集合及其运算课件-2025届高三数学一轮复习

集合及其运算 基础知识·诊断 考点聚焦·突破 拓展教材 深度学习 1 考点考向 课标要求 真题印证 考频热度 核心素养 集合的基 本概念 理解 2022年全国乙卷 （理） ★★☆ 逻辑推理 数学运算 集合的基 本关系 理解 2023年新高考Ⅱ卷 ★★☆ 逻辑推理 数学运算 集合的基 本运算 理解 2023年新高考Ⅰ卷 #b# 2022年新高考Ⅰ卷 #b# 2022年新高考Ⅱ卷 ★★★ 逻辑推理 数学运算 基础课01 集合及其运算 2 考点考向 课标要求 真题印证 考频热度 核心素养 命题分析 预测 从近几年高考的情况来看，集合是高考必考内容，一般以选择题的形 式出现，试题较为简单.命题热点为集合的基本运算，常结合指数函 数、对数函数或不等式进行考查.预计2025年高考命题情况变化不大， 但应加强对集合中创新问题的重视 续表 基础课01 集合及其运算 3 基础知识·诊断 4 一、集合的概念 1. 集合中元素的三个特征：①________、②________、③________. 2. 元素与集合的关系有④______或⑤________两种，用符号⑥___或⑦___表示. 3. 集合的表示法：⑧________、⑨________、⑩________. 4. 常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ⑪___ ⑫____________ ⑬___ ⑭___ ⑮___ 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 图示法 （或） 基础课01 集合及其运算 5 二、集合间的基本关系 表示 文字语言 符号语言 集合间 的基本 关系 子集 集合中任意一个元素都是集合 中的 元素 ⑯______________ 真子 集 集合是集合 的子集，但存在元素 ，且 ⑰______________ 集合 相等 构成两个集合的元素是⑱________ ⑲_______且⑳_______ 或 或 一样的 基础课01 集合及其运算 6 表示 文字语言 符号语言 结论 任何一个集合是它本身的子集 若是的子集，是的子集，则是 的子集 ， ㉑ _______ 空集是㉒______集合的子集，是㉓ ___________集合的真子集 , 任何 任何非空 续表 基础课01 集合及其运算 7 三、集合的基本运算 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 ㉔ ___________________ ㉕ ___________________ ㉖ ____________________ ，或 ，且 ，且 基础课01 集合及其运算 8 四、集合的运算性质 交集 ㉗______，,, ， ㉘___, ㉙___ 并集 ㉚______，,， ， ㉛___， ㉜___ 补集 ㉝___，㉞___， , , ㉟___ 基础课01 集合及其运算 9 1. 若有限集中有个元素，则的子集有 个，真子集有 个，非空子集有个，非空真子集有 个. 2. 如图所示，用集合， 表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部 分，这四个部分所表示的集合分别是， ， ， . 基础课01 集合及其运算 10 题组1 走出误区 1. 判一判.（对的打“√”,错的打“×”） （1） .( ) × （2）若,则 的值为0或1.( ) × （3） .( ) √ （4）若集合,,则 .( ) × 基础课01 集合及其运算 11 2.（易错题）已知集合，,，则 _________. 【易错点】忽视 导致错误. 解析 由得，因为，所以 ，所以 . 基础课01 集合及其运算 12 题组2 走进教材 3.（人教A版必修①P14 · T1改编）已知集合 ， ，则 _____________. 解析 易知，故 . 基础课01 集合及其运算 13 4.（人教A版必修①P9 · T5改编）已知集合， ，若 ，则实数 的取值范围是________. 解析 依题意，如图， 由图可知 . 基础课01 集合及其运算 14 题组3 走向高考 5.（2023 · 新高考Ⅰ卷）已知集合,-1,0,1,， ，则 ( ) . C A.,-1,0, B. C. D. 解析 因为或，而,-1,0,1, ，所 以 .故选C. 基础课01 集合及其运算 15 考点聚焦·突破 16 考点一 集合的基本概念［自主练透］ 1.（2023 · 上海卷）已知,，若,，则 ( ) . A A. B. C. D. 解析 因为,，,，所以 .故选A. 基础课01 集合及其运算 17 2.（2024 · 黑龙江模拟）已知集合,,，则 中元素的 个数为( ) . C A.9 B.10 C.11 D.12 解析 由椭圆的性质得,，又, ,所以集合 ,,,,,,,,,, ，共 有11个元素.故选C. 基础课01 集合及其运算 18 3.（多选题）（原创）已知集合,,，则 中的元素有( ) . ABD A. B. C.0 D. 解析 由元素的概念易判断选项.故选 . 基础课01 集合及其运算 19 4.（2024 · 汉中质检）已知集合,,，且给出下列三个关系： ； ；.若这三个关系有且只有一个正确，则 _____. 201 解析 由题意知，若正确，则错误，即,则,即 正确，与“三 个关系有且只有一个正确”矛盾； 若正确，则 正确，不符合题意； 若正确，则,, ，符合题意， 故 . 基础课01 集合及其运算 20 解决集合基本概念问题的三个关键点 1. 确定构成集合的元素. 2. 确定元素的限制条件. 3. 根据元素的特征（满足的条件）构造关系式，解决相应问题.含参数的集合问题， 求出参数的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性. 基础课01 集合及其运算 21 考点二 集合间的基本关系［师生共研］ 典例1（1）（2023 · 新高考Ⅱ卷）设集合,，,, ，若 ，则 ( ) . B A.2 B.1 C. D. 解析 依题意，有或.当时，解得,此时 , ，，不满足；当时，解得,此时， ， ,0,，满足 .故选B. 基础课01 集合及其运算 22 （2）已知集合,,若,则实数 的取值范围为________. 解析 由于,因此,①若 ,则,解得 ; ②若 ,则解得 . 由①②可得,实数的取值范围为 . 基础课01 集合及其运算 23 变式设问 若将本例（1）中的条件“，, ”改为 ”，其他条件不变，则 的取值范围为_ _____________. 解析 由，可得 解得 即或 . 基础课01 集合及其运算 24 判断集合间的基本关系的三种方法 列举法 根据题中的限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同， 从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上 找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定 集合与集合之间的关系 基础课01 集合及其运算 25 1.（2024 · 河南校考）已知集合,，, ， ,，则，， 之间的关系正确的是( ) . A A. B. C. D. 解析 由题意知，,,， , ,，,, ， 故集合,均表示被3除余1的数再除以6的数组成的集合，集合 表示被6除余1的数 再除以6的数组成的集合，所以 .故选A. 基础课01 集合及其运算 26 2. 若集合,,且,则实数 的取值范围为_______. 解析 若 ,则,解得 ,符合题意; 若,解得,此时 ,符合题意; 若,解得,此时, ,不符合题意. 综上所述,实数的取值范围为 . 基础课01 集合及其运算 27 考点三 集合的基本运算［多维探究］ &1& 集合的运算 典例2（1）（2023 · 全国乙卷）设集合，集合 ， ，则 ( ) . A A. B. C. D. 解析 由题意可得，则 ，A正确； ，则 ，B错误； ，则或 ，C错误； 或，则 或 ，D错误.故选A. 基础课01 集合及其运算 28 （2）（2023 · 全国甲卷）设全集，集合, , ,，则 ( ) . A A., B., } C., D. 解析 因为整数集,, , ，，所以, }.故选A. 基础课01 集合及其运算 29 解决集合的基本运算的三个思路 化简运 算 进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的 性质特征，区分数集与点集 紧扣定 义 定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“且”，并集的运算 要抓住“或”，补集的运算要抓住“非” 数形结 合 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助 图求解；连续型数集的运 算，常借助数轴求解 基础课01 集合及其运算 30 &2& 由集合的基本运算求参数的值（范围） 典例3（1）（2024 · 四川预测）设集合， ， ，若集合中恰好含有2个元素，则实数 的取值范围为 ( ) . B A. B. C. D. 解析 ，， ， ， 因为集合中恰好含有2个元素，所以 .故选B. 基础课01 集合及其运算 31 （2）（2024 · 湖北模拟）已知集合， ，若 ，则实数 的取值范围是( ) . A A. B. C. D. 解析 由题意知，，若，则 .故选A. 基础课01 集合及其运算 32 集合中求参问题的四个注意点 1. 注意两个转化 ; . 2. 注意空集的特殊性 （1）若，则分 和 两类进行讨论. （2）若 ,则集合, 可能的情况有： ,均为空集；与中只有一个空集；, 均为非空集但无公共元素. 3. 注意结合数轴分析端点值的大小. 4. 注意对结果进行检验，避免集合中元素重复. 基础课01 集合及其运算 33 1.（2023 · 天津卷）已知集合,,，则 ( ) . A A. B. C. D. 解析 因为,,，所以 ， . 故选A. 基础课01 集合及其运算 34 2. 已知集合,.若,且 ,则 ___. 1 解析 由题意知,,,若,且 ,则 ,解得 . 基础课01 集合及其运算 35 考点四 集合中的新定义问题［师生共研］ 典例4 （2024 · 宜春模拟）已知非空集合，且满足如下性质：若， ，则 ；若，则.称这样的集合 为一个“群”.以下叙述正确的个数为 ( ) . ①若为一个“群”，则 必为无限集； ②若为一个“群”，且，，则 ； ③若，都是“群”，则 必定是“群”； ④若，都是“群”，且，，则 必定不是“群”. C A.1 B.2 C.3 D.4 基础课01 集合及其运算 36 解析 对于①，设集合,0,，显然,, ，符合 “群”的性质，因此集合,0, 是一个“群”，但是它是有限集，故①不正确； 对于②，根据“群”的性质，由可得，因此可得 ，故②正确； 对于③，设，若，一定有,，因为， 都是“群”，所以 ,，因此，若，则,， ，故③正确； 对于④，因为，，一定存在且，且 ，所 以且，所以 ，故④正确.故选C. 基础课01 集合及其运算 37 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义并结合要求 进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 基础课01 集合及其运算 38 （2024 · 上海模拟）已知集合,,,且 ，定义集合 ,，,，，2，3，， ，给出下列说法： ，， .其中所有正确说法的序号 是( ) . D A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 基础课01 集合及其运算 39 解析 集合,,,且 ， 因为，所以中也包含四个元素，即,,, ，且 ， . 对于①，由得 ，故①正确； 对于②，由得 ，故②正确； 对于③，由得 ，故③正确. 故选D. 基础课01 集合及其运算 40 拓展教材 深度学习 41 容斥原理 若用表示有限集合 中元素的个数，则有如下结论： （1） ; （2） . 以上结论称为容斥原理.用 图解释，如图所示： 基础课01 集合及其运算 42 基础课01 集合及其运算 43 典例 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有的学生喜欢足球或游泳, 的学 生喜欢足球, 的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学 生总数的比例是( ) . C A. B. C. D. 解析 用 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系,如图.设既喜 欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为 ，由容斥原理得 ，解得 .故选C. 基础课01 集合及其运算 44 深度训练 某年级先后举办了语文、数学、英语的讲座，其中有95人听了语文讲座， 80人听了数学讲座，71人听了英语讲座，26人既听了语文讲座又听了数学讲座，22 人既听了语文讲座又听了英语讲座，19人既听了数学讲座又听了英语讲座，还有15 人听了全部讲座，则听了讲座的人数为_____. 194 基础课01 集合及其运算 45 解析 设听了讲座的人数为 ，则由容斥原理可得， . 也可将已知条件用 图表示，如图所示，易得出结果. 基础课01 集合及其运算 46 $$