第14讲 函数的单调性（十大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第14讲 函数的单调性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2、理解函数单调性的作用和实际意义. 3、在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 考点一：单调性的概念 【典例1-1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】函数为上增函数，，反之不成立， 例如定义在,上，，且在上满足，则有“”， “”是“函数为增函数”的必要不充分条件． 故选：B． 【典例1-2】（2024·高一·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高一·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 【变式1-2】（2024·高一·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【答案】B 【解析】若函数在区间是增函数， 即任意，使得且， 则若函数在区间不是增函数， 即存在，使得且. 故选：B 考点二：函数的单调性的证明 【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【解析】当时，， 任取，且， 则. 因为，所以，，， 所以，即. 所以在上是增函数. 【典例2-2】（2024·高一·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【解析】（1），； （2）设， ， ，即 则函数在上是增函数 【变式2-1】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【解析】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 考点三：求函数的单调区间 【典例3-1】（2024·高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【解析】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 【典例3-2】（2024·高一·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【解析】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 【变式3-1】（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】，画出函数图象， 结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. 考点四：利用函数单调性求参数的取值范围 【典例4-1】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 【典例4-2】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 【变式4-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 【变式4-2】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 考点五：利用函数单调性的性质解不等式 【典例5-1】（2024·高一·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 【典例5-2】（2024·高一·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得， 解得，即， 故选：D 【变式5-1】（2024·高一·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得在上单调递减， 若可得. 故选：D. 【变式5-2】（2024·高一·海南海口·阶段练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 画出的图象，如下： 故在上单调递增， 故，解得， 只需，其中， 故，解得， 此时，不包含0，符合要求. 故选：D 【变式5-3】（2024·高一·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在上是减函数，，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 考点六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【典例6-1】（2024·高一·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A 【典例6-2】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，可得， 构造函数，则是上的减函数. 故，即，由此得， 故选：C. 【变式6-1】（2024·高一·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 【变式6-2】（2024·高一·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是增函数， 时，，；时，，；，因此，；时，，， 故选：C． 考点七：求函数的最值 【典例7-1】（2024·高一·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【解析】（1）函数在上单调递减，证明如下： 函数，任取，设， 则， 因为，，则， 故，即， 故函数在上单调递减； （2）由（1）知函数在上单调递减， 故. 【典例7-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）因为， 因为在单调递减， 所以在单调递增. 定义法证明如下： 任取，，则， ， 所以，故在单调递增. （2）由（1）得在区间上单调递增， 所以，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【变式7-1】（2024·高一·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式7-2】（2024·高一·河南·开学考试）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）令，得， 则， 故的解析式为． （2）由题意得， 函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 故在上的值域为． 考点八：抽象函数单调性的证明 【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【解析】（1）令，得，则， 而， 又，所以； （2）任取，且，， 当时，，， ，即 在上为减函数． 【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性. 【解析】令，则，解得， 令，则，所以，故在R上是奇函数. 任取，且，令，则， 因为在R上是奇函数，所以， 所以，因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在定义域上单调递增. 【变式8-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【解析】函数在上单调递增，证明如下： 设，则，所以，即， 任取，且，则， 所以， 即，所以在上单调递增. 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明； 【解析】设是区间上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. 【变式8-3】（2024·高一·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 【解析】函数是上的单调递增函数. 证明如下：任取且， 因为函数 是上的严格增函数， 是上的严格减函数， 可得， 则， 即， 所以函数为上的严格增函数. 考点九：二次函数在闭区间上的最值问题 【典例9-1】（2024·高一·广东梅州·期末）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【解析】（1）若，则，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的值域为； （2）二次函数， 对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，， 综上：. 【典例9-2】（2024·高一·天津宁河·期末）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. (3)若，求值域. 【解析】（1）由，得； （2）由（1）可知，， 任取，则， ，，有，即， 所以在区间上单调递增. （3）由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以时，值域为. 【变式9-1】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 【解析】（1）任取，， 由，可得，，所以，又， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数． （2）由于函数在单调递减，在单调递增， 又， 所以的最大值为8，最小值为 【变式9-2】（2024·高一·北京·期中）设，函数.求函数在区间上的最小值. 【解析】函数的图象开口向上，对称轴为. 当，即时，函数在区间上单调递增，此时； 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时； 当，即时，函数在区间上单调递减，此时. 综上可得：当时， ； 当时， ； 当时， . 【变式9-3】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知二次函数满足，且. (1)求解析式； (2)讨论在区间上的最大值. 【解析】（1）设，则， 而， 可得，解得， 所以. （2）由（1）可得， 可知在上单调递减，上单调递增，且， 当时，在区间上的最大值为； 当时，在区间上的最大值为. 考点十：恒成立与能成立问题 【典例10-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 【典例10-2】（2024·高一·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）不等式，即， 因为不等式的解集为，即是方程的两根， 将代入方程得，解得， 再由韦达定理得，故. （2）因为存在，，使得成立， 设的值域为，的值域为，则， 的对称轴为，故在上单调递增， 则，即，所以， 当时，，不满足题意； 当时，在上单调递增， 则，即，所以， 由，得，解得； 当时，在上单调递减， 则，即，所以， 由，得，解得， 综上所述，. 【变式10-1】（2024·高一·广东东莞·阶段练习）已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设， ∵， ∴，，， ∴， ∴在区间上单调递减； （2）由（2）可知在上单调减函数， ∴当时，取得最小值，即， 对任意时，都成立，只需成立， ∴，解得：． 【变式10-2】（2024·高一·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 【解析】（1），时，函数， 当且仅当，即时等号成立， 所以时函数（）的最小值为. （2），任意的，不等式成立， 即在上恒成立， 设，在上恒成立， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 1．（2024·高一·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意当时，单调递减，当时，单调递增， 若函数在定义域上是减函数，只需， 解得，对比选项可知的值可以是. 故选：D. 2．（2024·高一·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，设，则，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，则有，解得， 故选：B． 3．（2024·高一·上海·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若函数对于任意的实数，都有成立， 则在上单调递增， 则有：，解得：， 故选：A． 4．（2024·高一·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 5．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【解析】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 6．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 7．（2024·高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【解析】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 8．（2024·高一·广东潮州·期中）已知函数，的值域是，则实数 . 【答案】或 【解析】若，此时， 其在上单调递增， 故，解得，满足要求， 若，此时， 其在上单调递减， 故，解得，满足要求， 若，此时的最小值为0，当时，等号成立， 此时不满足值域是. 故答案为：或 9．（2024·高一·浙江台州·期末）若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 . 【答案】 【解析】由题可得, 因为函数在 上的最小值为1， 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在 上，在单调递减，单调递增， 所以，解得. 故答案为： 10．（2024·高一·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数的对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增，所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以有，或， 因此实数的取值范围为， 故答案为： 11．（2024·高一·全国·假期作业）已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，则函数在上为增函数，则，即，所以函数的值域是．又在上的值域是，若存在，使得成立，则．若，则或，即或，所以实数的取值范围是． 答案： 12．（2024·高一·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 【解析】（1）因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）在区间上单调递减.证明如下： ，且， 则 ， 因为，且， 所以，，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递减. 13．（2024·高一·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【解析】（1）在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即， 在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， ， 所以在上的值域为. 14．（2024·高一·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 【解析】（1）函数在上是增函数. 证明如下： 任取，且， 则 因为，且，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数． （2）令，则， 则的值域即为求的值域， 由（1）知函数在是单调递增， 所以当时，即，即时，取最小值， 所以，所以函数的值域为. 15．（2024·高一·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 【解析】（1）在上单调递减，证明如下： 因为，，总有成立，当时，， ，且，则， 则，即， 所以在上单调递减. （2）因为因为，，总有成立， 所以，则， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得. 所以不等式的解集为. 16．（2024·高一·重庆·期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 【解析】（1）任取，且． 因为，即，令， 则． 因为，所以． 由题意， 所以． 故在上单调递减． （2），令，得． 因为， 所以． 由（1）得，， 解得． 17．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求的取值范围 【解析】（1）因为，，对称轴为直线，开口向下， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 又因为，，则， 所以在区间上的最大值是，最小值是． （2）令， 函数的对称轴是直线，开口向下， 又在上是单调函数， 当函数在上单调递增时，则，解得； 当函数在上单调递减时，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 18．（2024·高一·江苏南通·期中）已知函数. (1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； (2)若存在，使成立，求实数的范围. 【解析】（1）在区间上单调递增. 证明如下：设，则 因为，所以，，，即 所以，故在区间上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，当时，取得最小值，即 又存在，使成立， 所以只需成立，即，解得. 故实数的范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 函数的单调性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2、理解函数单调性的作用和实际意义. 3、在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用 . 知识点一、函数的单调性 1、增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 知识点诠释： （1）属于定义域内某个区间上； （2）任意两个自变量且； （3）都有； （4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 上升趋势下降趋势 2、单调性与单调区间 （1）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点诠释： ①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； ④有的函数不具有单调性； ⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 4、函数单调性的判断方法 （1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． （2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． （3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 5、单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． 6、复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： （1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； （2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： （1）将复合函数分解成基本初等函数：，； （2）分别确定各个函数的定义域； （3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 知识点诠释： （1）单调区间必须在定义域内； （2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性． （3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数． 7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 8、利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 知识点二、基本初等函数的单调性 1、正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 2、一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． 3、反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4、二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 知识点三、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 考点一：单调性的概念 【典例1-1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2024·高一·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式1-1】（2024·高一·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 考点二：函数的单调性的证明 【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【典例2-2】（2024·高一·新疆克孜勒苏·期末）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)用定义证明函数在上是增函数. 【变式2-1】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 考点三：求函数的单调区间 【典例3-1】（2024·高一·全国·专题练习）函数的单调区间为 【典例3-2】（2024·高一·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【变式3-1】（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【变式3-2】（2024·高一·北京·期中）函数，的单调递减区间为 ． 考点四：利用函数单调性求参数的取值范围 【典例4-1】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 考点五：利用函数单调性的性质解不等式 【典例5-1】（2024·高一·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·高一·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高一·海南海口·阶段练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高一·重庆·期中）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 【典例6-1】（2024·高一·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高一·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·福建福州·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 考点七：求函数的最值 【典例7-1】（2024·高一·甘肃白银·期中）函数. (1)判断函数在上的单调性，并加以证明. (2)求函数在上的最值. 【典例7-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式7-1】（2024·高一·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式7-2】（2024·高一·河南·开学考试）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 考点八：抽象函数单调性的证明 【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性. 【变式8-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【变式8-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明； 【变式8-3】（2024·高一·上海·期末）已知函数是上的严格增函数，是上的严格减函数，判断函数的单调性，并利用定义证明． 考点九：二次函数在闭区间上的最值问题 【典例9-1】（2024·高一·广东梅州·期末）已知二次函数. (1)若，求在上的值域； (2)求在上的最小值. 【典例9-2】（2024·高一·天津宁河·期末）已知函数，且. (1)求实数m的值； (2)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增. (3)若，求值域. 【变式9-1】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知函数． (1)证明函数在区间上是严格减函数； (2)求函数在区间上的最值． 【变式9-2】（2024·高一·北京·期中）设，函数.求函数在区间上的最小值. 【变式9-3】（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知二次函数满足，且. (1)求解析式； (2)讨论在区间上的最大值. 考点十：恒成立与能成立问题 【典例10-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【典例10-2】（2024·高一·上海·期末）已知函数，且不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【变式10-1】（2024·高一·广东东莞·阶段练习）已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 【变式10-2】（2024·高一·广东汕头·期末）已知函数，． (1)若，试求函数（）的最小值； (2)对于任意的，不等式成立，试求实数a的取值范围． 1．（2024·高一·浙江温州·期末）已知函数在定义域上是减函数，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（2024·高一·河北邯郸·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·上海·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·全国·专题练习）已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 6．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 7．（2024·高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为 8．（2024·高一·广东潮州·期中）已知函数，的值域是，则实数 . 9．（2024·高一·浙江台州·期末）若函数在 上的最小值为1，则正实数的值为 . 10．（2024·高一·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 11．（2024·高一·全国·假期作业）已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 12．（2024·高一·福建漳州·期末）设函数，其中. (1)若命题“，”为假命题，求实数的取值范围； (2)判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论. 13．（2024·高一·广西桂林·期末）已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 14．（2024·高一·全国·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求函数的值域． 15．（2024·高一·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求解关于x的不等式的解集. 16．（2024·高一·重庆·期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 17．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上是单调函数，求的取值范围 18．（2024·高一·江苏南通·期中）已知函数. (1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； (2)若存在，使成立，求实数的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$