第05讲 命题、定理、定义（三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修第一册）

第5讲 命题、定理、定义 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 命题、定理、定义的概念 2 题型02 命题的形式 4 题型03 判断命题的真假 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 13 创新拓展 18 一、命题、定理、定义的概念 1．在数学中，我们将可________________的____________叫作命题． 2．在数学中，有些已经被证明为________的命题可以作为推理的依据而______________，一般称之为定理． 3．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 注意点： (1)命题要求能判断真假，且为陈述句． (2)判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题，一个命题不能同时既是真命题又是假命题． (3)命题可用小写字母表示，如p，q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 二、命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的________，q叫作命题的________． 注意点： 确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式 题型01命题、定理、定义的概念 【解题策略】 判断一个语句是否是命题的两个关键点 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式演练】 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（多选）（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【变式3】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是 ． 题型02 命题的形式 【解题策略】 把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一 【典例分析】 【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)6是12和18的公约数； (2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)四条边相等的四边形是菱形； (4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 【变式演练】 【变式1】指出下列命题中的条件p和结论q. (1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数； (2)如果x∈A，则x∈A∩B； (3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 【变式2】写出下列命题的条件和结论． (1)若整数a能被2整除，则a是偶数； (2)矩形的对角线相等； (3)平面内两条不相交的直线平行． 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 题型03 判断命题的真假 【解题策略】 　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可 【典例分析】 【例3】（22-23高一·江苏·假期作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 【变式3】（22-23高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 2．（21-22高二上·新疆喀什·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（22-23高一·江苏·假期作业）下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 三、填空题 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 四、解答题 7．（2023高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 8．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川南充·开学考试）下列命题中，真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．（22-23高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 3．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 4．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 6．（23-24高一上·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 三、填空题 7．（21-22高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 8．（22-23高一·江苏·假期作业）命题“对顶角相等”中的条件为 ，结论为 ． 9．（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 四、解答题 10．（22-23高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 11．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 二、填空题 2．（21-22高一·全国·课后作业）命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是 ． 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 三、解答题 4．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【下节预览】 1、 解答题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）“两组对边分别平行”是“四边形为平行四边形”的充要条件． (1)请尽量多地收集“四边形为平行四边形”的其他充要条件． (2)请根据对收集到的充要条件的分析，确定分类原则，并根据确定的原则进行分类． (3)结合对上述问题的思考，你对数学概念（定义）的认识有哪些新的体会？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 命题、定理、定义 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 命题、定理、定义的概念 2 题型02 命题的形式 4 题型03 判断命题的真假 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 13 创新拓展 18 一、命题、定理、定义的概念 1．在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2．在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 3．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 注意点： (1)命题要求能判断真假，且为陈述句． (2)判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题，一个命题不能同时既是真命题又是假命题． (3)命题可用小写字母表示，如p，q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 二、命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 注意点： 确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式 题型01命题、定理、定义的概念 【解题策略】 判断一个语句是否是命题的两个关键点 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 【变式演练】 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 【变式2】（多选）（23-24高一上·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【分析】根据命题的定义判断可得答案. 【详解】下列句子中是命题的是（    ） 对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题， 故选：ABC. 【变式3】（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是 ． 【答案】②④ 【分析】根据命题的定义判断. 【详解】①是陈述句，且能判断真假，故①是命题； ②语句中含有变量，没有给赋值前，无法判断语句的真假，故不是命题； ③是陈述句，且能判断真假，故③是命题； ④是祈使句，故④不是命题. 故答案为：②④ 题型02 命题的形式 【解题策略】 把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一 【典例分析】 【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)6是12和18的公约数； (2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)四条边相等的四边形是菱形； (4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. 【详解】解　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数． (2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根． (3)若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是菱形． (4)已知x，y是非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2. 【变式演练】 【变式1】指出下列命题中的条件p和结论q. (1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数； (2)如果x∈A，则x∈A∩B； (3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 【详解】解　(1)p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数． (2)p：x∈A，q：x∈A∩B. (3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0. 【变式2】写出下列命题的条件和结论． (1)若整数a能被2整除，则a是偶数； (2)矩形的对角线相等； (3)平面内两条不相交的直线平行． 解　(1)条件是整数a能被2整除，结论是a是偶数． (2)条件是四边形是矩形，结论是它的对角线相等． (3)条件是在同一平面内两条直线不相交，结论是这两条直线平行． 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】利用命题“若，则”的定义即可得解. 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 题型03 判断命题的真假 【解题策略】 　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可 【典例分析】 【例3】（22-23高一·江苏·假期作业）下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【分析】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可 【详解】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 【变式2】（23-24高一上·上海普陀·期中）设，则命题“关于x的方程的解集为”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【分析】结合一次方程解的性质判断命题的真假即可. 【详解】当时，方程无解，当时，方程的解为， 所以命题“关于x的方程的解集为”是假命题. 故答案为：假. 【变式3】（22-23高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由p为真命题，q为假命题列不等式求x的范围. 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·西藏林芝·期中）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为(    ) A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据常用数集的表示符合与各自的范围判断各命题，即可得出答案. 【详解】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确； 为无理数，不属于整数，所以，所以②错误； 0不是正整数，所以，所以③正确； 是正整数，属于自然数，所以，所以④错误； 是无理数，所以，所以⑤正确； 是正数，所以，所以⑥错误； 综上，共由3个正确命题， 故选：C. 2．（21-22高二上·新疆喀什·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 3．（22-23高一·江苏·假期作业）下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断. 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 二、多选题 4．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．存在两个偶数，他们的商是奇数 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．所有实数的绝对值都是正数 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】ABD 【分析】找值代入即可判断选项A；根据矩形的判定来判断B；0的绝对值是0即可判断C；根据正方形的判定来判断D. 【详解】若，则是奇数，故A是真命题. 对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题. 0的绝对值是0，不是正数，故C是假命题. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D是真命题. 故选：ABD. 三、填空题 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】利用反例判断命题的真假即可. 【详解】、中至少有一个小于0包括、都小于0和、两个数中一个小于0，一个大于0， 故当，时，满足条件，但是， 所以命题：若、中至少有一个小于0，则为假命题. 故答案为：假 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】由新定义的集合运算结合交集、子集等概念逐一判断每一个命题即可求解. 【详解】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 四、解答题 7．（2023高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 8．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川南充·开学考试）下列命题中，真命题的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据不同四边形的不同性质一一判别即可求解. 【详解】对于A,如图,四边形中, ,但对角线互相垂直,所以A错误; 对于B,菱形的对角线互相垂直且平分,所以B错误; 对于C,等腰梯形的对角线相等,所以C错误; 对于D,根据平行四边形的判定定理, 对角线互相平分的四边形是平行四边形, 所以D正确. 故选:D. 2．（22-23高一·江苏·假期作业）下列命题是真命题的是（　　） A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】A 【分析】逐一考查所给命题的真假即可. 【详解】对于A，由倒数定义知：若xy＝1，则x，y互为倒数，真命题； 对于B，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，假命题； 对于C，平行四边形两组对边互相平行，梯形只有一组对边互相平行，故平行四边形不是梯形，假命题； 对于D，当时，有，假命题. 故选：A 3．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 4．（23-24高一上·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可得集合不是的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【答案】ABC 【分析】由几何，代数知识判断相应选项正误即可. 【详解】A 选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误; B选项，当，时，，则B错误. C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误. D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确. 故选：ABC 6．（23-24高一上·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】举反例得到B错误，根据定义判断AC正确，确定，，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题． 对选项B：当时，，则B是假命题． 对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇数， 则C是真命题． 对选项D：由，，得，则，则D是真命题． 故选：ACD. 三、填空题 7．（21-22高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空. 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 8．（22-23高一·江苏·假期作业）命题“对顶角相等”中的条件为 ，结论为 ． 【答案】 两个角是对顶角 它们相等 【分析】先把命题写成若则的形成，从而可求解. 【详解】若两个角是对顶角，则它们相等. 所以命题“对顶角相等”中的条件为两个角是对顶角，结论为它们相等. 故答案为：两个角是对顶角；它们相等 9．（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 四、解答题 10．（22-23高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【分析】（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由，即可判断. 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 11．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 【分析】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 二、填空题 2．（21-22高一·全国·课后作业）命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是 ． 【答案】这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 【分析】先将命题改写成“如果…，那么…”，的形式，从而可得命题的结论. 【详解】命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”可改写为 “如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直” 故答案为：这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】根据题意举出反例即可证明该命题是假命题. 【详解】不妨取，则，不满足， 因此该命题是假命题. 故答案为：假 三、解答题 4．（22-23高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果； 【详解】（1）当时，无实根，改为：若，则无实根． 由于，．故该命题为真命题． （2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除，改为：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除， 易知此命题为真命题． 【下节预览】 1、 解答题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）“两组对边分别平行”是“四边形为平行四边形”的充要条件． (1)请尽量多地收集“四边形为平行四边形”的其他充要条件． (2)请根据对收集到的充要条件的分析，确定分类原则，并根据确定的原则进行分类． (3)结合对上述问题的思考，你对数学概念（定义）的认识有哪些新的体会？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）通过对平行四边形的认知写出其他的充要条件； （2）按照自己所写的充要条件回答问题； （3）写出自己的体会即可. 【详解】（1）A：一组对边平行且相等；B：对角线互相平分；C：两组对边分别相等；D：两组对角分别相等； （2）分类原则：一：角的关系：D；二：边的关系：AC；三：对角线的关系：B （3）数学概念关键是描述的全面准确，可以用多角度来描述 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$