1.3 正方形的性质与判定-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课后作业（北师大版）

第一章特殊平干四边形 B组提升能力 C组思维拓展 11.如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A 14.已知正方形ABCD,点F是射线DC上一 按逆时针方向旋转30°后得到正方形AB 动点（不与C,D重合），连接AF并延长，交 CD',则图中阴影部分面积为 直线BC于点E,交BD于点H,连接CH 过点C作CG⊥HC,交AE于点G D (1)若点F在边CD上，如图. ①求证：∠DAH=∠DCH; ②猜想△GFC的形状并说明理由. (2)取DF的中点M,连接MG,若MG= 11题图 12题图 2.5,正方形边长为4，求BE的长. 12.如图.已知正方形ABCD的边长为12，BE =EC,将正方形的边CD沿DE折叠到 DF,延长EF,交AB于点G,连接DG.现 有如下3个结论：①AG+EC=GE:② ∠GDE=45°：③△BGE的周长是24.其中 正确的有 .(填序号) 13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,过点D作∠ODC的角平分 线，交OC于点G,过点C作CF⊥DG,垂足 为F,延长CF,交BD于点E. (1)求证：OE=OG: (2)求S△AG；S△顶E的比值. 错题整理 ·16曰写优课堂转钓A+·九年级数学（上） 第8课时1.3正方形的性质与判定(1) A组务实基础 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.分别以 一、正方形边角的性质 AB,AC为边作正方形ABEF和正方形 1.如图，将正方形沿图中的虚线剪去一个角 ACMN,连接FV.若AC=4,BC=3, 后，∠1+∠2等于 (D) 求S△ANF· A.120° B.170° C.220 D.270° 解答图 解：过点F作FH⊥AV交NA的延长线于点日， :分别以AB,AC为边作正方形ABEF和正方形 1题图 2题图 ACMN. 2.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是 ,.AB=AF,∠ACB=∠BAF=90°， (一3,1)，则C点的坐标是 (A) ∴.∠CAB+∠BAH=∠BAH+∠HAF-90, A.(1,3) B.(2.3) .∠CAB=∠FAH, C.(3,2) D.(3,1) ∠CAB=∠FAH. 3.如图，P为AB上任意一点，分别以AP,PB 在△ACB和△AHF中， ∠ACB=∠AHF=90°， 为边在AB同侧作正方形APCD,正方形 AB-AF. PBEF,设∠CBE=a,则∠AFP为(B) .△ACB2△AHF,.BC-HF=3. A.2a B.90°-a 5w-专×4x3-6 C.45°+a D90-2 二、正方形对角线的性质 8.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性 质是 (B) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 3题图 4题图 D.对角形互相垂直平分 4.如图，直线a过正方形ABCD的顶点A,点 9.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线 B,D到直线a的距离分别为3,4，则正方形 AC,BD交于点O,E是AC延长线上一点， 的周长为20. 且OE=2CO,则BE的长度是 (A) 5.如图，点E在正方形ABCD内，且EC=BC, A.√10 B.2√10 C.22 D.32 则∠BED为135度. 9题图 10题图 5题图 6题图 10.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交 6.如图，在正方形ABCD中，AD=2,点E在 于点O,M是边AD上一点，连接OM,过点 对角线BD上，连接AE,若∠BAE=22.5°， O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形 则BE的长为22一2· MOND的面积是1，则AB的长为2： ·15✉ 第一章特殊平行四边形 B组提升能力 C组思维拓展 11.如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A 14.已知正方形ABCD,点F是射线DC上一 按逆时针方向旋转30°后得到正方形AB' 动点（不与C,D重合），连接AF并延长，交 CD',则图中阴影部分面积为9-3 直线BC于点E,交BD于点H,连接CH, 过点C作CG⊥HC,交AE于点G. (1)若点F在边CD上，如图. ①求证：∠DAH=∠DCH: ②猜想△GFC的形状并说明理由， (2)取DF的中点M,连接MG,若MG= 11题图 12题图 2.5,正方形边长为4，求BE的长. 12.如图.已知正方形ABCD的边长为12，BE =EC,将正方形的边CD沿DE折叠到 DF,延长EF,交AB于点G,连接DG.现 有如下3个结论：①AG+EC=GE;② ∠GDE=45°：③△BGE的周长是24.其中 解答图1 正确的有①②③，（填序号） (1)D证明：“四边形ABCD是正方形， 13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD .∠ADB=∠CDB=45°，DA=DC. 在△DAH和△DCH中， 相交于点O,过点D作∠ODC的角平分 DA=DC. 线，交OC于点G,过点C作CF⊥DG,垂足 ∠ADH=∠CDH, 为F,延长CF,交BD于点E DH-DH. (1)求证：OE=OG: ∴△DAH≌△DCH,.∠DAH=∠DCH: ②解：结论：△GFC是等腰三角形， (2)求S△AG:S△E的比值. 理由：，△DAH≌△DCH 门)证明：：ABCD是正方形， :∠DAF=∠DCH, .AD=DC,∠ODC=∠OCD :CG⊥HC,∴.∠FCG+∠DCH=90", ,.∠FCG+∠DAF=90. ∠0AD=45.∠D0C=∠BOC= :∠DFA+∠DAF-90",∠DFA-∠CFG, 90°.(OD=(0C. .∠CFG=∠FCG.,GF=GC, :DF平分∠ODC, ·△GFC是等腰三角形. ∴.∠EDF=∠CDF=22.5, (2)解：如解答国1，当点F在线段CD上时，连 CF⊥DG.∴.∠DEF=∠DCF=67.5°， 接DE ,∠(0CE=67,5-45°=22.5，DE=DC, :∠GFC=∠GF,∠(GEC+ .∠(0CE-ODG. ∠GFC=90,∠GCF+∠GCE-90. ,.∠GCE=∠GEC 又：OD=(OC,∠DOC=∠BOC=90°， H ..EG=GC=FG. ,.△DG2△C(OE(ASA). FG-GE.FM-MD. .(G=0E: .DE=2MG=5, (2)解：设AD=DC=2a,期有OA=(OB=√2a, 在RL△DE中，CE DE-DC-√6-年-3， DE-2a,BD-22a. ∴.BE=BC+CE=4+3=7. ∴.BE-BD-DE=(22-2)4, ②当，点F在线段DC的延长线 AG=A0+(0G=2a, 上时，连接DE.如解答图2， SAG.OD. 同法可证GM是△DEC的中 解答图2 位线。 Sw-BE.0C.OD-(C. .DE=2GM=5, 在R△DE中.CE=√DE一D'=√-4=3， ∴S△w:Sam=AG:BE-2a:(22-2)a= .BE=BC-CE=4-3=1. (2+1):1. 够上所述，BE的长为7或1， ·16✉ 曰写优课堂转物A+·九年级数学（上） 第9课时 1.3正方形的性质与判定(2) A组夯实其础 二、正方形的性质与判定 一、正方形的判定 5.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于 1.在四边形ABCD中，点O是对角线的交点， 点O,点E,F同时从O点出发在线段AC上 在下列条件中，能判定这个四边形是正方形 以0.5cm/s的速度反向运动（点E,F分别 的是 (D) 到达A,C两点时停止运动)，设运动时间为ts A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD 连接DE,DF,BE,BF,已知△ABD是边长 B.AD=BC,∠BAD=∠BCD 为4cm的等边三角形，当t=4s时，四 C.AO=CO,BO=DO,AB=BC 边形DEBF为正方形. D.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD 2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC 上的F处，折痕为BE,若沿EF剪下，则折 叠部分是一个正方形，其数学原理是(A) 5题图 6题图 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分 别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结 A.邻边相等的矩形是正方形 论：①OA=OD:②AD⊥EF:③当∠A=90 B.对角线相等的菱形是正方形 时，四边形AEDF是正方形：④AE+DF C.两个全等的直角三角形构成正方形 AF+DE.其中正确的是②③④（填序号）. D.轴对称图形是正方形 7.如图，在矩形ABCD中，AD=6,CD=8,菱 3.四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形 O,AD∥BC,OA=OC,AC平分∠BAD.欲 ABCD的边AB,CD,DA上，AH=2,连 使四边形ABCD是正方形，则还需添加条件 接CF AC=BD或∠BAD=90°.（写出一个合适 (1)当DG=2时，求证：四边形EFGH是正 的条件即可) 方形： 4.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥ (2)当△FCG的面积为2时，求CG的值. AC,CE∥BD. (1)判断四边形OCED是什么特殊四边形？ 并证明你的结论 解答图 (2)当AB,AD满足什么条件时，四边形 (1)证明：在矩形ABCD中，有∠A=∠D=90”, OCED是正方形？请说明理由. .∠DGH+∠DHG=90°， 解：(1)四边形(OCED是菱 在菱形EFGH中，EH=GH, 形，理由如下： AH-2.DG-2,.AH-DG. :DE∥AC,CE∥BD. ,.Rt△AEH≌Rt△DHG(HL). .四边形OED是平行四边形， .∠AHE=∠DGH..∠AHE+∠DHG=90 义在矩形ABCD中，OC=OD ,.∠EHG=90°，.四边形EFGH是正方形. ,四边形(CED是菱形： (2)解：过，点F作FM⊥IDC于点M,如解答图， (2)当AB=AD时，四边形CED是正方形，理由 则∠FMG=90..∠A=∠FMG=90.连接EG. 如下：AB=AD,∴矩形ABCD是正方形， 由矩形和菱形性质，知AB∥DC,HE∥GF, AC⊥BD,∴.菱形(OCED是正方形. .∠AEG=∠AMGE,∠HEG=∠FGE, ·17✉ 第一章持殊平行四边形 .∠AEH=∠MGF.,EH=(GF, ∴.∠BEC+∠EBF=∠ABE+∠AEB=90, .△AEH≌△MGF..FM=AH=2. ∴BF⊥CE,,BE,FC,EF,BC的中点分别为I, :5am-0G·FM-2×CG×2=.0G-2 J.H.K. B姐提升能力 ∴I∥BF,H1-BF,KJ∥BF,KJ-BF. 8.如图，点E在正方形ABCD内，且∠AED= IK /CE.IK-CE.HJ/CE.HJ-CE. 90°，AE=2,连接BE,则△ABE的面积为 .HI=K=KJ=H且HI⊥K, 2 四边形HIKJ为正方形. C组思维拓展 12.如图，已知四边形ABCD是正方形，AB= 22,点E为对角线AC上一动点，连接 DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点 8题图 9题图 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，P(4,4), F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连 A,B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动 接CG. 点，且△ABO的周长是8，则P到直线AB (1)求证：DE=EF: 的距离是4。 (2)探究CE+CG的值是香为定值，若是， 10.已知，如图，∠MON= 请求出这个定值：若不是，请说明理由 45°，OA1=1,作正方形 ABC1A,周长记作 C:再作第二个正方形 A,B,C2A,周长记作Cg:继续作第三个正 方形AB,CaA,周长记作Ca:点A1,A2, 解答图 A1,A1…在射线ON上，点B1,B2,B3,B 解：(1)如解答图，作EM⊥BC,EN L CD,则 …在射线OM上，依此类推，则第n个正方 ∠MEN=90°，：点E是正方形ABCD对角线上 形的周长C。=21 的点，.EM=EN, 11.在任意三角形ABC边上画正方形ABDE, :∠DEF=90,∴.∠DEN=∠MEF. 在△DEN和△FEM中. ACGF,连接BE,FC,EF,并取BE,FC, ∠DNE=∠FME. EF,BC的中点I,J,H,K,连接IH,HJ, EN-EM. .△DEN≌△FEM(ASA). JK,IK,求证：HIKJ为正方形 L∠DEN=∠FEM ∴.EF=DE (2)CE+CG的值是定位，定值为 理由：EF=DE 又：四边形DEFG是矩形， 解答图 证明：如解答图，连接BF,CE, ∴矩形DEFG是正方形， 在正方形ABDE,ACGF中，AB=AE,AC=AF, .四边形ABCD是正方形. ∠BAE=∠CAF=90°， .DE=DG.AD-DC. ,∠BAE+∠EAF=∠CAF+∠EAF, :∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE-=90°. 即∠BAF=∠EAC,在△ABF和△AEC中， .∠CDG=∠ADE,.△ADE≌△CDG, AB-AE. .AE=CG. ∠BAF=∠EAC,∴.△ABF≌△AEC(SAS). ∴.CE+CG=CE+AE-AC=2AB=√2×2W2=4. AF-AC. .BF=CE,∠ABF=∠AEC, ·18