第03讲 二次函数的性质（3个知识点+13大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第03讲 二次函数的性质（3个知识点+13大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.二次函数的性质 2.二次函数的解析式 3.二次函数的平移问题 1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式． 2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性． 3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质． 知识点01 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即学即练1】 1．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定a，b，c的符号和它们之间的关系是解题的关键．根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，选项A正确． ∵时，， ∴，选项B正确． 由图象可得时， ∴，选项C正确． ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，选项D错误． 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论；由对称轴及对称轴公式可判断结论；抛物线的对称轴直线，由时，，即可判断结论；由时，，即可判断结论． 【详解】解：开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故结论错误； 对称轴为直线， ． ． 故结论正确； ， ， 当时，， ，故结论不正确； 当时，，故结论正确； 综上所述，正确的结论是． 故选：B． 知识点02 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即学即练1】 3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律先求出平移后的解析式，再根据平移后的解析式求出平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为，即， ∴移后抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【即学即练2】 4．在平面直角坐标系经中，将二次函数的图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据平移不改变抛物线的形状，可得，进而将点代入得出，根据题意，得出，即可求解． 【详解】∵，平移后的解析式为 将点代入上式得：， 解得：， ∵当时，随的增大而减小， 故， ∴； 故选：D． 知识点03 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【即学即练5】 5．有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案． 【详解】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为， 把，代入得： ， 解得， ； 故选：B． 【即学即练6】 6．二次函数的图象的最高点坐标是，则的值分别是（    ） A．2，4 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据根据题意得到对称轴为，然后求出，然后将代入表达式求出c的值即可． 【详解】∵二次函数的图象的最高点坐标是， ∴对称轴为，解得， ∴将代入得，， ∴解得． 故选：D． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 题型01 把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例1】抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线为，从而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 顶点为． 故选：C． 【典例2】抛物线的顶点一定不在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据m的取值范围，分类讨论，即可判断顶点所在的象限． 本题考查了二次函数的性质，坐标轴上点的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴顶点坐标为， ∴当时，，，顶点在第三象限； 当时，，，顶点在第四象限； 当时，，，顶点在第一象限； 综上所述，抛物线的顶点一定不在第二象限． 故选：B． 【变式1】 将二次函数化成形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数化为顶点式：；利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以，． 故答案为：． 【变式2】把二次函数化为顶点式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是； ②顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为； ③交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，． 直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：， 故答案是：． 【变式3】已知二次函数． (1)求出二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，再进行作答即可． （2）把代入，再结合二次函数的图象性质，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标； （2）解：∵， ∴，开口向上， 把代入， 得， 解得， ∵二次函数的开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∴当时，的取值范围是或． 题型02 y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例1】如图，抛物线与x轴的交点坐标分别为，则的值为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线与轴的交点得出对称轴为直线，即可解答． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 故选：B． 【典例2】已知二次函数的图象上有，两点，则当时，二次函数y的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征．根据题意得出，代入函数的解析式即可求得二次函数的值． 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 、是方程的两个根， ， 当时， 二次函数 ． 故答案为：C． 【变式1】 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：抛物线， 该抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，可知点，，从左至右分布， ， ， 解得； 当时， ， ，不合题意， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】已知二次函数，若点，，，都在该函数图像上，则和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据点，在函数图像上，，可得出抛物线的对称轴为：，且抛物线开口向上，再由且，可得出，即可得出． 【详解】解：∵点，在函数图像上，， ∴抛物线的对称轴为：，且抛物线开口向上， ∵，都在该函数图像上， 又∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 题型03 二次函数图象与各项系数符号 【典例1】二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式， 首先根据二次函数的图象得到，，然后判断一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零， ∴， ∴ ∴ ∴关于x的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故选：C． 【典例2】已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②③．正确的是（   ）    A．①② B．①②④ C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，利用抛物线与x轴的交点即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴故①正确，②正确； ∵；故③正确； ∵由图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，④正确； 故选D． 【变式1】 若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有 ． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据当时，，可判断③，根据图象的特点可以判断④，根据抛物线与x轴的交点可判断⑤，根据a，b，c的关系即可判断⑥． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，，故①错误，②正确； 由图可知，当时，， ∴，故③正确 由图可知，当时，函数图象在x轴上方，此时或，故④错误； 由图可知抛物线与x轴有2个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故⑤正确． ∵，当时，， ∴，即，故⑥错误， ∴正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【变式2】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的是 （填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识．利用图象信息以及二次函数的性一一判断即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②错误； ∵抛物与x轴的交点在原点与之间，对称轴为直线， ∴抛物与x轴的另一个交点在原点与的左边， 当时，， ∴，故③正确； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，是函数的最大值， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤ 【变式3】已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 【答案】(1)，， (2)；或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系： （1）根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解； （2）根据抛物线与x轴交点位置，利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴， ， 综上可知，，，； （2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为，， 当时，抛物线在x轴上方，当或时，抛物线在x轴下方， 当时，；当或时，． 题型04 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断 【典例1】如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题．根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：从图象得出当时，二次函数的图象在双曲线的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 【典例2】二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当时，，， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 【变式1】 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 【变式2】抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 【详解】解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【变式3】已知抛物线的顶点是直线与的交点，且抛物线经过直线与轴的交点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）写出当时的取值范围． 【答案】（1）；（2），（3）或． 【分析】（1）与联立，组成方程组，解方程组即可求得； （2）根据待定系数法即可求得； （3）根据二次函数的性质，结合、的坐标即可求得． 【详解】解：（1）由已知得， 解得， ； （2）在直线中，令，则， ， 设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得， 抛物线的表达式为， 即； （3）抛物线与直线的交点为，， 当时的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，两条直线的交点，二次函数与不等式的关系等，求得、的坐标是解题的关键． 题型05 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例1】已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为(     ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质；关键在于能发现题干所给条件的特点，据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图象上，得出抛物线的对称轴为直线，得到，代入解析式即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时，有：， 故选B． 【典例2】已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性，利用对称性求出对称轴，然后解出a的值，代入解题即可． 【详解】∵二次函数的图象经过和， ∴抛物线的对称轴为，即， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， 故选B． 【变式1】 已知是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式． 根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得． 【详解】解：是二次函数图象上的两点， 关于对称轴对称， 即：， 将代入得： 即：， 故答案为：3 【变式2】如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的横坐标是， 故答案为：． 【变式3】二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据抛物线的对称性求得即可； （3）根据表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等 ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵点关于直线的对称点为 ∴， 故答案为：； （3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时， 故答案为：． 题型06 根据二次函数的对称性求函数值 【典例1】已知二次函数的图像的对称轴为直线，且抛物线经过点和点．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】题考查了二次函数的对称性，根据抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P的对称点，利用数形结合思想，确定m的范围是解题的关键. 【详解】解：点关于对称轴的对称点坐标为， ∵，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∴点离对称轴近， ∴， 故选A． 【典例2】已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时函数值与（    ） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的轴对称性质，根据解析式找到对称轴，结合对称性求解即可得到答案； 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∵自变量取两个不同的值，时，函数值相等， ∴， ∴的对称点为：， ∴当自变量取时函数值与时的函数值相等， 故选：D． 【变式1】二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 抛物线图象经过点，对称轴是直线， 则抛物线一定经过点关于直线的对称点， 当时，关于x的方程的两个解为：，． ∴方程的解为，； 故答案为：1或3． 【变式2】抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表； x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，先根据表格确定抛物线的对称轴，根据对称性，求出另一个交点坐标即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为：； 故答案为： 【变式3】已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)二次函数图象所对应的顶点坐标为 ； (2)当时，______； (3)与x轴的交点_______； (4)当函数值时，x的取值范围_________． 【答案】(1) (2)5 (3)和 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，从表格中获取数据是解题的关键． 对于（1），根据对称的点的坐标即可确定； 对于（2），根据对称轴可知对称的点的纵坐标相等； 对于（3），根据表格直接得出答案； 对于（4），根据抛物线与x轴交点的坐标，再结合开口方向可得答案． 【详解】（1）观察表格可知当时，，当时，， 所以抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 故答案为：； （2）因为对称轴是， 所以和时的函数值相等，所以． 故答案为：5； （3）观察表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和． 故答案为：和； （4）当时，，当时，，且抛物线开口向上， 所以当或时，． 故答案为：或． 题型07 y=ax2+bx+c的最值 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确得出m的值是解题关键． 依据题意，将代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出，再利用二次函数的性质求得最值即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象经过点， ∴， 解得：或， ∵对称轴在轴的左侧， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值7， 故选：B． 【典例2】已知在二次函数中，y与x的部分对应值如下表． … 0 3 6 … … 28 18 14 4 6 14 … 当x的取值范围是时，y的最大值是（　　） A．4 B．6 C．18 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的性质，找出时，的最大值． 利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，即可求得抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出当及时的值，即可找出时，的最大值． 【详解】解：将，，代入，得： ， 解得：， 二次函数的表达式为， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，； 当时，． 时，的最大值是6． 故选：B． 【变式1】 已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 【变式2】已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当时，，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵当时，y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】已知二次函数过点，， ． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，及顶点坐标的计算，掌握待定系数法，及顶点坐标公式的是解题的关键． （1）把点代入解析式，运用待定系数法即可求解； （2）运用顶点公式，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）解：， ， 有最小值， 当时，的最小值为． 题型08 根据二次函数对称性求最短路径 【典例1】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【典例2】已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ）    A． B．当时，y随x的增大而增大 C．周长的最小值是＋3 D． 是的一个根 【答案】C 【分析】由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点，则，即，可判断A的正误；当时，y随x的增大而增大，可判断B的正误；点关于直线的对称点为，即是的一个根，可判断D的正误：当，，即，如图，点关于直线的对称点为，连接，由题意知，，当三点共线时，的和最小，即的和最小为，由勾股定理得，进而可得周长的最小值，进而可判断C的正误． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点， ∴，则，A正确，故不符合要求； 当时，y随x的增大而增大，B正确，故不符合要求； 点关于直线的对称点为，即是的一个根，D正确，故不符合要求； 当，，即， 如图，点关于直线的对称点为，连接，    由题意知，， 当三点共线时，的和最小，即的和最小为， 由勾股定理得， ∴周长的最小值，C错误，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式1】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 【变式2】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 【变式3】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由直线与坐标轴的交点得到、，再由抛物线对称性求出抛物线与轴交点，再利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据动点最值问题-将军饮马模型的解法，利用对称性、结合三角形三边关系得到的值最小为线段的长，即可确定取最小值时对称轴上的点，将代入直线的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得，即， 将代入，得，解得，即， 对称轴为直线，点关于对称轴对称， ， 设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，， 当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长， 将代入直线的函数解析式，得， 此时． 【点睛】本题考查抛物线综合，涉及直线与抛物线综合问题、待定系数法确定函数、抛物线与动点最值问题、将军饮马模型等知识，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 题型09 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意当时，，当时，得到，，而恒成立，即，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等． 【详解】解：当时，， ， 当时，， 即， 时，； 当时，，当时，， 即，， 解得：，， 对任意实数，恒有， 恒成立， 即， ， 即， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 故选：B． 【典例2】已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是根据二次函数的对称性找到顶点坐标，设，代入，求即可． 【详解】解：由表可知：关于对称轴的对称点是， 二次函数对称轴是直线， 二次函数顶点坐标是， 设二次函数解析式是， 把代入得： ， 解得：， 二次函数解析式是， 故选：B． 【变式1】 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 【变式2】如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可． 【详解】如图，作于点C    ∵，，， ∴， ∴， 设函数解析式为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标． 【答案】(1)直线 (2)， 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的对称轴为： 直线． （2）解：将点代入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：． 上式变形得：， 顶点坐标为：． 题型10 二次函数图象的平移 【典例1】在平面直角坐标系中，将抛物线平移后得到抛物线，则这个平移变换可以是（   ） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的平移．根据变换前后的两抛物线的顶点坐标即可得出变换规律． 【详解】解：，顶点坐标为， 顶点坐标为， 横坐标从2到，抛物线向左平移4个单位， 故选：A． 【典例2】将二次函数（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点，则m的值为（    ） A．0 B．1或 C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可，熟练掌握二次函数平移的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴将二次函数（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到，即， ∵经过点， ∴， 解得， 故选：D． 【变式1】 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【答案】 【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 ， 即． 故答案为： 【变式2】把二次函数先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案； 【详解】解：∵二次函数的图像先向右平移2个单位．再向下平移3个单位， ∴解析式为， 故答案为：． 【变式3】已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据顶点式可直接得出答案； （3）根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线经过，两个点， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴顶点为， 故答案为：； （3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线， 故答案为：． 题型11 二次函数与坐标轴的交点坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 【典例2】若二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，掌握，当时开口向上，当时开口向下，对称轴，函数与y轴的交点坐标等知识内容是解题的关键，姚注意分类讨论，先当时或当时，再判断出对称轴的位置以及与y轴的交点坐标的位置，进行分析作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，即时，开口向上， 则对称轴在轴的负半轴， 当时，则， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴，即二次函数与y轴的交点在负半轴， ∴； ∴当时，即时，开口向下， 则对称轴在轴的正半轴， 当时，则， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴，即二次函数与y轴的交点在正半轴， ∴； 综上：二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是或， 故选：D． 【变式1】 抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出y的值． 根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 【变式2】如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， 根据抛物线的对称性，可得出点A、B关于直线对称，由点B的坐标得出点A的坐标． 【详解】解：∵B点的坐标是，抛物线的对称轴是， ∴点B到直线的距离为2 ∴点A到直线的距离也为2， ∴A点的坐标是． 故答案为：． 【变式3】如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．    (1)求点A，B，C的坐标； (2)直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键． （1）令得到，解方程得到，， 即可求出，，然后令，即可求出点C的坐标； （2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可． 【详解】（1）令，则， 解得 ，， ∴， 令，则， ∴； （2）∵， ∴图像位于x轴下方， ∴x取值范围为． 题型12 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.75 1.16 … 那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)． 【详解】解：由表可知当时，， 当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， ∴方程的一个根的近似值约为， 故选：B． 【典例2】小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（    ） 0.56 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 则方程的一个根在和之间，时的y值比时更接近0， 方程的一个近似根为：． 故选：C． 【变式1】 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 【变式2】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，注意数形结合的思想方法． 【详解】解∶由可得： ， 当时，， 当时，， 故的一个近似根， 距离x轴更近， 的一个近似根是， 的另一个近似根是 故答案为：或 【变式3】已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 【答案】(1) (2)对称轴是，顶点坐标是，图象如图所示 (3)当或 当或 当 【分析】对于（1），关系式右边先提出2，再配方形成完全平方公式的形式即可； 对于（2），根据（1）中的顶点式得出顶点坐标和对称轴，并画出抛物线； 对于（3），观察图象判断即可． 【详解】（1）； （2）由（1）可知二次函数的顶点式为， ∴二次函数关系式的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线与y轴的交点是，画出抛物线，如图所示． （3）观察图像可知当，或时，； 当或时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，画二次函数图像，观察图像求值等，理解图像与x轴的上下关系就是函数值与0的大小关系是解题的关键． 题型13 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点判断一元二次方程根的情况，根据数形结合的方法可得答案． 【详解】解：函数图象开口向下．图象交x轴于点A、B， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 【典例2】已知二次函数（是常数，），当时，，若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则该二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数图象与轴交点解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实根，可得，二次函数图象与轴有两个交点，由此即可求解． 【详解】解：当时，有两个不相等的实根， ∴，即二次函数图象与轴有两个交点， ∴根据图示可得， A、与轴无交点，不符合题意； B、与轴有一个交代，不符合题意； C、与轴有两个交点，符合题意； D、与轴有一个交代，不符合题意； 故选：C ． 【变式1】 已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解． 【详解】解：令得，， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为． 方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标． 因为该方程恰有3个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有3个不同的交点． 如图所示， 当时，两个图象有3个不同的交点， 所以m的值为4． 故答案为：4． 【变式2】二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图象法解一元二次方程是解题的关键．如图，画直线由图象可得：当直线与函数的图象有交点时，则方程有实数根，从而可得到答案． 【详解】解：如图， 画直线，当直线与函数的图象有交点时，则方程有实数根， 由图象可得：当直线过的顶点时，m有最小值， 此时：， ，方程有实数根， 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】二次函数的图像如图所示，根据图像填空： (1)方程的两个根为_____________； (2)不等式的解集为____________； (3)函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为____________； (4)若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为____________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在轴上方图象的自变量取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有两个不相等的实数根可知，二次函数与直线有两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，， 故答案为: ，; （2）解：由图象可知，二次函数在轴上方图象的自变量取值范围是， 即不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为， 故答案为：； （4）解：方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根， 即二次函数与直线有两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ， ， 即方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为， 故答案为：． A夯实基础 1．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为， 故选：A． 2．已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键．先判定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性，即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧随着的增大而增大， ∴的取值范围是， 故选：B． 3．抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令，求出值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 4．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 5．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 6．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数与一次函数的解析式设出点C，D的坐标,然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设， ， 当时，有最大值，最大值为2． B能力提升 1．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 2．已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（      ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点、是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，随的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵点、，是二次函数图象上的两个点， ∴对称轴为直线，开口向上， ∵当时，随的增大而减小， ∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， ∴ 解得：， 只有2符合题意， 故选：D． 3．若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，由二次函数的图象与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：二次函数的图象与x轴有公共点， ∴方程有实数根， ， 解得：； 故答案为：． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确； ④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确； 综上所述，正确的为②③④． 故答案为：②③④． 5．已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； （2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 6．如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键． （1）用待定数法求二次函数的解析式即可． （2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）令，则， 解得， ∴，， ∴， ∴． ①当时， ②当时， 综上：的长为1或． C综合素养 1．已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点即可判断①和②，根据当时，，即可判断③，根据二次函数图象与x轴没有交点即可判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，由抛物线对称轴的位置可知， ∴，， ∴，故①正确， 由抛物线与y轴相交于负半轴，则， ∴，故②正确； 根据函数图象可得当时，，故③错误； 根据函数图象可得，该二次函数图象与x轴没有交点，则，故④错误， 综上可知，错误的是③④， 故选：B 2．在平面直角坐标系中，二次函数（a，b，c是常数，且）的图象经过点，，且该二次函数有最小值为，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；函数有最小值， 由二次函数的最小值为，可得抛物线对称轴，以及开口方向，再用求差法比较函数值大小，根据抛物线开口向上，离对称越远函数值越大即可确定a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数（a、b、c是常数）， 当时，是该二次函数有最小值， ∴二次函数开口向上，，对称轴为直线， ∵， ∴． ∴， ∴ 故选：B． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）． 【答案】 【分析】本题考主要查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y轴的交点可判断①正确；根据图象与x轴交于两点和对称轴的位置可判断②错误；当时，y的值为结合对称轴可判断③错误；根据对称轴；可得，变形可判断④正确. 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ②有函数图像可得当时，，即，故②正确； ③当时，y的值为， 给乘以4，可得， ∵图象与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴在， ∴关于对称轴对称点的横坐标在和之间， 由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值， ∴与0的关系不能确定，故③错误； ④∵， ∴． 故答案：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 4．如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键． 过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解． 【详解】解：过作轴于点． 由题意可知， ， ， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 5．已知关于x的二次函数（k为正整数） (1)当，求二次函数的对称轴和顶点坐标．． (2)是否存在一个k值，使得二次函数（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，利用顶点坐标公式进行求解即可； （2）令，得到，公式法求出方程的两个根，根据横坐标为整数，得到根号里面为完全平方数，进行求解后判断即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为： ， 的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：不存在，理由如下 令，方程为一元二次方程． 与轴的交点的横坐标都为整数， 是6的整数倍，且k为正整数 设（n为整数） 化简得：，解得： 为正整数，， 当时， 当时， 解得，不符合题意． 综上所述：不存在k的值，使得二次函数（k为正整数）与轴的交点的横坐标都为整数． 6．已知二次函数的图象经过． (1)求证：； (2)若该函数图象不经过第四象限，求b的取值范围 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图形与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）把点代入二次函数即可； （2）利用数形结合思想，因为开口向上，可知当函数对称轴小于零或x轴上方时，函数图象不经过第四象限，即可求出b的取值范围． 【详解】（1）证明：把点数代入得， ∴． （2）由（1）可知，， 二次函数解析式为 函数图象不经过第四象限， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数的性质（3个知识点+13大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.二次函数的性质 2.二次函数的解析式 3.二次函数的平移问题 1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式． 2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性． 3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质． 知识点01 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即学即练1】 1．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 知识点02 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即学即练1】 3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．在平面直角坐标系经中，将二次函数的图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 知识点03 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【即学即练5】 5．有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】 6．二次函数的图象的最高点坐标是，则的值分别是（    ） A．2，4 B． C． D． 题型01 把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例1】抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【典例2】抛物线的顶点一定不在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】 将二次函数化成形式为 ． 【变式2】把二次函数化为顶点式为 ． 【变式3】已知二次函数． (1)求出二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，的取值范围是 ． 题型02 y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例1】如图，抛物线与x轴的交点坐标分别为，则的值为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【典例2】已知二次函数的图象上有，两点，则当时，二次函数y的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式1】 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．若，则m的取值范围 ． 【变式2】已知二次函数，若点，，，都在该函数图像上，则和的大小关系是 ． 【变式3】如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 题型03 二次函数图象与各项系数符号 【典例1】二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【典例2】已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②③．正确的是（   ）    A．①② B．①②④ C． D． 【变式1】 若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有 ． 【变式2】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的是 （填序号） 【变式3】已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 题型04 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断 【典例1】如图，抛物线与反比例函数的图象相交于点P，若点P横坐标为2，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【典例2】二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【变式2】抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【变式3】已知抛物线的顶点是直线与的交点，且抛物线经过直线与轴的交点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）写出当时的取值范围． 题型05 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例1】已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为(     ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【典例2】已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 已知是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 【变式2】如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【变式3】二次函数中的自变量x和函数值y满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … (1)这个二次函数的对称轴是直线________； (2)m的值为________； (3)当时，y的取值范围为________． 题型06 根据二次函数的对称性求函数值 【典例1】已知二次函数的图像的对称轴为直线，且抛物线经过点和点．若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时函数值与（    ） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 【变式1】二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 【变式2】抛物线上的部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表； x … 0 1 … y … 0 4 6 6 … 容易看出，点是抛物线与x轴的一个公共点，则它与x轴的另一个公共点的坐标是 ． 【变式3】已知二次函数函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)二次函数图象所对应的顶点坐标为 ； (2)当时，______； (3)与x轴的交点_______； (4)当函数值时，x的取值范围_________． 题型07 y=ax2+bx+c的最值 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 【典例2】已知在二次函数中，y与x的部分对应值如下表． … 0 3 6 … … 28 18 14 4 6 14 … 当x的取值范围是时，y的最大值是（　　） A．4 B．6 C．18 D．28 【变式1】 已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【变式2】已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 【变式3】已知二次函数过点，， ． (1)求此二次函数的解析式； (2)当为何值时，这个二次函数取到最小值？并求出这个最小值． 题型08 根据二次函数对称性求最短路径 【典例1】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ）    A． B．当时，y随x的增大而增大 C．周长的最小值是＋3 D． 是的一个根 【变式1】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【变式2】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【变式3】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 题型09 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切的值有成立．则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A． B． C． D． 【变式1】 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式： ． 【变式2】如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    【变式3】二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标． 题型10 二次函数图象的平移 【典例1】在平面直角坐标系中，将抛物线平移后得到抛物线，则这个平移变换可以是（   ） A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 【典例2】将二次函数（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点，则m的值为（    ） A．0 B．1或 C．2或 D．3或 【变式1】 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【变式2】把二次函数先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ． 【变式3】已知抛物线（a，b为常数，）经过，两个点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为______； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______． 题型11 二次函数与坐标轴的交点坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【典例2】若二次函数的图象经过四个象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】 抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 【变式2】如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，若B点的坐标是，则A点的坐标是 ． 【变式3】如图，已知二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B与C．    (1)求点A，B，C的坐标； (2)直接写出当函数值时，自变量x的取值范围． 题型12 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.75 1.16 … 那么下列各选项中可能是方程的近似根的是（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【典例2】小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（    ） 0.56 A． B． C． D． 【变式1】 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【变式2】已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： x 那么方程的一个近似根是 （精确到） 【变式3】已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 题型13 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【典例2】已知二次函数（是常数，），当时，，若此一元二次方程有两个不相等的实数根，则该二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【变式1】 已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 【变式2】二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个值即可） 【变式3】二次函数的图像如图所示，根据图像填空： (1)方程的两个根为_____________； (2)不等式的解集为____________； (3)函数y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为____________； (4)若方程有两个不相等的实数根，k的取值范围为____________． A夯实基础 1．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线与y轴交点的坐标为 ． 4．若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 5．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 6．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． B能力提升 1．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（      ） A． B． C．1 D．2 3．若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    5．已知二次函数． (1)若该二次函数的最大值为，求m的值； (2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 6．如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． C综合素养 1．已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在平面直角坐标系中，二次函数（a，b，c是常数，且）的图象经过点，，且该二次函数有最小值为，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）． 4．如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 5．已知关于x的二次函数（k为正整数） (1)当，求二次函数的对称轴和顶点坐标．． (2)是否存在一个k值，使得二次函数（k为正整数）与x轴的交点的横坐标都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 6．已知二次函数的图象经过． (1)求证：； (2)若该函数图象不经过第四象限，求b的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$