， B ， C ， D ，因此 A'，B'，C'，D'的横坐标 x 、纵坐标 y 分别与 A ， B ， C ， D 的 横坐标 x 、纵坐标 y 相同.因此A'，B'，C'，D'的坐标分别是 A'（0，0，5），B'（8，0，5），C'（8，3，5）， D'（0，3，5）.（答案不唯一） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】已知正四棱锥 P － ABCD 的底面边长为4，侧棱长为 10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为正四棱锥 P － ABCD 的底面边长为4，侧棱长为 10，所以正四棱锥的高为 ＝2 .以正四棱锥 的底面中心为原点，平行于 BC ， AB 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为 A （2，－2，0）， B （2，2，0）， C （－2，2，0）， D （－2，－2，0）， P （0，0，2 ）.（答案不唯一） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 用坐标表示空间向量的一般步骤 （1）观察图形：观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线； （2）找垂直：找出（或作出）两两垂直的三条直线和相应的 单位向量作为基底； （3）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； （4）进行计算：综合利用空间向量的线性运算； （5）确定结果：确定目标向量的坐标. 探究二　求向量的坐标 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】已知 ABCD － A1 B1 C1 D1是棱长为2的正方体， E ， F 分别为 BB1和 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系， 试写出 ， ， 的坐标. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析： ＝ ＋ ＋ ＝2 i ＋2 j ＋2 k ＝（2，2，2）， ＝ ＋ ＋ ＝2 i ＋2 j ＋ ×2 k ＝2 i ＋2 j ＋ k ＝（2，2，1）， ＝ ＝ ×2 j ＝ j ＝（0，1，0）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M ， N 分 别是 AB ， PC 的中点，并且 PA ＝ AD ＝1，试建立适当的空间 直角坐标系并写出向量 ， 的坐标. 解析：如图所示，因为 PA ＝ AD ＝ AB ＝1，且 PA ⊥平面 ABCD ， AD ⊥ AB ， 所以可设 ＝ e1， ＝ e2， ＝ e3， 以{ e1， e2， e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 因为 ＝ ＝ e2， ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ） ＝－ e2＋ e3＋ （－e3－ e1＋ e2）＝－ e1＋ e3， 所以 ＝ ， ＝（0，1，0）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 空间中点的对称问题的解题策略 （1）空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称 问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论.如点（ x ， y ， z ）关于 y 轴的对称点为 （－ x ， y ，－ z ），关于坐标平面 Oyz 的对称点为 （－ x ， y ， z ）. 探究三　空间中的对称问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】在空间直角坐标系中，已知点 P （－2，1，4）. （1）求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； （2）求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； （3）求点 P 关于点 M （2，－1，－4）对称的点的坐标. 解析：（1）因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变， 在 y 轴、 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1的坐标 为（－2，－1，－4）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、 y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2的坐 标为（－2，1，－4）. （3）设对称点为 P3（ x ， y ， z ），则点 M 为线段 PP3的中 点，由中点坐标公式，可得 x ＝2×2－（－2）＝6， y ＝2× （－1）－1＝－3， z ＝2×（－4）－4＝－12，所以点 P3的坐 标为（6，－3，－12）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】已知点 P （2，3，－1）关于坐标平面 Oxy 的对称点 为 P1，点 P1关于坐标平面 Oyz 的对称点为 P2，点 P2关于 z 轴的 对称点为 P3，则点 P3的坐标为 　　　　. 解析：点 P （2，3，－1）关于坐标平面 Oxy 的对称点 P1的坐 标为（2，3，1），点 P1关于坐标平面 Oyz 的对称点 P2的坐标 为（－2，3，1），点 P2关于 z 轴的对称点 P3的坐标为（2，－ 3，1）. 答案：（2，－3，1） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 点 P （2，0，3）在空间直角坐标系中的位置是在（　　） A. y 轴上 B. 坐标平面 Oxy 上 C. 坐标平面 Ozx 上 D. 坐标平面 Oyz 上 答案：C 解析：因为点 P 的坐标中纵坐标为0，横坐标和竖坐标都不为 0，所以点 P 在坐标平面 Ozx 上.故选C项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 在空间直角坐标系中，点 P （－1，2，3）关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标是（　　） A. （1，－2，－3） B. （－1，2，－3） C. （1，－2，3） D. （－1，－2，3） 答案：B 解析：由题意可得对称点的横坐标和纵坐标与点 P 的相同，竖 坐标与点 P 的互为相反数，故对称点的坐标为（－1，2，－3）.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 设{ e1， e2， e3}是空间向量的一个单位正交基底，如果 a ＝ 4 e1－8 e2＋3 e3， b ＝－2 e1－3 e2＋7 e3，那么 a ， b 的坐标分别 为 　　　　. 解析：由题意可知 a ＝（4，－8，3）， b ＝（－2，－3，7）. 答案：（4，－8，3），（－2，－3，7） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 在三棱锥 P － ABC 中，∠ ABC ＝90°， PB ⊥平面 ABC ， AB ＝ BC ＝ PB ＝1， M ， N 分别是 PC ， AC 的中点，建立如图 所示的坐标系 Bxyz ，则向量 的坐标为 　　　　. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：由题意可令 ＝ i ， ＝ j ， ＝ k ，则 ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ － ＝ i － k ＝ . 答案： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$