第04讲 二次函数的应用（1个知识点+9大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第04讲 二次函数的应用（1个知识点+9大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.了解二次函数的应用问题； 1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题． 2.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型． 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即学即练1】 1．某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 【即学即练3】 3．一个球从地面坚直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（    ） A．2 B．4 C．5 D．20 【即学即练4】 4．如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 【即学即练5】 5．某种品牌的汽车在粗糙高速路面上的刹车距离与汽车的速度之间有下函数关系：．当汽车的速度时，汽车的刹车距离为（　　） A． B． C． D． 【即学即练6】 6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽，在两侧距地面高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　）（建筑物厚度忽略不计）    A． B． C． D． 【即学即练7】 7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【即学即练8】 8．二次函数．若，则自变量x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C． D． 题型01 图形问题 1．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 2．如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室宽为，占地总面积为，则三间饲养室总面积有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 3．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 4．如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为 ； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为 ． 5．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 题型02 图形运动问题 1．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动．若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    4．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s． 5．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 题型03 拱桥问题 1．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 4．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 条． 5．“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 题型04 销售问题 1．“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 2．亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有间标准房，当标准房价格为元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在～元之间（含元，元）浮动时，每提高元，日均入住数减少间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润（元）与售价（元）之间的函数解析式是，且售价的范围是，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是 ． 4．某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 元． 5．某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件、下面是他们活动后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． (1)若设每件涨价x元，则每星期实际可卖_______件，每星期售出商品的利润（元）与x的关系式为=____________，x的取值范围是_________． (2)若设每件降价a价，则每星期售出商品的利润（元）与a的关系式为=________． (3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 题型05 投球问题 1．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 4．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 5．亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． (1)请求出和的值； (2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； (3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 题型06 喷水问题 1．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 3．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 4．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是 ．      5．陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 题型07 增长率问题 1．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 3．一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ． 4．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 5．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 题型08 其他问题 1．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机滑行多长时间才能停下来?（    ） A．18s B．10s C．20s D．15s 2．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（ ） 第一次训练数据 水平距离x/m                               竖直高度y/m                               A． B． C． D． 3．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下． 4．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．    5．“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若在野兔起跳点2米处有一个高度为0.65米的树桩，请问野兔是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演? 题型09 二次函数综合 1．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 2．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ． 4．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； (3)若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． A夯实基础 1．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过时间（秒）的关系式为，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（    ） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 2．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 ． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是 ． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是 ． 5．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 6．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由 B能力提升 1．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 2．某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 3．球从地面竖直向上弹起时的速度为10米秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是 ． 4．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 5．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 6．综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为． 分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． C综合素养 1．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 2．以初速度（单位：）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度竖直上抛．若两球能在空中相遇，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    4．如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ． 5．如何确定销售价格? 素材1 某商家在端午前以每盒60元的价格购进一批粽子，根据调查，发现每周销售量y（盒）与销售价格x（元）满足如图的函数关系． 素材2 端午节后，销售量大幅下降，当每盒价格定为75元时，每周才售出100盒．商家决定降价销售，发现每降价1元，每周多卖20盒． 素材3 节后商家还有1000盒的粽子待售，降价a元连续销售2周后，因临近保质期将剩余的粽子直接由厨余公司以55元/盒的价格回收． 问题解决 任务1 求出素材1中每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式． 任务2 结合上述素材帮助商家计算利润情况． 计算端午节前商家每周的最大利润． 任务3 直接写出端午节后利润最大时a的值（a取整数值）． 6．根据以下素材，完成探索任务： 如何制定商店的销售定价方案 素材1 商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：           A包装 B包装 售价（元/件） 112 108 日销售量（件） 40 80         素材2 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元． 素材3 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件． 任务1 探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件． 任务2 探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价． 任务3 确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用（1个知识点+9大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.了解二次函数的应用问题； 1.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题． 2.能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型． 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即学即练1】 1．某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值该工厂1月份的产值平均每月产值的增长率)，列出二次函数关系式即可得出答案． 【详解】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：C． 【即学即练2】 2．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（        ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 【即学即练3】 3．一个球从地面坚直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（    ） A．2 B．4 C．5 D．20 【答案】B 【分析】令，求出t值即可． 【详解】解：令，得：， 解得：或， 那么球弹起后又回到地面所花的时间是4秒； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【即学即练4】 4．如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值， 故选：D． 【即学即练5】 5．某种品牌的汽车在粗糙高速路面上的刹车距离与汽车的速度之间有下函数关系：．当汽车的速度时，汽车的刹车距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入关系式，即可求解． 【详解】解：， ∴当时， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了由自变量的值求函数的值，理解题意，准确计算是解决本题的关键． 【即学即练6】 6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽，在两侧距地面高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　）（建筑物厚度忽略不计）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出函数解析式，把和代入抛物线，用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：根据题意，抛物线过四点， ∵对称轴是轴 ∴ 设抛物线解析式为 把和代入抛物线得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为： 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法． 【即学即练7】 7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点， 则， 解得：， ∴， ∴当时，可食用率最高， ∴最佳加工时间为3.75分钟， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键． 【即学即练8】 8．二次函数．若，则自变量x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】令，求出抛物线与直线的交点横坐标，再在坐标系中画出抛物线与直线的图象，不等式的含义表示抛物线的图象在直线上方部分自变量的取值范围，结合图象即可作答． 【详解】令， 整理，得：， 解得，，， 在坐标轴中画出出抛物线与直线的图象， 如图， 不等式的含义表示抛物线的图象在直线上方部分自变量的取值范围， 即不等式的解集为：或． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象求解不等式解集的知识，注重数形结合是解答本题的关键． 题型01 图形问题 1．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为，可得另一条边长为，再利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室宽为，占地总面积为，则三间饲养室总面积有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设饲养室宽为，则长为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围，再根据二次函数的性质进行求解． 【详解】解：设饲养室宽为，则长为， ， ， ； 在时，随的增大而减小， 当时，， 即最大值为， 故选：C． 3．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 4．如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为 ； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为 ． 【答案】 30或10 【分析】本题考查二次函数的实际应用，实际问题往往是有限制条件的，列出的表达式需考虑自变量的取值范围，运用函数性质解题时更要注意这点． （1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取值范围； （2）求当时的值，根据自变量的取值范围回答问题； 【详解】解：（1）当时，另三边总长40米， 设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∴； ∴当时，有最大值，最大值． （2）当最大值时，即， ∴， 解得：， ∵， ∴或． 故答案为：200；30或10． 5．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 题型02 图形运动问题 1．如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C移动，点Q在边上，从点C向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的几何应用、勾股定理，设运动时间为，理解题意，列出与时间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则，， 根据题意， ， ∵，， ∴当时，有最小值，最小值为， 故选：C． 2．如图，在中，，，．动点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，动点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动．若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据点P和Q的速度表示和的长，设的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设的面积为S，则， ∴， ∴当时，S有最大值为9， 即当时，的最大面积为， 故选：C． 3．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    【答案】 3 9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 4．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s． 【答案】2 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2． 5．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 题型03 拱桥问题 1．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设函数表达式为， ∵ 设点 ∵当水位上升5米时，则水面宽米 ∴ 把，分别代入 得出 解得 ∴函数表达式为， 故选：B． 2．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．根据抛物线在坐标系中的特殊位置，设抛物线解析式为，然后代入，求解即可． 【详解】∵米，米， ∴米，米， ∴ ∴设抛物线解析式为 ∴将，代入得 解得 ∴． 故选：A． 3．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得， ∴米， 故答案为：． 4．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．若每条龙舟赛道宽度为9米，则通过拱桥的龙舟赛道最多可设计 条． 【答案】4 【分析】依据题意，令，解方程求出x的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数．本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，当时，， 解得或， ∴可设计赛道的宽度为 ∵， ∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 故答案为：4． 5．“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 题型04 销售问题 1．“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的关键． 每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，设日利润为，求二次函数的最大值即可． 【详解】解：每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为， 设日利润为， ∴， ∴最大利润为：元， 故选：C． 2．亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有间标准房，当标准房价格为元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在～元之间（含元，元）浮动时，每提高元，日均入住数减少间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】首先设宾馆可将标准房价格提高x个元，以及客房的日营业收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题． 【详解】解：设设宾馆可将标准房价格提高x个元，客房的日营业收入为y元，将有间客房空出， 由题意可得： 当，即时，y最大值为． 因此为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高元． 故选：B 3．2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润（元）与售价（元）之间的函数解析式是，且售价的范围是，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是 ． 【答案】900元 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 将二次函数一般式改为顶点式．再结合题意可知当时，y有最大值，求出最大值即可． 【详解】解：∵，且， 又∵售价x的范围是， ∴当时，y有最大值，最大值为900， ∴最大利润是900元． 故答案为：900元． 4．某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 元． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据利润数量每件的利润建立与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：设销售单价元，商场每天获得的利润为元，则 ， 当时，， ∴当售价为21元时，每天获得的最大利润为108元． ∴该商场销售一件该种商品所获利润为6元， 故答案为：6． 5．某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件、下面是他们活动后的对话：小丽：我发现此商品如果按60元件销售，每星期可卖出300件．小强：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．小红：我发现在售价60元件的基础上调整价格，每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件． (1)若设每件涨价x元，则每星期实际可卖_______件，每星期售出商品的利润（元）与x的关系式为=____________，x的取值范围是_________． (2)若设每件降价a价，则每星期售出商品的利润（元）与a的关系式为=________． (3)在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，，，且为整数． (2) (3)商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每涨价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件，由此即可求解； （2）根据每降价1元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件，由此即可求解； （3）根据（1）中数量关系，将变形为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：∵进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件， 设每件涨价元， 现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元， ，即， ，则， ，且为整数， 故答案为：，，，且为整数． （2）解：∵进价为40元件，按60元件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件， 设每件降价元， 现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元， 即， 故答案为：． （3）解：由（1）可知，，， ， 当时，商品的利润最大，最大利润， 商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元． 题型05 投球问题 1．“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为：，再将其化为顶点式，问题随之得解． 【详解】根据题意有：， 解得：， ∴函数表达式为：， 将化为顶点式为：， 当时，函数有最大值，且为：， 即则“水火箭”升空的最大高度为， 故选：C． 2．如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据二次函数的图象与性质，分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得，解得，①结论正确； 函数关系， ∵， ∴小球的飞行高度最高可达到，②结论错误； 解方程， 得或， ∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到，③结论正确． 故选：C． 3．王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据题意设抛物线解析式，求出解析式，再求出当时自变量的值即可． 【详解】解：由题意得，设抛物线解析式为 将点(0，1.28)代入，得 即抛物线解析式为， 当 化简，得 解得： (舍去)． 故答案为：8． 4．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米． 故答案为：12． 5．亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为． (1)请求出和的值； (2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标； (3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键． （1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解； （2）联立方程解二元一次方程组即可求解； （3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为， ∵小球达到的最高的的坐标为， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：根据题意联立方程组得， ， 解得，（不符合题意，舍去）或， ∴； （3）解：已知二次函数的顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大； ∵时的最大值为， ∴当时取到最大值，且，即， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，随的增大而减小， ∴当时取得最大值，且，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 题型06 喷水问题 1．如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 抛物线经过，对称轴为直线， 则设抛物线的解析式为：， 代入，求得：， 将值代入得到抛物线的解析式为：， 令，则， 则水管长为， 故选C． 2．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为，将代入，得：， ∴， 当时，， ∴高度为； 故选D． 3．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 4．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，则的取值范围是 ．      【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意建立直角坐标系，将抛物线设成顶点式，用待定系数法即可求出第一象限内的抛物线解析式，再令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可． 【详解】解：以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米， 根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入抛物线解析式得： ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； 令得， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； 故答案为：． 5．陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知，抛物线过点，，用待定系数法即可求解； （2）将代入所求函数解析式中，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线过点，， 将，分别代入， 得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得（舍去）， ， 洗手池的顶部中心到墙面的水平距离为． 题型07 增长率问题 1．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 2．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 4．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数是应用，理解题意，根据10月份印刷小说书5万册，每月的增长率为x，则11月份印刷小说书万册，12月份印刷小说书万册，即可求解． 【详解】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 5．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 题型08 其他问题 1．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机滑行多长时间才能停下来?（    ） A．18s B．10s C．20s D．15s 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，s取最大值，且最大值是600． 即飞机滑行才能停下来． 故选：C． 2．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（ ） 第一次训练数据 水平距离x/m                               竖直高度y/m                               A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据表格中数据求出顶点坐标．根据表格中数据求出顶点坐标即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ， 即该运动员竖直高度的最大值为， 故选：A． 3．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行 m才能停下． 【答案】15 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∴当时，汽车滑行的距离最远为； 故答案为：15． 4．冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 时，竖直高度达到最大值．    【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其性质是解决问题的关键．由于运动员的竖直高度与的函数关系式为，图象是一段开口向下的抛物线，对称轴为，在区间内，故最大值在抛物线的顶点取得，此时横坐标为对称轴，由此可以求出水平距离． 【详解】解： 运动员的竖直高度与的函数关系式为，图象是一段开口向下的抛物线， 对称轴为：，在区间内， 当，竖直高度达到最大值． 故答案为：6． 5．“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围） (2)若在野兔起跳点2米处有一个高度为0.65米的树桩，请问野兔是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演? 【答案】(1) (2)野兔能成功越过木桩． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，结合“野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，”得出，以及，，得出对称轴为直线，结合最大竖直高度为0.98m，得顶点坐标为，再设，代入化简计算，即可作答． （2）依题意，代入，因为，则比较得出答案，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，由，和，可知， 对称轴为直线． ∴当时，y有最大值0.98． 即顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为． 由题知函数图象过原点， 把，代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：依题意，将代入， 得． ∵， ∴野兔能成功越过木桩． 题型09 二次函数综合 1．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数，一元二次方程的综合应用，先联立两个函数解析式可得，再进一步建立二次函数的关系式结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线与抛物线相交于，且，如图， ∴，，，， ∴， 当时， ∴， 当时，的最小值为， 此时，不符合题意，故A，B不符合题意； 当， ∴， 当时，的最小值为， 此时，符合题意，故C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 2．如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 3．已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 如图，解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图，当时，， 解得，， 则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解， 解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故答案为：． 4．如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知． 【详解】如图所示，连接，， 根据图形平移的性质可知， 设抛物线的表达式为， 抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为， 将代入，得， 所以，点的坐标为， 将代入抛物线，得， 所以，点的坐标为， ， 所以，， 故答案为：． 5．如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； (3)若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)①；②点到直线的距离取得最大时，； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）①求得直线的解析式，再求得直线与对称轴直线的交点坐标，再利用列式计算即可求解； ②如图1中连接，．由题意点到直线的距离取得最大，推出此时的面积最大．过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，推出，利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情形：是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 则有， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①令，得到， ∴， ，则顶点，抛物线的对称轴为直线， 设直线解析式为：， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴直线的交点为， ∴， ∴； ②如图，连接，． 点到直线的距离取得最大， 此时的面积最大， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 点到直线的距离取得最大时，； （3）解：存在． 如图2中，抛物线的对称轴为直线， 当是平行四边形的边时， ，， ∴点的横坐标为0或， 时，， 时，， ∴或， 当为对角线时，点的横坐标为2， 时，， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值、平行四边形的性质，明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． A夯实基础 1．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过时间（秒）的关系式为，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（    ） A．4米 B．6米 C．8米 D．12米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求出小球的最大高度，从而得出结论． 【详解】解：， ∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是米， 故选D． 2．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 3．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为 ． 【答案】16 【分析】求出当时x的值即可得出答案． 【详解】解：由题意，当时，， 解得， ∴点A、B的分别为， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出抛物线时，x的值是解题的关键． 4．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为． （1）抛物线的顶点坐标是 ． （2）已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式中m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线的对称轴l于P点，此时的值最小时，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）把点代入抛物线，解得， ∴该抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）连接BC，交抛物线的对称轴l于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点P， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为， 设直线BC的函数表达式为， 把和代入，得： 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，即当的值最小时，点P的坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，注意找到P点的位置是解题的关键． 5．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 6．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试不能得满分，理由见详解 【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为， 把代入解析式得，，解得，， ∴关于的函数表达式为，即：． （2）解：不能得满分，理由如下， 根据题意，令，且， ∴，解方程得，，（舍去）， ∵， ∴不能得满分． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． B能力提升 1．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，m有最大值 B．若，m有最小值 C．若，m有最大值 D．若，m有最小值 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数，一元二次方程的综合应用，先联立两个函数解析式可得，再进一步建立二次函数的关系式结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线与抛物线相交于，且，如图， ∴，，，， ∴， 当时， ∴， 当时，的最小值为， 此时，不符合题意，故A，B不符合题意； 当， ∴， 当时，的最小值为， 此时，符合题意，故C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 2．某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用：设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则，根据矩形的面积公式列式，即可作答． 【详解】解：依题意，设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则， 则， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 则能建成的饲养室最大总占地面积为， 故选：B． 3．球从地面竖直向上弹起时的速度为10米秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是 ． 【答案】/10米 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求出小球的最大高度，从而得出结论． 【详解】解：， ， ∴当时，h有最大值，最大值是5， ∴球距离地面的最大高度是， ∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是 故答案为：． 4．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， 当时，的最大值为20， 即时，的值最大， 故答案为：2． 5．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出． (1)1.2秒时球离起点的高度是多少？ (2)几秒后球离起点的高度达到？ 【答案】(1)秒时球离起点的高度是； (2)秒或秒后球离起点的高度达到． 【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求解即可． （1）把代入即可求解； （2）把代入求t即可． 【详解】（1）解：由题意，将分别代入函数关系式， 得， 当时，代入解得， ∴秒时球离起点的高度是； （2）解：当时，， 解得． 故秒或秒后球离起点的高度达到． 6．综合与实践 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为． 分析 要探究面积的最大值，首先应将另一边用含的代数式表示，从而得到关于的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 思考一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 思考二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少． 类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）． 【答案】（1）方案1中，方案2中，矩形种植园面积最大为；（2）见解析 【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意，列出二次函数关系式，然后再求最值即可得出结果，理解题意是解题关键． （1）方案1：根据题意得出面积的函数关系式，然后利用其性质求解即可；方案2：设，然后确定相应函数关系式求解即可； （2）同（1）方法类似，确定函数关系式求解即可． 【详解】（1）方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，， 方案2：设，则， ∴， ∵， 当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为； （2）图示如下： （同（1）过程，可分别求得： 方案1：∵，则． ∴（）． ∴当时， ． 方案2：（） ∴当为12时，达到最大，最大值是48． 可见矩形种植园面积最大为，此时． C综合素养 1．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（    ）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及二次函数图象与性质、二次函数最值等，根据题意，设降价元，每月获得最大利润为，得到，利用二次函数最值求法即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：设降价元，每月获得最大利润为，则 ， ， 抛物线开口向下，即当时，有最大值， 该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元， 故选：D． 2．以初速度（单位：）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度竖直上抛．若两球能在空中相遇，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合．根据题意画出函数图像，再利用平移的方法即可求解． 【详解】解：当时，，画出函数图像如图所示． 当时，，画出函数图像如图所示． 第二个小球的运动高度，令，解得或1， 两球在空中相遇，即把抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与抛物线在第一象限有交点， 当或时，两图像交于点， ， 故选：B．    3．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    【答案】2.2 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得，令，则，求出，从而得出，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 令，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴水池宽至少是米， 故答案为：． 4．如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理及二次函数的性质，根据点D在的运动过程中，y有最大值结合二次函数最值求出，根据勾股定理求出，表示出函数解析式求最值即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵当点D在的运动过程中，y有最大值， ∵绕点A逆时针旋转到达点E， ∴， 设， ∴， ∴当时y最大，即点D运动到中点时y最大， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 当点D在上运动时，由函数图像得，点D到点C时最大如图， ， ∵绕点A逆时针旋转到达点E， ∴，，三点共线，，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．如何确定销售价格? 素材1 某商家在端午前以每盒60元的价格购进一批粽子，根据调查，发现每周销售量y（盒）与销售价格x（元）满足如图的函数关系． 素材2 端午节后，销售量大幅下降，当每盒价格定为75元时，每周才售出100盒．商家决定降价销售，发现每降价1元，每周多卖20盒． 素材3 节后商家还有1000盒的粽子待售，降价a元连续销售2周后，因临近保质期将剩余的粽子直接由厨余公司以55元/盒的价格回收． 问题解决 任务1 求出素材1中每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式． 任务2 结合上述素材帮助商家计算利润情况． 计算端午节前商家每周的最大利润． 任务3 直接写出端午节后利润最大时a的值（a取整数值）． 【答案】任务1：；任务2：8000元；任务3：7或8 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）根据图中数据利用待定系数法求解； （2）设端午节前商家每周的利润为W元，结合（1）中结论可知端午节前每周销量为盒，每盒利润为元，由此列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式可求最值； （3）设端午节后利润为元，列出W关于a的二次函数关系式，化为顶点式可得答案． 【详解】解：任务1：设每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式为． 由图可知点和在函数图象上， 将和代入，得：， 解得， 每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式为； 任务2：设端午节前商家每周的利润为W元， 由题意知， ， 当时，W取最大值，最大值为8000， 即端午节前商家每周的最大利润为8000元． 任务3：设端午节后利润为元， 由题意知 ， ， 时，取最大值， 又a取整数值， 或8． 6．根据以下素材，完成探索任务： 如何制定商店的销售定价方案 素材1 商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：           A包装 B包装 售价（元/件） 112 108 日销售量（件） 40 80         素材2 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元． 素材3 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件． 任务1 探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件． 任务2 探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价． 任务3 确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可） 【答案】任务1：，；任务2：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；任务3：A包装的售价为108元，B包装的售价为117元 【分析】本题考查二次函数的应用． 任务1.根据A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．可得A、B两种商品在原来销售量的基础上得到的新的销售量； 任务2.总利润＝A包装商品的利润＋B包装商品的利润，设总利润为w，A包装商品降价x元，得到相关的二次函数，求得最大利润即可； 任务3.设设总利润为w，A包装商品降价x元，根据总销售量为110件得到B包装商品的销售量，结合任务1可得B包装商品需提价多少，根据函数值超过1430可得x的取值范围，写出一种方案即可． 【详解】解：任务1. ∵A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，原来的销售量是40件， ∴每件A包装商品售价降低x元（x为整数），A包装商品每日的总销售量为件； ∵B包装商品售价每提高1元就少卖出2件，原来的销售量是80件， ∴每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件． 故答案为：，； 任务2. 设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件． ∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价x元． ∴ ； ∴时，利润最大． ∴（元），（元）． 答：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元； 任务3.由素材3可得销售量减少10件． 设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件． ∵每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件． ∴． ∴． ∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价元． ∴ ∴ 整理得： 解得： ∴当时，销售总利润超过1430元． ∴A包装的售价为元，B包装的售价为元，一天的销售总利润超过1430元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$