第15讲 函数的奇偶性（九大考点）-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第15讲 函数的奇偶性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2、能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3、掌握函数奇偶性的简单应用. 4、了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 知识点01 函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点02 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点03 关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 考点一：函数的奇偶性的判断与证明 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）判断下面函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 【解析】（1）因为，且的定义域为R，所以为偶函数； （2）因为，且的定义域为R，所以为奇函数； （3）因为， 且的定义域为R，所以为奇函数； (4)因为，且的定义域为R， 所以为奇函数. 【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 【变式1-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 【解析】（1）因为，则，所以，. （2）函数为奇函数，证明如下： 对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数. 【变式1-2】（2024·高一·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 【解析】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （3）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. 考点二：已知函数的奇偶性求表达式 【典例2-1】（2024·高一·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【解析】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 【典例2-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【解析】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高一·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【解析】因为数是偶函数，且当时，， 所以当时，， 所以， 即， 所以当时，. 故答案为： 【变式2-2】（2024·高一·上海·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 【答案】 【解析】令，则，故， 又， 所以当时，. 故答案为： 考点三：已知函数的奇偶性求值 【典例3-1】（2024·高一·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 【答案】 【解析】 和已知条件相加得 故 故 故答案为： 【典例3-2】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为是奇函数，所以， 当时，，所以. 故答案为： 【变式3-1】（2024·高一·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 【答案】 【解析】因为函数是奇函数，所以，所以. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】0 【解析】由题意可得，由于是定义在上的奇函数， 所以， 故答案为：0 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 . 【答案】 【解析】因为偶函数，所以. 故答案为： 【变式3-4】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 【答案】-1 【解析】由题意知函数为上的奇函数，， 故，即， 故答案为：-1 考点四：已知函数的奇偶性求参数 【典例4-1】（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【解析】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【答案】 【解析】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 故答案为： 【变式4-1】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【解析】，由是偶函数可得，即恒成立. 故. 故答案为：1 【变式4-2】（2024·高一·广东中山·阶段练习）设是定义在上的偶函数，则是 ． 【答案】 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以，即， 所以是定义在上的偶函数，所以， 即，整理得， 因为不恒为，所以. 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高一·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． 【答案】1 【解析】由题知，得到， 整理得到恒成立，所以，得到， 故答案为：. 考点五：已知奇函数+M 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 【答案】 【解析】， 设，， 且，则为奇函数， ， 则，所以，， 所以， 所以. 故答案为：2. 【典例5-2】（2024·高一·全国·竞赛）已知实数满足，则 ． 【答案】2 【解析】因为， 令，则， 易知的定义域为，又， 所以为奇函数，且在R上单调递增，故，则. 故答案为：. 【变式5-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】令，，， 则，， 所以为奇函数，为偶函数， 又，且，， 所以，， 又， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高一·重庆万州·开学考试）已知函数，若，则实数 ． 【答案】 【解析】因为，定义域为， 所以，即为奇函数， 因为在上单调递增， 若，则， 所以，即． 故答案为：. 【变式5-3】（2024·高三·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【解析】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 考点六：抽象函数的奇偶性问题 【典例6-1】（2024·高一·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【解析】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【典例6-2】（多选题）（2024·高二·辽宁·阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 【变式6-1】（多选题）（2024·高一·重庆渝中·期中）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【答案】ABD 【解析】设， 因为，是定义在上，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 设， 因为是定义在上，所以的定义域为， ， 所以为奇函数，故B正确； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， 因为为奇函数，为偶函数， 所以， 所以为偶函数，故C错误； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是奇函数， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是偶函数， 所以是非奇非偶函数，故D正确. 故选:ABD. 【变式6-2】（多选题）（2024·高一·湖北·期中）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【解析】A选项，中，令得，，A正确； B选项，中，令得，， 解得，B正确； CD选项，中，令得，， 解得， 中，令得， ， 函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确. 故选：ABD 考点七：奇偶性与单调性的综合运用 【典例7-1】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【解析】由函数为偶函数，故，即， 则关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 【典例7-2】（2024·高一·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 【变式7-1】（2024·高一·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 【答案】 【解析】由任意，有可得， 函数在上单调递增， 又根据奇函数性质可得，且在上单调递增； 所以当时，，可得； 当时，，可得； 综上可得的解集为. 故答案为： 【变式7-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】设， 而是定义在上的奇函数，即， 故，即为偶函数； 对任意的，不妨设，则 ， 又对任意的满足， 当时，，则，即， 而，故， 则在上单调递减， 又为偶函数，故在上单调递增， ，故，则， 而不等式，即为不等式或， 即或， 故或， 即不等式的解集为， 故答案为： 【变式7-3】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 【解析】（1）由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 则， 由，得，则，即， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知, 函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为. 【变式7-4】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 考点八：利用函数奇偶性识别图像 【典例8-1】（2024·高一·云南怒江·阶段练习）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，定义域关于原点对称， 由，所以是奇函数，排除A、C； 当时，，排除D； 故选：B. 【典例8-2】（2024·高一·湖北鄂州·期中）已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在y轴左侧作函数关于y轴对称的图象，得到偶函数的图象，向上平移一个单位得到的图象． 故选:D． 【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求， 当时，，，故A正确，C错误. 故选：A. 【变式8-2】（2024·高一·云南·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域，， 因此函数是奇函数，图象关于原点对称，选项B，D不满足， 当时，，即，选项C不满足，A符合题意. 故选：A 【变式8-3】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数定义域为R，，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除C； 当时，，当且仅当时取等号，即当时，，A，D不满足，B符合题意. 故选：B 考点九：对称性与奇偶性的综合应用 【典例9-1】（2024·高一·山东济南·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知． (1)利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式． 【解析】（1）证明：∵，令， ∴，即， 又∵， ∴为奇函数， 有题意可知，的图象关于成中心对称图形； （2）易知函数为单调递增函数，且对于恒成立, 则函数在上为单调递减函数， 由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即， 不等式得： ， 即，则， 整理得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【典例9-2】（2024·高三·广东佛山·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，求函数图像的对称中心，并说明理由． (3)请利用函数的对称性，求的值； 【解析】（1），则． 令，可解得或 所以的单调递增区间是，； 令，可解得所以的单调递减区间是； 综上，函数的单调递增区间是，；单调递减区间是 （2）设的图象的对称中心为，则为奇函数， 所以，即， 所以， 即， 整理得，（对函数定义域内的任意都成立）， 所以，解得， 所以函数的图象的对称中心为； （3）由（2）知函数图象的对称中心为， 所以， 则， 又，所以； 【变式9-1】（2024·高三·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 【解析】（1）因为函数的图象关于点成中心对称， 所以为奇函数，只要设， 则. （注：答案不唯一，只要满足为奇函数） （2）设函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 【变式9-2】（2024·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 【解析】（1）由题意设函数图象的对称中心为， 由于函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． 即函数为奇函数， 而， 由于，即 ， 因为，故，解得， 即函数图象的对称中心为； （2）由（1）的结论可知， 则， 而， 故 . 1．（2024·高一·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 2．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 3．（2024·高一·广东中山·期末）已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图1可知为偶函数，为奇函数， A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错. C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错. D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错. B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合. 故选：B 4．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 【答案】 【解析】是定义在R上的奇函数，当时，， 则时，，， 所以. 故答案为：. 5．（2024·高一·上海·期末）已知函数，且，则 . 【答案】8 【解析】令，定义域， 且， 所以是奇函数， 所以， 代入，得. 故答案为：8 6．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（为常数），已知，则 . 【答案】 【解析】令，则且定义域为R， 所以为奇函数，则，故， 所以. 故答案为： 7．（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【解析】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0，即， 所以． 故答案为：4 8．（2024·高一·天津和平·期中）已知，，则 . 【答案】 【解析】令，定义域为， 则， 故为奇函数， 又，故，即， 故. 故答案为： 9．（2024·高一·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 【答案】1 【解析】因为函数是偶函数， 所以，即，即， 于是有，解得. 故答案为：. 10．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【解析】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 11．（2024·高一·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意首先，解得， 即函数是上的偶函数， 由，解得，此时，经检验符合题意， 所以. 故答案为：. 12．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵，∴. ∵，∴. ∴，解得， ∴的取值范围是. 故答案为：. 13．（2024·高一·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 【答案】 【解析】由函数为定义在上的偶函数，可得，解得：. 所以函数为定义在上的偶函数，在上单调递增. 因为，即， 所以，解得. 即的取值范围是. 故答案为： 14．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）我们知道，函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数的对称中心是 ． 【答案】. 【解析】设的对称中心为， 则由题意可知为奇函数． 所以， 所以， 化简得， 因为，所以，解得， 所以函数的对称中心是， 故答案为：. 15．（2024·高一·广东茂名·期中）我们知道，函数的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.类比上述推广结论，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是 ；函数 图像的对称中心为 . 【答案】 是偶函数 (-1，2) 【解析】若函数的图像关于直线成轴对称图形，则有 所以为偶函数. 若为偶函数，则有， 所以函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件为是偶函数. 设函数图像的对称中心为，则函数为奇函数 即为奇函数 所以解得 故答案为：(1) 是偶函数  (2) (-1，2) 16．（2024·高三·山东菏泽·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式 ； （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】（1）由定义知，因为关于点成中心对称，则有为奇函数.则函数可以看作由向左平移两个单位得到. 可令，则； （2）函数的图象关于点对称，根据定义可得， 函数应为奇函数， ， 有奇函数定义知，， 则有，恒成立， 所以，   解得 所以，. 故答案为：（答案不唯一）；-4. 17．（2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 【解析】（1）定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （2），所以定义域为，关于原点对称， 此时，所以既是奇函数又是偶函数. （3），所以定义域为， 不关于原点对称，所以为非奇非偶函数. 18．（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【解析】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 19．（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【解析】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 20．（2024·高一·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. (1)求，的值； (2)求出当时，的解析式； (3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以；； （2）设，则， 因为当时，， 所以， 因为是偶函数， 所以； （3）因为是偶函数，所以的图象关于轴对称， 所以将在轴左侧的图象关于轴对称，可得函数在轴右侧的图象， 由图象可知的单调增区间，， 当时，， 当时，， 所以值域为. 21．（2024·高一·安徽阜阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)求不等式的解集. 【解析】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以有， 令，则，， 又因为 所以， 对照可得:，， 所以 （2） 当时，，即或， 或 解得 无解 所以时，不等式解集为； 当时，因为函数为奇函数，所以有的解集为； 综上有：不等式的解集为或. 22．（2024·高一·湖北武汉·期中）已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 【解析】（1）证明：任取，且， 则， 因为，可得，， 所以，即．所以在上单调递减． （2）当时，，因为是奇函数， 额的，所以， 由（1）知，当时，单调递减，所以，， 又因为是奇函数，则且当时，单调递减，所以． 综上可知，的最大值为2，最小值为． 23．（2024·高一·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 【解析】（1）①，， 而满足， 即为奇函数，所以的图象关于点中心对称. ②，由①得，即， 所以 . （2）“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”， 类比已知条件可得，一个一个推广结论为： 函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数. （答案不唯一） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 函数的奇偶性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2、能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3、掌握函数奇偶性的简单应用. 4、了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件. 知识点01 函数的奇偶性概念 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点02 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点03 关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 考点一：函数的奇偶性的判断与证明 【典例1-1】（2024·高一·全国·专题练习）判断下面函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【变式1-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并加以证明． 【变式1-2】（2024·高一·新疆克孜勒苏·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 考点二：已知函数的奇偶性求表达式 【典例2-1】（2024·高一·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【典例2-2】（2024·高一·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【变式2-1】（2024·高一·福建漳州·期末）若函数是偶函数，且当时，，则当时， . 【变式2-2】（2024·高一·上海·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，其表达式为，则当时，其表达式为 ． 考点三：已知函数的奇偶性求值 【典例3-1】（2024·高一·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 【典例3-2】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知是奇函数，当时，，则 . 【变式3-1】（2024·高一·新疆喀什·期末）已知奇函数，已知时，，则 的值 ． 【变式3-2】（2024·高一·上海浦东新·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 【变式3-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 . 【变式3-4】（2024·高一·江苏盐城·期中）已知函数为上的奇函数，，则 . 考点四：已知函数的奇偶性求参数 【典例4-1】（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【典例4-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则 . 【变式4-1】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 . 【变式4-2】（2024·高一·广东中山·阶段练习）设是定义在上的偶函数，则是 ． 【变式4-3】（2024·高一·河北石家庄·期末）若函数为奇函数，则实数 ． 考点五：已知奇函数+M 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 【典例5-2】（2024·高一·全国·竞赛）已知实数满足，则 ． 【变式5-1】（2024·高一·北京·期中）已知函数，且，则 ． 【变式5-2】（2024·高一·重庆万州·开学考试）已知函数，若，则实数 ． 【变式5-3】（2024·高三·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 考点六：抽象函数的奇偶性问题 【典例6-1】（2024·高一·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【典例6-2】（多选题）（2024·高二·辽宁·阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【变式6-1】（多选题）（2024·高一·重庆渝中·期中）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【变式6-2】（多选题）（2024·高一·湖北·期中）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 考点七：奇偶性与单调性的综合运用 【典例7-1】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【典例7-2】（2024·高一·福建莆田·期末）已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【变式7-1】（2024·高一·广东广州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有，若，则的解集为 . 【变式7-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为 ． 【变式7-3】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数： (3)解不等式． 【变式7-4】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 考点八：利用函数奇偶性识别图像 【典例8-1】（2024·高一·云南怒江·阶段练习）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高一·湖北鄂州·期中）已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高一·云南·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 考点九：对称性与奇偶性的综合应用 【典例9-1】（2024·高一·山东济南·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知． (1)利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式． 【典例9-2】（2024·高三·广东佛山·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，求函数图像的对称中心，并说明理由． (3)请利用函数的对称性，求的值； 【变式9-1】（2024·高三·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 【变式9-2】（2024·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 1．（2024·高一·辽宁铁岭·期中）已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 3．（2024·高一·广东中山·期末）已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）是定义在R上的奇函数，当时，，则的表达式为 ． 5．（2024·高一·上海·期末）已知函数，且，则 . 6．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（为常数），已知，则 . 7．（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 8．（2024·高一·天津和平·期中）已知，，则 . 9．（2024·高一·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则 ． 10．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数 ． 11．（2024·高一·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 . 12．（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）在上满足，且在上是递减函数，若，则的取值范围是 . 13．（2024·高一·黑龙江绥化·期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递增，并且，则的取值范围是 14．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）我们知道，函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数的对称中心是 ． 15．（2024·高一·广东茂名·期中）我们知道，函数的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.类比上述推广结论，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是 ；函数 图像的对称中心为 . 16．（2024·高三·山东菏泽·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式 ； （2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则 ． 17．（2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 18．（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 19．（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 20．（2024·高一·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. (1)求，的值； (2)求出当时，的解析式； (3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 21．（2024·高一·安徽阜阳·期中）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)求不等式的解集. 22．（2024·高一·湖北武汉·期中）已知函数． (1)证明：函数在区间单调递减； (2)若是奇函数，其定义域为，当时，，求时，的解析式，并求的最大值和最小值． 23．（2024·高一·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$