1.1.2 空间向量的数量积运算（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.1　空间向量及其运算 1.1.2　空间向量的数量积运算 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.掌握空间向量的数量积，发展数学抽象的核心素 养（重点）.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义， 增强数学抽象和直观想象的核心素养.3.数量积在空间中的简单 应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养（重难点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点一　空间向量的夹角 必备知识 基础落实 1. 定义 如图，已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，则 叫做向量 a ， b 的夹角，记作 ⁠ ⁠. ∠ AOB 　 ＜a ， b ＞ 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 向量 a ， b 的夹角＜ a ， b ＞的范围是 .如果 ＜ a ， b ＞＝ ，那么称向量 a ， b 互相 ，记 作 ⁠. [0，π]　 垂直　 a ⊥ b 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：当＜ a ， b ＞＝0和＜ a ， b ＞＝π时，向量 a 与 b 有什 么关系？ 提示：当＜ a ， b ＞＝0时， a 与 b 同向；当＜ a ， b ＞＝π时， a 与 b 反向. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　空间向量的数量积 1. 定义 已知两个非零向量 a ， b ，则 ⁠叫 做 a ， b 的数量积，记作 a · b ，即 a · b ＝ ⁠ ⁠. ｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞　 ｜ a ｜·｜ b ｜ cos ＜a ， b ＞　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 性质 （1）若 a ， b 是非零向量，则 a ⊥ b ⇔ ＝0. （2）若 a 与 b 同向，则 a · b ＝｜ a ｜·｜ b ｜；若反向，则 a · b ＝－｜ a ｜·｜ b ｜.特别地， a · a ＝ ， ＝ . （3） cos ＜ a ， b ＞＝ . （4）｜ a · b ｜≤｜ a ｜·｜ b ｜. a · b 　 ｜ a ｜2　 ｜ a ｜　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 运算律 （1）（λ a ）· b ＝ ⁠； （2）交换律： a · b ＝ ⁠； （3）分配律：（ a ＋ b ）· c ＝ ⁠. 思考：数量积的运算满足结合律吗？ 提示：数量积的运算不满足结合律，也不满足消去律，即 （ a · b ）· c ≠ a ·（ b · c ）， a · b ＝ a · c ⇒/ b ＝ c . λ（ a · b ）　 b · a 　 a · c ＋ b · c 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点三　向量 a 的投影和投影向量 1. 如图（1），在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由 向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平 面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c ， c ＝ ｜ a ｜ cos ＜ a ， b ＞· ，向量 c 称为 在 ⁠上的 ⁠. 向量 a 　 向量 b 　 投影向量　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 如图（2），向量 a 向平面β投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量 ，向量 称为向量 a 在平面β上的投影向量.这时，向量 a ， 的夹角就是向量 a 所在直线与平面β所成的角. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）向量 与 的夹角等于向量 与 的夹角.（　　） （2）若向量 与 的夹角为α，则直线 AB 与 CD 所成的角 也为α.（　　） （3）对于向量 a ， b ， c ，有（ a · b ）· c ＝ a ·（ b · c ）. （　　） （4）对任意向量 a ， b ，满足｜ a · b ｜≤｜ a ｜｜ b ｜.（　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.向量 与 的夹角和向量 与 的夹角 互补，而不是相等. （2）错误.不一定，可能是α，也可能是π－α. （3）错误.（ a · b ）· c 是与 c 共线的向量，而 a ·（ b · c ）是与 a 共线的向量. （4）正确.由数量积的性质知正确. 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 （1）已知 a ， b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积公式 计算. （2）如果要求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先 利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a · a ＝｜ a ｜2及数 量积公式进行计算. 关键能力 素养提升 探究一　数量积的计算 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】已知三棱锥 O － ABC 的各个侧面都是等边三角 形，且边长为2，点 M ， N ， P 分别为 AB ， BC ， CA 的中 点.试求： （1） · ； （2） · ； （3） · ； （4） · . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1） · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞ ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ AOB ＝2×2× cos 60°＝2. （2） · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ｜ ｜｜ ｜· cos 180°＝1×2×（－1）＝－2. （3） · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝ 2×2× cos ∠ BOC －2×2× cos ∠ BOA ＝0. （4） · ＝ · ＝ · ＝ ·（ － ） ＝ （ － · ）＝ ×（22－2）＝1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】如图，在单位正方体 ABCD －A'B'C'D'中，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，求： （1） a ·（ b ＋ c ）； （2）（ a ＋ b ）·（ b ＋ c ）； （3）（ a ＋ b ＋ c ）·（ a ＋ b ＋ c ）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）由题意知，｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜＝1， a · b ＝ a · c ＝ c · b ＝0， 所以 a ·（ b ＋ c ）＝ a · b ＋ a · c ＝0. （2）（ a ＋ b ）·（ b ＋ c ）＝ a · b ＋ a · c ＋ b2＋ b · c ＝1. （3）（ a ＋ b ＋ c ）·（ a ＋ b ＋ c ）＝（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2 ＋ c2＋2（ a · b ＋ a · c ＋ b · c ）＝3. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 探究二　用数量积求角和距离 （1）找两向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起 点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的 范围是[0，π]. （2）利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：①根据题设 条件在两异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角的问 题转化为求向量的夹角问题；③利用数量积求角的大小.注意 异面直线所成角的范围是 . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）求空间两点间的距离（线段的长可看成线段两端点间的 距离）可以利用空间向量的数量积将其转化为求向量的模的问 题，其基本步骤是：①选择以两点为端点的向量，将此向量表 示为几个已知向量的和或差的形式；②求出几个已知向量的模 和两两之间的夹角；③利用公式｜ a ｜＝ 求出模，即求出 空间两点间的距离. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】（1）在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，向量 与 的夹角＜ ， ＞＝ 　　　　；向量 与 的 夹角＜ ， ＞＝ 　　　　. （2）如图，已知线段 AB 在平面α内，线段 AC ⊥α，线段 BD ⊥ AB ，线段DD'⊥α于点D'.如果∠DBD'＝30°， AB ＝ a ， AC ＝ BD ＝ b ，则 CD 的长为 　　　　. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）因为 AB ⊥平面 BCC1 B1，所以 AB ⊥ C1 B ，故 ＜ ， ＞＝90°，因为 ∥ ，所以 ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝180°－∠ A1 BD ， 因为△ A1 BD 为等边三角形，所以∠ A1 BD ＝60°， 所以＜ ， ＞＝120°. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）由 AC ⊥α，可知 AC ⊥ AB . 由∠ DBD '＝30°，可知 ＜ ， ＞＝60°.因为｜ ｜2＝ · ＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋ ＋｜ ｜2＋2（ · ＋ · ＋ · ）＝ b2＋ a2＋ b2＋2（0＋ b2 cos 60°＋0）＝ a2＋3 b2，所以｜ ｜＝ ，即 CD ＝ . 答案：（1）90°　120°　（2） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】（1）已知 a ， b 是异面直线， A ， B ∈ a ， C ， D ∈ b ， AC ⊥ b ， BD ⊥ b ，且 AB ＝2， CD ＝1，则 a 与 b 所成的角 为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）已知在平行六面体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， AA1＝ AB ＝ AD ＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则 AC1的长为 （　　） A. 6 B. C. 3 D. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）因为 AC ⊥ b ， BD ⊥ b ， C ， D ∈ b ，所以 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ ＝1，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，所以＜ ， ＞＝60°，即异面直线 a ， b 所成的角为60°.故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则｜ a ｜＝｜ b ｜＝ ｜ c ｜＝1，且＜ a ， b ＞＝＜ b ， c ＞＝＜ c ， a ＞＝60°，因此 a · b ＝ b · c ＝ c · a ＝ .由 ＝ a ＋ b ＋ c 得｜ ｜2＝ a2＋ b2 ＋ c2＋2 a · b ＋2 b · c ＋2 c · a ＝6，所以｜ ｜＝ .故选B项. 答案：（1）C　（2）B 返回目录 数学　选择性必修 第一册 答题模板 用向量法证明垂直关系的一般步骤 （1）把已知的几何问题转化为向量问题； （2）用已知夹角和模的向量把未知向量表示出来； （3）结合数量积公式及运算律证明向量的数量积为0； （4）将向量问题转化为几何问题，得到几何结论. 探究三　利用向量的数量积证明垂直 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】如图所示，在空间四边形 OABC 中，∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC ，且 OA ＝ OB ＝ OC ， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是 MN 的中点，求证： OG ⊥ BC . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：设∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC ＝θ，且 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜. 因为 ＝ （ ＋ ）＝ · ＝ （ a ＋ b ＋ c ）， ＝ c － b ， 所以 · ＝ （ a ＋ b ＋ c ）·（ c － b ）＝ （ a · c － a · b ＋ b · c － b2＋ c2－ b · c ）＝ （｜ a ｜2· cos θ－｜ a ｜2· cos θ－ ｜ a ｜2＋｜ a ｜2）＝0.所以 ⊥ ，即 OG ⊥ BC . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】如图所示，在正三棱柱 ABC － A1 B1 C1中，侧面对角 线 AB1⊥ BC1，求证： A1 C ⊥ AB1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：由题意设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，｜ a ｜＝ ｜ b ｜＝ m ，｜ c ｜＝ n ，则 a · b ＝ m2 cos 60°＝ m2， a · c ＝ b · c ＝0. 因为 AB1⊥ BC1，且 ＝ ＋ ＝－ a ＋ c ， ＝ ＋ ＝ b ＋ c ， 所以 · ＝（－ a ＋ c ）·（ b ＋ c ）＝－ a · b ＋ c2＝ n2－ m2＝0，即 m2＝2 n2， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 · ＝（－ a ＋ c ）·（ ＋ ＋ ）＝ （－ a ＋ c ）·（－ c － a ＋ b ）＝ a2－ c2－ a · b ＝ m2－ n2－ m2＝0， 所以 ⊥ ，即 A1 C ⊥ AB1. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 1. 在正四面体 ABCD 中，点 E ， F 分别是 AC ， AD 的中点，则 与 的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 答案：C 解析：由题意可得 ＝ ，所以＜ ， ＞＝ ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60° ＝120°.故选C项. 随堂检测 学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 在棱长为1的正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 a ·（ b ＋ c ）的值为（　　） A. 1 B. 0 C. －1 D. －2 答案：B 解析：由题意可得 a ⊥ b ， a ⊥ c ，所以 a ·（ b ＋ c ）＝ a · b ＋ a · c ＝0.故选B项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 在三棱锥 P － ABC 中， PB ＝ PC ＝1，∠ APB ＝∠ APC ＝ 90°，∠ BPC ＝60°，则 · ＝（　　） A. B. C. 1 D. 答案：A 解析：由题意可得 · ＝（ － ）· ＝ · － · ＝｜ ｜｜ ｜· cos ∠ BPC －0＝1×1× cos 60°＝ .故选A项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 如图，四面体 ABCD 的每条棱长都等于2，点 E ， F 分别为 棱 AB ， AD 的中点，则｜ ＋ ｜＝ 　　　　，｜ － ｜＝ 　　　　. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝2.因为 ＝ ， · ＝2×2× cos 60°＝2，所以｜ － ｜2＝ ＝ － · ＋ ＝4－2＋ ×4＝3，故｜ － ｜＝ . 答案：2　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$