1.2.2 空间向量基本定理的应用（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.2　空间向量基本定理 第二课时　空间向量基本定理的应用 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]通过运用空间向量基本定理，结合数量积运算，能 证明空间线面的位置关系及求直线的夹角、两点间的距离（线 段长度），提升逻辑推理和数学运算的核心素养（难点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 （1）当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证 明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直 的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向 量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置 关系的判定. （2）证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向 量共线的充要条件证明. 关键能力 素养提升 探究一　证明平行或垂直问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】如图，在平行六面体 ABCD －A'B'C'D'中， E ， F ， G 分别是A'D'，DD'，D'C'的中点，请选择恰当的基底证明下 列问题. （1） EG ∥ AC ； （1）因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝2 ，所以 ∥ ， 又 EG ， AC 无公共点，所以 EG ∥ AC . 证明：由题意可取基底为{ ， ， }. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）平面 EFG ∥平面 AB ' C . 证明： （2）因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝2 ，所以 ∥ ，又 FG ， AB '无公共点，所以 FG ∥ AB '.又 FG ⊄平面 AB ' C ， AB '⊂平面 AB ' C ，所以 FG ∥平面 AB ' C . 又由（1）知 EG ∥ AC ，所以 EG ∥平面 AB ' C ，又 FG ∩ EG ＝ G ， FG ， EG ⊂平面 EFG ，所以平面 EFG ∥平面 AB ' C . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】如图所示，在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， O 为 AC 与 BD 的交点， G 为 CC1的中点，求证： A1 O ⊥平面 GBD . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明： ， ， 是三个不共面的向量，它们构成空间 的一个基底{ ， ， }， ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ ， · ＝ ·（ ＋ ）＝0， · ＝ ·（ ＋ ）＝0， 所以 A1 O ⊥ DG ， A1 O ⊥ BG ，又 DG ， BG ⊂平面 GBD ， BG ∩ DG ＝ G ，所以 A1 O ⊥平面 GBD . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 求线段长度的方法 （1）将此线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜ a ｜＝ ，通过计算求出｜ a ｜，即得所求距离. 探究二　 求线段的长度问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】如图，在平行六面体 ABCD －A'B'C'D'中， AB ＝ 1， AD ＝2，AA'＝3，∠ BAD ＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝ 60°，则AC'的长为（　　） A. 5 B. C. D. 答案：B 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ， 所以 ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋ 2（ · ＋ · ＋ · ），因为 AB ＝1， AD ＝2， AA'＝3，∠ BAD ＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，所以 ＝12＋22＋32＋2×（0＋1×3 cos 60°＋2×3 cos 60°）＝14＋ 2× ＝23.所以｜ ｜＝ ，即AC'的长为 .故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】如图，正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1的棱长为 a ， ＝ ，点 N 为 B1 B 的中点，则｜ ｜＝（　　） A. a B. a C. a D. a 答案：A 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 ＝ － ＝ ＋ － ＝ ＋ － （ ＋ ＋ ）＝ ＋ － ，在正 方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， AB ⊥ AD ， AB ⊥ AA1， AD ⊥ AA1，所以 · ＝ · ＝ · ＝0，所以｜ ｜2 ＝ ＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＝ a2，所以｜ ｜＝ a .故选A项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 （1）求几何体中两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移 到与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小. 探究三　求两直线的夹角问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）由两个向量的数量积定义得 cos ＜ a ， b ＞＝ ，求＜ a ， b ＞的大小，转化为求两个向量的数量 积及两个向量的模，求出＜ a ， b ＞的余弦值，进而求＜ a ， b＞ 的大小.在求 a · b 时注意结合空间图形，把 a ， b 用基底表示出来，进而化简得出 a · b 的值. （3）直线 AB ， CD 的夹角α∈ ，而＜ ， ＞ ∈[0，π]，故α＝＜ ， ＞或α＝π－＜ ， ＞. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】如图，在长方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， AB ＝2， BC ＝ B1 B ＝1， M ， N 分别是 AD ， DC 的中点.求异面直线 MN 与 BC1所成角的余弦值. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：由题意可得 ＝ － ＝ （ － ）， ＝ ＋ ＝－ ＋ ， 所以 · ＝ ·（－ ＋ ）＝ ＝ ， 又 ＝ ＝ ， ＝ ， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 故异面直线 MN 与 BC1所成角的余弦值为 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】如图，在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， BC1与 AC 夹角的大小为 　　. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：不妨设正方体的棱长为1， 则 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ ＋ · ＋ · ＝0＋ ＋0＋0＝ ＝1， 又因为｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 因为＜ ， ＞∈[0，π]， 所以＜ ， ＞＝ . 所以 BC1与 AC 夹角的大小为 . 答案： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 在棱长为1的正四面体 ABCD 中，直线 AB 与 CD （　　） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法判断位置关系 答案：C 解析：由题意得 ＝ － ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝1×1× －1×1× ＝0，故 ⊥ ，即直线 AB 与 CD 垂直.故选C项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 已知 a ， b 是异面直线，点 A ， B ∈ a ，点 C ， D ∈ b ， AC ⊥a ， BD ⊥ a ，且 AB ＝1， CD ＝ ，则 a ， b 所成的角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 答案：B 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 ＝ ＋ ＋ ，所以 · ＝ ·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以异面直线 a ， b 所成的角为 45°.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 在三棱柱 ABC － A1 B1 C1中， AA1⊥平面 ABC ， AA1＝ AB ＝ AC ＝ BC ＝1， M 是 B1 C1的中点，则 AM ＝ 　　. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：如图所示， ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ，所以｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝ ，则 AM ＝ . 答案： 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 在空间四边形 OABC 中， OB ＝ OC ，∠ AOB ＝∠ AOC ＝ ，求证： OA ⊥ BC . 证明：如图所示，因为 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ∠ AOC － ｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ AOB ＝0，所以 ⊥ ， 所以 OA ⊥ BC . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$