2.1.1 倾斜角和斜率（知识解读+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.1 倾斜角和斜率 【考点1：直线的倾斜角】 【考点2：直线斜率 】 【考点3：斜率与倾斜角的变化关系应用】 【考点4：图像中的斜率与倾斜角】 【考点5：利用斜率解决三点共线问题】 【考点6：直线与线段有公共点问题】 知识点1 倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点 ②直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在. 记作 ⑴当直线与轴平行或重合时, , ⑵当直线与轴垂直时, ,不存在. ②经过两点的直线的斜率公式是 。 ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 对斜率的理解上进行三点说明： 2.当倾斜角是90°时，斜率不存在，并不是直线不存在； 3.所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率； 当倾斜角在第一象限时，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大；反之，倾斜角在第二象限时，斜率越大，倾斜角也越大。 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为； ②直线倾斜角的取值范围是[0，π）。； ③倾斜角是的直线没有斜率. 【考点1：直线的倾斜角】 【典例1】（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线过点与点，则这条直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【考点2： 直线斜率 】 【典例2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（2023高二上·新疆·学业考试）直线的斜率是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点和的直线的斜率为（ ） A．3 B． C． D． 【变式2-3】多选题（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【考点3：斜率与倾斜角的变化关系应用】 【典例3】（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【变式3-1】（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点 的直线的倾斜角为，则 【考点4：图像中的斜率与倾斜角】 【典例4】（2023高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（    ）    A．， B．， C．， D．， 知识点2 利用斜率证明三点共线的方法 已知，若， 则有A、B、C三点共线。 【考点5：利用斜率解决三点共线问题】 【典例5】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 【变式5-1】（22-23高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【变式5-2】（21-22高二·全国·课后作业）已知、和三点共线，则实数 ． 【变式5-3】（22-23高二上·河南·阶段练习）已知，，三点. (1)若直线的倾斜角为135°，求的值. (2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【考点6：直线与线段有公共点问题】 【典例6】（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【变式6-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【变式6-2】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 1．经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 7．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 9．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 10．已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 11．若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 12．多选题直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 13．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 14．若三点，，共线，则 . 15．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1 倾斜角和斜率 【考点1：直线的倾斜角】 【考点2：直线斜率 】 【考点3：斜率与倾斜角的变化关系应用】 【考点4：图像中的斜率与倾斜角】 【考点5：利用斜率解决三点共线问题】 【考点6：直线与线段有公共点问题】 知识点1 倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点 ②直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在. 记作 ⑴当直线与轴平行或重合时, , ⑵当直线与轴垂直时, ,不存在. ②经过两点的直线的斜率公式是 。 ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 对斜率的理解上进行三点说明： 2.当倾斜角是90°时，斜率不存在，并不是直线不存在； 3.所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率； 当倾斜角在第一象限时，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大；反之，倾斜角在第二象限时，斜率越大，倾斜角也越大。 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为； ②直线倾斜角的取值范围是[0，π）。； ③倾斜角是的直线没有斜率. 【考点1：直线的倾斜角】 【典例1】（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可. 【详解】由得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则且，解得 . 故选：C. 【变式1-1】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（    ） A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可. 【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③. 故选：C 【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知直线过点与点，则这条直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点坐标算出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线过点与点，其斜率； 直线倾斜角，故. 故选：D 【变式1-3】（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为. 故选：B 【考点2： 直线斜率 】 【典例2】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率. 【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为； ②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为. 综上，直线的斜率为或. 故选：C. 【变式2-1】（2023高二上·新疆·学业考试）直线的斜率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率定义直接得到答案. 【详解】，即，直线的斜率是. 故选：A 【变式2-2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点和的直线的斜率为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率公式计算得解. 【详解】由斜率公式可知， 故选：C 【变式2-3】多选题（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】CD 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故C正确； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：CD. 【考点3：斜率与倾斜角的变化关系应用】 【典例3】（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 【变式3-1】（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点 的直线的倾斜角为，则 【答案】/ 【分析】根据斜率列方程，由此求得. 【详解】倾斜角为，斜率为， 所以， 解得. 故答案为： 【考点4：图像中的斜率与倾斜角】 【典例4】（2023高二上·江苏·专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系 【详解】由题图可知，，，，且， 所以，，， 故选：A. 【变式4-2】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像得到直线，，的倾斜角满足，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得， . 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据倾斜角的大小判断. 【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，其中的倾斜角大于的倾斜角角，的倾斜角大于的倾斜角，因此直线的斜率最大，直线的斜率最小， 故选：B. 知识点2 利用斜率证明三点共线的方法 已知，若， 则有A、B、C三点共线。 【考点5：利用斜率解决三点共线问题】 【典例5】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知点，直线：， (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值； (2)若直线l与线段有交点，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据直线的方向向量的定义可求 （2）判断出直线l过定点，分别求出，即可求出l的斜率a的取值范围 【详解】（1）因为是直线l的一个方向向量， 所以 （2）过定点，如图 因为， 要使直线l与线段有交点，则a的范围为 【变式5-1】（22-23高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可. 【详解】由，解得， 故选：D． 【变式5-2】（21-22高二·全国·课后作业）已知、和三点共线，则实数 ． 【答案】9 【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a的值. 【详解】由题意可得，即 解之得 故答案为：9 【变式5-3】（22-23高二上·河南·阶段练习）已知，，三点. (1)若直线的倾斜角为135°，求的值. (2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，使得三点共线， 【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案； （2）根据三点共线时，列方程求解即可. 【详解】（1）解：因为，，直线的倾斜角为135° 所以，，解得 故的值为 （2）解：因为，，三点. 所以，当三点共线时，，即，解得 所以，存在，使得三点共线， 【考点6：直线与线段有公共点问题】 【典例6】（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】 （1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】（1） 由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2） 当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 【变式6-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果. 【详解】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 【变式6-2】（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【变式6-3】（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出图象，根据与线段相交，设直线的斜率为，由求解. 【详解】解：，， 如图所示： ∵与线段相交，由题意设直线的斜率为， ∴，∴，∴或． 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为． 故答案为：. 1．经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求直线的倾斜角. 【详解】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为， 由两点斜率公式可得， 所以，又， 所以. 所以经过点和的直线的倾斜角为. 故选：D. 2．直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 3．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 4．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据倾斜角的范围，正切的性质判断“”与“”的逻辑关系即可. 【详解】因为直线，的倾斜角分别为，， 所以， 若，则， 若，则都不存在， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】 直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 6．已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】设l在y轴上的截距为，根据斜率公式列式求解即可. 【详解】因为直线l一个方向向量为，可知直线l的斜率， 设l在y轴上的截距为，即直线l过点， 则，解得. 故选：A. 7．设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解. 【详解】由直线，可得， 可得直线的斜率为，且恒过定点，则， 如图所示，要使得直线与线段有交点，则或， 可得或，即实数的取值范围为. 故选：A.    8．已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】   若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 9．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方向向量的概念求解即可. 【详解】直线的斜率，其一个方向向量为， 故选：C 10．已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解. 【详解】因为，， 所以直线的斜率分别为， 由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交， 所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为. 故选：A. 11．若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：D 12．多选题直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案. 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 13．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 14．若三点，，共线，则 . 【答案】 【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得. 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 15．已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$