第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点+5个考点+易错分析）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点+5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．认识用因式分解法解方程的依据． 2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程． 知识点1：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点） (1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法. (2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。 考点1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5. 【变式1-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D．或 【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 考点2：利用公式法分解因式解一元二次方程 【例2】用因式分解法解下列方程： (1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. 【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【变式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 【变式2-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ． 【变式2-4】．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 【变式2-5】解下列关于的方程： （1）； （2）； 考点3：选择合适的方法解一元二次方程 【例3】用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式3-1】.解关于的方程（合适的方法 ）： （1）； （2）． 【变式3-2】解关于的方程（合适的方法）： （1）； （2）． 【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 考点4：用因式分解法解决问题 【例4】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 【变式4-1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（   ） A． B．3 C．5 D．9 【变式4-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．6 C．1或4 D．9或6 【变式4-4】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 ． 考点5：新定义问题 【例5】．（23-24九年级上·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号表示a、b中的较小值． 如：，按照这个规定，方程 的解为 【变式5-1】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数，，通过运算“”可得，即，如，若，则的值为 ． 【变式5-2】．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式5-3】．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。 【例6】解关于的方程： （1）； （2） （3）． 易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错 【例7】如果，请你求出的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如果方程的两个根分别是的两条边的长，那么的面积为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．11 D．10或11 6．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）若，则关于x的方程必有一根是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 8．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）方程的两个根是 ． 9．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）关于的一元二次方程的常数项为0，则等于 ． 10．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知等腰三角形的一边长是7，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为 ． 11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）规定运算，即，若则 ． 12．（22-23九年级上·黑龙江·期中）实数x满足方程，则的值等于 ． 三、解答题 13．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）解方程：． 14．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1)； (2)． 15．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）解下列方程． (1)（公式法） (2) (3)（配方法） (4) 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）解方程 (1) (2) 17．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 19．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 20．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点+5个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．认识用因式分解法解方程的依据． 2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程． 知识点1：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点） (1)在一元二次方程的四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解→公式法→配方法,若没有特别说明,一般不采用配方法. (2)对于复杂的一元二次方程,一般不急于化为一般形式,应先观察其特点,看能否用直接开平方法或因式分解法,若不能,再化为一般形式用公式法求解。 考点1：利用提公因式法分解因式解一元二次方程 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5. 解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法． 解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5； (2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7. 【变式1-1】（23-24九年级上·山东聊城·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 故选C． 【变式1-2】（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键熟练掌握因式分解法解方程． 【详解】解： ， 或， ∴，， 故选：． 【变式1-3】解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1） （2） ① ② ∴； 1 ② ∴． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 考点2：利用公式法分解因式解一元二次方程 【例2】用因式分解法解下列方程： (1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. 解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3. (2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝，x2＝. 方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【例2-1】用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【解析】 (2x+3-5)(2x+3+5)＝0， ∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x1＝1，x2＝-4． 【变式2-2】解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 【解析】 (2x+1)2+4(2x+1)+4＝0， (2x+1+2)2＝0． 即， ∴ ． 【变式2-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，先解方程得出，，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 菱形一条对角线长为6， 菱形的边长为， 菱形的另一条对角线为， 菱形的面积为， 故答案为：． 【变式2-4】．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左边因式分解，然后解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 【变式2-5】解下列关于的方程： （1）； （2）； 【答案】（1）； （2）； 【解析】（1）， ， 解得：； （2） ， 解得：； 【总结】本题考查了一元二次方程的解法． 考点3：选择合适的方法解一元二次方程 【例3】用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1） （2） 1 ， ② ， ， 解得：； 解得：； （3）整理得： （4）∵原方程是一元二次方程， ， ， ， 解得：； ， 解得：． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择． 【变式3-1】.解关于的方程（合适的方法 ）： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法 ① ② ∴； ∴． 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！ 【变式3-2】解关于的方程（合适的方法）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）因式分解法 （2）把看作一个整体，因式分解 ① ② ∴； 1 ② ∴． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立． 【变式3-3】（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）用合适的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解； （3）用公式法求解； （4）用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， ∴原方程的根为：； （2）解： 或 解得：或 ∴原方程的根为：； （3）解： ， 原方程的根为：； （4）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：． 考点4：用因式分解法解决问题 【例4】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 解析：先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状． 解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形． 【变式4-1】（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，，， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为和， ∴此直角三角形的面积为， 故选：． 【变式4-2】．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（   ） A． B．3 C．5 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了勾股定理．先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，然后利用勾股定理计算直角三角形的斜边长． 【详解】解：， ， 或， ，即直角三角形的两条直角边的长分别为4，3， 直角三角形的斜边长为． 故选：C． 【变式4-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（    ） A．9 B．6 C．1或4 D．9或6 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程，三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将等腰三角形的两边计算出来，再根据等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：依题意，解方程得， 当为腰长时，等腰三角形的三边分别为，不符合三角形的三边关系，故不符合题意； 当为腰长时，等腰三角形的三边分别为，符合三角形的三边关系，则该等腰三角形的周长为． 故选A． 【变式4-4】．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的面积公式，先求解一元二次方程，得到两根即为菱形对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解： 解得：，即菱形对角线的长分别为5和4， 菱形的面积为：， 故答案为：10． 考点5：新定义问题 【例5】．（23-24九年级上·广东汕头·期末）对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号表示a、b中的较小值． 如：，按照这个规定，方程 的解为 【答案】 【分析】本题考查了新定义，根据，再根据新定义化简已知等式，求出解即可． 【详解】解：， 由，得， 解得： 故答案为： 【变式5-1】．（23-24九年级上·山东聊城·期末）若规定两数，，通过运算“”可得，即，如，若，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查定义新运算、一元二次方程的解法等，根据材料写出正确的算式是关键． 已知等式利用题中新定义变形，计算即可求出x的值． 【详解】已知等式利用题中新定义化简得：，即， 分解因式得：， 解得：或． 故答案为：或． 【变式5-2】．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）对于实数，定义运算“※”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4或1 【分析】本题考查了新定义的运算，解一元二次方程，掌握新定义的运算顺序是解答关键． 先利用因式分解法解方程得到方程的两个根分别为3，2，则或当，然后利用新定义计算的值． 【详解】解：方程的两个根分别为3，2， 当时，，则； 当时，则． 所以的值为4或1． 故答案为：4或1． 【变式5-3】．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 【答案】 是 4或16/16或4 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”； （2）解方程， 可得，， ∵是“倍根方程”， ∴当是8的2倍时，即有， 当8是的2倍时，即有． 故答案为：（1）是；（2）4或16． 易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。 【例6】解关于的方程： （1）； （2） （3）． 【答案】 （1），； （2）当时，，； 当时， ； 当，原方程有无数解； （3）当时，，； 当时，； 当时，． 【解析】（1）， ， ∴，； （2） ①当即时，原方程是一元二次方程 ∴，； ②当且时，即时，原方程是一元一次方程； ③当，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当时，，； 当时， ； 当，原方程有无数解； （3）整理得： ① 当即时，原方程是一元二次方程 ∴，； ②当时，原方程为：，解得：； ③当时，原方程为：，解得：； 综上：当时，，； 当时，； 当时，； 【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法． 易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错 【例7】如果，请你求出的值． 【答案与解析】 设，∴ z(z-2)＝3． 整理得：，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z1＝3，z2＝-1． ∵ ，∴ z＝-1(不合题意，舍去) ∴ z＝3． 即的值为3． 【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用． 易错提示:忽视，而得或． 一、单选题 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， 或， ，， 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练选择解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 故选：B． 3．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 解得． 故选C． 4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如果方程的两个根分别是的两条边的长，那么的面积为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先解一元二次方程求出直角三角形两边长，分两种情况讨论，两边都是直角边，或有一边是斜边求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∴的两个直角边的边长为1，3， 当两边都是直角边，， 当是斜边时，另一直角边， ， 综上所述：的面积为或． 故选D． 5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（    ） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程得或， 当腰长为3时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为； 当腰长为4时，则底边长为3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为， 综上所述，的周长为10或11， 故选D． 6．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）若，则关于x的方程必有一根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的根，由题目中所给条件代入方程可以求出方程的两个根，其中有一个准确的根． 【详解】解：∵，代入方程中， ， ， ∴，． 故选：C． 二、填空题 7．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 【答案】② 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可得出答案． 【详解】解：， ，， 故答案为：②． 8．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）方程的两个根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法时解题关键．直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，， 即方程的两个根，， 故答案为：，． 9．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）关于的一元二次方程的常数项为0，则等于 ． 【答案】1 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，解一元二次方程－因式分解法．关于x一元二次方程的常数项是为0，则，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数，两者结合求得m的值． 【详解】解：∵关于x一元二次方程常数项为0， ∴， 解得，； 又∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 10．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知等腰三角形的一边长是7，另一边长是方程的根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】18或15 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，先解一元二次方程得到该等腰三角形的另一边长为4，再分当腰长为4时，当腰长为7时，两种情况求出三角形三边长，然后根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴该等腰三角形的另一边长为4， 当腰长为4时，则该三角形三边长为4，4，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 当腰长为7时，则该三角形三边长为4，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为18或15， 故答案为：18或15． 11．（23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）规定运算，即，若则 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了新运算、解一元二次方程等知识点，根据新运算法则将写成一元二次方程是解题的关键． 先根据新运算法则将写成一元二次方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或 所以． 故答案为：0或2． 12．（22-23九年级上·黑龙江·期中）实数x满足方程，则的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，并对结果进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， 或， 解得或， ， ，又，则该式子不成立， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法，并能灵活选用是关键． 根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 14．（23-24九年级上·湖北十堰·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）方程左边提取公因式x分解因式，然后解方程即可； （2）方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 15．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）解下列方程． (1)（公式法） (2) (3)（配方法） (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （4）先移项，然后去括号和合并同类项后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （3）解∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）方程左边提取公因式x分解因式，然后解方程即可； （2）方程左边利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把方程左边利用提公因式法分解因式，然后解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ，． 19．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）本题考查了解一元二次方程配方法，先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）本题考查了解一元二次方程公式法，先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）本题考查了解一元二次方程因式分解法，先移项得到，再化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ，； （3）解： 有，，， ， ， ，； （4）解：（）， 或， ，． 20．（23-24九年级上·北京·阶段练习）解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项后直接开平方即可求解； （2）直接因式分解法即可求解； （3）直接因式分解法即可求解； （4）移项后，利用平方差公式进行分解因式即可求解； 【详解】（1）解： ， 移项得， 由此可得，． （2）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （3）解： 分解因式得 ， 由此可得 ，． （4）解： 移项得 ， 分解因式得 ， 整理得 ， 由此可得 ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$