第一章 培优训练(二)(范围：1.4)（课件PPT)- 【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

空间向量与立体几何 第一章 培优训练(二)(范围：1.4) 课件使用说明 本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。 由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 一、选择题 1. 下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论 中正确的是（　　） A. 两条直线 l1， l2的方向向量分别是 a ＝（1，－3，4）， b ＝ （－1，3，－4），则 l1∥ l2 B. 直线 l 的方向向量是 a ＝（1，－3，4），平面α的一个法向 量是 n ＝（2，2，1），则 l ∥α C. 直线 l 的方向向量是 a ＝（0，－3，4），平面α的一个法向 量是 n ＝（0，－3，4），则 l ⊥α D. 直线 l 的方向向量是 a ＝（1，－3，4），平面α的一个法向 量是 n ＝（1，3，2），则 l ⊥α 数学　选择性必修 第一册 答案：C 解析：A项，因为 a ＝（1，－3，4）， b ＝（－1，3，－4）， 即 a ＝－ b ，所以 a ∥ b ，所以 l1∥ l2或 l1， l2重合，故A项错 误； B项，因为 a · n ＝1×2＋（－3）×2＋4×1＝0，所以 a ⊥n ， 所以 l ∥α或 l 在平面α内，故B项错误；C项，因为 a ＝ （0，－3，4）， n ＝（0，－3，4），即 a ＝ n ，所以 a ∥ n ， 所以 l ⊥α，故C项正确； D项，因为 a · n ＝1×1＋（－3）×3 ＋4×2＝0，所以 a ⊥ n ，所以 l ∥α或 l 在平面α内，故D项错误. 故选C项. 数学　选择性必修 第一册 2. （多选）在三棱锥 A － BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法 向量分别为 n1， n2，若 n1＝（1，0，0）， n2＝（－ ，0， 1），则二面角 A － BD － C 的大小可能为（　　） A. B. C. D. 答案：AD 解析：由已知可得 cos ＜ n1， n2＞＝ ＝－ ， 所以二面角 A － BD － C 的大小为 或 .故选AD项. 数学　选择性必修 第一册 3. 在正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中，棱长为2， O 是底面正方形 ABCD 的中心，点 M 在 DD1上， N 是 A1 B1上靠近 A1的三等分 点，当直线 ON 与 AM 垂直时， DM 的长为（　　） 题图 A. 1 B. C. D. 数学　选择性必修 第一册 答案：A 解析：如图，建立空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， O （1，1，0）， N （2， ，2），设 M （0，0， a ）， a ∈[0，2]，则 ＝（－2，0， a ）， ＝（1，－ ，2），因为 ON ⊥ AM ， 所以 · ＝－2＋2 a ＝0， 解得 a ＝1.故选A项. 答图 数学　选择性必修 第一册 4. 在棱长为1的正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， P 为棱 A1 B1的中 点，异面直线 BP 与 CD1所成的角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 答案：B 数学　选择性必修 第一册 解析：如图，以 D 为原点，以 DA ， DC ， DD1所在的直线分别 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，则 B （1，1，0）， C （0，1，0）， P （1， ，1）， D1（0，0，1），所以 ＝ （0，－ ，1）， ＝（0，－1，1），设异面直线 BP 与 CD1所成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ .故选B项. 数学　选择性必修 第一册 5. （多选）如图，在直三棱柱 ABC － A1 B1 C1中， AC ＝ CB ＝ 2， AA1＝3，∠ ACB ＝90°，则（　　） 题图 A. 点 C1到平面 A1 B1 C 的距离为1 B. 点 C1到平面 A1 B1 C 的距离为 C. 直线 A1 C1与平面 A1 B1 C 所成角的正弦值为 D. 直线 A1 C1与平面 A1 B1 C 所成角的正弦值为 答案：BD 数学　选择性必修 第一册 解析：以 C1为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C1 xyz ，则 A1（2，0，0）， B1（0，2，0）， C （0，0，3），所以 ＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，3）， 设平面 A1 B1 C 的法向量为 n ， 则 令 x ＝3，得 n ＝（3，3，2）. 答图 数学　选择性必修 第一册 因为 ＝（－2，0，0），所以点 C1到平面 A1 B1 C 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 直线 A1 C1与平面 A1 B1 C 所成角的正弦值为 ＝ ＝ .故选BD项. 答图 数学　选择性必修 第一册 二、填空题 6. 在空间直角坐标系 Oxyz 中， A （1，2，1）， B （2，1，m ）， C （0，1，2），若点 C 到直线 AB 的距离不小于 ， 写出一个满足条件的 m 的值： 　　　　. 数学　选择性必修 第一册 解析：因为 ＝（1，－1， m －1）， ＝（－1，－1，1），所以点 C 到直线 AB 的距离 d ＝ ＝ ≥ ，解得1－ ≤ m ≤1＋ ，故答案可为 1（答案不唯一，只要1－ ≤ m ≤1＋ 即可）. 答案：1（答案不唯一） 数学　选择性必修 第一册 7. 若直线 a 的方向向量为 a ，平面α，β的法向量分别为 n ， m ，则下列命题为真命题的序号是 　　　　. ①若 a ∥ n ，则直线 a ⊥平面α； ②若 a ⊥ n ，则直线 a ∥平面α； ③若 cos ＜ a ， n ＞＝ ，则直线 a 与平面α所成角的大小为 ； ④若 cos ＜ m ， n ＞＝ ，则平面α，β的夹角为 . 数学　选择性必修 第一册 解析：若 a ∥ n ，则 a 为平面α的一个法向量，故直线 a ⊥平面 α，①正确；若 a ⊥ n ，则直线 a ∥平面α或直线 a ⊂平面α，② 错误；若 cos ＜ a ， n ＞＝ ，则直线 a 与平面α所成角的大小 为 ，③正确；若 cos ＜ m ， n ＞＝ ，则平面α，β的夹角为 ，④正确.故正确命题的序号是①③④. 答案：①③④ 数学　选择性必修 第一册 8. 已知 ABCD － A1 B1 C1 D1是棱长为1的正方体，则平面 AB1 D1 与平面 C1 BD 的距离为 　　　　. 解析：以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B （1，1，0）， D （0，0，0）， C1（0，1，1）， D1（0，0，1）， B1（1，1，1）， 可得 ＝（0，1，1）， ＝（－1，0，1）， ＝（－1，0，1）， ＝（0，1，1）， 因为 ＝ ， ＝ ，则 ∥ ， ∥ ，所以 AD1∥ BC1， AB1∥ DC1， 因为 AD1⊄平面 C1 BD ， BC1⊂平面 C1 BD ， AB1⊄平面 C1 BD ， DC1⊂平面 C1 BD ，所以 AD1∥平面 C1 BD ， AB1∥平面 C1 BD ， 数学　选择性必修 第一册 又 AD1∩ AB1＝ A ， AD1， AB1⊂平面 AB1 D1， 所以平面 AB1 D1∥平面 C1 BD ，所以平面 AB1 D1与 平面 C1 BD 的距离等于点 C1到平面 AB1 D1的距离d ， 设平面 AB1 D1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 令 z ＝1， 可得 x ＝1， y ＝－1，所以 n ＝（1，－1，1）， 又因为 ＝（1，0，0），所以 d ＝ ＝ . 所以平面 AB1 D1与平面 C1 BD 的距离为 . 答案： 数学　选择性必修 第一册 三、解答题 9. 如图，在直四棱柱 ABCD － A1 B1 C1 D1中，侧棱 AA1的长为 3，底面 ABCD 是边长为2的正方形， E 是棱 BC 的中点. 题图 （1）证明： BD1∥平面 C1 DE ； 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）根据题意，以 D 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向建立如图所示的空间 直角坐标系. 因为侧棱 AA1的长为3，底面 ABCD 是边长为2的正方形， 所以 B （2，2，0）， C （0，2，0）， C1（0，2，3）， D1（0，0，3）， 答图 数学　选择性必修 第一册 因为 E 是棱 BC 的中点，所以 E （1，2，0），所以 ＝ （0，2，3）， ＝（1，2，0）， ＝（－2，－2，3）. 设平面 C1 DE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 所以 得 令 y ＝－3，得 x ＝6， z ＝2， 所以 n ＝（6，－3，2）， 因为 n · ＝－12＋6＋6＝0，所以 n ⊥ ， 因为 BD1⊄平面 C1 DE ，所以 BD1∥平面 C1 DE . 答图 数学　选择性必修 第一册 （2）求平面 C1 DE 与平面 ABCD 的夹角的正切值； 题图 解析：（2）由（1）得平面 C1 DE 的一个法向量为 n ＝（6，－3，2）， 由题可设平面 ABCD 的一个法向量为 m ＝（0，0，1）， 所以 cos ＜ m ， n ＞＝｜ ｜ ＝ ＝ ， 所以 sin ＜ m ， n ＞＝ ，所以tan＜ m ， n ＞＝ ， 所以平面 C1 DE 与平面 ABCD 的夹角的正切值为 . 数学　选择性必修 第一册 （3）求点 A1到平面 C1 DE 的距离. 解析：（3）由（1）得平面 C1 DE 的一个法向量为 n ＝（6，－3，2）， A1（2，0，3）， D （0，0，0）， 所以 ＝（2，0，3）， 所以点 A1到平面 C1 DE 的距离为 d ＝ ＝ ＝ . 所以点 A1到平面 C1 DE 的距离为 . 题图 数学　选择性必修 第一册 10. 如图， C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A ， B 的点，平面 PAC ⊥平面 ABC ， PA ＝ PC ＝ AC ＝2， BC ＝4， E ， F 分别是 PC ， PB 的中点，记平面 AEF 与平面 ABC 的交线为直线 l . （1）证明： l ⊥平面 PAC ； 题图 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）连接 CO 并延长，交圆 O 于点 S ，连接 AS ， SB ， SF ， 则 AB ＝ SC ，四边形 ASBC 为矩形， BC ∥ AS ， 因为 EF ∥ BC ，所以 EF ∥ AS ， 故平面 AEF 与平面 ABC 的交线为 AS 所在直线，即 AS 所在直 线为直线 l ， 因为 CS 为直径，所以 AC ⊥ AS ， 因为平面 PAC ⊥平面 ABC ，交线为 AC ， AS ⊂平面 ABC ， 所以 AS ⊥平面 PAC ，即 l ⊥平面 PAC . 数学　选择性必修 第一册 （2）直线 l 上是否存在点 Q ，使得直线 PQ 与平面 AEF 所成的 角的正弦值为 ？若存在，求出｜ AQ ｜的值；若不存在，请 说明理由. 题图 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）在 AS 上取点 Q ，连接 PQ ，以 C 为坐标原点， CA 所在直线为 x 轴， CB 所在直线为 y 轴，垂直 CA ， CB 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 PA ＝ PC ＝ AC ＝2， BC ＝4， 所以 P （1，0， ）， E （ ，0， ）， A （2，0，0）， B （0，4，0）， F （ ，2， ）， Q （2， m ，0）， 设平面 AEF 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 答图 数学　选择性必修 第一册 则​ 解得 y ＝0，令 x ＝1，则 z ＝ ， 故 n ＝（1，0， ），又 ＝（1， m ，－ ）， 答图 数学　选择性必修 第一册 故｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ＝ ， 解得 m ＝±1，故｜ AQ ｜＝1， 即直线 l 上存在点 Q ， 使得直线 PQ 与平面 AEF 所成的角的正弦值为 ， 且｜ AQ ｜＝1. 答图 数学　选择性必修 第一册 11. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲 池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形 （扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲 池，它的高为4， AA1， BB1， CC1， DD1均与曲池的底面垂 直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4， 对应的圆心角为90°，则图中异面直线 AB1与 CD1所成角的余弦值为（　　） 题图 A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D. 答案：A 数学　选择性必修 第一册 解析：如图，设上底面圆心为 O1，下底面圆心为 O ，连接 OO1， OC ， OB ，以 O 为原点，分别以 OC ， OB ， OO1所在直 线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C （2，0， 0）， A （0，4，0）， B1（0，2，4）， D1（4，0，4），则 ＝（2，0，4）， ＝（0，－2，4）， 答图 数学　选择性必修 第一册 答图 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，又异面直线所成角的范围为（0， ］，故异面直线 AB1与 CD1所成角的余弦值为 .故选A项. 答图 数学　选择性必修 第一册 12. （多选）如图所示，三棱锥 S － ABC 中，△ ABC 为等边三 角形， SA ⊥平面 ABC ， SA ＝3， AB ＝2，点 D 在线段 SC 上， 且 SD ＝ SC ，点 E 为线段 SB 的中点，以线段 BC 的中点 O 为 坐标原点， OA ， OB 所在直线分别为 x ， y 轴，过点 O 作 SA 的 平行线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是 （　　） A. 直线 CE 的一个方向向量为（ ， ， ） B. 点 D 到直线 CE 的距离为 C. 平面 ACE 的一个法向量为（ ，3，－2） D. 点 D 到平面 ACE 的距离为1 数学　选择性必修 第一册 34 答案：ABD 解析：由题意得 S （ ，0，3）， A （ ，0，0）， B （0，1，0）， C （0，－1，0）， E （ ， ， ）. 若 SD ＝ SC ，则 D （ ，－ ，2）， 则 ＝（ ， ， ）＝ （ ， ， ），故A项正确； ＝（ ， ，2）， ＝（－ ，－1，0）， ＝（－ ， ， ），故点 D 到直线 CE 的 距离 d ＝ ＝ ，故B项正确； 数学　选择性必修 第一册 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ACE 的法向量，则 即 令 z ＝－2，则 n ＝（－ ，3，－2）为平面 ACE 的一个法向 量，故C项错误；而 ＝（ ， ，2），故点 D 到平面 ACE 的距离 d1＝ ＝1，故D项正确.故选ABD项. 数学　选择性必修 第一册 13. 如图，正方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， M 是 A1 D 的中点，则下列结论正确的是（　　） 题图 A. 直线 MB 与直线 B1 D1相交，直线 MB ⊂平面 ABC1 B. 直线 MB 与直线 D1 C 平行，直线 MB ⊥平面 A1 C1 D C. 直线 MB 与直线 AC 异面，直线 MB ⊥平面 ADC1 B1 D. 直线 MB 与直线 A1 D 垂直，直线 MB ∥平面 B1 D1 C 数学　选择性必修 第一册 答案：D 解析：因为 ABCD － A1 B1 C1 D1是正方体，不妨设棱长为2，以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 D （0，0，0）， D1（0，0，2）， A （2，0，0）， A1（2，0，2）， B （2，2，0）， B1（2，2，2）， C （0，2，0）， C1（0，2，2），又 M 为 A1 D 的中点， 故可得 M （1，0，1）， ＝（1，2，－1）， ＝（－2，0，－2），设平面 ADC1 B1的 法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即不妨取 y ＝－1，故可得 n ＝（0，－1，1）. 答图 数学　选择性必修 第一册 设平面 B1 D1 C 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ）， 则 即不妨取 y ＝1， 故可得 m ＝（－1，1，1）.因为 BD ∥ B1 D1， BD ∩ BM ＝ B ， 故 BM ， B1 D1不相交，故A项错误； ＝（1，2，－1）， ＝（0，2，－2），不存在非零实数λ， 使得 ＝λ ，故 MB ， D1 C 不平行，故B项错误； 答图 数学　选择性必修 第一册 ＝（1，2，－1），平面 ADC1 B1的法向量为 n ＝（0，－1，1），不存在非零实数λ，使得 ＝λ n ， 故 MB 与平面 ADC1 B1不垂直，故C项错误； ＝（1，2，－1）， ＝（－2，0，－2）， 则 · ＝－2＋2＝0，故直线 MB 与 A1 D 垂直， 又 · m ＝－1＋2－1＝0，故 MB 与平面 B1 D1 C 平行， 故D项正确.故选D项. 答图 数学　选择性必修 第一册 14. 如图，在长方体 ABCD － A1 B1 C1 D1中， AB ＝1， BC ＝ ，点 M （0，1， ），且 MD1⊥ MA ，如图所示，建立空 间直角坐标系，则 DD1＝ 　　　　，棱 CC1与平面 MAD1所成 角的正弦值为 　　　　. 数学　选择性必修 第一册 解析：由题意得，设 D1（0，0， z ），则 C （0，1，0）， A （ ，0，0）， 因为 MD1⊥ MA ， ＝（0，－1， z － ）， ＝（ ，－1，－ ），所以 · ＝0， 即1－ （ z － ）＝0，解得 z ＝ ， 所以｜ ｜＝ ，所以 C1（0，1， ）， ＝（0，0， ）， ＝（0，－1， ）， 数学　选择性必修 第一册 设平面 MAD1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 ⇒ 令 z ＝1，则 y ＝ ， x ＝ ，于是平面 MAD1的一个法向量为 n ＝（ ， ，1），设棱 CC1与平面 MAD1所成角为θ， 所以 sin θ＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ＝ ＝ . 答案： 　 数学　选择性必修 第一册 15. 直三棱柱 ABC － A1 B1 C1中， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝ CC1＝ 2，点 D 为线段 AC 的中点，直线 BC1与 B1 C 的交点为 M ，若点 P 在线段 CC1上运动， CP 的长度为 m . （1）求点 M 到平面 A1 BD 的距离； 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）由题意可知，四边形 BCC1 B1为正方形， 则 M 为 B1 C 的中点，以 B 为坐标原点， ， ， 为 x ， y ， z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 M （1，0，1）， B （0，0，0）， A1（0，2，2）， D （1，1，0）， 所以 ＝（1，0，1）， ＝（0，2，2）， ＝（1，1，0）， 数学　选择性必修 第一册 设平面 A1 BD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 令 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝1， 即 n ＝（1，－1，1）， 所以点 M 到平面 A1 BD 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 数学　选择性必修 第一册 （2）是否存在点 P ，使得二面角 P － BD － A1的余弦值为－ ，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）存在.理由如下： 设点 P （2，0， m ），平面 PBD 的法向量为 s ＝（ a ， b ， c ），因为 ＝（2，0， m ）， ＝（1，1，0），则 令 c ＝2， 则 a ＝－ m ， b ＝ m ，即 s ＝（－ m ， m ，2）， 所以｜ cos ＜ n ， s ＞｜＝ ＝ ＝ ，解得 m ＝2或 m ＝ ， 数学　选择性必修 第一册 当 m ＝2时， P 与 C1重合， 此时二面角 P － BD － A1为锐二面角，不合题意； 当 m ＝ 时，二面角 P － BD － A1为钝二面角，符合题意； 综上所述，存在点 P ， 使得二面角 P － BD － A1的余弦值为－ ，此时 m ＝ . 数学　选择性必修 第一册 16. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数 学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于 是他们仿照该模型设计了一道数学探究题.如图1， E ， F ， G 分别是正方形的三边 AB ， CD ， AD 的中点，先沿着虚线段 FG 将等腰直角三角形 FDG 裁掉，再将剩下的五边形 ABCFG 沿着线段 EF 折起，连接 AB ， CG 就得到了一个“刍甍” （如图2）. 图1 图2 数学　选择性必修 第一册 （1）若 O 是四边形 EBCF 对角线的交点，求证： AO ∥平面 GCF ； 图1 图2 数学　选择性必修 第一册 解析：（1）取线段 CF 的中点 H ，连接 OH ， GH ，由题图1可 知，四边形 EBCF 是矩形，且 CB ＝2 EB ，所以 O 是线段 BF 与 CE 的中点，所以 OH ∥ BC 且 OH ＝ BC ，在题图1中 AG ∥ BC 且 AG ＝ BC ， EF ∥ BC 且 EF ＝ BC ， 图1 数学　选择性必修 第一册 所以在题图2中， AG ∥ BC 且 AG ＝ BC ， 所以 AG ∥ OH 且 AG ＝ OH . 所以四边形 AOHG 是平行四边形，则 AO ∥ HG . 由于 AO ⊄平面 GCF ， HG ⊂平面 GCF ， 所以 AO ∥平面 GCF . 图2 数学　选择性必修 第一册 （2）若二面角 A － EF － B 的大小为 π，求直线 AB 与平面 GCF 所成角的正弦值. 图1 图2 数学　选择性必修 第一册 解析：（2）由题意知 EF ⊥ AE ， EF ⊥ BE ，所以∠ AEB 即为二面角 A － EF － B 的平面角，所以∠ AEB ＝120°.以 E 为坐标原点， ， 分别为 x 轴和 y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，且设 CB ＝2 EB ＝2 EA ＝4， 数学　选择性必修 第一册 则 B （2，0，0）， F （0，4，0）， A （－1，0， ）， 所以 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝（－1，－2， ）， ＝（－3，0， ）， ＝ ＝（2，0，0）， 数学　选择性必修 第一册 设平面 GCF 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 由 得取 y ＝ ，则 z ＝2， 于是平面 GCF 的一个法向量为 n ＝（0， ，2）， 所以 cos ＜ n ， ＞＝ ＝ ＝ ， 所以直线 AB 与平面 GCF 所成角的正弦值为 . 数学　选择性必修 第一册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 $$