第一章 培优训练(一)(范围：1.1～1.3)（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 培优训练(一)(范围：1.1～1.3) 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 一、选择题 1. 如图所示，在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，点 F 是侧面 CDD1 C1的中心，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝ （　　） A. a ＋ b ＋ c B. a ＋ b ＋ c C. － a ＋ b ＋ c D. a ＋ b ＋ c 数学　选择性必修 第一册 解析：由题知，点 F 是侧面 CDD1 C1的中心，所以 F 为 DC1的 中点，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）＝ a ＋ b ＋ c .故选A项. 答案：A 数学　选择性必修 第一册 2. 已知空间向量 a ＝（－1，2， x ）， b ＝（3，－6，－3）， 且 a ∥ b ，则 x ＝（　　） A. 9 B. －1 C. 1 D. －9 答案：C 解析：因为空间向量 a ＝（－1，2， x ）， b ＝（3，－6，－3）， 且 a ∥ b ，所以 ＝ ＝ ，解得 x ＝1.故选C项. 数学　选择性必修 第一册 3. 对于空间一点 O 和不共线三点 A ， B ， C ，有6 ＝ ＋ 2 ＋3 ，则（　　） A. O ， A ， B ， C 四点共面 B. P ， A ， B ， C 四点共面 C. O ， P ， B ， C 四点共面 D. O ， P ， A ， B ， C 五点共面 答案：B 数学　选择性必修 第一册 解析：由6 ＝ ＋2 ＋3 ，得 － ＝2（ － ）＋3（ － ），即 ＝2 ＋3 ，所以 ， ， 共面，又它们有公共点 P ，所以 P ， A ， B ， C 四点 共面.故选B项. 数学　选择性必修 第一册 4. （多选）已知空间向量 a ＝（1，1，1）， b ＝（－1，0，2）， 则下列结论正确的是（　　） A. a ＋ b ＝（0，1，3） B. ｜ a ｜＝ C. a ⊥ b D. ＜ a ， b ＞＝ 答案：AB 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 a ＝（1，1，1）， b ＝（－1，0，2），所以 a ＋ b ＝（1，1，1）＋（－1，0，2）＝（0，1，3），故A项正 确；｜ a ｜＝ ＝ ，故B项正确； a · b ＝ （1，1，1）·（－1，0，2）＝－1＋0＋2＝1≠0，所以 a ， b 不垂 直，故C项错误； cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ ＝ ≠ cos ，故D项错 误.故选AB项. 数学　选择性必修 第一册 5. 我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得 两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵 ABC － A1 B1 C1中， AB ＝ AC ＝ AA1＝2， P 为 B1 C1的中点，则 · ＝（　　） A. 6 B. －6 C. 2 D. －2 答案：A 数学　选择性必修 第一册 解析：根据堑堵的几何性质知 AB ⊥ AC ， AA1⊥ AB ， AA1⊥ AC . 因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ），所以 · ＝（ ＋ ）·［ ＋ （ － ）］＝ · ＋ － · ＋ ＋ · － · ＝2＋4＝6.故选A项. 数学　选择性必修 第一册 二、填空题 6. 已知点 A （－2，－1，－3）， B （1，3，9），若 a0是与 反向的单位向量，则 a0＝ 　　　　. 解析：由题意知， ＝（3，4，12），则｜ ｜＝ ＝13， 所以 a0＝－ ＝（－ ，－ ，－ ）. 答案：（－ ，－ ，－ ） 数学　选择性必修 第一册 7. 如图，在平行六面体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， G 为 B1 C1的中 点， ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y ＋ z ＝ 　　　　；若 该六面体的棱长都为2，∠ BAD ＝∠ A1 AB ＝∠ A1 AD ＝60°， 则 AG ＝ 　　　　. 数学　选择性必修 第一册 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ，所以 x ＝1， y ＝ ， z ＝1，所以 x ＋ y ＋ z ＝ .因为 ｜ ｜2＝ ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋ · ＋2 · ＋ · ＝22＋ ×22＋22＋ 2×2 cos 60°＋2×2×2 cos 60°＋2×2 cos 60°＝17， 所以｜ ｜＝ ，即 AG ＝ . 答案： 　 数学　选择性必修 第一册 8. 在三棱锥 O － ABC 中， M ， N ， P ， Q 四点分别为棱 OA ， AB ， BC ， OC 的中点，则以下表述正确的序号是 　　　　. ①若 · ＝0， · ＝0，则 · ＝0； ② ＝ ； ③若｜ ｜＝｜ ｜，则 · ＝0； ④ － ＝ － . 数学　选择性必修 第一册 解析：对于①， · ＝0，即 ·（ － ）＝0， · ＝0，即 ·（ － ）＝0，两式相减得 · － · ＝0，即 · ＝0，正确；对于②，连接 MN ， NP ， PQ ， QM ，如图， M ， N ， P ， Q 四点分别为棱 OA ， AB ， BC ， OC 的中点，则 MN ∥ OB ∥ PQ ， 且 MN ＝ OB ＝ PQ ，则四边形 MNPQ 为 平行四边形，故 ＝ ，正确； 数学　选择性必修 第一册 对于③，由｜ ｜＝｜ ｜可知，平行四边形 MNPQ 为菱 形，故 · ＝0，正确；对于④， － ＝ ， － ＝ ，两向量所在直线为平行四边形 MNPQ 的对角线所在直线，两向量不共线，故 ≠ ，错误.故正确表述的序号是①②③. 答案：①②③ 数学　选择性必修 第一册 三、解答题 9. 如图，在正四面体 O － ABC 中， OA ＝6， M 为棱 OA 的中 点， N 为棱 BC （靠近 C 点）的三等分点，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c . （1）用 a ， b ， c 表示 ； 数学　选择性必修 第一册 解析：（1） ＝ ＋ ＝－ a ＋ ＋ ＝－ a ＋ ＋ ＝－ a ＋ ＋ （ ＋ ）＝－ a ＋ b － b ＋ c ＝ － a ＋ b ＋ c . 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）由（1）知 · ＝ a ·（－ a ＋ b ＋ c ） ＝－ a2＋ a · b ＋ a · c ＝－ ×36＋ ×6×6× ＋ ×6×6× ＝－18＋3＋6＝－9. （2）求 · ； 数学　选择性必修 第一册 解析：（3） ＝ － ＝ ＋ － a ＝ b ＋ （ c － b ）－ a ＝－ a ＋ b ＋ c ， 所以｜ ｜2＝（－ a ＋ b ＋ c ）2 ＝ a2＋ b2＋ c2＋2·（－ ）· a · b ＋2·（－ ）· a · c ＋ 2· · b · c ＝ ×36＋ ×36＋ ×36－6－12＋8＝19， 所以｜ ｜＝ . （3）求 MN 的长. 数学　选择性必修 第一册 10. 棱长为2的正方体中， E ， F 分别是 DD1， DB 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG ＝ CD ， H 是 C1 G 的中点.建立适当的空间 直角坐标系，解决下列问题： 题图 （1）求证： EF ⊥ B1 C ； 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）证明：如图，以 D 为原点， DA ， DC ， DD1分别 为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则 D （0，0，0）， E （0，0，1）， F （1，1，0）， C （0，2，0）， C1（0，2，2）， B1（2，2，2）， G （0， ，0）， 答图 数学　选择性必修 第一册 所以 ⊥ ，故 EF ⊥ B1 C . 答图 因为 ＝（1，1，－1）， ＝（－2，0，－2）， 所以 · ＝（1，1，－1）·（－2，0，－2）＝1×（－2） ＋1×0＋（－1）×（－2）＝0， 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）因为 ＝（0，－ ，－2）， 所以｜ ｜＝ . 因为｜ ｜＝ ，且 · ＝ （1，1，－1）·（0，－ ，－2）＝2－ ＝ ， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ · ＝ ＝ . （2）求 cos ＜ ， ＞； 题图 数学　选择性必修 第一册 解析：（3）因为 H 是 C1 G 的中点，所以 H （0， ，1）， 又因为 F （1，1，0），所以 ＝（1，－ ，－1）， 所以｜ ｜＝ ＝ ＝ ，即 FH ＝ . 题图 （3）求 FH 的长. 数学　选择性必修 第一册 11. 已知 a ＝（1，1，0）， b ＝（1，1，1），若 b ＝ b1＋ b2， b1∥ a ， b2⊥ a ，则向量2 b1－3 b2的坐标为（　　） A. （2，－2，－3） B. （2，－2，3） C. （－2，－2，3） D. （2，2，－3） 答案：D 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 b1∥ a ，所以设 b1＝（ m ， m ，0），因为 b ＝ b1＋ b2，所以 b2＝ b － b1＝（1，1，1）－（ m ， m ，0）＝ （1－ m ，1－ m ，1），因为 b2⊥ a ，所以1－ m ＋1－ m ＋0＝0，解得 m ＝1，则 b1＝（1，1，0）， b2＝（0，0，1），所以 2 b1－3 b2＝（2，2，0）－（0，0，3）＝（2，2，－3）. 故选D项. 数学　选择性必修 第一册 12. （多选）已知 a ＝（2，－1，2）， b ＝（2，2，1），则 （　　） A. a ， b 的夹角为锐角 B. a ＋ b 与 a － b 相互垂直 C. ｜ a ＋ b ｜＝｜ a － b ｜ D. 以 a ， b 为邻边的平行四边形的面积为 答案：ABD 解析： a ＝（2，－1，2）， b ＝（2，2，1），则｜ a ｜＝ ｜ b ｜＝3， a · b ＝2×2－1×2＋2×1＝4. 数学　选择性必修 第一册 因为 ≠ ≠ ，则 a 与 b 不共线，又因为 cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ ＞0，故 a ， b 的夹角为锐角，故A项正确；因 为 a ＋ b ＝（4，1，3）， a － b ＝（0，－3，1），则 （ a ＋ b ）·（ a － b ）＝4×0＋1×（－3）＋3×1＝0，所以 a ＋ b 与 a － b 相互垂直，故B项正确；｜ a ＋ b ｜＝ ＝ ，｜ a － b ｜＝ ＝ ，即｜ a ＋ b ｜≠｜ a － b ｜，故C项错误； 数学　选择性必修 第一册 因为＜ a ， b ＞∈（0，π），则 sin ＜ a ， b ＞＝ ＝ ，故以 a ， b 为邻边的平行四边形的 面积为2× ×3×3× ＝ ，故D项正确.故选ABD项. 数学　选择性必修 第一册 13. 如图，在三棱柱 ABC － A1 B1 C1中， P 为空间一点，且满足 ＝λ ＋μ ，λ，μ∈[0，1]，则下列结论正确的序号 是 　　　　. ①当λ＝1时，点 P 在棱 BB1上； ②当μ＝1时，点 P 在棱 B1 C1上； ③当λ＋μ＝1时，点 P 在线段 B1 C 上； ④当λ＝μ时，点 P 在线段 BC1上. 数学　选择性必修 第一册 解析：当λ＝1时， ＝ ＋μ ，所以 ＝μ ，则 ∥ ，即 P 在棱 CC1上，故①错误；同理当μ＝1时， ∥ ，故 P 在棱 B1 C1上，故②正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1 －λ，所以 ＝λ ＋（1－λ） ，即 ＝λ ，故点 P 在线段 B1 C 上，故③正确；当λ＝μ时， ＝λ（ ＋ ）＝λ ，故点 P 在线段 BC1上，故④正确. 答案：②③④ 数学　选择性必修 第一册 14. 如图所示，在三棱柱 ABC － A1 B1 C1中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， CA ＝ CB ＝ CC1＝1，＜ a ， b ＞＝＜ a ， c ＞＝ ，＜ b ， c ＞＝ ， N 是 AB 的中点. （1）用 a ， b ， c 表示向量 ； 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）因为 N 是 AB 的中点， 所以 ＝ ， 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ ＋ （ － ）＝－ a ＋ b － c . 数学　选择性必修 第一册 （2）在线段 C1 B1上是否存在点 M ，使 AM ⊥ A1 N ？若存在， 求出 M 的位置；若不存在，说明理由. 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）假设存在点 M ，使 AM ⊥ A1 N ，设 ＝λ （λ∈[0，1]），显然λ ＝λ b ， ＝ ＋ ＋ ＝ c － a ＋λ b ，因为 AM ⊥ A1 N ，所以 · ＝0， 即（ c － a ＋λ b ）·（－ a ＋ b － c ）＝0， 所以－ c · a ＋ c · b － c2＋ a2－ a · b ＋ c · a － λ a · b ＋ λ b2－ λ b · c ＝0， 数学　选择性必修 第一册 因为 CA ＝ CB ＝ CC1＝1，＜ a ， b ＞＝＜ a ， c ＞＝ ， ＜ b ， c ＞＝ ， 所以 c · a － c2＋ a2－（ ＋ λ） a · b ＋ λ b2＝0， 即 ×1×1×（－ ）－12＋ ×12－ （ ＋ λ）×1×1×（－ ）＋ λ·12＝0， 解得λ＝ ， 所以当 C1 M ＝ C1 B1时， AM ⊥ A1 N . 数学　选择性必修 第一册 15. （多选）金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组 成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的 每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接. 从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四 面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子 距离都相等的位置，如图2所示，即图2中有 AE ＝ BE ＝ CE ＝ DE . 若正四面体 ABCD 的棱长为2，则下列结论正确的是 （　　） 数学　选择性必修 第一册 图1 图2 A. ｜ ｜＝ B. ｜ ＋ ＋ ｜＝ C. cos ＜ ， ＞＝ D. · ＝2 数学　选择性必修 第一册 答案：BD 解析：由题意得 E 是四面体 ABCD 外接球的球心，设 O 是顶点 A 在下底面的射影， AO 是四面体的高， OB 是△ BCD 的外接 圆半径，则 OB ＝ ， AO ＝ ， BE2＝（ AO － AE ）2＋ BO2，解得 AE ＝ ， OE ＝ ，所以｜ ｜＝ AE ＝ ，故 A项错误； 数学　选择性必修 第一册 因为 AE ＝ BE ＝ DE ，所以 ＋ ＝－（ ＋ ），所以 ＋ ＋ ＋ ＝0，所以｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜ ＝｜ ｜＝ ，故B项正确； cos ＜ ， ＞＝ cos ＜ ， ＞＝－ ＝－ ，故C项错误； · ＝ ＝2，故D 项正确.故选BD项. 数学　选择性必修 第一册 16. 如图，在长方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，点 E ， F 分别在棱 DD1， BB1上，且 EF ⊥ A1 E . 若 AB ＝2， AD ＝1， AA1＝3，则 B1 F 的取值范围是 　　　　. 题图 数学　选择性必修 第一册 解析：以点 C1为坐标原点， C1 D1， C1 B1， C1 C 所在直线分别 为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（2，1，0）.设 E （2，0， m ）， F （0，1， n ），0≤ m ≤3，0≤ n ≤3， 则 ＝（0，－1， m ）， ＝（－2，1， n － m ）. 答图 数学　选择性必修 第一册 答案：[2，3] 因为 EF ⊥ A1 E ，所以 · ＝0，即－1＋ m （ n － m ）＝0，化简得 mn ＝1＋ m2.当 m ＝0时，显然不符合题意.故 n ＝ ＋ m ≥2，当且仅当 m ＝1时，等号成立.故 B1 F 的最小值为2.所以 2≤ B1 F ≤3，即 B1 F 的取值范围是[2，3]. 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$