1.2.1 空间向量基本定理（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.2　空间向量基本定理 第一课时　空间向量基本定理 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象 的核心素养.2.掌握空间向量的正交分解，培养直观想象的核心 素养.3.会选择适当的基底表示任意向量，强化直观想象和数学 运算的核心素养（重点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　空间向量基本定理 如果三个向量 a ， b ， c ，那么对任意一个空间向量 p ，存在唯一的有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc .我们把{ a ， b ， c }叫做空间的一个 ， a ， b ， c 都 叫做 .空间任意三个 ⁠的向量都可以构成 空间的一个基底. 不共面　 基底　 基向量　 不共面　 必备知识 基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：若{ a ， b ， c }是空间的一个基底，那么 a 与 b 可以共 线吗？ 提示： a 与 b 不可以共线.因为 a ， b ， c 不共面，所以 a 与 b 不 可以共线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　正交分解 1. 单位正交基底的概念：如果空间的一个基底中的三个基向 量 ，且长度都为 ⁠，那么这个基底叫做单位 正交基底，常用 表示. 2. 正交分解的概念：由空间向量基本定理可知，对空间中的任 意向量 a ，均可以分解为三个向量 xi ， yj ， zk ，使 ⁠ .像这样，把一个空间向量分解为三个 ⁠的 向量，叫做把空间向量进行正交分解. 两两垂直　 1　 { i ， j ， k }　 a ＝ xi ＋ yj ＋ zk 　 两两垂直　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底. （　　） （2）若{ a ， b ， c }为空间的一个基底，则 a ， b ， c 全都不是 零向量.（　　） （3）若对向量 p ，可以找到三个向量 a ， b ， c ，使 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc ，则{ a ， b ， c }可构成空间向量的一个基底.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （4）对于三个不共面向量 a1， a2， a3，不存在实数组（λ1， λ2，λ3），使0＝λ1 a1＋λ2 a2＋λ3 a3.（　　） 解析：（1）错误.只要三个向量不共面，就可以作为一个基底. （2）正确.由基底的概念知正确. （3）错误.三个向量必须不共面才行. （4）错误.当λ1＝λ2＝λ3＝0时，满足条件. 答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解题技巧 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判 断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量是否是零向量， 其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三 个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要 条件建立方程组.若方程组有解，则三个向量共面；若方程组 无解，则三个向量不共面. 关键能力 素养提升 探究一　基底的判断 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，且 ＝ e1＋ 2 e2－ e3， ＝－3 e1＋ e2＋2 e3， ＝ e1＋ e2－ e3，试判断 { ， ， }能否作为空间的一个基底. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：假设 ， ， 共面，由向量共面的充要条件知存 在实数 x ， y ，使 ＝ x ＋ y 成立， 所以 e1＋2 e2－ e3＝ x （－3 e1＋ e2＋2 e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）＝ （－3 x ＋ y ） e1＋（ x ＋ y ） e2＋（2 x － y ） e3. 因为{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，所以 e1， e2， e3不共面， 所以此方程组无解， 所以不存在实数 x ， y ，使 ＝ x ＋ y ，所以 ， ， 不共面. 故{ ， ， }能作为空间的一个基底. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】（多选）已知 a ， b ， c 是不共面的三个向量，则不 能构成一个基底的一组向量是（　　） A. 2 a ， a － b ， a ＋2 b B. 2 b ， b － a ， b ＋2 a C. a ，2 b ， b － c D. c ， a ＋ c ， a － c 答案：ABD 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：对于A项，因为2 a ＝ （ a － b ）＋ （ a ＋2 b ），所以 2a ， a － b ， a ＋2 b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底； 对于B项，因为2 b ＝ （ b － a ）＋ （ b ＋2 a ），所以2 b ， b － a ， b ＋2 a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于 C项，因为找不到实数λ，μ，使 a ＝λ·2 b ＋μ（ b － c ）成立， 故 a ，2 b ， b － c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对 于D项，因为 c ＝ （ a ＋ c ）－ （ a － c ），所以 c ， a ＋ c ， a － c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底.故选ABD项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 用基底表示空间向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空 间的一个基底. （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量， 需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代 换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. 探究二　用基底表示空间向量 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）下结论：利用空间向量的一个基底{ a ， b ， c }可以表示 出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有 a ， b ， c ，不 能含有其他形式的向量. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】已知空间四边形 OABC 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，点 M 在 OA 上，且 OM ＝2 MA ， N 为 BC 的中点， F 为 MN 的中点.用基底{ a ， b ， c }表示向量 和 . 解析：如图所示. ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝－ a ＋ b ＋ c ， ＝ （ ＋ ）＝ ＋ ＝ × ＋ × （ ＋ ）＝ a ＋ b ＋ c . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】如图，在三棱柱 ABC － A ' B ' C '中，已知 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，点 M ， N 分别是 BC '， B ' C '的中点，试用 基底{ a ， b ， c }表示向量 ， . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：连接A'N（图略），则 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ － ）＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （ a ＋ b ＋ c ）， ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）＝ a ＋ b ＋ c . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 由空间向量基本定理可知，如果三个向量 a ， b ， c 是不共面的 向量（基向量），则 a ， b ， c 的线性组合 xa ＋ yb ＋ zc 能生成 所有的空间向量，并且有序数组（ x ， y ， z ）是唯一的，这是 利用空间向量基本定理求参数值的理论基础. 探究三　用空间向量基本定理求参数 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】已知矩形 ABCD ， P 为平面 ABCD 外一点， M ， N 分别为 PC ， PD 上的点，且 M 是 PC 上靠近 C 的三等分点， N 为 PD 的中点，求满足 ＝ x ＋ y ＋ z 的实数 x ， y ， z 的值. 解析：方法一　如图，取 PC 的中点 E ，连接 NE ，则 ＝ － . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 因为 E ， N 分别为 PC ， PD 的中点，所以 ＝ ＝ ＝ － ，又 M 为 PC 上靠近 C 的三等分点， 所以 ＝ － ＝ － ＝ ， 连接 AC ，则 ＝ － ＝ ＋ － ， 所以 ＝－ － （ ＋ － ） ＝－ － ＋ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 因为 ， ， 不共面， 所以 x ＝－ ， y ＝－ ， z ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法二　 ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ （ ＋ ） ＝－ ＋ － （－ ＋ ＋ ） ＝－ － ＋ . 因为 ， ， 不共面， 所以 x ＝－ ， y ＝－ ， z ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】已知正方体 ABCD －A'B'C'D'中，点 E 是上底面 A'B'C'D'的中心，求下列各式中 x ， y ， z 的值. （1） ＝ x ＋ y ＋ z ； （2） ＝ x ＋ y ＋ z . 解析：（1）因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ，且 ＝ x ＋ y ＋ z ，所以 x ＝1， y ＝ －1， z ＝1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ·（ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，且 ＝ x ＋ y ＋ z ，所以 x ＝ ， y ＝ ， z ＝1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. （多选）下列结论正确的是（　　） A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则这两个向量共线 C. 若 a ， b 是两个不共线的向量，且 c ＝λ a ＋μ b （λ，μ∈R， 且λμ≠0），则{ a ， b ， c }构成空间的一个基底 D. 若 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 O ， A ， B ， C 四点共面 答案：ABD 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：由基底的概念可知A，B，D项正确；对于C项，因为 c ＝λ a ＋μ b ，所以 a ， b ， c 共面，不能构成基底，故C项错误. 故选ABD项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 在长方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，可以作为空间向量一个基 底的是（　　） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 答案：C 解析：在长方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，只有C项中的三个向量 ， ， 不共面，可以作为空间向量的一个基底. 故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y ＋ z ＝ 　　　　. 解析：因为 ＝ ＋ ＋ ＝ x ＋ y ＋ z ，所 以 x ＝ y ＝ z ＝1，则 x ＋ y ＋ z ＝3. 答案：3 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 如图所示，在空间四边形 OABC 中，其对角线为 OB ， AC ， M 是 OA 的中点， G 为△ ABC 的重心，用向量 ， ， 表示向量 . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：如图所示，延长 AG 交 BC 于 D ，则 D 为 BC 的中点，所 以 ＝ （ ＋ ）. 又因为 ＝ － ， ＝ － ， 所以 ＝ ＝ （ ＋ ） ＝ （－2 ＋ ＋ ）. 又因为 M 为 OA 的中点， 所以 ＝－ ， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 ＝ － ＝ （－2 ＋ ＋ ）＋ ＝ － ＋ ＋ . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$