第一章 章末复习方案 空间向量与立体几何（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 章末复习方案 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 知识网络·体系构建 知识整合·融会贯通 第一章综合测评 知识网络 体系构建 返回目录 数学　选择性必修 第一册 探究一　利用空间向量证明线、面的位置关系 用空间向量判断空间中线、面位置关系的探究与方法总结： （1）线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方 向向量是共线向量. （2）线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方 向向量垂直. 知识整合 融会贯通 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有①证明直 线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一 个向量与直线的方向向量是共线向量. （4）线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直 线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定 理转化为线线垂直问题. （5）面面平行：①证明两个平面的法向量平行（即是共线向 量）；②转化为线面平行、线线平行问题. （6）面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化 为线面垂直、线线垂直问题. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【真题1】在直三棱柱 ABC － A1 B1 C1中，∠ ABC ＝90°， BC ＝2， CC1＝4，点 E 在线段 BB1上，且 EB1＝1， D ， F ， G 分 别为 CC1， C1 B1， C1 A1的中点. 题图 （1）求证： B1 D ⊥平面 ABD ； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 证明：（1）以 B 为坐标原点， BA ， BC ， BB1所在的直线分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz ，如图所示， 则 B （0，0，0）， D （0，2，2）， B1（0，0，4）， 设 BA ＝ a ，则 A （ a ，0，0）， 所以 ＝（ a ，0，0）， ＝（0，2，2）， ＝（0，2，－2），所以 · ＝0， · ＝0，即 B1 D ⊥ BA ， B1 D ⊥ BD . 又 BA ∩ BD ＝ B ， BA ， BD ⊂平面 ABD ， 所以 B1 D ⊥平面 ABD . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）求证：平面 EGF ∥平面 ABD . 证明：（2）由（1）知， E （0，0，3）， G ， F （0，1，4）， 则 ＝ ， ＝（0，1，1）， 所以 · ＝0＋2－2＝0， · ＝0＋2－2＝0，即 B1 D ⊥ EG ， B1 D ⊥ EF . 又 EG ∩ EF ＝ E ， EG ， EF ⊂平面 EGF ， 因此 B1 D ⊥平面 EGF . 结合（1）可知平面 EGF ∥平面 ABD . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 探究二　利用空间向量求解距离和空间角 距离和空间角的求解可以通过几何方法得到，但对考生的空间 想象能力、推理论证能力有较高的要求，使用空间向量方法可 以减少作图，只要建立合理的空间直角坐标系，把所求的距离 和角转化为向量之间的问题求解即可.高考试题中的立体几何 解答题往往是分步设问，其中空间距离的求解部分几何方法和 空间向量方法都可能考查，具体看哪种方法使解题更简便，而 空间角求解部分侧重考查空间向量方法. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【真题2】（2023·天津）三棱台 ABC － A1 B1 C1中，若 A1 A ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝ AA1＝2， A1 C1＝1， M ， N 分别是 BC ， BA 的中点. 题图 （1）求证： A1 N ∥平面 C1 MA ； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：连接 AC1，以 A 为坐标原点， AB ， AC ， AA1所在直线 分别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ， 则有 A （0，0，0）， M （1，1，0）， N （1，0，0）， A1（0，0，2）， C1（0，1，2）， C （0，2，0）. 所以 ＝（1，0，－2）， ＝（1，1，0）， ＝（0，1，2）. 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （1）证明：设平面 C1 MA 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 即 令 x ＝2，则 n ＝（2，－2，1）. 所以 · n ＝1×2＋0×（－2）＋ （－2）×1＝0，所以 ⊥ n . 又 A1 N ⊄平面 C1 MA ， 所以 A1 N ∥平面 C1 MA . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）求平面 C1 MA 与平面 ACC1 A1所成夹角的余弦值； 解析：（2）由（1）易知，平面 ACC1 A1的 一个法向量为 ＝（1，0，0），平面 C1 MA 的一个法向量为 n ＝（2，－2，1）， 所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ， 所以平面 C1 MA 与平面 ACC1 A1所成夹角的余弦值为 . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）求点 C 到平面 C1 MA 的距离. 解析：（3）又 ＝（－1，1，0）， 所以点 C 到平面 C1 MA 的距离 d ＝｜ ｜＝ . 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 探究三　用空间向量解决折叠问题 折叠问题是指把一个平面图形沿一条直线折起使之成为空间 图形的一类问题，这类问题对解题者的空间想象能力有较高 要求. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【真题3】如图1，在平面四边形 PBCD 中，已知 BC ⊥ PB ， PD ⊥ CD ， PB ＝6， BC ＝2， DP ＝2 CD ， DA ⊥ PB 于点 A . 将△ PAD 沿 AD 折起使得 PA ⊥平面 ABCD ，如图2，设 ＝λ （0≤λ≤1）. 图1 图2 （1）若λ＝ ，求证： PB ∥平面 MAC ； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）在平面四边形 PBCD 中， BC ⊥ PB ， PB ＝6， BC ＝2， 所以 CP ＝2 ，tan∠ BPC ＝ . 又 PD ⊥ CD ， DP ＝2 CD ， 所以 CD ＝2 ， PD ＝4 ，tan∠ DPC ＝ ， 所以tan∠ BPD ＝tan（∠ BPC ＋∠ DPC ）＝ ＝1， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以∠ BPD ＝45°. 所以在Rt△ PAD 中， PA ＝ AD ＝4. 因为 DA ⊥ PB ， BC ⊥ PB ，所以 AD ∥ BC . 在四棱锥 P － ABCD 中，连接 BD ，设 BD ∩ AC ＝ F ， 连接 MF ， 因为λ＝ ，所以 ＝2，又 ＝ ＝2，所以 MF ∥ PB . 因为 MF ⊂平面 MAC ， PB ⊄平面 MAC ， 所以 PB ∥平面 MAC . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）若直线 AM 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ，求λ的值. 图1 图2 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）由题意易知 AB ， AD ， AP 两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A （0，0，0）， C （2，2，0）， D （0，4，0）， P （0，0，4）， 则 ＝（－2，2，0）， ＝（0，4，－4）. 设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 即 令 x ＝1，得即 n ＝（1，1，1）. 由 ＝λ ，得 ＝（0，4λ，－4λ）， 故 M （0，4－4λ，4λ）， ＝（0，4－4λ，4λ）. 由直线 AM 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ， 返回目录 数学　选择性必修 第一册 得｜ cos ＜ ， n ＞｜＝｜ ｜ ＝ ＝ ，解得λ＝ . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 探究四　用空间向量解决探索性问题 探索性问题对解题者分析问题、解决问题的能力有较高要求， 在立体几何的解答题中探索性问题是一个重要的知识点. 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【真题4】如图，在四棱锥 P － ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ， AB ⊥ AD ， AB ＝1， AD ＝2， AC ＝ CD ＝ . 题图 （1）求证： PD ⊥平面 PAB ； 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）证明：因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ， 平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， AB ⊥ AD ， 所以 AB ⊥平面 PAD ，所以 AB ⊥ PD . 又 PA ⊥ PD ， PA ∩ AB ＝ A ，所以 PD ⊥平面 PAB . 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； 解析：（2）取 AD 的中点 O ，连接 PO ， CO . 因为 PA ＝ PD ，所以 PO ⊥ AD . 因为 PO ⊂平面 PAD ，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， 平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， 所以 PO ⊥平面 ABCD . 因为 CO ⊂平面 ABCD ，所以 PO ⊥ CO . 因为 AC ＝ CD ，所以 CO ⊥ AD . 如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz . 题图 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 由题意得， A （0，1，0）， B （1，1，0）， C （2，0，0）， D （0，－1，0）， P （0，0，1）， 所以 ＝（0，－1，－1）， ＝（2，0，－1）. 设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 即 令 z ＝2，则 x ＝1， y ＝－2. 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 所以 n ＝（1，－2，2）. 又 ＝（1，1，－1）， 所以 cos ＜ n ， ＞＝ ＝－ . 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 （3）在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 BM ∥平面 PCD ？若存 在，求 的值；若不存在，说明理由. 解析：（3）假设存在λ∈[0，1]， 使得 ＝λ . 因此点 M （0，1－λ，λ）， 则 ＝（－1，－λ，λ）. 因为 BM ⊄平面 PCD ， 所以要使 BM ∥平面 PCD ，则 · n ＝0， 题图 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 31 即（－1，－λ，λ）·（1，－2，2）＝0，解得λ＝ . 所以在棱 PA 上存在点 M ，使得 BM ∥平面 PCD ， 此时有 ＝ . 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 【真题5】（2023·新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 ABCD － A1 B1 C1 D1中， AB ＝2， AA1＝4.点 A2， B2， C2， D2分别在棱 AA1， BB1， CC1， DD1上， AA2＝1， BB2＝ DD2＝2， CC2＝3. （1）证明： B2 C2∥ A2 D2； 题图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）以 C 为坐标原点， CD ， CB ， CC1所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则 C （0，0，0）， C2（0，0，3）， B2（0，2，2）， D2（2，0，2）， A2（2，2，1）， 所以 ＝（0，－2，1）， ＝（0，－2，1）， 所以 ∥ ， 又 B2 C2， A2 D2不在同一条直线上， 所以 B2 C2∥ A2 D2. 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 34 （2）点 P 在棱 BB1上，当二面角 P － A2 C2－ D2为150°时，求 B2 P . 解析：（2）设 P （0，2，λ）（0≤λ≤4）， 则 ＝（－2，－2，2）， ＝（0，－2，3－λ）， ＝（－2，0，1）， 设平面 PA2 C2的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 令 z ＝2，得 y ＝3－λ， x ＝λ－1， 所以 n ＝（λ－1，3－λ，2）， 设平面 A2 C2 D2的法向量为 m ＝（ a ， b ， c ）， 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 则 令 a ＝1，得 b ＝1， c ＝2，所以 m ＝（1，1，2）， 所以｜ cos ＜ n ， m ＞｜＝ ＝ ＝｜ cos 150°｜＝ ， 化简可得λ2－4λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3， 所以 P （0，2，1）或 P （0，2，3），所以 B2 P ＝1. 答图 返回目录 数学　选择性必修 第一册 第一章综合测评 返回目录 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$