第07讲 倾斜角与斜率（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 倾斜角与斜率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，并会用他们求直线的方程； 3．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系； 4．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 知识点 1 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围： 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点 2 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 知识点 3 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 考点一：求直线的倾斜角 例1．（23-24高二上·广东湛江·月考）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角范围是.故选：C 【变式1-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】直线l绕点A顺时针旋转后得直线，当时，直线的倾斜角为； 当时，直线的倾斜角为． 综上，直线的倾斜角为或.故选：B 【变式1-3】（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．故选：A. 考点二：求直线的斜率 例2. （23-24高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得；故选：C. 【变式2-1】（23-24高二下·四川德阳·期中）过和两点的直线的斜率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜率公式求得所给直线的斜率.故选：A 【变式2-2】（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【解析】因为斜率为的直线经过点， 所以，解得.故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意，直线的斜率为，解得，故选：B． 考点三：斜率与倾斜角概念辨析 例3. （23-24高二上·河南南阳·月考）下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】B 【解析】对于A，垂直于x轴的直线没有斜率，A错误； 对于B，直线倾斜角的范围为，B正确； 对于C，垂直于y轴的直线倾斜角都为0，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则，D错误.故选：B 【变式3-1】（22-23高一下·上海宝山·期末）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】D 【解析】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误； 对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误； 对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确.故选：D 【变式3-2】（22-23高二上·海南·期中）（多选）已知直线的倾斜角为，斜率为，则下列命题正确的有（     ） A．存在则一定存在 B．存在则一定存在 C．有些直线不存在，但存在 D．有些直线不存在，但存在 【答案】AD 【解析】所有直线都有倾斜角，但倾斜角时直线没有斜率. 由此可知，AD正确；BC错误.故选：AD. 【变式3-3】（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【解析】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确.故选：ABC. 考点四：图象中的斜率与倾斜角 例4. （23-24高二上·广东佛山·月考）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ，.故选：D. 【变式4-1】（22-23高二上·安徽阜阳·月考）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，.故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·青海西宁·月考）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图可知，，，，且， 所以，，，故选：A. 【变式4-3】（23-24高二上·福建泉州·月考）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正， 其中的倾斜角大于的倾斜角角，的倾斜角大于的倾斜角， 因此直线的斜率最大，直线的斜率最小，故选：B. 考点五：直线的方向向量与斜率关系 例5. （23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.故选：B 【变式5-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得，则.故选：C． 【变式5-2】（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得.故选：C. 【变式5-3】（23-24高二上·河南开封·期末）（多选）已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可知，直线l的方程可表示为，即； 经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上.故选：ACD 考点六：利用直线斜率解决共线问题 例6. （23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【答案】 【解析】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 【变式6-1】（23-24高二上·福建宁德·月考）已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【解析】因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 【变式6-2】（23-24高二上·青海西宁·月考）若三点共线，则a＝ ． 【答案】4 【解析】三点共线，则，即＝，即，∴. 【变式6-3】（23-24高二上·北京·月考）已知，，三点在同一条直线上，则实数m的值为 ． 【答案】 【解析】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴， 因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在， 设直线AB，BC的斜率分别为，． 由斜率公式可得，． 因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即， 整理得，解得或． 考点七：直线与线段有公共点问题 例7. （23-24高二下·四川广安·月考）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D． 【变式7-1】（23-24高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 .故选：B 【变式7-2】（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 若与线段有公共点，分析必过，且，，则.故选：B 【变式7-3】（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是，故选：C 考点八：斜率公式的几何意义应用 例8. （23-24高二上·安徽安庆·月考）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为故选：B. 【变式8-1】（23-24高二下·吉林延边·月考）已知函数.则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，如图， 由图可知，函数在上单调递增， 点分别与原点的连线的斜率随着x的增大而减小， 即，所以.故选：C 【变式8-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率，，， 所以的取值范围为. 【变式8-3】（23-24高二上·上海·期中）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西西安·月考）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③.故选：C 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【解析】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：B. 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）若，，三点共线，则实数m的值为 （    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】因为，直线斜率存在，，，三点共线，则， 即，解得．故选：D 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图所示，直线，，的斜率分别为，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，结合的函数图像， 直线对应的倾斜角为钝角， 则 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故.故选：C 5．（22-23高二上·四川广安·期中）已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】1.当直线，的倾斜角分别为，或，时，； 2.当直线，的斜率都存在时，则或，因此； 综上可得：.故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意点，，则直线的斜率为， ∵，∴， 又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为.故选：A. 二、多选题 7．（23-24高二上·湖南长沙·月考）在下列四个命题中，错误的有（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角 B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 【答案】BD 【解析】坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，故A正确； 若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为，故B错误； 直线的倾斜角的取值范围是，故C正确； 若一条直线的倾斜角为，且，则此直线的斜率为， 若，则斜率不存在，故D错误.故选：BD 8．（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别是，若，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由在分别单调递增， 且时，；时，， 若，或，则，故A正确； 若，  则，故C 正确； 若，则，故 D正确， 无论哪种条件下，B 都不成立.故选：ACD. 三、填空题 9．（23-24高二上·福建泉州·月考）在平面直角坐标系中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【解析】依题意，直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后， 仍在该直线l上，如下图所示， 所以直线的斜率为. 10．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 【答案】 【解析】当，斜率， 当，斜率不存在， 当，斜率， 综上，，则. 11．（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏·课后作业）（1）设坐标平面内三点，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值； （2）已知直线l1的方向向量为，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，求直线l2的斜率. 【答案】（1）1或2；（2） 【解析】（1）由得：，解得或， 经验证均符合题意，故m的值是1或2. （2）设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α， 由直线l1的方向向量为，得直线l1的斜率为， 因此直线l2的斜率为. 13．（23-24高二上·四川·月考）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 倾斜角与斜率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，并会用他们求直线的方程； 3．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系； 4．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 知识点 1 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点 2 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 知识点 3 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 考点一：求直线的倾斜角 例1．（23-24高二上·广东湛江·月考）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式1-3】（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二：求直线的斜率 例2. （23-24高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（23-24高二下·四川德阳·期中）过和两点的直线的斜率是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 【变式2-3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点三：斜率与倾斜角概念辨析 例3. （23-24高二上·河南南阳·月考）下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 【变式3-1】（22-23高一下·上海宝山·期末）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【变式3-2】（22-23高二上·海南·期中）（多选）已知直线的倾斜角为，斜率为，则下列命题正确的有（     ） A．存在则一定存在 B．存在则一定存在 C．有些直线不存在，但存在 D．有些直线不存在，但存在 【变式3-3】（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 考点四：图象中的斜率与倾斜角 例4. （23-24高二上·广东佛山·月考）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高二上·安徽阜阳·月考）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·青海西宁·月考）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·福建泉州·月考）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（    ）    A．， B．， C．， D．， 考点五：直线的方向向量与斜率关系 例5. （23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-3】（23-24高二上·河南开封·期末）（多选）已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 考点六：利用直线斜率解决共线问题 例6. （23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【变式6-1】（23-24高二上·福建宁德·月考）已知三点共线，则实数的值为 . 【变式6-2】（23-24高二上·青海西宁·月考）若三点共线，则a＝ ． 【变式6-3】（23-24高二上·北京·月考）已知，，三点在同一条直线上，则实数m的值为 ． 考点七：直线与线段有公共点问题 例7. （23-24高二下·四川广安·月考）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 考点八：斜率公式的几何意义应用 例8. （23-24高二上·安徽安庆·月考）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·吉林延边·月考）已知函数.则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【变式8-3】（23-24高二上·上海·期中）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西西安·月考）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）若，，三点共线，则实数m的值为 （    ） A． B．2 C． D．3 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图所示，直线，，的斜率分别为，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）     A． B． C． D． 5．（22-23高二上·四川广安·期中）已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·湖南长沙·月考）在下列四个命题中，错误的有（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角 B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 8．（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别是，若，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高二上·福建泉州·月考）在平面直角坐标系中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ． 10．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 11．（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏·课后作业）（1）设坐标平面内三点，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值； （2）已知直线l1的方向向量为，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，求直线l2的斜率. 13．（23-24高二上·四川·月考）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第07讲 倾斜角与斜率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，并会用他们求直线的方程； 3．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系； 4．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 知识点 1 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围： 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 3、对倾斜角的理解 （1）定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （4）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点 2 直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 知识点 3 过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 考点一：求直线的倾斜角 例1．（23-24高二上·广东湛江·月考）直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角范围是.故选：C 【变式1-1】（23-24高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，有下列四个值：①；②；③；④．则直线的倾斜角为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】直线l绕点A顺时针旋转后得直线，当时，直线的倾斜角为； 当时，直线的倾斜角为． 综上，直线的倾斜角为或.故选：B 【变式1-3】（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．故选：A. 考点二：求直线的斜率 例2. （23-24高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为斜率，且，其中时直线无斜率， 当时，得； 当时，得；故选：C. 【变式2-1】（23-24高二下·四川德阳·期中）过和两点的直线的斜率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜率公式求得所给直线的斜率.故选：A 【变式2-2】（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【解析】因为斜率为的直线经过点， 所以，解得.故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意，直线的斜率为，解得，故选：B． 考点三：斜率与倾斜角概念辨析 例3. （23-24高二上·河南南阳·月考）下列关于直线斜率和倾斜角的说法中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有斜率 B．倾斜角的范围为 C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】B 【解析】对于A，垂直于x轴的直线没有斜率，A错误； 对于B，直线倾斜角的范围为，B正确； 对于C，垂直于y轴的直线倾斜角都为0，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则，D错误.故选：B 【变式3-1】（22-23高一下·上海宝山·期末）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】D 【解析】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误； 对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误； 对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确.故选：D 【变式3-2】（22-23高二上·海南·期中）（多选）已知直线的倾斜角为，斜率为，则下列命题正确的有（     ） A．存在则一定存在 B．存在则一定存在 C．有些直线不存在，但存在 D．有些直线不存在，但存在 【答案】AD 【解析】所有直线都有倾斜角，但倾斜角时直线没有斜率. 由此可知，AD正确；BC错误.故选：AD. 【变式3-3】（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【解析】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确.故选：ABC. 考点四：图象中的斜率与倾斜角 例4. （23-24高二上·广东佛山·月考）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ，.故选：D. 【变式4-1】（22-23高二上·安徽阜阳·月考）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得，.故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·青海西宁·月考）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题图可知，，，，且， 所以，，，故选：A. 【变式4-3】（23-24高二上·福建泉州·月考）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正， 其中的倾斜角大于的倾斜角角，的倾斜角大于的倾斜角， 因此直线的斜率最大，直线的斜率最小，故选：B. 考点五：直线的方向向量与斜率关系 例5. （23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.故选：B 【变式5-1】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，， 由直线的一个方向向量为，得，则.故选：C． 【变式5-2】（23-24高二上·河南许昌·期末）经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得.故选：C. 【变式5-3】（23-24高二上·河南开封·期末）（多选）已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可知，直线l的方程可表示为，即； 经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上.故选：ACD 考点六：利用直线斜率解决共线问题 例6. （23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 . 【答案】 【解析】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 【变式6-1】（23-24高二上·福建宁德·月考）已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【解析】因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 【变式6-2】（23-24高二上·青海西宁·月考）若三点共线，则a＝ ． 【答案】4 【解析】三点共线，则，即＝，即，∴. 【变式6-3】（23-24高二上·北京·月考）已知，，三点在同一条直线上，则实数m的值为 ． 【答案】 【解析】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴， 因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在， 设直线AB，BC的斜率分别为，． 由斜率公式可得，． 因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即， 整理得，解得或． 考点七：直线与线段有公共点问题 例7. （23-24高二下·四川广安·月考）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D． 【变式7-1】（23-24高二上·吉林延边·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 .故选：B 【变式7-2】（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 若与线段有公共点，分析必过，且，，则.故选：B 【变式7-3】（23-24高二上·广东潮州·期中）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是，故选：C 考点八：斜率公式的几何意义应用 例8. （23-24高二上·安徽安庆·月考）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为故选：B. 【变式8-1】（23-24高二下·吉林延边·月考）已知函数.则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，如图， 由图可知，函数在上单调递增， 点分别与原点的连线的斜率随着x的增大而减小， 即，所以.故选：C 【变式8-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率，，， 所以的取值范围为. 【变式8-3】（23-24高二上·上海·期中）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高二上·陕西西安·月考）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【解析】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③.故选：C 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【解析】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：B. 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）若，，三点共线，则实数m的值为 （    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】因为，直线斜率存在，，，三点共线，则， 即，解得．故选：D 4．（23-24高二上·广东佛山·期中）如图所示，直线，，的斜率分别为，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）     A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，结合的函数图像， 直线对应的倾斜角为钝角， 则 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故.故选：C 5．（22-23高二上·四川广安·期中）已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】1.当直线，的倾斜角分别为，或，时，； 2.当直线，的斜率都存在时，则或，因此； 综上可得：.故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意点，，则直线的斜率为， ∵，∴， 又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为.故选：A. 二、多选题 7．（23-24高二上·湖南长沙·月考）在下列四个命题中，错误的有（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角 B．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα 【答案】BD 【解析】坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，故A正确； 若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为，故B错误； 直线的倾斜角的取值范围是，故C正确； 若一条直线的倾斜角为，且，则此直线的斜率为， 若，则斜率不存在，故D错误.故选：BD 8．（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别是，若，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由在分别单调递增， 且时，；时，， 若，或，则，故A正确； 若，  则，故C 正确； 若，则，故 D正确， 无论哪种条件下，B 都不成立.故选：ACD. 三、填空题 9．（23-24高二上·福建泉州·月考）在平面直角坐标系中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ． 【答案】 【解析】依题意，直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后， 仍在该直线l上，如下图所示， 所以直线的斜率为. 10．（23-24高二上·湖南张家界·月考）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 【答案】 【解析】当，斜率， 当，斜率不存在， 当，斜率， 综上，，则. 11．（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏·课后作业）（1）设坐标平面内三点，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值； （2）已知直线l1的方向向量为，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍，求直线l2的斜率. 【答案】（1）1或2；（2） 【解析】（1）由得：，解得或， 经验证均符合题意，故m的值是1或2. （2）设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α， 由直线l1的方向向量为，得直线l1的斜率为， 因此直线l2的斜率为. 13．（23-24高二上·四川·月考）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$