1.1.1 空间向量及其线性运算（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 [学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空 间向量的概念，培养数学抽象的核心素养（重点）.2.经历由平 面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程，培养逻辑推理 的核心素养.3.掌握空间向量的线性运算，培养数学运算和直观 想象的核心素养（重点）.4.理解并会应用空间向量共线、共面 的充要条件，增强逻辑推理、数学运算、直观想象和数学抽象 的核心素养（难点）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 必备知识 基础落实 要点一　空间向量的有关概念 1. 定义：在空间，具有 和 ⁠的量叫做空间 向量. 2. 长度或模：向量的 ⁠. 大小　 方向　 大小　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （1）几何表示法：空间向量用 ⁠表示； （2）字母表示法：用字母 a ， b ， c ，…表示；若向量 a 的起 点是 A ，终点是 B ，也可记作 ，其模记为 或 ⁠ ⁠. 有向线段　 ｜ a ｜　 ｜ ｜ 3. 表示方法 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 ⁠的向量叫做单位向量 相反向量 与向量 a 长度 而方向 ⁠的向量，叫 做 a 的相反向量，记为－ a 长度为0　 模为1　 相等　 相反　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 名称 定义及表示 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ⁠ ⁠，那么这些向量叫做共线向量或平 行向量.规定：零向量与任意向量 ⁠，即对 于任意向量 a ，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量. 在空间， 且 ⁠的有向线段表示同一 向量或相等向量 互 相平行或重合　 平行　 ∥　 相同　 相等　 同向　 等长　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 练习：（多选）下列命题为真命题的是（　　） A. 空间向量 与 的长度相等 B. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 C. 空间向量就是空间中的一条有向线段 D. 零向量与任意向量平行 答案：ABD 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：对于A项，因为空间向量 与 互为相反向量，所以 空间向量 与 的长度相等，正确；对于B项，由相等向量 的概念可知命题正确；对于C项，空间向量可以用空间中的一 条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，错误；对于D 项，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，正 确.故选ABD项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点二　空间向量的线性运算 1. 定义 如图，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： （1） a ＋ b ＝ ＋ ＝ ； （2） a － b ＝ － ＝ ； （3）当λ＞0时，λ a ＝λ ＝ ；当λ＜0时，λ a ＝λ ＝ ；当λ＝0时，λ a ＝0. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 运算律（其中λ，μ∈R） （1）交换律： a ＋ b ＝ ⁠； （2）结合律：（ a ＋ b ）＋ c ＝ ，λ（μ a ） ＝ ⁠； （3）分配律：（λ＋μ） a ＝ ，λ（ a ＋ b ）＝ ⁠ ⁠. b ＋ a 　 a ＋（ b ＋ c ）　 （λμ） a 　 λ a ＋μ a 　 λ a ＋λ b 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：空间向量的加、减法与平面向量的加、减法是否相 同？平面向量加、减法的运算律在空间向量中还适用吗？ 提示：因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平 面内，所以任意两个空间向量的运算都可以转化为平面向量的 运算，所以空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运 算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向量中仍然适用. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点三　空间中的共线向量 1. 空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量 a ， b （ b ≠0）， a ∥ b 的充要条件是存在实数λ，使 ⁠. 2. 方向向量：如图， O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a ，则对于直线 l 上任意一点 P ，由数乘向量的定义及向量共线 的充要条件可知，存在实数 ，使得 ＝ ⁠，我们 把与向量 a 的非零向量称为直线 l 的 ⁠. a ＝λ b 　 λ　 λ a 　 平行　 方向向量　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 要点四　空间中的共面向量 1. 向量和直线平行：如果表示向量 a 的有向线段 所在的直 线 OA 与直线 l ，那么称向量 a 平行于直线 l . 2. 向量和平面平行：如果表示向量 a 的有向线段 所在的直 线 OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量 a ⁠平 面α. 平行或重合　 平行于　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 共面向量： 同一个平面的向量，叫做共面向量. 4. 空间向量共面的充要条件：如果两个向量 a ， b 不共线，那 么向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 （ x ， y ），使 ⁠. 平行于　 p ＝ xa ＋ yb 　 返回目录 数学　选择性必修 第一册 思考：若向量 p ， a ， b 满足 p ＝ xa ＋ yb ，那么向量 p ， a ， b 共面吗？ 提示：共面.当 a 与 b 共线时，显然向量 p ， a ， b 共面；当 a 与 b 不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量 p ， a ， b 共面. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”. （1）零向量没有方向.（　　） （2）两个有公共终点的向量，一定是共线向量.（　　） （3）空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向 量的方向.（　　） （4）若 a ＝－ b ，则｜ a ｜＝｜ b ｜.（　　） （5）若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同. （　　） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）错误.零向量与任意向量共线，故可以认为零向量 的方向是任意的. （2）错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，与是否有公 共终点无关. （3）错误.当λ＞0时，λ a 与向量 a 的方向相同；当λ＜0时，λ a 与向量 a 的方向相反. （4）正确.由相反向量的概念可知正确. （5）错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的 关系不能确定. 答案：（1）×　（2）×　（3）×　（4）√　（5）× 返回目录 数学　选择性必修 第一册 关键能力 素养提升 误区防错 解答空间向量有关概念问题的注意点 （1）空间向量的两大要素：大小和方向.两向量相等的充要条 件：大小相等，方向相同. （2）两个特殊向量 ①零向量：长度为0的向量，方向任意； ②单位向量：长度为1的向量，方向不确定. 探究点一　空间向量的概念 （3）空间向量不能比较大小，但空间向量的模可以比较大小. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题1】（多选）下列命题中，不正确的命题是（　　） A. 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B. 若空间向量 a ， b 满足｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝ b C. 在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，必有 ＝ D. 空间中任意两个单位向量必相等 答案：ABD 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必 相等，但两个向量相等不一定起点相同、终点相同，故A项不 正确；向量相等需模相等且方向相同，故B项不正确；在正方 体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，向量 与 方向相同，模也相 等，必有 ＝ ，故C项正确；空间中任意两个单位向量 的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D项不正 确.故选ABD项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. （1）向量 与 是共线向量，则 A ， B ， C ， D 四点必在 一条直线上； （2）若向量 ， 满足｜ ｜＞｜ ｜，则 ＞ ； （3）任一向量与它的相反向量不相等； （4）四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件是 ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向 量是相等的. （4）不正确.若 A ， B ， C ， D 四点共线，则无法构成四边形. 解析：（1）不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或 相反即可，并不要求向量 ， 在同一条直线上. （2）不正确.向量不能比较大小. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 （1）空间向量加法、减法运算的两个技巧 ①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减 法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. ②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加 法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可 采用空间向量的自由平移获得运算结果. 探究二　空间向量的线性运算 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）利用数乘运算进行向量表示的技巧 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三 角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题2】在空间四边形 ABCD 中， G 为△ BCD 的重心， E ， F ， H 分别为边 CD ， AD 和 BC 的中点，化简下列各表达式. （1） ＋ ＋ ； （2） （ ＋ － ）. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）因为点 G 是△ BCD 的重心，所以｜ ｜＝ ｜ ｜，所以 ＝ ，又因为 ＝ ，所以由向量的加法法则，可知 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .从而 ＋ ＋ ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）如图所示，分别取 AB ， AC 的中点 P ， Q ，连接 PH ，QH ， 则四边形 APHQ 为平行四边形，且有 ＝ ， ＝ ，而 ＋ ＝ ， ＝ ，所以 （ ＋ － ）＝ ＋ － ＝ － ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式2】（多选）在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，下列各式 的运算结果为向量 的是（　　） A. （ ＋ ）＋ B. （ ＋ ）＋ C. （ ＋ ）＋ D. （ ＋ ）＋ 答案：BCD 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ ，（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ ，（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ ，（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .故选BCD项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 探究三　向量的共线问题 （1）判断或证明 a ， b 共线，即找实数 x ，使得 b ＝ xa （ a ≠0），在这里要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图 形，化简转化为 a ， b 的关系式，得到 b ＝ xa （ a ≠0）的形式， 从而得到 b ∥ a . （2）证明（或判断） A ， B ， C 三点共线时，只需证明存在实 数λ（或μ），使 ＝λ （或 ＝μ ）即可.也可用“对空 间任意一点 O ，有 ＝ t ＋（1－ t ） ， t ∈R”来证明三 点共线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题3】如图，四边形 ABCD ， ABEF 都是平行四边形且 不共面， M ， N 分别是 AC ， BF 的中点，判断 与 是否共线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 M ， N 分别是 AC ， BF 的中点，且四边形 ABCD ， ABEF 都是平行四边形， 所以 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，且 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋ － － ， 所以 ＋ ＋ ＝－ ＋ － － ， 所以 ＝ ＋2 ＋ ＝2（ ＋ ＋ ）＝2 ， 所以 ∥ ，即 与 共线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式3】如图，已知 M ， N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与 面 ACD 的重心， G 为 AM 上一点，且 GM ∶ GA ＝1∶3.求证： B ， G ， N 三点共线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， 则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） ＝－ a ＋ ＝－ a ＋ （ a ＋ b ＋ c ）＝－ a ＋ b ＋ c ， 因为 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） 返回目录 数学　选择性必修 第一册 ＝－ a ＋ b ＋ c ＝ ， 所以 ∥ ，即 B ， G ， N 三点共线. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 规律总结 （1）证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可以 直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明. （2）向量共面时向量所在的直线不一定共面，只有这些向量 都过同一点时向量所在的直线才共面（向量的起点、终点共 面）. 探究四　向量的共面问题 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【例题4】已知非零向量 e1， e2不共线，如果 ＝ e1＋ e2， ＝2 e1＋8 e2， ＝3 e1－3 e2，求证： A ， B ， C ， D 四点共面. 证明：由题意可设 ＝ x ＋ y ，则有 e1＋ e2＝ x （2 e1＋ 8 e2）＋ y （3 e1－3 e2）＝（2 x ＋3 y ） e1＋（8 x －3 y ） e2.因为 e1和 e2不共线， 所以解得 所以 ＝ ＋ ，所以 A ， B ， C ， D 四点共面. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【变式4】如图，正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为 BB1和 A1 D1的中点.求证：向量 ， ， 是共面向量. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：方法一　 ＝ ＋ ＋ ＝ － ＋ ＝ （ ＋ ）－ ＝ － . 由向量共面的充要条件知，向量 ， ， 是共面向量. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 方法二　如图，连接 A1 D ， BD ，取 A1 D 的中点 G ，连接 FG ， BG ，则 FG　　　 DD1， BE 　 DD1，所以 FG 　BE ， 所以四边形 BEFG 为平行四边形， 所以 EF ∥ BG ，所以 EF ∥平面 A1 BD . 同理， B1 C ∥ A1 D ，所以 B1 C ∥平面 A1 BD ， 所以 ， ， 都与平面 A1 BD 平行. 所以向量 ， ， 是共面向量. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 随堂检测 学以致用 1. （多选）下列命题中，正确的是（　　） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 若向量 a ， b 平行，则 a ， b 所在的直线平行 C. 只有零向量的模等于0 D. 相等向量其方向必相同 答案：ACD 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：向量都不能比较大小，故A项正确；向量 a ， b 平行，则 a ， b 所在的直线平行或重合，故B项错误；只有零向量的模等 于0，故C项正确；相等向量的长度相等，方向相同，故D项正 确.故选ACD项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 2. 已知空间向量 a ， b 互为相反向量，且｜ b ｜＝3，则下列结 论正确的是（　　） A. a ＝ b B. a ＋ b 为实数0 C. a 与 b 方向相同 D. ｜ a ｜＝3 答案：D 解析：向量 a ， b 互为相反向量，则 a ， b 的模相等、方向相 反，只有D项正确.故选D项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 3. 下列条件中，使 M 与 A ， B ， C 一定共面的是（　　） A. ＝2 － － B. ＝ ＋ ＋ C. ＋ ＋ ＝0 D. ＋ ＋ ＋ ＝0 答案：C 解析：C项中， ＝－ － ，且有公共点 M ，所以点 M ， A ， B ， C 共面.故选C项. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 4. 如图，在直三棱柱 ABC － A1 B1 C1中，若 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝ 　　　 （用 a ， b ， c 表示）. 解析： ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ a ＋ b － c . 答案：－ a ＋ b － c 返回目录 数学　选择性必修 第一册 课时作业 自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$