第12讲 二次函数的应用-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（人教版）

第12讲 二次函数的应用 【人教版】 ·模块一 面积最值问题 ·模块二 建筑物问题和隧道问题 ·模块三 抛体运动、营销、行程问题 ·模块四 课后作业 模块一 面积最值问题 【考点1 利用二次函数解决面积最大值问题】 【例1.1】（2023·新疆吐鲁番·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【例1.2】（2023九年级·内蒙古赤峰·期中）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大． 【例1.3】（2023九年级·四川德阳·期中）某社区委员会决定把一块长，宽的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多4米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为，健身活动区域的面积为．    (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 【变式1.1】（2023九年级·福建龙岩·期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙 （篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【变式1.2】（2023九年级·安徽马鞍山·期中）用木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料，其中，要使窗框的面积最大，则的长为 m． 【变式1.3】（2023九年级·山东济南·期末）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙（两边足够长），墙角内的处有一棵古树与墙、的距离分别是15米和6米，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设米． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．    (1)请用含有x的代数式表示的长： ； (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大，最大面积为多少？ 【考点2 利用二次函数解决面积最小值问题】 【例2.1】（2023九年级·广东肇庆·期末）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)t为何值时，？ (2)t为何值时，的长度为？ (3)设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 【例2.2】（2023九年级·浙江杭州·期末）如图，要在一面靠墙（墙长11米）的空地上，用长为16米的篱笆围成一个矩形花圃（靠墙一边不超过墙长），设与墙平行的一边的长为米，面积为平方米. （1）直接写出：与墙垂直的一边的长（用含的代数式表示）； （2）若矩形花圃的面积为30平方米，求的长； （3）若与墙平行的一边的长度不小于与墙垂直的一边的长度，问边应为多少米时，才能使矩形花圃所占地面面积最小，最小的面积是多少？ 【例2.3】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）将一根长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，设其中一段铁丝长为4x cm，两个正方形的面积和为y cm2 （1）求y与x的函数关系式； （2）要使这两个正方形面积之和为17cm2，那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （3）要使这两个正方形面积之和最小，则这根铁丝剪成两段后的长度各是多少？这两个正方形面积之和最小为多少？ 【变式2.1】（2023九年级·江苏连云港·学业考试）把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形．若设围成的一个正方形的边长为． （1）要使这两个正方形的面积的和等于，则剪出的两段铁丝长分别是多少？ （2）剪出的两段铁丝长分别是多少时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？ 【变式2.2】（2023九年级·甘肃定西·阶段练习）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【变式2.3】（2023九年级·广西南宁·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形的四条边上运动，四边形也是正方形．    (1)求证：； (2)设的长为x，正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)在（2）的条件下，当的长为多少时，正方形的面积最小？最小值是多少？ 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·广西南宁·阶段练习）在美化校园活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为 ． 【题型2】（2023九年级·天津滨海新·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为,面积为,其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3】（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本（单位：元与其种植面积（单位：的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当为多少时，是35元； (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？ 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·山东滨州·期中）如图，阳信县某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．    (1)求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)矩形茶园的面积是否有最大值？若有，求出的长．若没有，说明理由． 【题型2】（2023九年级·浙江台州·期末）如图，校园某处的直角墙角，墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，花园的面积为． (1)若花园的面积为，求x的值； (2)写出S与x的函数关系式； (3)求出花园面积S的最大值． 【题型3】（2023九年级·重庆南岸·期末）为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 模块二 建筑物问题和隧道问题 【考点1 利用二次函数计算建筑物的高度问题】 【例1.1】（2023·河南鹤壁·模拟预测）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 【例1.2】（2023·甘肃兰州·一模）如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆到原点O的水平距离，吊杆到原点O的水平距离，且，主拱形离桥面的距离与水平距离近似满足二次函数关系，其对称轴为直线． (1)求的长度： (2)求主拱形到桥面的最大高度的长． 【例1.3】（2023九年级·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 【变式1.1】（2023九年级·福建福州·期中）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为，支柱的高度为，则桥高为 ．    【变式1.2】（2023九年级·四川绵阳·期中）如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，则当水面宽为时，水面上升了（　　）    A． B．1 C． D． 【变式1.3】（2023九年级·山东烟台·期中）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线    (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了1米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.16米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少？（结果精确到0.1） 【考点2 利用二次函数计算建筑物的跨度问题】 【例2.1】（2023九年级·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为 米． 【例2.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2.3】（2023九年级·山东青岛·开学考试）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，点P到水面的距离为，从O，A两处观测P处，仰角分别为，，且，，以O为原点，所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，已知抛物线满足．求抛物线表达式，并求抛物线上的最高点到水面的距离．    【变式2.1】（2023九年级·广东江门·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求大孔抛物线的解析式； (2)现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． (3)当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 【变式2.2】（2023九年级·山东聊城·期末）泗水卞桥（如图①始建于晚唐时期，造型雅朴，雕饰精美，是山东省现存最古老的桥梁．拱桥中孔轮廓近似抛物线，现以拱桥的中孔最高点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图②，已知两点的距离为6米时，到轴的距离为3米．当水面与轴的距离为4米时，水面宽度等于 米． 【变式2.3】（2023九年级·山西长治·期末）图1是山西晋城丹河大桥，位处太行山脉南端，桥梁栏杆上有多幅与历史文化有关的石雕图画，体现了现代与传统文明的完美结合．丹河大桥拱桥桥洞的形状呈抛物线形，现以水面为x轴，拱桥左侧与水面的交点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水面的宽度为米，拱桥离水面的最大高度为米． (1)求该抛物线的表达式； (2)若要在桥洞两侧壁上距离水面米的点B和点C处各安一盏景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离． 【考点3 利用二次函数解决车过隧道问题】 【例3.1】（2023九年级·河南驻马店·阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表： x/米 0 2 4 6 8 y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5    (1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式； (2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？ 【例3.2】（2023九年级·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 【例3.3】（2023·河南平顶山·三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为，长为，最高处点P到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中表示抛物线上任一点到地面的高度，表示抛物线上任一点到隧道一边的距离． (1)求抛物线的解析式． (2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在之间，高度应在之间，小明发现隧道为单行道，一货车沿隧道中线行驶，宽为，货车的最高处与隧道上部的竖直距离约为，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定． 【变式3.1】（2023九年级·广东珠海·期中）如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是宽是．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过? 【变式3.2】（2023九年级·安徽六安·阶段练习）如图，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，隧道顶距地面8m． (1)求出隧道上部抛物线的解析式； (2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由． (3)如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由． 【变式3.3】（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为． (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离． (2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？ (3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·陕西榆林·期末）如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 【题型2】（2023九年级·陕西西安·阶段练习）如图，某市新建的一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，此抛物线的函数表达式为 ． (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能否安全通过此桥？ 【题型3】（2023九年级·山东青岛·阶段练习）如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·河南周口·期末）拱桥是指由拱形结构成的桥梁，它是中国古代建筑中的重要形式之一，在中国的古代建筑史上占据着重要的地位，因其独特的结构和精美的外观而受到广泛的赞誉和喜爱．图1是一座拱桥，此拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为时，水面离桥洞的最大距离为，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系 (1)求该抛物线的解析式； (2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为3m时，求拱桥内水面的宽度． 【题型2】（2023·宁夏银川·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求A、B两点间的距离． 【题型3】（2023·河南周口·二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求b，c的值，并计算出拱顶D到地面的距离． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 模块三 抛体运动、营销、行程问题 【考点1 利用二次函数解决抛体运动问题】 【例1.1】（2023九年级·河北保定·期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【例1.2】（2023·安徽芜湖·一模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【例1.3】（2023·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 【变式1.1】（2023九年级·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，某同学在练习打网球时发现，网球沿与地面成一定角度的方向飞出，网球的飞行路线是一条拋物线，如果不考虑空气阻力，网球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，㘼根据要求解答下列问题：    (1)在飞行过程中，当网球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，网球从飞出到落地所用时间题多少？ (3)在飞行过程中，网球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【变式1.2】（2023·河南平顶山·一模）在某场篮球比赛中，运动员甲在距篮下的三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为时，球达到最大高度，然后准确落入篮圈，篮圈中心到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请求出该抛物线的表达式； (2)另一运动员乙位于运动员甲与原点之间，且距离甲为，原地起跳后成功盖帽拦截运动员甲投出的球，问：运动员乙起跳后双手达到的高度至少为多少？（结果精确到） 【变式1.3】（2023九年级·河南安阳·期末）足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小王从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点D，此时球离地面4米．已知球门的高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，请通过计算说明当时小王应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过B点正上方米处入门？ 【考点2 利用二次函数解决利润问题】 【例2.1】（2023·辽宁锦州·二模）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ (2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【例2.2】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【例2.3】（2023·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【变式2.1】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【变式2.2】（2023·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【变式2.3】（2023九年级·全国·竞赛）某种学习用品每件的市场售价（单位：元）、生产成本（单位：元）都是时间（单位：月）的函数，如图所示．根据图示信息，分别求出每件学习用品的市场售价、生产成本和利润关于时间的函数关系式，并求出在第几个月出售时，每件该学习用品的利润最大？最大利润是多少？    【考点3 利用二次函数解决行程问题】 【例3.1】（2023九年级·陕西咸阳·阶段练习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量和速度来描述车流的基本特征，其中流量（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间的关系式为． (1)若该路段上汽车行驶的速度为40千米/小时，则该路段的流量为多少？ (2)当该路段的车辆速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ 【例3.2】（2023九年级·河北石家庄·期中）我校数学兴趣小组对某运载汽车的刹车距离做了研究，发现刹车距离S是K与T两部分之和，其中，K与行车速度x的平方成正比，比例系数为a；T为系数b、全车重量m及行车速度x三者的乘积（系数a、b；均为定值）．根据调查数据制作了如下表格： 全车重量m（吨） 行车速度x（迈） 刹车距离（米） 第一次观测 10 40 20 第二次观测 10 50 30 (1)用a和x表示_________，用b，m，x表示_________； (2)根据表格中的数据，求刹车距离S与行车速度x之间的函数关系式；若该车速度为80迈，刹车距离是多少？ (3)若某高速路段要求限速100迈，要想刹车距离不大于120米，则该车最多再加多少吨货物？ 【例3.3】（2023九年级·浙江台州·期末）如图1，在高速公路上，为了避免载重货车刹车失灵造成事故，在长下坡路段设计避险车道． 避险车道的截面图如图2，通过引道把货车引导到铺有一定厚度砾石的制动坡的坡底处，然后通过上坡中汽车自身的重力和松散砾石坡面增大轮胎的滚动摩擦，从而达到给货车减速的目的． (1)如图3是从上往下观察一段长下坡路段的平面示意图，现要设计引道引导货车从行车道行驶到避险车道，你认为怎样设计引道比较合适？请你画出引道的平面示意图，并简要说明理由． (2)如图2，设货车在制动坡上处的初速度为（单位：），运动时间为（单位：）时刻的速度为（单位：），制动坡面的摩擦系数为，制动坡坡度为， ，根据科学原理，有，其中（单位：）． ①货车在制动坡上行驶到秒的平均速度是多少？行驶的路程是多少？（平均速度，用含有的式子表示）； ②如果，问：货车在制动坡上行驶多少米才能停下（精确到，）？ ③某段高速公路长下坡上货车刹车失灵后，到达制动坡底的初速度不超过，在②的条件下，制动坡长至少要多长（精确到）？ 【变式3.1】（2023九年级·浙江·期中）甲船从A处起以的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向的B处起以的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？ 【变式3.2】（2023九年级·浙江绍兴·阶段练习）某日上午7：00，一列火车在A城的正北24km处，以12km/h的速度驶向A城．同时，一辆汽车在A城的正东12km处，以12km/h的速度驶向正西方向行驶．假设火车和汽车的行驶的方向和速度都保持不变． 问：（1）何时火车与汽车之间的距离最近？最近距离是多少千米？ （2）当火车与汽车之间的距离最近时，汽车是否已过铁路与公路的立交处？ 【变式3.3】（2023九年级·湖北黄石·期末）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当时，求车流速度v关于x的解析式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时，）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【题型2】（2023九年级·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 【题型3】（2023·河南濮阳·三模）如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ (2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·江西九江·期中）去年夏天，全国多地出现了极端高温天气，某商场抓住这一商机，先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，商店在销售这种太阳伞时，每把定价都是50元，每天可卖出20把． (1)求两次共购进这种太阳伞多少把； (2)商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价1元，则每天可多售出2把，这种太阳伞降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？每天最大的销售额是多少元？ 【题型2】（2023九年级·浙江杭州·期中）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点的延长线与球门线交于点，且点均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表：（单位：） 9 12 15 18 21 4.28 4.82 5 4.82 4.28 (1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，求的值： (2)求关于的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 【题型3】（2023·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 模块四 课后作业 1．（2023·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 2．（2023·山西晋城·三模）学科实践驱动任务：用数学的眼光观察校园． 研究步骤： ①如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）； ②隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 问题解决： (1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 3．（2023·湖北十堰·模拟预测）某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 4．（2023·河北唐山·二模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． (1)求a的值； (2)求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 5．（2023·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 6．（2023九年级·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 7．（2023·山西吕梁·模拟预测）随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 8．（2023·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 9．（2023·河北石家庄·三模）在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． (1)c的值为__________，B点的坐标是__________． (2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 10．（2023·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二次函数的应用 【人教版】 ·模块一 面积最值问题 ·模块二 建筑物问题和隧道问题 ·模块三 抛体运动、营销、行程问题 ·模块四 课后作业 模块一 面积最值问题 【考点1 利用二次函数解决面积最大值问题】 【例1.1】（2023·新疆吐鲁番·三模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则 ∴ 因为墙长. ∴， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到，理由如下：， 解得（舍），， 时，花园的面积能达到 ； （3）， ∵，， 当随的增大而减小， ∴时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键． 【例1.2】（2023九年级·内蒙古赤峰·期中）如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数函数的实际应用，设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则， ∴矩形的面积为， ∵，开口向下， ∴当时， S取得最大值为平方米， 故答案为． 【例1.3】（2023九年级·四川德阳·期中）某社区委员会决定把一块长，宽的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多4米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为，健身活动区域的面积为．    (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S与x之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：由题意解得：； （2）解：∵， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：活动区域面积S的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【变式1.1】（2023九年级·福建龙岩·期末）如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙 （篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】(1)可能， (2)288平方米 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【详解】（1）设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． （2）∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 【变式1.2】（2023九年级·安徽马鞍山·期中）用木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料，其中，要使窗框的面积最大，则的长为 m． 【答案】6 【分析】设AB的长为，得到，表示出窗框的面积，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：设的长为，则， ∴， 这窗框的面积， ， ， ， ， ∴当时，窗框ABCD的面积最大值为， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，表示出所需长度是解题的基础，列出函数关系式是关键． 【变式1.3】（2023九年级·山东济南·期末）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙（两边足够长），墙角内的处有一棵古树与墙、的距离分别是15米和6米，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），设米． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积与边长（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．    (1)请用含有x的代数式表示的长： ； (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大，最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)，当米时，面积最大，最大为195平方米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解答本题的关键． （1）依据题意，由米，总长米，计算即可得解； （2）依据题意，结合（1）可得，再由在点与，的距离分别是米和米，可得的范围；由所得关于的函数关系式，根据函数增减性进行计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，米， 米， 故答案为：； （2）解：． 在点与，的距离分别是米和米， ． ． 面积与的函数解析式为：； ，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． 当时，取到最大值， 即当米时，花园面积最大，最大为195平方米． 【考点2 利用二次函数解决面积最小值问题】 【例2.1】（2023九年级·广东肇庆·期末）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)t为何值时，？ (2)t为何值时，的长度为？ (3)设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 【答案】(1)当时，． (2)当或时，的长度为． (3)当秒时，五边形的面积最小，最小面积为． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点问题，三角形的面积二次函数的性质等，解题的关键是根据题意列函数关系式． （1）根据题意得，，则，当时，点在的中垂线上，进而列方程求解即可； （2）根据矩形的性质可得，根据勾股定理得出，，求解即可得出答案； （3）根据题意可得当五边形的面积为时，，再利用函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， 则， 当时， 故， 解得：， 故当时，． （2）∵四边形是矩形， ∴， 在中，，且，，， 即， 解得：，． ∴当或时，的长度为． （3）∵五边形的面积四边形的面积， 故当五边形的面积为时； ∴， ∵，有最小值， ∴当， 最小值为：， ∴当秒时，五边形的面积最小，最小面积为． 【例2.2】（2023九年级·浙江杭州·期末）如图，要在一面靠墙（墙长11米）的空地上，用长为16米的篱笆围成一个矩形花圃（靠墙一边不超过墙长），设与墙平行的一边的长为米，面积为平方米. （1）直接写出：与墙垂直的一边的长（用含的代数式表示）； （2）若矩形花圃的面积为30平方米，求的长； （3）若与墙平行的一边的长度不小于与墙垂直的一边的长度，问边应为多少米时，才能使矩形花圃所占地面面积最小，最小的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）的长为10米或6米；（3）当边为11米时，能使矩形花圃所占地面面积最小，最小面积为平方米. 【分析】（1）根据与墙平行的一边BC的长为x米，得出AB的长； （2）根据矩形花圃的面积为30平方米，即y=30，代入可以求出BC的长； （3）利用二次函数的增减性求出二次函数最值即可． 【详解】解：设与墙平行的一边BC的长为x米，面积为y平方米．其中0＜x≤11． （1）则：宽为, 即. （2）当y=30， 依题意得：， 解得：，均符合题意， 所以的长为10米或6米. （3）∵矩形花圃所占地面面积. 由题意知，解得.因为墙长11米，所以. 函数的图象为开口向下的抛物线的一段（草图如图②所示），其对称轴为直线. 由图象知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 而当时，；当时，. 因为，所以当时，有最小值. 所以当边为11米时，能使矩形花圃所占地面面积最小，最小面积为平方米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的增减性以及一元二次方程的应用，根据题意得出函数关系式利用二次函数增减性求出最值是初中阶段的难点，同学们应重点分析． 【例2.3】（2023九年级·湖北武汉·阶段练习）将一根长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，设其中一段铁丝长为4x cm，两个正方形的面积和为y cm2 （1）求y与x的函数关系式； （2）要使这两个正方形面积之和为17cm2，那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ （3）要使这两个正方形面积之和最小，则这根铁丝剪成两段后的长度各是多少？这两个正方形面积之和最小为多少？ 【答案】（1）y=2x2﹣10x+25；（2）4cm，16cm．（3）剪成两段均为10cm的长度时面积之和最小，最小面积和为12.5cm2． 【详解】试题分析：（1）由题意可知：设其中一段长为4xcm，则另一段长为20﹣4xcm，根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积=×周长×周长”列出面积的函数关系式； （2）当y=17时，列方程即可得到结论； （3）根据函数的性质求得最值． 解：（1）设一段铁丝的长度为4x，另一段为（20﹣4x），则边长分别为x，（20﹣4x）=5﹣x， 则y=x2+（5﹣x）（5﹣x）=2x2﹣10x+25； （2）1当y=17时， 即2x2﹣10x+25=17， 解得：x=1，或x=4， 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，16cm． （3）∵y=2x2﹣10x+25=2（x﹣）2+12.5， ∴剪成两段均为10cm的长度时面积之和最小，最小面积和为12.5cm2． 考点：二次函数的应用． 【变式2.1】（2023九年级·江苏连云港·学业考试）把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形．若设围成的一个正方形的边长为． （1）要使这两个正方形的面积的和等于，则剪出的两段铁丝长分别是多少？ （2）剪出的两段铁丝长分别是多少时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？ 【答案】（1）这根铁丝剪成两段后的长度分别是，；（2）剪成两段均为的长度时面积之和最小，最小面积和为 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到面积和所截铁丝的长度之间的函数关系，然后二次函数的性质即可解答本题． 【详解】解：（1）根据题意知：一个正方形的边长分别为， 则另一个正方形的边长为， 且分成的铁丝一段长度为，另一段为， ， 整理得：， 解得：，， 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是，； （2）设这两个正方形的面积之和为cm2， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为cm2， 即剪成两段均为的长度时面积之和最小，最小面积和为cm2. 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． 【变式2.2】（2023九年级·甘肃定西·阶段练习）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【答案】(1)； (2)当秒时，S有最小值． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 【变式2.3】（2023九年级·广西南宁·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别在边长为6的正方形的四条边上运动，四边形也是正方形．    (1)求证：； (2)设的长为x，正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)在（2）的条件下，当的长为多少时，正方形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)时，正方形的面积最小，最小为18 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定和性质，二次函数的最值． (1)根据正方形的性质，运用角角边证明全等即可． (2)设，则，根据(1) 得到，，同理可证，， 结合图形，得到正方形的面积为y，等于正方形面积减去4个三角形面积，计算即可． (3)根据，结合二次函数性质计算即可． 【详解】（1）∵正方形，四边形也是正方形． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）设，则， ∵ ， ∴，， 同（1）可证，， ∴正方形的面积为． 故． （3）∵， ∵， ∴抛物线有最小值，且当时，取得最小值，最小值为18． 故时，正方形的面积最小，最小为18． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·广西南宁·阶段练习）在美化校园活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设，则，花园的面积，根据要将这棵树围在花园内，得出，再根据二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则， 花园的面积， 要将这棵树围在花园内， ，即， 解得：， 的对称轴为直线，且， 在上，随着的增大而增大， 当时，最大，此时， 花园面积的最大值为， 故答案为：． 【题型2】（2023九年级·天津滨海新·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为,面积为,其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，二次函数的性质是解题的关键，根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得， 故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立． 故②错误； ， ∴当时，y有最大值为． 故③正确， 故选B． 【题型3】（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本（单位：元与其种植面积（单位：的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当为多少时，是35元； (2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？ 【答案】(1)当为时，是35元 (2)当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值； （1）先求出当时，与的函数关系式，然后将代入求出相应的的值即可； （2）分别讨论两段对应的的最小值，然后比较大小即可解答本题． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，与的函数关系式为， 当时，， 解得， 即当为时，是35元； （2）解：由题意可得， 当时，， 当时，取得最小值42000，此时； 当时，， 当时，取得最小值43000，此时； ， 当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·山东滨州·期中）如图，阳信县某中学把五育并举与减负延时服务相结合，劳动课准备在校园里利用校围墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形茶园，让学生在茶园里体验种茶活动．现已知校围墙长25米，篱笆40米长（篱笆用完），设长米，矩形茶园的面积为平方米．    (1)求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)矩形茶园的面积是否有最大值？若有，求出的长．若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)长10米，矩形茶园的面积有最大值 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）长可表示为，于是，化简得答案； （2）利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解： ， ，得， 自变量的取值范围为：， ∴； （2）解：， ∵，∴当，S有最大值，最大值为， 答：长10米时，矩形茶园的面积有最大值． 【题型2】（2023九年级·浙江台州·期末）如图，校园某处的直角墙角，墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，花园的面积为． (1)若花园的面积为，求x的值； (2)写出S与x的函数关系式； (3)求出花园面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，S最大，为144 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用： （1）分别表示长和宽，根据矩形的面积等于长于宽的乘积，即可作答； （2）矩形的面积等于长于宽的乘积，即可作答； （3）把S与x的函数关系式化为顶点式，再结合二次函数的性质，即可作答． 【详解】（1）解：∵墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）， ∴， 解得 （舍去） ． （2）解：∵墙长，长，现准备用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）， ∴ （3）解：由（2）知 ∴， ，开口向下，当时，S最大， 即； ∴花园面积S的最大值为144． 【题型3】（2023九年级·重庆南岸·期末）为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 【答案】(1)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小 (2)当a为20时，2026年的总种植成本为28920元 【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是用待定系数法正确求出函数关系式，正确列出一元二次方程． （1）根据当时，，由二次函数的性质得当时，w有最小值，再根据土地总面积为解答即可． （2）根据2026年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）当时， ∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时，w有最小值，． ∴， ∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，w最小． （2）由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元， 乙种蔬菜的种植成本是（元）， 甲种蔬菜的种植成本是（元）， ， 设，则， 解得：，（舍去）， ∴． ∴． 答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元． 模块二 建筑物问题和隧道问题 【考点1 利用二次函数计算建筑物的高度问题】 【例1.1】（2023·河南鹤壁·模拟预测）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离是24m，则警示灯E距水面的高度为（     ） A．12m B．11m C．10m D．9m 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，求出抛物线的的解析式，进而求出点的纵坐标即可． 【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系， 由题意，得：， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， ∴； ∵， ∴点的横坐标为， ∴当时，， 即：警示灯E距水面的高度为9m； 故选D． 【例1.2】（2023·甘肃兰州·一模）如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆到原点O的水平距离，吊杆到原点O的水平距离，且，主拱形离桥面的距离与水平距离近似满足二次函数关系，其对称轴为直线． (1)求的长度： (2)求主拱形到桥面的最大高度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与拱桥问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，则 ，代入数值，即可作答． （2）先求出B的坐标，得出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵，，， ∴， ∴ （2）解：依题意 ∵主拱形离桥面的距离与水平距离近似满足二次函数关系，且 ∴ ∴ 即点B的坐标为 ∵由（1）得 ∴ 把点B的坐标为代入 得 解得 ∴ ∴ 【例1.3】（2023九年级·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先求出对应的抛物线解析式，进而求出当时，的值即可得到答案， 【详解】解：如图所示，建立坐标系，则可设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ， ∴卡车限高为． 【变式1.1】（2023九年级·福建福州·期中）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为，支柱的高度为，则桥高为 ．    【答案】7 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．根据题目可知、、的坐标，设出抛物线的解析式用待定系数法求出函数解析式，设点的坐标为代入解析式求出，在加长的长度即为桥高． 【详解】解：建立如图所示坐标系：    设抛物线解析式为， 根据题目条件，、、的坐标分别是、、， 将、的坐标代入，得： ， 解得， 所以抛物线的表达式是； 设，于是， 桥高为（米， 故答案为：7． 【变式1.2】（2023九年级·四川绵阳·期中）如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，则当水面宽为时，水面上升了（　　）    A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面上升的高度． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， 抛物线解析式为：， 当，则， 则， 水面上升了：． 故选：D．    【变式1.3】（2023九年级·山东烟台·期中）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线    (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了1米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.16米，宽为3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少？（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)米 (3)1.7米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了1米时，，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：    则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， 则该抛物线的表达式为； （2）解：由题意，令得， 解得：， ， 即水面上升1米后的水面宽度为：米， （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，    ∵货船的高为2.16米，宽为3.2米， ∴，， 设，则， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∵要使这艘货船安全通过拱桥，结果精确到0.1， ∴水面在正常水位的基础上最多能上升1.7米． 【考点2 利用二次函数计算建筑物的跨度问题】 【例2.1】（2023九年级·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设该抛物线的表达式为，代入点的坐标求出解析式，再把点的纵坐标代入解析式，进而求得点的横坐标，即可求解，解题的关键是正确地建立平面直角坐标系． 【详解】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得，点的坐标为，点的纵坐标为， 设抛物线形的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∴米， 故答案为：． 【例2.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 【详解】解：以地面所在直线为轴，过大门最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 又知抛物线过， ， 解得：， ， 把代入， 解得：， 故两壁灯之间水平距离为． 故选：． 【例2.3】（2023九年级·山东青岛·开学考试）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，点P到水面的距离为，从O，A两处观测P处，仰角分别为，，且，，以O为原点，所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，已知抛物线满足．求抛物线表达式，并求抛物线上的最高点到水面的距离．    【答案】抛物线的解析式为，抛物线上的最高点到水面的距离． 【分析】如图过点P作于H，求出中的长得到P点坐标，再求出中长得到A点坐标为，所以可设抛物线解析式为，然后将P点坐标代入求解得到抛物线解析式，然后求出顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：过点P作于H，如图．    在中， ，， ， 点P的坐标为， 在中， ，， ， ， ∴点A坐标为， 过点，的抛物线的解析式可设为， 在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为=， ∴抛物线的顶点坐标为， 则抛物线上的最高点到水面的距离， 故抛物线的解析式为，抛物线上的最高点到水面的距离． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解此题的关键在于先利用三角函数求出抛物线上点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可解决其它相关问题． 【变式2.1】（2023九年级·广东江门·期末）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，大孔顶点P距水面（即），小孔水面宽度为，小孔顶点Q距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求大孔抛物线的解析式； (2)现有一艘船高度是，宽度是，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由． (3)当水位上涨时，求小孔的水面宽度． 【答案】(1) (2)这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设大孔抛物线的解析式为，把代入解析式中求解即可； （2）在中，求出当时y的值即可得到结论； （3）先求出小孔抛物线的解析式，进而求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解；设大孔抛物线的解析式为， 由题意得，， 把代入中得：， 解得， ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔，理由如下： 在中，当时，解得， ∵， ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔； （3）解：设右边小孔抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入中得， 解得， ∴右边小孔抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ∴， ∴小孔的水面宽度为． 【变式2.2】（2023九年级·山东聊城·期末）泗水卞桥（如图①始建于晚唐时期，造型雅朴，雕饰精美，是山东省现存最古老的桥梁．拱桥中孔轮廓近似抛物线，现以拱桥的中孔最高点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图②，已知两点的距离为6米时，到轴的距离为3米．当水面与轴的距离为4米时，水面宽度等于 米． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据题意得点，设抛物线解析式为，解得，结合题意得点F的纵坐标为，代入抛物线解得，即可得水面宽度． 【详解】解：∵已知两点的距离为6米时，到轴的距离为3米， ∴点， 根据题意设抛物线解析式为，将点A代入得，解得， 则抛物线解析式为， ∵水面与轴的距离为4米， ∴点F的纵坐标为，代入抛物线得，解得， 则水面宽度． 故答案为：． 【变式2.3】（2023九年级·山西长治·期末）图1是山西晋城丹河大桥，位处太行山脉南端，桥梁栏杆上有多幅与历史文化有关的石雕图画，体现了现代与传统文明的完美结合．丹河大桥拱桥桥洞的形状呈抛物线形，现以水面为x轴，拱桥左侧与水面的交点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知水面的宽度为米，拱桥离水面的最大高度为米． (1)求该抛物线的表达式； (2)若要在桥洞两侧壁上距离水面米的点B和点C处各安一盏景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离． 【答案】(1) (2)两盏景观灯之间的水平距离为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的解析式．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，然后将原点代入，计算求解，然后作答即可； （2）令，则，计算求解，可求坐标，进而可求的长． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为． 设该抛物线的表达式为． 抛物线经过原点， ， 解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：令，则． 解得，． ∴，． ∴； 答：两盏景观灯之间的水平距离为米． 【考点3 利用二次函数解决车过隧道问题】 【例3.1】（2023九年级·河南驻马店·阶段练习）如图1所示是某即将通行的双向隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米．工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表： x/米 0 2 4 6 8 y/米 2.5 4.75 5.5 4.75 2.5    (1)若以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出隧道顶部所在抛物线的解析式； (2)如图2所示，一辆轻卡要在隧道内靠右模拟试行，依据图纸要求汽车距离右侧墙的距离不小于0.8米且到隧道顶面的距离不小于0.33米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米？ 【答案】(1) (2)隧道需标注的限高应米 【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在时，y有最大值5.5，然后运用待定系数法求出解析式即可； （2）把代入解析式，求出函数值即可解题． 【详解】（1）根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值5.5， ∴设隧道满足的关系式为． 把，代入解析式，得， 解得． ∴隧道满足的关系式为． （2）当时，，∴（米）． 答：隧道需标注的限高应3.25米． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数量关系，求得解析式是解题的关键． 【例3.2】（2023九年级·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 【答案】(1)； (2)这辆货车不能安全通过，理由见解析． 【分析】（1）由题意可知顶点P的坐标为，则设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）根据隧道隧道是双向车道，把代入解析式中求出的值与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， 即所求抛物线的解析式为：； （2）解：当时， ， 这辆货车不能安全通过． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式． 【例3.3】（2023·河南平顶山·三模）小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为，长为，最高处点P到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中表示抛物线上任一点到地面的高度，表示抛物线上任一点到隧道一边的距离． (1)求抛物线的解析式． (2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在之间，高度应在之间，小明发现隧道为单行道，一货车沿隧道中线行驶，宽为，货车的最高处与隧道上部的竖直距离约为，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定． 【答案】(1) (2)这辆货车的高度不否符合规定． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）有题意可得：， ，然后运用待定系数法即可解答； （2）由题意可得：点，设D点坐标为，然后代入解析式求得d，即，再根据线段的和差求得，然后判断是否符合规定即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设该抛物线的解析式为： 将代入可得： ，解得：， 所以抛物线的解析式为． （2）解：由题意可得：点， 设D点坐标为，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴这辆货车的高度不否符合规定． 【变式3.1】（2023九年级·广东珠海·期中）如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是宽是．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过? 【答案】（1），10m，（2）能 【分析】（1）根据题意得出点B（0，4）、C（12，4），再利用待定系数法求解可得； （2）根据题意求出x＝6﹣4＝2时的函数值，比较可得； 【详解】解：（1）根据题意得B（0，4），C（12，4）， 把B（0，4），C（12，4）代入得 ， 解得． 所以抛物线解析式为， 化成顶点式为y＝﹣（x﹣6）2+10， 顶点D坐标为（6，10）， 所以拱顶D到地面OA的距离为10m； （2）由题意得货运汽车最外侧的横坐标为6-4=2或6+4=10， 当x＝2或x＝10时，y＝﹣（x﹣6）2+10=﹣×16+10=＞6， 所以这辆货车能安全通过． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【变式3.2】（2023九年级·安徽六安·阶段练习）如图，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，隧道顶距地面8m． (1)求出隧道上部抛物线的解析式； (2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由． (3)如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)货运汽车能通过；理由见解析 (3)货运汽卡车能通过．理由见解析 【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为，再有条件求出a的值即可； （2）令，求出纵坐标与7m作比较即可； （3）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得A，B，C， 设抛物线的解析式为，把B代入 ， 解得：． 抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，把代入解析式， 得． ∵， ∴货运汽车能通过； （3）解：根据题意，把代入解析式， 得． ∵， ∴货运汽车能通过． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式可以使用一般式，顶点式或者交点式，因条件而定．运用二次函数解题时，可以给自变量（或者函数）一个特殊值，求函数（自变量）的值，解答题目的问题． 【变式3.3】（2023·安徽·模拟预测）如图，某长为的隧道的横截面顶部为拋物线形，隧道的左侧是高为的墙，右侧是高为的墙，拱壁上某处离地面的高度与其离墙的水平距离之间的关系满足．现测得两墙体之间的水平距离为． (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离． (2)从隧道头到隧道尾，在拋物线形拱壁上安装若干排吊灯，每排吊灯与地面的距离都不低于，每相邻两排吊灯之间的水平距离为，每排内相邻两盏吊灯之间的距离为．求共需要多少盏吊灯？ (3)如果隧道内设双向行车道，每条车道的宽为，两条车道之间是宽为的绿化带，一辆货车载一个长方体集装箱后高为、宽为，那么这辆货车无论从哪条车道都能安全通过吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)486盏 (3)货车无论从哪条车道都能安全通过，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据已知条件得出点A和点B的坐标，代入即可求出函数关系式，化为顶点式，即可求出拱顶到地面的距离； （2）令，解方程求出最外侧两排吊灯的水平距离，再求出吊灯的排数和每排吊灯的个数，即可求解； （3）隧道左侧比右侧低，因此若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过．令货车右侧车轮靠近中间的绿化带，求出左侧车轮与地面的交点坐标，再求了此处隧道的高，与货车的高度进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， 代入，得， 解得， ． 拱顶到地面的距离为． （2）解：令， 解得， ， （盏）． 答：共需要486盏吊灯． （3）解：货车无论从哪条车道都能安全通过． 理由：由题意，得若货车从左车道能通过，则从右车道一定能通过． 设货车从左车道行驶，货车最左侧车轮与地面的交点为，即， 当时，， ∴货车无论从哪条车道都能安全通过． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023九年级·陕西榆林·期末）如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 【答案】(1) (2)安全，说明见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、利用二次函数图像与性质解决实际问题等知识，读懂题意，将实际问题转化为数学知识是解决问题的关键． （1）根据题意设该抛物线的表达式为，利用待定系数法，把代入表达式解方程即可确定函数关系式； （2）根据题意得到左侧最低点横坐标为，将其代入表达式解得左侧最低点的纵坐标为1.8，进而由题中限制条件判断即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意知，顶点，设该抛物线的表达式为， 把代入表达式得，解得， ∴这条抛物线的表达式为； （2）解：∵中间的灯笼正好悬挂在A处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为， ∴左侧最低点横坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴左侧最低点的纵坐标为1.8， ∵灯笼长为， ∴最低点到水面的距离为， ∵降水水面会上升， ， ∴最低点距水面， ∴现在的悬挂方式安全． 【题型2】（2023九年级·陕西西安·阶段练习）如图，某市新建的一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，此抛物线的函数表达式为 ． (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能安全通过此桥 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，行程问题的数量关系，求出函数的解析式是解题的关键． （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，桥拱最高点到水面的距离为米． 则，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 故答案为； （2）解：由题意得： 船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：米． 设此时水面宽为， 由（1）知：， 纵坐标为：， 把代入， 得， 解得：，， ， ， 该船的速度不变继续向此桥行驶时，它能安全通过此桥． 【题型3】（2023九年级·山东青岛·阶段练习）如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，包括待定系数法求解析式等知识； （1）设抛物线解析式为，根据题意解出、，抛物线顶点坐标为且过点，设抛物线的解析式为，可求出的值，确定表达式． （2）由（1）得抛物线解析式，若汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部，则令，解得，然后根据题意得解； 灵活运用二次函数性质解决实际问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 由题意知，隧道的最大高度为米；米，米， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 则有， ，， 抛物线的解析式为， （2）由题意得， 当时，， ，． 当或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时， 当时，此时刚好违反交通规则， 汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则， 的取值范围是． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·河南周口·期末）拱桥是指由拱形结构成的桥梁，它是中国古代建筑中的重要形式之一，在中国的古代建筑史上占据着重要的地位，因其独特的结构和精美的外观而受到广泛的赞誉和喜爱．图1是一座拱桥，此拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为时，水面离桥洞的最大距离为，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系 (1)求该抛物线的解析式； (2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为3m时，求拱桥内水面的宽度． 【答案】(1) (2)m 【分析】（1）本题考查二次函数的应用，根据题意得到函数过及顶点，设出解析式代入求出系数即可得到答案； （2）本题考查二次函数的应用，根据水位得到，代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴为直线，， ∵水面离桥洞的最大距离为， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意可得， ， 水位上升了， 把代入， 得， 解得，， 水面宽为 ， 答：拱桥内水面的宽度为． 【题型2】（2023·宁夏银川·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求A、B两点间的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）令，解一元二次方程，求得点，，的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：令，得， 解得， ，， ，两点的距离为． 【题型3】（2023·河南周口·二模）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，其中长方形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求b，c的值，并计算出拱顶D到地面的距离． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，且它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】(1)，，拱顶D到地面的距离为 (2)这辆货车能安全通过 (3)两排灯的水平距离最小是． 【分析】 本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． （1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面的距离； （2）由于抛物线的对称轴为直线，而隧道内设双向行车道，车宽为，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为或，然后计算自变量为或时的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断； （3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 把，代入得 解得 ∴抛物线的解析式为， ∴， ∴拱顶D到地面的距离为． （2）解：由题意得隧道中每侧行车道的宽度为， ∴货运汽车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， ∴这辆货车能安全通过． （3）解：令， 则， 解得，， 则， ∴两排灯的水平距离最小是． 模块三 抛体运动、营销、行程问题 【考点1 利用二次函数解决抛体运动问题】 【例1.1】（2023九年级·河北保定·期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投据过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试不能得满分，理由见详解 【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解； （2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为， 把代入解析式得，，解得，， ∴关于的函数表达式为，即：． （2）解：不能得满分，理由如下， 根据题意，令，且， ∴，解方程得，，（舍去）， ∵， ∴不能得满分． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． 【例1.2】（2023·安徽芜湖·一模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） (2)能飞越，理由见解析 (3)8.1米 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【例1.3】（2023·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，从原点的正上方8个单位处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形的平台上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度与飞行的水平距离满足关系式．其中，，． (1)求的值； (2)求的取值范围； (3)若落在平台上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与形状相同的拋物线，在轴有两个点、，且，，从点向上作轴，且．若沿抛物线下落的小球能落在边（包括端点）上，求抛物线最高点纵坐标差的最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）将代入，即可求解； （2）将，分别代入，计算即可求解； （3）设抛物线的解析式为，若抛物线经过点，时，求得最大值为，抛物线经过点，时，求得最大值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， ∴当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得； ∴的取值范围为； （3）解：由题意得，，，， 设抛物线的解析式为， 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； 若抛物线经过点，时， 有， 解得， ∵， ∴此时抛物线的最大值为； ∴抛物线最高点纵坐标差的最大值是． 【变式1.1】（2023九年级·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，某同学在练习打网球时发现，网球沿与地面成一定角度的方向飞出，网球的飞行路线是一条拋物线，如果不考虑空气阻力，网球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，㘼根据要求解答下列问题：    (1)在飞行过程中，当网球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，网球从飞出到落地所用时间题多少？ (3)在飞行过程中，网球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】(1)在飞行过程中，当网球的飞行高度为时，飞行时间是或 (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 (3)在飞行过程中，小球飞行高度第时最大，最大高度是 【分析】 本题考查二次函数的实际应用： （1）令，求出的值即可； （2）令，求出的值即可； （3）求出二次函数的最值即可． 【详解】（1） 解：当时，， 解得，，， 答：在飞行过程中，当网球的飞行高度为时，飞行时间是或； （2） 当时，， 解得，， ， 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是． （3） ， 当时，取得最大值，此时，， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第时最大，最大高度是． 【变式1.2】（2023·河南平顶山·一模）在某场篮球比赛中，运动员甲在距篮下的三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为时，球达到最大高度，然后准确落入篮圈，篮圈中心到地面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请求出该抛物线的表达式； (2)另一运动员乙位于运动员甲与原点之间，且距离甲为，原地起跳后成功盖帽拦截运动员甲投出的球，问：运动员乙起跳后双手达到的高度至少为多少？（结果精确到） 【答案】(1) (2)运动员乙起跳后双手达到的高度至少为 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． （1）设该抛物线的关系式为，利用待定系数法即可求解； （2）把代入到（1）中所求的函数关系式中求出，结合平面直角坐标系即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设抛物线表达式． 由题可知，当时，，代入，得． 所以， 该抛物线的表达式为． （2）解：当时，． 答：运动员乙起跳后双手达到的高度至少为． 【变式1.3】（2023九年级·河南安阳·期末）足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小王从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点D，此时球离地面4米．已知球门的高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，请通过计算说明当时小王应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过B点正上方米处入门？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方米处入门 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律． （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标，设抛物线的表达式为，把代入，当时，，即可作答． （2）依题意设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为，再把点代入，，计算出n的值，即可作答． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点D的坐标为． 设抛物线的表达式为，把代入， 得，解得． ∴抛物线的函数表达式为． 当时，， ∴球不能射进球门 （2）解：设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为， 把点代入，得， 解得（舍去），． 答：当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方米处入门． 【考点2 利用二次函数解决利润问题】 【例2.1】（2023·辽宁锦州·二模）某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． (1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ (2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)60元 (2)当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用． （1）根据题意用每千克得利润乘以销售量等于总利润列出一元二次方程，求解即可． （2）根据题意列出w关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶由题意得∶， 解得或， ∵3 ∴ ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元． （2）由题意得，， ∵， ∴w有最大值， ∵． ∴当时，（元）． ∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元． 【例2.2】（2023九年级·江苏无锡·阶段练习）某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段图象． (1)当时，求出此时y与x的函数关系式； (2)求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【答案】(1) (2)该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用—销售盈利问题，待定系数法进行求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）先根据利润等于单件利润乘上数量，得，根据二次函数的性质，即开口向下，当，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设y与x的函数关系式为 在时，经过， 则有 解得 ∴； （2）解：设利润为，依题意 当时，， ∵，随的增大而增大， 当时，有最大值，且为； 当，得 ∵ ∴开口向下，当， 有最小值， 且为 ∵ ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润． 【例2.3】（2023·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 【变式2.1】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）某公司分别在A、B两城生产一批同种产品，共100件，A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系为，当时，；当时，．B城生产产品的每件成本为70万元． (1)求A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间的函数关系式； (2)若A、B两城生产这批产品的总成本的和为w（万元），求w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式； (3)当A、B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A、B两城各生产多少件． 【答案】(1) (2) (3)A城生产20件，B城生产80件 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可直接进行代入求解； （2）由（1）及题意可直接进行求解； （3）由（2）及根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴w与A城产品数量x（件）之间的函数关系式为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时， 答：A城生产20件，B城生产80件． 【变式2.2】（2023·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【变式2.3】（2023九年级·全国·竞赛）某种学习用品每件的市场售价（单位：元）、生产成本（单位：元）都是时间（单位：月）的函数，如图所示．根据图示信息，分别求出每件学习用品的市场售价、生产成本和利润关于时间的函数关系式，并求出在第几个月出售时，每件该学习用品的利润最大？最大利润是多少？    【答案】在第8个月出售时，每件该学习用品的利润最大，最大利润是23元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．分别求出y与t的函数关系，s与t的函数关系，可得到R与t的函数关系，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：当时，设， 把点代入得： ，解得：， ∴； 当时，； 当时，同理， ∴y与x的函数关系式为 设s与t的函数关系式为， 把点代入得： ，解得： ∴， 若， 当时，R取得最大值，最大为（元）； 若， ∵， ∴当时，R取得最大值，最大为（元）； 若， 当时，R取得最大值，最大为（元）， 在第8个月出售时，每件该学习用品的利润最大，最大利润是23元． 【考点3 利用二次函数解决行程问题】 【例3.1】（2023九年级·陕西咸阳·阶段练习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量和速度来描述车流的基本特征，其中流量（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间的关系式为． (1)若该路段上汽车行驶的速度为40千米/小时，则该路段的流量为多少？ (2)当该路段的车辆速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ 【答案】(1)1600辆/小时 (2)该路段的车辆速度为30千米/小时，流量达到最大，最大流量是1800辆/小时 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把代入解析式，即可求解； （2）把函数解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 该路段的流量为1600辆/小时 （2）解：， ， 时，达到最大值，的最大值为1800， 即该路段的车辆速度为30千米/小时，流量达到最大，最大流量是1800辆/小时． 【例3.2】（2023九年级·河北石家庄·期中）我校数学兴趣小组对某运载汽车的刹车距离做了研究，发现刹车距离S是K与T两部分之和，其中，K与行车速度x的平方成正比，比例系数为a；T为系数b、全车重量m及行车速度x三者的乘积（系数a、b；均为定值）．根据调查数据制作了如下表格： 全车重量m（吨） 行车速度x（迈） 刹车距离（米） 第一次观测 10 40 20 第二次观测 10 50 30 (1)用a和x表示_________，用b，m，x表示_________； (2)根据表格中的数据，求刹车距离S与行车速度x之间的函数关系式；若该车速度为80迈，刹车距离是多少？ (3)若某高速路段要求限速100迈，要想刹车距离不大于120米，则该车最多再加多少吨货物？ 【答案】(1)， (2)刹车距离为72米 (3)10吨货物 【分析】（1）根据题意可直接得出结论； （2）根据待定系数法可得出S和x之间的关系，将代入可得出S的值； （3）根据题意可得出时，S随z的增大而增大，由此可得出当时，S有最大值，得出方程可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 将表格数据代入得， 解得：， ∴， 当时，（米） 答：刹车距离为72米． （3）解：， ∵开口向上， 在中，S随x的增大而增大， 当时， S达到最大， 则， ∴再多加吨货物． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，根据题意得出S和x的函数关系式是解题关键． 【例3.3】（2023九年级·浙江台州·期末）如图1，在高速公路上，为了避免载重货车刹车失灵造成事故，在长下坡路段设计避险车道． 避险车道的截面图如图2，通过引道把货车引导到铺有一定厚度砾石的制动坡的坡底处，然后通过上坡中汽车自身的重力和松散砾石坡面增大轮胎的滚动摩擦，从而达到给货车减速的目的． (1)如图3是从上往下观察一段长下坡路段的平面示意图，现要设计引道引导货车从行车道行驶到避险车道，你认为怎样设计引道比较合适？请你画出引道的平面示意图，并简要说明理由． (2)如图2，设货车在制动坡上处的初速度为（单位：），运动时间为（单位：）时刻的速度为（单位：），制动坡面的摩擦系数为，制动坡坡度为， ，根据科学原理，有，其中（单位：）． ①货车在制动坡上行驶到秒的平均速度是多少？行驶的路程是多少？（平均速度，用含有的式子表示）； ②如果，问：货车在制动坡上行驶多少米才能停下（精确到，）？ ③某段高速公路长下坡上货车刹车失灵后，到达制动坡底的初速度不超过，在②的条件下，制动坡长至少要多长（精确到）？ 【答案】(1)汽车行驶有惯性，按照原来的方向行驶更加安全，理由见解析 (2)①，；②；③ 【分析】 （1）汽车在下坡路段速度较高，质量大，惯性大，为保障安全，应按照原来的方向保持直行，由此即可求解； （2）①当时的速度为，当时的速度为，再根据平均速度，即可求解；②将，代入①中的代数式，根据二次函数的顶点坐标公式即可求解；③到达制动坡底的初速度不超过，代入二次函数顶点计算公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 汽车行驶有惯性，按照原来的方向直线行驶更加安全． （2）解：①根据题意， 当时的速度为； 当时的速度为； 根据平均速度， ∴， 根据路程等于速度乘以时间， ∴（用代替也可以）； ②当，时，代入 ， ∴，根据二次函数的形式可知，，， ∴根据函数的顶点坐标公式得，当时，有最大值，且最大值为； ③到达制动坡底的初速度不超过，即， ∴，的最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合运用，理解题目含义，二次函数的顶点坐标公式计算最值是解题的关键． 【变式3.1】（2023九年级·浙江·期中）甲船从A处起以的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向的B处起以的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？ 【答案】后，两船的距离最小，最小距离是12． 【分析】可设x小时后，两船相距y，写出y2于x的二次函数关系式，再把关系式配方可得到多长时间后，两船的距离最小；并求出最小距离即可． 【详解】解：根据题意画出示意图如下： 设x小时后，两船相距y，根据题意，得： y2＝（15x）2＋（20−20x）2 ＝225x2＋400−800x＋400x2 ＝（25x−16）2＋144 ∴当x＝=时，y2有最小值144，则y的最小值为12， 答：后，两船的距离最小，最小距离是12．    【点睛】本题考查了二次函数在行程问题中的应用及勾股定理在实际问题中的应用，根据题意正确地列出函数关系式并配方是解题的关键． 【变式3.2】（2023九年级·浙江绍兴·阶段练习）某日上午7：00，一列火车在A城的正北24km处，以12km/h的速度驶向A城．同时，一辆汽车在A城的正东12km处，以12km/h的速度驶向正西方向行驶．假设火车和汽车的行驶的方向和速度都保持不变． 问：（1）何时火车与汽车之间的距离最近？最近距离是多少千米？ （2）当火车与汽车之间的距离最近时，汽车是否已过铁路与公路的立交处？ 【答案】（1）当经过小时时火车与汽车之间的距离最近，最近距离是6千米；（2）当经过小时时汽车与火车的距离最近，此时汽车已过铁路与公路的交叉口． 【分析】（1）画出示意图，利用勾股定理表示出两车的距离，利用配方法求出两车的距离最小值； （2）计算出汽车行走路程与12km比较，可判断是否已过交叉口． 【详解】解：（1）如图所示： 设两车经过时间为t，两车之间的距离为y，两车的行驶方向如图所示，由题意得： AB＝24﹣12t，AC＝12﹣12t， 在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2＝（24﹣12t）2+（12﹣12t）2＝288（t﹣）2+72， 当t＝时，BC之间的距离最小，此时BC＝＝6km； （2）当t＝h时，汽车运动的距离为12×＝18km＞12km， 故已过铁路与公路的交叉口， 答：当经过小时时汽车与火车的距离最近，此时汽车已过铁路与公路的交叉口． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两车之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度较大． 【变式3.3】（2023九年级·湖北黄石·期末）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当时，求车流速度v关于x的解析式； （2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时，）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 【答案】（1）；（2）当时，最大值约为3333．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 【分析】（1）根据题意可得需要分两部分讨论：当时，；当时，设，将两个临界点代入求解即可确定解析式，然后综合两部分即可得； （2）根据题意分两部分进行讨论：当时，，利用一次函数的单调性可得在此范围内的最值；当时，，利用二次函数的最值问题求解即可得；综合两部分的最大值比较即可得出结论 【详解】解：（1）由题意：当时，， 当时， 设，根据题意得， ， 解得， 所以函数解析式为：， 故车流速度v关于x的解析式为； （2）依题并由（1）可得车流量， 当时， ， ∵， ∴w随x的增大而增大， 故当时，其最大值为； 当时， ， 当时，w有最大值为， 综上所述，当时，最大值约为3333． 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 【点睛】题目主要考查一次函数及二次函数的综合运用，理解题意，注意分类讨论是解题关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【答案】(1) (2)时，P的最大值为4418 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案； （2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，． 当时，设， 由图象可知，， 解得：， 当时，； （2）根据题意，得． 答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时． 【题型2】（2023九年级·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 【答案】(1) (2)①射水鱼需要向右游动才能击中昆虫；②经过射水鱼恰好能击中昆虫 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题： （1）运用待定系数法求解即可； （2）①令，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可 【详解】（1）解：水柱的最大高度为， ， 射水鱼在原点处， 将代入8，得， 解得或（舍去）， 水柱的解析式为 （2）解：①令，得， 解得或， ， ， 射水鱼需要向右游动才能击中昆虫． ②由题意得，， 经过射水鱼恰好能击中昆虫． 【题型3】（2023·河南濮阳·三模）如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（其中），是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系． (1)出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米（结果保留一位小数）？ (2)水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？ 【答案】(1)护栏的最大高度为米； (2)河水水深至少为米时，喷水水柱刚好落在水面上． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）依据题意得二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 再结合函数经过原点，求出的值，得到二次函数的解析式为： 从而可得当时， ，进而可以判断得解； （2）依据题意，可得， 再求得B的坐标为再设的解析式为建立方程组可得进而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为：， ∵函数经过原点， ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， ∴当 时， ∴护栏的最大高度为米． （2）解：设点的横坐标为，则， ∵米，坝面的坡比为， ∴， ∴点B的坐标为， 又由题意可知，， 设的解析式为， ， ， ， ， 解得：(不合题意，舍去)， 当时，， ∴河水降至离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上， ∴河水水深为米时，水柱刚好落在水面上． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023九年级·江西九江·期中）去年夏天，全国多地出现了极端高温天气，某商场抓住这一商机，先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空，商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，商店在销售这种太阳伞时，每把定价都是50元，每天可卖出20把． (1)求两次共购进这种太阳伞多少把； (2)商场为了加快资金的回笼速度，打算对第二批太阳伞进行降价销售，经市场调查，如果这种太阳伞每把降价1元，则每天可多售出2把，这种太阳伞降价多少元时，才能使商场每天的销售额最大？每天最大的销售额是多少元？ 【答案】(1)两次共购进这种太阳伞600把 (2)太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，二次函数的应用，理解题意，确定相等关系建立方程与函数关系式是解本题的关键； （1）设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞．利用所购数量是第一批的2倍，但单价贵了4元，再建立方程求解即可； （2）设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元．由总利润等于每件利润乘以销售量建立函数关系式，再利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：设第一次购进x把这种太阳伞，则第二次购进把这种太阳伞． 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，则， 答：两次共购进这种太阳伞600把； （2）设商场每天的销售额为y元，太阳伞每把降价x元． 由题意得， 化简得：， 当时y有最大值，y最大值， 答：太阳伞每把降价20元时，才能使商场每天的销售额最大，商场每天的最大销售额是1800元． 【题型2】（2023九年级·浙江杭州·期中）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点的延长线与球门线交于点，且点均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表：（单位：） 9 12 15 18 21 4.28 4.82 5 4.82 4.28 (1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，求的值： (2)求关于的函数解析式； (3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度． 【答案】(1)s的值为30 (2) (3)此过程守门员的最小速度为m/s 【分析】本题考查了求二次函数的关系式，二次函数的图象的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程等． （1）由表格可知抛物线的对称轴，进而得出答案； （2）设抛物线的顶点式，再将点代入解析式，可得答案； （3）求出，求出所需的时间，再设守门员的速度为，至少在1.8秒时，足球位于守门员正上方，可得方程，并求出解. 【详解】（1）由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， 抛物线关于对称， 当时，， 时，， 所以； （2）由（1）知，抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， ； （3）足球到达2.12米高度时的水平距离为，可得方程： 解得：或3（舍去）， 由足球的水平速度可求出所需的时间为1.8秒. 若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为，至少在1.8秒时，足球位于守门员正上方, 故：， 解得， 此过程守门员的最小速度为． 【题型3】（2023·湖北宜昌·二模）一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． (1)直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； (2)求飞机滑行的最远距离； (3)当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； (4)若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 【答案】(1) (2)飞机滑行的最远距离为 (3)此时飞机的滑行速度是 (4)飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险 【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，求函数值、求自变量值；理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）设y关于t的函数解析式为，利用待定系数法求解，令，即可求出t的取值范围即可； （2）根据滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，代入数值计算即可求解； （3）根据行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度，即，建立关于t的一元二次方程即可求解； （4）设飞机滑行的距离为，求出飞机滑行的距离与时间t的关系式，由飞机滑行的时间内，根据通勤车与飞机之间的距离，建立关于t的方程，在飞机滑行的时间内，看飞机能否追上通勤车即可得出结论． 【详解】（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， y关于t的函数解析式为， 当时，则， 解得， y关于t的函数解析式； （2）解：根据题意：飞机滑行的最远距离为， 答：飞机滑行的最远距离为； （3）解：，， ，即， 解得：或（舍去）， 答：此时飞机的滑行速度是； （4）解：设飞机滑行的距离为， 则飞机滑行的距离与时间t的关系式为：， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， ， 方程无解， 在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车， 飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险． 模块四 课后作业 1．（2023·湖南长沙·模拟预测）某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为的正方形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． (1)若无盖纸盒的底面积为，则剪掉的小正方形的边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】(1)剪掉的小正方形的边长为 (2)无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查一元二次方程与几何图形面积，二次函数最值，掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意和图示，设剪掉的小正方形的边长为，列式求解即可； （2）根据题意，设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为，结合几何图形面积的计算方法，二次函数图象最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设剪掉的小正方形的边长为， ∴无盖纸盒的底面的边长为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴剪掉的小正方形的边长为； （2）解：设剪掉的小正方形的边长为，无盖纸盒的侧面积为， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴无盖纸盒的侧面积有最大值，剪掉的小正方形的边长为时，有最大值，最大值为． 2．（2023·山西晋城·三模）学科实践驱动任务：用数学的眼光观察校园． 研究步骤： ①如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）； ②隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 问题解决： (1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 【答案】(1)坐标系见解析， (2)第7根与第8根或第5根与第6根 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系、求出函数解析式成为解题的关键． （1）如图：建立的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可． 【详解】（1）解：如图：建立的平面直角坐标系： ， ， 根据题意，得点的横坐标为， 又， ， 设抛物线的函数表达式为， 把，分别代入可得： ，解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：， 当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第t根，则，解得， 第7根与第8根涂色部分的高度差为； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间， 由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根． 3．（2023·湖北十堰·模拟预测）某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 【答案】(1) (2)每件产品售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是12250元． (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出函数表达式，熟练掌握二次函数的性质． （1）根据“每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件”即可列出函数关系式； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出W关于x的函数关系式，再根据题意列出不等式组，求出x的取值范围，再结合二次函数的性质，即可解答； （3）先求出时x的值，再结合二次函数的性质，以及（2）中得出x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得 ， 由题意得， 解得， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为12250， 答：当每件产品售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是12250元； （3）解：当元时，， 解得， ∵， ∴图象开口向下， ∴当时，， 又∵， ∴， 答：当日销售利润不低于6000元时，每件文创产品售价x的取值范围为． 4．（2023·河北唐山·二模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． (1)求a的值； (2)求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【答案】(1) (2)；60米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）先根据求出时间值，然后把 时, 代入解析式计算即可； （2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用公式求函数解析式即可； （3）由题可知当时，函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题． 【详解】（1）对于 当时, ∴当 时, 解得 ； （2）， ， 由抛物线的对称性可知，当时,最大, 最大值为， 答：飞行高度的最大值为． （3）当最小时，由题意知，， 当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为， 令即 解得， ， ∴的最小值为 5．（2023·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 【答案】(1) (2)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 (3)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式； （2）根据题意利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题； （3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退 米，则经过点，的抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设经过点，，的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， （2）经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米． （3）解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退 米，则经过点，的抛物线的解析式为， 将代入， 即， 解得：（舍去）或 消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点距地面米． 6．（2023九年级·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 7．（2023·山西吕梁·模拟预测）随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 【答案】(1) (2)条幅与的水平距离为米到米之间 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据矩形的性质，求出点的坐标，进而求出点的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形，米，米， ∴米，米， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）解：由题意，当时：， 解得：， 当时，， ∴条幅与的水平距离为米到米之间． 8．（2023·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数解析式等知识，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式为，将代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）根据题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，设左侧抛物线的函数表达式为 ，将代入函数表达式即可求得左侧抛物线的函数表达式，当时，代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，以A 为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． ∵，两电线杆间的距离为， ∴抛物线的顶点为 设抛物线的函数表达式为 将代入 得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：距离 为，，左侧抛物线的最低点到地面的距离为， ∴左侧抛物线的顶点为，且过点． 设左侧抛物线的函数表达式为 将代入 得．解得． ∴左侧抛物线的函数表达式为 ∴当时， ， ∴电线杆上电线离地面的距离为． 9．（2023·河北石家庄·三模）在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． (1)c的值为__________，B点的坐标是__________． (2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． (3)在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 【答案】(1)65， (2) (3)当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40 【分析】（1）根据，得出当时，，将代入二次函数解析式，求出，即可得出B点的坐标； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出直线的解析式为，表示出，根据二次函数的性质得出当时，取得最大值，此时，把代入中，解得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 当时，， ． 将代入二次函数解析式得： ， 点的坐标为． 故答案为：65；． （2）解：设关于的函数解析式是， ∵点，，在该函数图象上， ∴， 解得， 关于的函数解析式是． （3）解：设直线的解析式为， 点，点在该直线上， ∴， 解得：， 直线AB的解析式为． ． 当时，取得最大值，此时． 将代入中，解得，即当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40． 【点睛】本题考查二次函数的应用，属抛物线与一次函数的综合题目，熟练掌握用待定系数法求抛物线的解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质是解题的关键． 10．（2023·安徽六安·模拟预测）如图1是某文艺舞台背景装饰架的示意图，它是以支架为对称轴的轴对称图形（支架粗细忽略不计），垂直舞台于点O，米，米，曲线均为抛物线的一部分．数学活动小组测得曲线的最低点到舞台的距离是5米，与支架的水平距离是4米．以O为原点建立平面直角坐标系如图． (1)求曲线的函数表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)数学活动小组又测得曲线的最低点到舞台的距离是米，与支架的水平距离是5米．若按图2的方式布置装饰灯带，布置好后成轴对称分布，其中垂直于舞台． ① 若与之间的距离比与之间的距离少2米，当米时，求的长度； ② 若，求装饰灯带总长度的最小值． 【答案】(1)曲线的函数表达式为 (2)①的长度为米，②灯带总长度的最小值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数，正确理解题意，将实际模型转换为熟悉的图形，是解题的关键． （1）由题意可得抛物线的顶点，再利用待定系数法，即可解答； （2）①求得点的横坐标，代入抛物线即可解答； ②求出抛物线的函数表达式，设灯带总长度为, , 则, 求得与之间的关系，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为 代入得： 解得： ∴ 抛物线的函数表达式为 ； （2）解：①, 与之间的距离比与之间的距离少2米, ， 则即的长度为米； ②设抛物线的函数表达式为：， 代入得: ， 解得： ， ∴ 抛物线的函数表达式为， 设灯带总长度为, , 则, 则 ， ∴ 当时，w有最小值，最小值为 ∴ 灯带总长度的最小值为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$