期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）青岛版

1 / 31 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 31 目 录 .................................................................... 5 ................................................................ 5 .......................................................................... 5 ................................ 5 .............................................................................6 ................................................................................... 7 ................................................................................ 7 .................................................................... 7 .............................................................................. 8 ....................................................................................... 8 ................................................................................8 ....................................................... 9 .................................................................. 9 .......................................................................... 9 ........................ 9 ...................... 10 ......................................................... 10 .............................................................. 11 ............................................ 11 ........................................................ 12 ...................................................12 3 / 31 ..................................... 13 ................................13 ....................14 ......................................................................... 14 ..................................................................................14 ............................................15 ...................... 16 ............................................ 17 .............................................................. 17 .............................................................. 18 ...................................... 18 .................. 19 .............................................. 19 ..................................................................... 20 ............................................................................. 22 ...............................................................23 ...............................23 ...................24 ...................24 ...............................................25 ........................................................... 25 ...............................................................26 4 / 31 .......................26 ............................................................... 27 ........................................................................... 28 .......................................28 ....................................................................... 29 ............................................................... 30 ...............................................31 5 / 31 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．直接写出结果。 5 1 9 9   2 3 7   1 3 2 8   32.6 1 5   55 11   1 1 5 7   17 3 14 14   5 1 12 6   2．直接写出结果。 7 9 ＋ 5 9＝ 5 8－ 1 4 ＝ 1＋ 57 ＝ 1.3－ 2 5＝ 1 4 ＋ 5 12＝ 2－ 1 5 ＝ 1－ 58－ 1 8＝ 4 5 ＋ 8 15＋ 7 15＝ 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 13 4 7 6 5 6   11 1 3 12 6 4       3 3 32 2 17 5 17 5    6 / 31 1 2 1 6 3 4   1 74 8 15 2 15    1101 0.125 8   2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 1 3 1 2 5 6   1 1 312 4 3 4    5 1 1 6 4 3   75 5 12 12    7 1 3 88 99 44       1 5 5 2 6 7 6 7              1．解方程。 2 7 3 6 x   0.75 0.5 1x x  ( 3) 2 22x    2．解方程。 3 7 4 9 x   3.5x－2.3x＝24 2x＋4×1.5＝10.6 7 / 31 1．数轴上的点 A用小数表示是( )；点 B用小数表示是( )。 2．在﹣6，3.2， 3 5 ﹢ ，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数 有( )，自然数有( )。 3．在75.2%，0.8， 3 5，和 0.9 这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为 83分，某同学得了 85分，记作﹢2，那 么得 90分和 80分，应分别记作( )和( )。 5．某食品包装袋上标注净含量为 500±30克，这袋食品最少为( )克，最 多为( )克。 1．某日杭州最高气温是零上 10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零 下 11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示 ( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下 6℃，而为了保证运动员的正常发挥， 又要求冰上 1.5米温度控制在 10℃。“零下 6℃”记作( )，“10℃”记作 ( )，这两个温度相差( )℃。 1．一辆货车从超市出发，向东走了 3千米到达小刚家，又继续向东走了 1.5千 米，到达小李家，然后又向西走了 9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点O，以向东方向为正方向，用 1个单位长度表示 1千米， 请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 2．小李上周末买进股票 1000股，每股 20元，下表为本周每日股票的涨跌（与 8 / 31 前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了 1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的 1.5‰的手 续费和 3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 1．0.7里面有 7个( )分之一，用分数表示是( )；0.07里面有 7 个( )分之一，用分数表示为( )。 2． 3 7 的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位后就是 1。 1．钢琴的白键占琴键总数的 1322，是把( )看作单位“1”，平均分成了 ( )份，白键占其中的( )份。 2．一根绳子，王明剪去了 3 5，李东剪去了 3 5米，两人剪的( )。 A．李东剪的多 B．王明剪的多 C．两人剪的一样多 1．一盒粽子有 18个，平均分给 3个同学。每个粽子是这盒粽子的    ，每 个同学分到的粽子是这盒粽子的    。 2．一根木料长 5.6米，现在将它锯成同样长的小段，七次锯完，每小段占这根 木料的( )，每小段长( )米。 9 / 31 1．将下列假分数化成带分数后直接写到括号内。 15 7 ＝( ) 17 8 ＝( ) 356 ＝( ) 2．在分数 9 m 中（m是非 0自然数），当m( )时，9 m 是真分数；当m( ) 时， 9 m 是假分数；当 m( )时， 9 m 实际上是整数。 1．( )÷18＝ 5 20 30        3         30 ＋（ ） ＝ ＝ （ ） ＝( )（填带分数）。 2． 25 的分母增加 10，要使分数的大小不变，分子应该增加( )。 1．把下面分数约成最简分数。 24 36 ＝ 32 40＝ 35 50＝ 21 42 ＝ 12 16＝ 2．把下面每组中的两个数通分。 3 4 和 7 8 4 5 和 5 9 4 9 和 5 6 3 5和 1 2 1．30和 42的最大公因数是( )，12和 20的最小公倍数是( )。 2．如果 a＝3b（a、b都是不为 0的自然数），那么 a和 b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 3．如果 a＋1＝b（a，b均为非 0自然数），那么 a和 b的最大公因数是( )， a和 b的最小公倍数是( )。 4．A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么 A和 B的最大公因数是( )，A和 B 的最小公倍数是( )。 10 / 31 1．一个长方形的长是 20厘米，宽是 12厘米，把这个长方形分成同样大小的正 方形，而且没有剩余。这样的正方形边长最大是多少厘米？可以分成多少个？ 2．早上 5时 40分 1路公交车和 2路公交车同时发车，1路车每隔 8分发一辆车， 2路车每隔 12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回 答） 1路公交车 5时 40分 5时 48分 2路公交车 5时 40分 3．小美到爷爷办的养牛场去玩。小美问：“爷爷，这里有多少头牛呢？”爷爷回 答说：“这里的牛，3头 3头地数，多 2头；12头 12头地数，多 11头；15头 15 头地数，多 14头。而且这群牛的数量在 150－200之间。”这群牛有多少头？ 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中 1 5 种西红柿， 3 7 种茄子，其余的种黄瓜。种 黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 11 / 31 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的 1 5 ，第二天比第一天少看了这本书 的 1 6 ，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了 12 杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了 1 3杯。 他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝 了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 1．图书馆在学校西偏南 35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35° 方向上。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从 A点出发，先向( ) 走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点 B。 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店 12 / 31 ( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店 ( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南 45°，距离淘气家 300米。试着 在图中画出超市的位置。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 ( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上 标有 3的面与标有( )的面相对，标有 6的面与标有( )的面相对。 13 / 31 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备 和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是 ( )字。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、 高分别是 25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．一根铁丝可以扎成一个长 6分米，宽 3分米，高 3分米的长方体，如果用这 根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是 9米，宽是 6米，高是 3.5米，门窗的 面积是 16.5平方米。如果每平方米需要花 6元涂料费，粉刷这向教室需要多少 涂料费？ 14 / 31 2．5月 21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长 46厘米的正方体纸箱 的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红 纸？ 1．一个正方体木箱的棱长总和是 24米，它的体积是多少立方米？ 2．一辆汽车的油箱，从里面量长 8分米，宽 4分米，高 2.5分米，如果这辆汽 车每千米的耗油量是 0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，它的棱长总和扩大到原来的 ( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( ) 倍。 2．一个正方体的棱长是 4cm，现将棱长扩大为原来的 3倍，它的表面积扩大为 原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 1．把棱长是 10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是 1dm的小正方 体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 2．如图是由 7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色 （底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体 有( )个。 15 / 31 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 2．有一张长方体表面展开图（如图）。 （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 16 / 31 1．一块长 4米的长方体木料，把它锯成 2米长的两段，表面积增加了 8平方分 米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 2．把一个长 8厘米，宽 6厘米，高 4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方 体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 3．一个长方体（如下图），如果高增加 4厘米，就变成了棱长是 10厘米的正方 体，这个长方体的体积是多少？ 4．如图，一个太阳能电池板是由 6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的 长是 12分米，宽 2分米，高 2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平 方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 17 / 31 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为 200( )，占地面积大约占地 60( )。 爸爸一次献血 200( )，汽车油箱容积 48( )。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2 800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方 0.65dm3＝( )L＝( )mL 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 18 / 31 1．把一个棱长为 9分米的正方体铁块，熔铸成一个长 18分米，高 60厘米的长 方体，这个长方体的宽是多少分米？ 2．一个棱长为 4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长 8分米，宽 4分 米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 3．有一个长方体容器，底面长 30厘米，宽 20厘米，高 10厘米，里面的水深 6 厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小 面为底面），里面的水深是多少厘米？ 1．爸爸在一个底面长、宽分别是 5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山 石，水面上升了 3厘米。这个假山石的体积是多少？ 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长 8分米，宽 5分米，高 7分米，里面水深 5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为 4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升 高多少分米？ 19 / 31 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为 3分米，水深 2.8分米，将一块石头完 全浸没在水中，这时溢出水 1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 1．一个棱长 8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长 2厘米的小正方 体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 2．有三块高分别为 10厘米、20厘米和 30厘米的长方体木块，它们的底面均为 边长是 10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个 物体的体积是多少？表面积呢？ 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条 2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行 程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯 才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第 24分钟时，( ) 大伯走在( )大伯前面( )米处。 20 / 31 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶 40千米。 (3)4路车与 7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 21 / 31 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( ) 月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电 ( )千瓦时。 2．小小统计员：下面是五年级兴趣小组的人数情况统计表。（每人只能选一个 兴趣小组） 22 / 31 （1）根据统计表内的数据将统计图补充完整。 （2）在这四个兴趣小组中，人数最多的是( )组。 （3）( )组男生人数最多，( )组女生人数最少。 （4）参加篮球组的男生比参加科技组的女生多( )人，参加手工组的男 生和女生一共有( )人。 1．学校举行广播体操比赛，7位评委给一个班级的打分如下：5分、8分、7.5 分、8.5分、9分、10分、7分。去掉一个最高分和一个最低分，这个班的平均 分是多少分？ 2．笑笑在一分钟投篮比赛中，2次投的平均个数是 25个，要使 3次投的平均个 数是 26个，第 3次应投多少个？ 3．2020至 2021学年度第二学期淘气参加了 4次数学考试，4次数学考试的平均 分是 93分。已知他第一次的成绩是 89分，第二次和第三次的成绩都是 94分， 淘气第四次数学考试的成绩是多少分？ 23 / 31 1．一个长方体长 16分米，高 7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积 增加 160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．一个密封的长方体容器，里面长 8分米，宽 2分米，高 4分米，已装了一部 分水，水深 2.5分米。 （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深 是多少分米？ 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长 3分米，宽 2分米，高 4分米，缸中水深 1.8 分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是 多少？ 24 / 31 1．如图 1，一个棱长为6cm的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全 部挖空），正面的孔是一个边长为 2cm的正方形，图 1剩余部分的体积是多少？ 如果像图 2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图 2 剩余部分的体积是多少？ 2．用棱长是 1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多 少平方厘米？ 1．把自然数 X和 Y分解质因数，分别是 3 5X n   ， 2 3Y n   ，如果 X和 Y 的最大公因数是 6，那么 n＝( )，X和 Y的最小公倍数是( )。 2．A和 B都是自然数，分解质因数 A＝2×5×C；B＝3×5×C。如果 A和 B的最 小公倍数是 60，那么 C＝( )。A和 B的最大公因数是( )。 25 / 31 1．一盒围棋，4颗 4颗数多 3颗，6颗 6颗数多 5颗，5颗 5颗数多 4颗。如果 这盒围棋子的数量在 150至 200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 2．有一批水果，总数在 1000个以内，如果每 24个装一箱，最后一箱还差 2个； 如果每 28个装一箱，最后一箱还差 2个；如果每 32个装一箱，最后一箱只有 30个。这批水果共有多少？ 1． 2330的分子和分母同时减去一个数，约分后得 3 4 ，同时减去的这个数是多少？ 2．一个分数的分子与分母的和是 50，如果把分子和分母都减去 5，所得的数约 分后是 1 4 。原来的分数是多少？ 26 / 31 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－ 12 ＝ 1 2 1 2 － 1 3＝     1 3－ 1 4 ＝     1 4 － 1 5 ＝     1 2 ＋ 1 6 ＋ 1 12＋ 1 20 ＝（ ）（请写出计算过程） 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 1 5 11 19 29 41 55 2 6 12 20 30 42 56 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ （请展示你的思维过程） 27 / 31 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 5 7 9 11 13 15 41 43 6 12 20 30 42 56 420 462         2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。   1 1 1 11 2 6 12 110       1 5 11 1092 2 6 12 110     1．计算。 7 7 7 79 +99 +999 +9999 8 8 8 8 。 2．计算。 1 1 1 119 9 7 3 8 2 4 8 16     28 / 31 1．计算。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 59 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 60 60 60 60 60                + 2．计算。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5                          ＋… 1 2 3 40 40 40      … 38 39 40 40     1．如图，一个长方体，如果长增加 3厘米，宽和高都不变，体积增加 6立方厘 米；如果宽增加 4厘米，长和高都不变，体积增加 32立方厘米；如果高增加 5 厘米，长和宽都不变，体积增加 20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平 方厘米？ 29 / 31 2．一个长方体，若长增加 4分米，宽和高都不变，则体积增加 60立方分米；若 宽减少 3分米，长和高都不变，则体积减少 72立方分米；若高增加 2分米，长 和宽都不变，则体积增加 80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是 10厘米，宽是 8厘米，高是 6厘米，然 后把两个长 4厘米、宽 3厘米、高 8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水 的体积是多少？ 2．一个长 25厘米、宽 10厘米、高 8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深 6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了 20毫升。这个铁 球的体积是多少立方厘米？ 30 / 31 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午 9： 00开始向玻璃缸内注水，水的流量是 8立方分米/分，到 9：03关闭水龙头停止 注水。接着马上在缸内放入一个高为 8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中， 玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（ ）的位置表示停止注水。（从 A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 2．如图：一个长方体水槽宽 40厘米，高 10厘米，水槽正中间有一块高 6厘米 的隔板，将水槽下面分成了相等的 2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边 注水速度为每分钟 2升。注水 3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过 1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 1 / 76 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 76 目 录 .................................................................... 5 ................................................................ 5 .......................................................................... 5 ................................ 6 .............................................................................9 .................................................................................11 .............................................................................. 12 ..................................................................14 ............................................................................ 16 ..................................................................................... 17 ............................................................................. 17 ..................................................... 18 ................................................................19 ........................................................................ 20 ...................... 21 ...................... 22 ......................................................... 24 .............................................................. 25 ............................................ 27 ........................................................ 29 ...................................................31 3 / 76 ..................................... 32 ................................32 ....................33 ......................................................................... 34 ..................................................................................35 ............................................36 ...................... 38 ............................................ 40 .............................................................. 41 .............................................................. 43 ...................................... 44 .................. 46 .............................................. 48 ..................................................................... 50 ............................................................................. 53 ...............................................................56 ...............................56 ...................57 ...................59 ...............................................60 ........................................................... 61 ...............................................................63 4 / 76 .......................63 ............................................................... 66 ........................................................................... 67 .......................................68 ....................................................................... 70 ............................................................... 71 ...............................................74 5 / 76 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．直接写出结果。 5 1 9 9   2 3 7   1 3 2 8   32.6 1 5   55 11   1 1 5 7   17 3 14 14   5 1 12 6   【答案】 2 3； 23 7； 1 8；1 64 11； 2 35； 10 7 ； 7 12 【详解】略 2．直接写出结果。 7 9 ＋ 5 9＝ 5 8－ 1 4 ＝ 1＋ 57 ＝ 1.3－ 2 5＝ 1 4 ＋ 5 12＝ 2－ 1 5 ＝ 1－ 58－ 1 8＝ 4 5 ＋ 8 15＋ 7 15＝ 【答案】 4 3； 3 8； 51 7 ；0.9 2 3； 41 5； 1 4 ； 41 5 【详解】略 6 / 76 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 13 4 7 6 5 6   11 1 3 12 6 4       3 3 32 2 17 5 17 5    1 2 1 6 3 4   1 74 8 15 2 15    1101 0.125 8   【答案】 41 5；0； 18 17； 13 12； 13 2；12.5 【分析】“13 4 76 5 6   ”根据同级运算法则，带符号交换 45 和 7 6 的位置，再计算； “ 11 1 3 12 6 4       ”先计算括号内的加法，再计算括号外的减法； “ 3 3 32 2 17 5 17 5    ”根据同级运算法则，先带符号交换 3 5和 32 17的位置，再根据减法的 性质计算； “ 1 2 1 6 3 4   ”从左至右，依次计算； “ 1 74 8 15 2 15    ”将除法写成分数形式，再根据减法的性质计算； “ 1101 0.125 8   ”将分数写成小数形式，再根据乘法分配律计算。 【详解】 13 4 7 6 5 6   ＝ 13 7 4 6 6 5   ＝ 41 5  ＝ 41 5 11 1 3 12 6 4       ＝ 11 11 12 12  ＝0 3 3 32 2 17 5 17 5    ＝ 3 32 3 2 17 17 5 5    7 / 76 ＝ 35 3 2 17 5 5       ＝ 35 1 17  ＝ 18 17 1 2 1 6 3 4   ＝ 5 1 6 4  ＝ 13 12 1 74 8 15 2 15    ＝ 1 7 84 2 15 15   ＝ 1 7 84 2 15 15       ＝ 14 1 2  ＝ 13 2 1101 0.125 8   ＝101 0.125 0.125  ＝  101 1 0.125  ＝100 0.125 ＝12.5 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 1 3 1 2 5 6   1 1 312 4 3 4    5 1 1 6 4 3   75 5 12 12    7 1 3 88 99 44       1 5 5 2 6 7 6 7              【答案】 14 15 ； 210 3 ； 11 12； 4； 1 792 ；2 【分析】（1）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （2）利用减法的性质和加法交换律，把算式变为 1 3 112 ( )4 4 3    ，按照运算顺序 8 / 76 从左到右依次计算； （3）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （4）根据分数与除法的关系，把算式变为 5 75 12 12   ，再利用减法的性质进行简 便计算； （5）利用减法的性质，括号打开，里面的加号变减号，交换 199和 3 44的位置，利 用加法交换律进行简便计算； （6）两个小括号打开，运算符号不变，再利用加法交换律和加法结合律进行简 便计算。 【详解】 1 3 1 2 5 6   ＝ 15 18 5 30 30 30   ＝ 33 30 0 5 3  ＝ 14 15 1 1 312 4 3 4    ＝ 1 3 112 ( ) 4 4 3    ＝ 112 1 3   ＝ 111 3  ＝ 210 3 5 1 1 6 4 3   ＝ 10 3 4 12 12 12   ＝ 7 4 12 12  ＝ 11 12 75 5 12 12    ＝ 5 75 12 12   9 / 76 ＝ 5 75 ( ) 12 12   ＝5 1 ＝4 7 1 3 88 99 44       ＝ 7 1 3 88 99 44   ＝ 7 1 88 8 6 8 99   ＝ 1 1 88 99  ＝ 2 9 792 8 79  ＝ 1 792 1 5 5 2 6 7 6 7              ＝ 1 5 5 2 6 7 6 7    ＝ 1 5 5 2( ) 6 6 7 7    ＝1 1 ＝2 1．解方程。 2 7 3 6 x   0.75 0.5 1x x  ( 3) 2 22x    【答案】 1 2 x  ； 4x  ； 17x  【分析】第一题利用等式的性质 1，等式两边同时减去 23； 第二题先计算0.75 0.5x x- ，再利用等式的性质 2，等式两边同时除以 0.25； 第三题先利用等式的性质 1，等式两边分别同时减去 2和 3。 【详解】 2 7 3 6 x   解： 2 2 7 2 3 3 6 3 x     10 / 76 7 4 66 x = - 1 2 x  0.75 0.5 1x x  解：0.25 1x  0.25 0.25 1 0.25x    4x  ( 3) 2 22x    解： ( 3) 2 2 22 2x + + - = - 3 20x   3 3 20 3x + - = - 17x  2．解方程。 3 7 4 9 x   3.5x－2.3x＝24 2x＋4×1.5＝10.6 【答案】 1 36 x  ；x＝20；x＝2.3 【分析】 3 7 4 9 x   ，根据等式的性质 1，两边同时－ 3 4 即可； 3.5x－2.3x＝24，先将左边合并成 1.2x，根据等式的性质 2，两边同时÷1.2即可； 2x＋4×1.5＝10.6，根据等式的性质 1和 2，两边同时－4×1.5的积，再同时÷2即 可。 【详解】 3 7 4 9 x   解： 3 3 7 3 4 4 9 4 x     28 27 36 36 x   1 36 x  3.5x－2.3x＝24 解：1.2x＝24 1.2x÷1.2＝24÷1.2 x＝20 11 / 76 2x＋4×1.5＝10.6 解：2x＋6－6＝10.6－6 2x＝4.6 2x÷2＝4.6÷2 x＝2.3 1．数轴上的点 A用小数表示是( )；点 B用小数表示是( )。 【答案】 ﹣0.1 0.14/﹢0.14 【分析】观察数轴可知，0.1平均分成 5份，每个小格表示 0.02，点 A在 0的左 边是负数，点 B在 0的右侧是正数，据此根据单位长度的大小表示出点 A和点 B即可。 【详解】数轴上的点 A用小数表示是﹣0.1；点 B用小数表示是 0.14。 【点睛】关键是确定单位长度，在数轴上的数从左到右依次变大。 2．在﹣6，3.2， 3 5 ﹢ ，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数 有( )，自然数有( )。 【答案】 3.2、 3 5 ﹢ 、﹢4、2 ﹣6、﹣3.5、﹣0.136 0、2 【分析】根据正数是指比 0大的数，负数是指比 0小的数，0既不是正数也不是 负数；自然数就是像 0、1、2……这样的数，0和正整数统称为自然数；整数就 是像﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3……等这样的数，负整数、0、正整数统称为整 数；据此解答。 【详解】由分析可得：在﹣6，3.2， 35  ，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数 有 3.2、 35  、﹢4、2，负数有﹣6、﹣3.5、﹣0.136，自然数有 0、2。 3．在75.2%，0.8， 3 5，和 0.9 这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 0.8 0.9 【分析】正数大于负数，再把百分数和分数化成小数，再按小数比较大小的方法 12 / 76 进行比较即可。 【详解】75.2％＝0.752 3 0.6 5  30.8 75.2 0.9 5    ％ 【点睛】本题考查小数、分数、百分数的互化、负数，解答本题的关键是掌握小 数、分数、百分数的互化的方法。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为 83分，某同学得了 85分，记作﹢2，那 么得 90分和 80分，应分别记作( )和( )。 【答案】 ﹢7 ﹣3 【分析】 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选 83分为标准记为 0，超过 部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可。 【详解】 90－83＝7（分） 83－80＝3（分） 平均成绩为 83分，某同学考了 85分，记作﹢2， 得分 90分和 80分应分别记作﹢7和﹣3。 5．某食品包装袋上标注净含量为 500±30克，这袋食品最少为( )克，最 多为( )克。 【答案】 470 530 【分析】根据正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一 个为正，则和它意义相反的就为负，一袋食品包装袋上印着 500±30克合格的字 样，分别求出最重和最轻的克数。 【详解】500＋30＝530（克） 500－30＝470（克） 这袋食品最少为 470克，最多为 530克。 1．某日杭州最高气温是零上 10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零 13 / 76 下 11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示 ( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 【答案】 10℃ ﹣11℃ 零下 3摄氏度/零下 3℃ 21 【分析】在用正、负数表示两种具有相反意义的量时，要先规定哪种量为正（或 负）。如果一种量用正数表示，那么另一种与它相反的量就用负数表示。以 0 摄氏度为标准，零上温度记为正，则零下温度就记为负，据此解答。 解决有关正、负数的计算问题时，可以用画图法，以 0为分界点，分成两段来计 算。这三个温度中，最高温度是零上 10摄氏度（10摄氏度），最低温度是零下 11摄氏度（﹣11摄氏度），求这一天三个城市的最高气温最大相差多少摄氏度， 即求 10摄氏度比﹣11摄氏度高多少摄氏度。如下图 【详解】某日杭州最高气温是零上 10摄氏度，记作 10℃； 哈尔滨最高气温是零下 11摄氏度，记作﹣11℃； 北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示零下 3摄氏度。 10＋11＝21（摄氏度） 所以，这一天三个城市的最高气温最大相差 21摄氏度。 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下 6℃，而为了保证运动员的正常发挥， 又要求冰上 1.5米温度控制在 10℃。“零下 6℃”记作( )，“10℃”记作 ( )，这两个温度相差( )℃。 【答案】 ﹣6℃ 10℃/﹢10℃ 16 【分析】以 0℃为标准，高于 0℃记为正，低于 0℃记为负，写正数时，正号可 以省略不写；将比 0℃低的温度和比 0℃高的温度相加，就是这两个温度的差， 据此分析。 【详解】6＋10＝16（℃） “零下 6℃”记作﹣6℃，“10℃”记作 10℃，这两个温度相差 16℃。 14 / 76 【点睛】关键是理解正负数的意义，正负数可以表示相反意义的量。 1．一辆货车从超市出发，向东走了 3千米到达小刚家，又继续向东走了 1.5千 米，到达小李家，然后又向西走了 9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点O，以向东方向为正方向，用 1个单位长度表示 1千米， 请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 【答案】（1） （2）8千米； （3）19千米 【分析】（1）根据题意，可得以超市为原点 O，小刚家的位置可以表示为＋3 千米，小李家的位置可以表示为﹢3＋1.5＝﹢4.5（千米），小明家的位置可以表 示为﹢4.5－9.5＝﹣5（千米），据此解答即可； （2）用小明家的位置表示的数减去小刚家的位置表示的数，求出小明家距离小 刚家有多远即可； （3）根据加法的意义，用 3加上 1.5，再加上 9.5，最后再加上 5，求出这辆货 车共走了多少千米即可。 【详解】（1）根据分析，可得 （2） ( 3) ( 5) 8 ﹢ ﹣ （千米） 答：小明家距离小刚家有 8千米。 （3）3 1.5 9.5  ＋5 ＝4.5＋9.5＋5 ＝19（千米） 答：这辆货车共走了 19千米。 【点睛】此题主要考查了负数的意义，以及正、负数的运算方法的应用，掌握正 15 / 76 负数的意义是解题关键。 2．小李上周末买进股票 1000股，每股 20元，下表为本周每日股票的涨跌（与 前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了 1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的 1.5‰的手 续费和 3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 【答案】（1）28元； （2）星期二；29元； （3）亏了 1115.5元 【分析】（1）由图可以算出每天每股的价格； （2）比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期 二，进而求出每股的价格； （3）收益＝卖股票收入－买股票支出－卖股票手续费和交易税－买股票手续费， 代入求值即可。 【详解】（1）20＋4＋5－1 ＝29－1 ＝28（元） 答：到本周三，小张所持股票每股 28元。 （2）20＋4＋5 ＝24＋5 ＝29（元） 答：本周内，股票最高价出现在星期二，是 29元。 （3）29－1－3－6 ＝28－3－6 ＝25－6 ＝19（元） 16 / 76 1000×19＝19000（元） 1000×20＝20000（元） 19000－20000－20000×1.5‰－19000×（1.5‰＋3‰） ＝﹣1000－30－85.5 ＝﹣1115.5（元） 答：小张亏了 1115.5元。 【点睛】此题主查考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用，解答此题应 注意把书本的正负数灵活运用到实际生活中。 1．0.7里面有 7个( )分之一，用分数表示是( )；0.07里面有 7 个( )分之一，用分数表示为( )。 【答案】 十 7 10 百 7 100 【分析】0.7中 7在十分位上，表示 7个十分之一；0.07中 7在百分位上，表示 7个百分之一；把小数化为分数时，先把小数写成分数，原来有几位小数就在 l 后面写几个 0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分的要约分；据 此解答。 【详解】由分析可得：0.7里面有 7个十分之一，用分数表示是 7 10；0.07里面有 7个百分之一，用分数表示为 7 100 。 2． 37 的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位后就是 1。 【答案】 1 7 4 【分析】分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位， 将 1化成分母是 7的假分数，求出两个分子的差，就是需要添上的分数单位的个 数。 【详解】1＝ 77 、7－3＝4（个） 3 7 的分数单位是 1 7 ，再添上 4个这样的分数单位后就是 1。 17 / 76 1．钢琴的白键占琴键总数的 1322，是把( )看作单位“1”，平均分成了 ( )份，白键占其中的( )份。 【答案】 琴键总数 22 13 【分析】单位“1”的确定，一般是把分率“的”前面的量看作单位“1”，或者是把“是、 占、比”后面的量看作单位“1”。 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数； 分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 【详解】钢琴的白键占琴键总数的 13 22，是把看作单位“1”，平均分成了 22份， 白键占其中的 13份。 2．一根绳子，王明剪去了 3 5，李东剪去了 3 5米，两人剪的( )。 A．李东剪的多 B．王明剪的多 C．两人剪的一样多 【答案】B 【分析】把这根绳子的长度看作单位“1”，用单位“1”减去王明剪去的 3 5，从而计 算出剩下的部分，剩下的部分就是李东最多能剪的部分，依此比较即可。 【详解】1－ 3 5＝ 2 5 则李东最多能剪去这根绳子的 2 5 ，且 3 5＞ 2 5 ，所以王明剪的多。 故答案为：B 1．一盒粽子有 18个，平均分给 3个同学。每个粽子是这盒粽子的    ，每 个同学分到的粽子是这盒粽子的    。 【答案】 1 18； 1 3 【分析】求每个粽子是这盒粽子的几分之几，就是求 1是 18的几分之几，用 1 除以 18即可； 18 / 76 把 18个粽子平均分给 3个同学，先把这盒粽子看作单位“1”，平均分成 3份，用 1除以 3，即是每个同学分到的粽子是这盒粽子的几分之几。 【详解】1÷18＝ 1 18 1÷3＝ 13 每个粽子是这盒粽子的 1 18，每个同学分到的粽子是这盒粽子的 1 3。 2．一根木料长 5.6米，现在将它锯成同样长的小段，七次锯完，每小段占这根 木料的( )，每小段长( )米。 【答案】 1 8 0.7 【分析】根据题意可知，锯木头锯一次可以把一根木头锯成 2段，锯两次可以锯 成2 1 3  （段），可以得出锯的段数比锯的次数多 1，那么锯七次可以锯成7 1 8  （段），再根据分数的意义和小数的平均分意义解答即可。 【详解】根据题意可得锯七次，可以把这根木头锯成7 1 8  （段），由分数的意 义可知，每小段占这根木料的 1 8； 5.6 8 0.7  （米） 每小段占这根木料的（ 1 8），每小段长（0.7）米。 【点睛】根据题意，锯木头的段数比锯的次数多 1，再根据题意进一步解答即可。 1．将下列假分数化成带分数后直接写到括号内。 15 7 ＝( ) 17 8 ＝( ) 356 ＝( ) 【答案】 12 7 12 8 55 6 【分析】把假分数化成带分数，用分子除以分母，得到的商作带分数的整数部分， 余数作分子，分母不变，据此解答。 【详解】 15 7 ＝15÷7＝ 12 7 17 8 ＝17÷8＝ 12 8 35 6 ＝35÷6＝ 55 6 19 / 76 2．在分数 9 m 中（m是非 0自然数），当m( )时，9 m 是真分数；当m( ) 时， 9 m 是假分数；当 m( )时， 9 m 实际上是整数。 【答案】 小于 9 大于或等于 9 是 9的倍数 【分析】分子比分母小的分数叫作真分数；分子大于或等于分母的分数叫作假分 数；当假分数的分子是分母的倍数时，分数可化为整数。 【详解】在分数 9 m 中，当 m小于 9时， 9 m 是真分数；当 m大于或等于 9时， 9 m 是假分数；当 m是 9的倍数时， 9 m 实际上是整数。 1．( )÷18＝ 5 20 30        3         30 ＋（ ） ＝ ＝ （ ） ＝( )（填带分数）。 【答案】30；12；20； 213 【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数 的大小不变； 分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母； 假分数化带分数：分子除以分母，求出商和余数。商是带分数的整数部分，余数 是带分数分数部分的分子，分母不变。据此解题。 【详解】 5 5 6 30 3 3 6 18     5 5 4 20 3 3 4 12     5 5 10 50 3 3 10 30     30 18＝30÷18 5÷3＝1……2 所以，30÷18＝ 53＝ 20 12 ＝ 30 20 30  ＝ 21 3。 2． 25 的分母增加 10，要使分数的大小不变，分子应该增加( )。 【答案】4 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）， 分数大小不变； 2 5 的分母增加 10，也就是分母乘 3，根据分数的基本性质，要使 20 / 76 分数的大小不变，分子也要乘 3，2×3＝6，相当于分子增加（6－2）。 【详解】5＋10＝15 15÷5＝3 2×3－2 ＝6－2 ＝4 2 5 的分母增加 10，要使分数的大小不变，分子应该增加 4。 1．把下面分数约成最简分数。 24 36 ＝ 32 40＝ 35 50＝ 21 42 ＝ 12 16＝ 【答案】 2 3； 4 5 ； 7 10； 1 2 ； 3 4 【分析】根据分数的基本性质进行约分，通常分子、分母同时除以它们的最大公 因数，结果是分子和分母只有公因数 1的最简分数。 【详解】 24 36 ＝ 24 12 36 12   ＝ 2 3 32 40＝ 32 8 40 8   ＝ 4 5 35 50＝ 35 5 50 5   ＝ 7 10 21 42 ＝ 21 21 42 21   ＝ 1 2 12 16＝ 12 4 16 4   ＝ 3 4 2．把下面每组中的两个数通分。 3 4 和 7 8 4 5 和 5 9 4 9 和 5 6 3 5和 1 2 【答案】 6 8 ， 7 8 ； 36 45， 25 45； 8 18， 15 18 ； 6 10， 5 10 【分析】通分的方法：先求出这两个分数的分母的最小公倍数，把它作为这两个 分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的 分数。据此解答即可。 【详解】 3 3 2 6 4 4 2 8     ， 7 7 8 8  ； 21 / 76 4 4 9 36 5 5 9 45     ， 5 5 5 25 9 9 5 45     ； 4 4 2 8 9 9 2 18     ， 5 5 3 15 6 6 3 18     ； 3 3 2 6 5 5 2 10     ， 1 1 5 5 2 2 5 10     。 1．30和 42的最大公因数是( )，12和 20的最小公倍数是( )。 【答案】 6 60 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因 数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】（1）30＝2×3×5 42＝2×3×7 30和 42的最大公因数是 2×3＝6。 （2）12＝2×2×3 20＝2×2×5 12和 20的最小公倍数是 2×2×3×5＝60。 2．如果 a＝3b（a、b都是不为 0的自然数），那么 a和 b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】根据题意，a＝3b，即 a÷b＝3，说明 a和 b是倍数关系，且 a＞b，根据 “当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】如果 a＝3b（a、b都是不为 0的自然数），那么 a和 b的最大公因数是 b，最小公倍数是 a。 3．如果 a＋1＝b（a，b均为非 0自然数），那么 a和 b的最大公因数是( )， a和 b的最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】当两个数为互质数时，它们的最大公因数是 1，最小公倍数是两个数的 乘积，据此解答。 【详解】如果 a＋1＝b（a，b均为非 0自然数），那么 a和 b是相邻的自然数， 22 / 76 两个相邻的自然数是互质数，所以 a和 b的最大公因数是 1，a和 b的最小公倍 数是 ab。 【点睛】本题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数，明确 a和 b是互质 数是解答题目的关键。 4．A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么 A和 B的最大公因数是( )，A和 B 的最小公倍数是( )。 【答案】 42 630 【分析】两个数最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积；两个数的最小公倍 数：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，据此解答。 【详解】A＝2×3×5×7 B＝2×3×3×7 A和 B的最大公因数是 2×3×7＝42。 A和 B的最小公倍数是 2×3×7×3×5＝630。 A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么 A和 B的最大公因数是 42，A和 B的最小公 倍数 630。 1．一个长方形的长是 20厘米，宽是 12厘米，把这个长方形分成同样大小的正 方形，而且没有剩余。这样的正方形边长最大是多少厘米？可以分成多少个？ 【答案】4厘米；15个 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 求出长方形长和宽的最大公因数是分成的最大正方形的边长，根据长方形面积＝ 长×宽，正方形面积＝边长×边长，长方形面积÷正方形面积＝分成的个数，据此 列式解答。 【详解】20＝2×2×5 12＝2×2×3 2×2＝4（厘米） 20×12÷（4×4） ＝240÷16 ＝15（个） 23 / 76 答：这样的正方形边长最大是 4厘米，可以分成 15个。 2．早上 5时 40分 1路公交车和 2路公交车同时发车，1路车每隔 8分发一辆车， 2路车每隔 12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回 答） 1路公交车 5时 40分 5时 48分 2路公交车 5时 40分 【答案】5时 56分；6时 4分；6时 12分 5时 52分；6时 4分；6时 16分；6时 28分 6时 4分 【分析】1路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上 8分钟； 2路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上 12分钟； 据此把表格补充完整。 已知 1路车每隔 8分发一辆车，2路车每隔 12分发一辆车，求第二次两车同时 发车时刻，就是求 8和 12的最小公倍数，再用第一次两路车同时发车时刻加上 最小公倍数，即可求解。 【详解】1路公交车： 5时 48分＋8分＝5时 56分 5时 56分＋8分＝6时 4分 6时 4分＋8分＝6时 12分 2路公交车： 5时 40分＋12分＝5时 52分 5时 52分＋12分＝6时 4分 6时 4分＋12分＝6时 16分 6时 16分＋12分＝6时 28分 填表如下： 1路公交车 5时 40分 5时 48分 5时 56分 6时 4分 6时 12分 2路公交车 5时 40分 5时 52分 6时 4分 6时 16分 6时 28分 24 / 76 8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和 12的最小公倍数：2×2×2×3＝24 即每隔 24分两路车就同时发车。 5时 40＋24分＝6时 4分 答：这两路车 6时 4分第二次同时发车。 3．小美到爷爷办的养牛场去玩。小美问：“爷爷，这里有多少头牛呢？”爷爷回 答说：“这里的牛，3头 3头地数，多 2头；12头 12头地数，多 11头；15头 15 头地数，多 14头。而且这群牛的数量在 150－200之间。”这群牛有多少头？ 【答案】179头 【分析】3头 3头地数，多 2头，即少 1头；12头 12头地数，多 11头，即少 1 头；15头 15头地数，多 14头，即少 1头，也就是先找到 3、12和 15在 150~200 之间的公倍数，再用公倍数减 1就是这群牛的头数。 【详解】 3、12和 15的最小公倍数：3×4×5＝60（头）， 60×3＝180（头） 180－1＝179（头） 答：这群牛有 179头。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中 1 5 种西红柿， 3 7 种茄子，其余的种黄瓜。种 黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 【答案】 13 35 【分析】把整个大棚的面积看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去种西 红柿、茄子的面积占大棚面积的分率，即是种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分 之几。 25 / 76 【详解】1－ 1 5 － 3 7 ＝ 4 5 － 3 7 ＝ 28 35 － 15 35 ＝ 13 35 答：种黄瓜的面积占整个大棚面积的 13 35 。 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的 1 5 ，第二天比第一天少看了这本书 的 1 6 ，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【答案】 7 30 【分析】把书的总页数看作单位“1”，根据分数减法的意义，用 1 5 － 1 6 即可求出第 二天看了这本书的几分之几，再加上第一天看的分率，即可求出两天一共看了这 本故事书的几分之几。 【详解】 1 5 － 1 6 ＋ 1 5 ＝ 1 30＋ 1 5 ＝ 7 30 答：两天一共看了这本故事书的 7 30。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了 12 杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了 1 3杯。 他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 【答案】见详解；纯牛奶 2 3杯；水 1 6 杯 【分析】把这杯纯牛奶看作单位“1”，第 1次喝了 12 杯，即把单位“1”平均分成 2 份，喝了其中的 1份；兑满水，又喝了 13杯，此时喝的 1 3杯里，一半是纯牛奶， 一半是水；借助图形可知， 1 3杯的一半是 1 6 杯，喝的纯牛奶是（ 1 2 ＋ 1 6 ）杯，喝 26 / 76 的水是 1 6 杯。 【详解】 表示 1 3杯的一半是 1 6 杯； 纯牛奶： 1 2 ＋ 1 6 ＝ 3 6＋ 1 6 ＝ 2 3（杯） 水： 1 6 杯。 答：他一共喝了 2 3杯纯牛奶， 1 6 杯水。 【点睛】借助画图理解“ 13的一半是多少”，掌握异分母分数加减法的计算方法是 解题的关键。 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝 了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【答案】 3 4 杯； 1 4 杯 【分析】喝了半杯纯芒果汁，即 1 2 杯，兑满水后，杯子中有一半纯果汁一半水， 再喝半杯，又喝了 1 4 杯纯芒果汁和 1 4 杯水，将两次喝的纯芒果汁加起来即可。 【详解】 1 2 ＋ 1 4 ＝ 2 4 ＋ 1 4 ＝ 3 4 （杯） 答：这时小丽一共喝了 3 4 杯芒果汁， 1 4 杯水。 27 / 76 【点睛】异分母分数相加减，先通分再计算。 1．图书馆在学校西偏南 35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35° 方向上。 【答案】 东 北 【分析】根据位置的相对性可知，描述两个物体之间的相对位置时，方向相反， 角度相等，据此解答。 【详解】通过分析可知，图书馆在学校西偏南 35°方向上，则学校在图书馆东偏 北 35°方向上。 【点睛】本题考查了学生对位置相对性的掌握情况，可以画图帮助理解。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从 A点出发，先向( ) 走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点 B。 【答案】 东 3 北偏东 60 12 【分析】根据地图“上北下南，左西右东”的规定，他们是从 A点出发，先向东走 3km；然后以这个地点为观察点，90°－30°＝60°，即向北偏东 60°方法走 12km 到达活动地点 B，如下图所示。 【详解】通过分析可知，他们是从 A点出发，先向东走 3km，再向北偏东 60° 方向走 12km到达活动地点 B。 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） 28 / 76 （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店 ( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店 ( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南 45°，距离淘气家 300米。试着 在图中画出超市的位置。 【答案】（1）北；西 30；200； （2）见详解； （3）北；东 60；400； （4）见详解 【分析】（1）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，奇思家距离书店 有 200米，以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定奇思家的位置即可。 （2）同样根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，奇思从家出发，经过书店， 到达学校，每到一个地方，观测点随之发生变化，根据方向、角度、距离确定书 店和学校的位置，再描述出上学的路线即可。 （3）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，经过测量，妙想家离书店 在图上有 2厘米，由此计算出妙想家和书店的实际距离，再以书店为观测点，根 据方向、角度、距离确定妙想家的位置即可。 （4）观察平面图，图上的 1厘米表示实际距离 100米，超市距离淘气家 300米， 用 300米除以 100米，求出这两地在图上的距离是 3厘米，按地图上的方向“上 北下南，左西右东”，再以淘气家为观测点，根据方向、角度、距离确定超市的 29 / 76 位置，并在图中画出超市的位置。 【详解】（1）奇思家的位置是在北偏西 30°，距离书店 200米。 （2）答：奇思从家向南偏东 30°的方向走 200米到书店，再从书店向正东方向 走 280米到学校。 （3）2×200＝400（米） 妙想家的位置是北偏东 60°，距离书店 400米。 （4）300÷100＝3（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查根据方向、角度和距离确定位置以及描述线路图，确定观 测点是关键。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方 形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全 相同。 （2）长方体有 12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有 4条棱。 （3）长方体长方体有 8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长 方体的长、宽、高。 正方体特征： 30 / 76 （1）6个面都是正方形，且面积相等； （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有 8个顶点， 6个面，12条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 ( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 8 5 2 60 【分析】观察图形可知，长方体的长是 8cm，宽是（9－2－2）cm，高是 2cm， 再根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可 解答。 【详解】长是 8cm 宽：9－2－2 ＝7－2 ＝5（cm） 高是 2cm 棱长总和： （8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 8cm， 宽是 5cm，高是 2cm，棱长总和是 60cm。 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 5 【第一章】综合预测篇 5 【预测命题01】分数加减法基础计算。 5 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 5 【预测命题03】解方程。 6 【预测命题04】正负数基本题型。 7 【预测命题05】温度和温差。 7 【预测命题06】正负数和实际应用。 7 【预测命题07】分数的认识和意义。 8 【预测命题08】单位“1”。 8 【预测命题09】分数与除法。 8 【预测命题10】真分数·假分数·带分数。 9 【预测命题11】分数的基本性质。 9 【预测命题12】约分和通分。 9 【预测命题13】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 9 【预测命题14】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 10 【预测命题15】分数加减法的实际应用。 10 【预测命题16】牛奶兑水问题。 11 【预测命题17】根据方位图描述位置方向和行进路线。 11 【预测命题18】长方体和正方体的认识与特征。 12 【预测命题19】长方体和正方体的表面展开图。 12 【预测命题20】长方体和正方体的棱长和实际应用。 13 【预测命题21】长方体和正方体的表面积实际应用。 13 【预测命题22】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 14 【预测命题23】棱长扩倍问题。 14 【预测命题24】染色问题。 14 【预测命题25】根据展开图求表面积和体积。 15 【预测命题26】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 16 【预测命题27】面积·体积·容积单位的选择和换算。 17 【预测命题28】图形折叠问题。 17 【预测命题29】等积变形问题。 18 【预测命题30】排水法求不规则物体的体积。 18 【预测命题31】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 19 【预测命题32】折线统计图与行程问题。 19 【预测命题33】统计图综合应用。 20 【预测命题34】平均数问题。 22 【第二章】重点攻克篇 23 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 23 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 24 【重点攻克03】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 24 【重点攻克04】最小公倍数的实际应用。 25 【重点攻克05】约分的实际应用。 25 【第三章】难点挑战篇 26 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 26 【难点挑战02】带分数拆分法。 27 【难点挑战03】分组法。 28 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 28 【难点挑战05】溢水问题。 29 【难点挑战06】注水运动问题。 30 【难点挑战07】最小公倍数的复杂应用。 31 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】分数加减法基础计算。 1．直接写出结果。                                                                          2．直接写出结果。 ＋＝        －＝         1＋＝           1.3－＝ ＋＝       2－＝         1－－＝        ＋＋＝ 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                      2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                                                         【预测命题03】解方程。 1．解方程。                2．解方程。          3.5x－2.3x＝24         2x＋4×1.5＝10.6 【预测命题04】正负数基本题型。 1．数轴上的点A用小数表示是( )；点B用小数表示是( )。 2．在﹣6，3.2，，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数有( )，自然数有( )。 3．在，，，和这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学得了85分，记作﹢2，那么得90分和80分，应分别记作( )和( )。 5．某食品包装袋上标注净含量为500±30克，这袋食品最少为( )克，最多为( )克。 【预测命题05】温度和温差。 1．某日杭州最高气温是零上10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零下11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下6℃，而为了保证运动员的正常发挥，又要求冰上1.5米温度控制在10℃。“零下6℃”记作( )，“10℃”记作( )，这两个温度相差( )℃。 【预测命题06】正负数和实际应用。 1．一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小刚家，又继续向东走了1.5千米，到达小李家，然后又向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 2．小李上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌（与前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的1.5‰的手续费和3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 【预测命题07】分数的认识和意义。 1．0.7里面有7个( )分之一，用分数表示是( )；0.07里面有7个( )分之一，用分数表示为( )。 2．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位后就是1。 【预测命题08】单位“1”。 1．钢琴的白键占琴键总数的，是把( )看作单位“1”，平均分成了( )份，白键占其中的( )份。 2．一根绳子，王明剪去了，李东剪去了米，两人剪的( )。 A．李东剪的多 B．王明剪的多 C．两人剪的一样多 【预测命题09】分数与除法。 1．一盒粽子有18个，平均分给3个同学。每个粽子是这盒粽子的，每个同学分到的粽子是这盒粽子的。 2．一根木料长5.6米，现在将它锯成同样长的小段，七次锯完，每小段占这根木料的( )，每小段长( )米。 【预测命题10】真分数·假分数·带分数。 1．将下列假分数化成带分数后直接写到括号内。 ＝( )       ＝( )      ＝( ) 2．在分数中（m是非0自然数），当m( )时，是真分数；当m( )时，是假分数；当m( )时，实际上是整数。 【预测命题11】分数的基本性质。 1．( )÷18＝＝( )（填带分数）。 2．的分母增加10，要使分数的大小不变，分子应该增加( )。 【预测命题12】约分和通分。 1．把下面分数约成最简分数。 ＝        ＝        ＝        ＝        ＝ 2．把下面每组中的两个数通分。 和     和     和     和 【预测命题13】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 1．30和42的最大公因数是( )，12和20的最小公倍数是( )。 2．如果a＝3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．如果a＋1＝b（a，b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 4．A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【预测命题14】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 1．一个长方形的长是20厘米，宽是12厘米，把这个长方形分成同样大小的正方形，而且没有剩余。这样的正方形边长最大是多少厘米？可以分成多少个？ 2．早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答） 1路公交车 5时40分 5时48分 2路公交车 5时40分 3．小美到爷爷办的养牛场去玩。小美问：“爷爷，这里有多少头牛呢？”爷爷回答说：“这里的牛，3头3头地数，多2头；12头12头地数，多11头；15头15头地数，多14头。而且这群牛的数量在150－200之间。”这群牛有多少头？ 【预测命题15】分数加减法的实际应用。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中种西红柿，种茄子，其余的种黄瓜。种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的，第二天比第一天少看了这本书的，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【预测命题16】牛奶兑水问题。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了杯。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【预测命题17】根据方位图描述位置方向和行进路线。 1．图书馆在学校西偏南35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35°方向上。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从A点出发，先向( )走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点B。 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南45°，距离淘气家300米。试着在图中画出超市的位置。 【预测命题18】长方体和正方体的认识与特征。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【预测命题19】长方体和正方体的表面展开图。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 【预测命题20】长方体和正方体的棱长和实际应用。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 【预测命题21】长方体和正方体的表面积实际应用。 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是9米，宽是6米，高是3.5米，门窗的面积是16.5平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这向教室需要多少涂料费？ 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 【预测命题22】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 1．一个正方体木箱的棱长总和是24米，它的体积是多少立方米？ 2．一辆汽车的油箱，从里面量长8分米，宽4分米，高2.5分米，如果这辆汽车每千米的耗油量是0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【预测命题23】棱长扩倍问题。 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 2．一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【预测命题24】染色问题。 1．把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 2．如图是由7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色（底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 【预测命题25】根据展开图求表面积和体积。 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 2．有一张长方体表面展开图（如图）。    （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 【预测命题26】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 1．一块长4米的长方体木料，把它锯成2米长的两段，表面积增加了8平方分米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 2．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 3．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？ 4．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【预测命题27】面积·体积·容积单位的选择和换算。 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为200( )，占地面积大约占地60( )。 爸爸一次献血200( )，汽车油箱容积48( )。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 【预测命题28】图形折叠问题。 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【预测命题29】等积变形问题。 1．把一个棱长为9分米的正方体铁块，熔铸成一个长18分米，高60厘米的长方体，这个长方体的宽是多少分米？ 2．一个棱长为4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 3．有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？ 【预测命题30】排水法求不规则物体的体积。 1．爸爸在一个底面长、宽分别是5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米。这个假山石的体积是多少？ 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升高多少分米？ 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【预测命题31】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 2．有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      【预测命题32】折线统计图与行程问题。 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第24分钟时，( )大伯走在( )大伯前面( )米处。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶40千米。 (3)4路车与7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 【预测命题33】统计图综合应用。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( )月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电( )千瓦时。 2．小小统计员：下面是五年级兴趣小组的人数情况统计表。（每人只能选一个兴趣小组） （1）根据统计表内的数据将统计图补充完整。 （2）在这四个兴趣小组中，人数最多的是( )组。 （3）( )组男生人数最多，( )组女生人数最少。 （4）参加篮球组的男生比参加科技组的女生多( )人，参加手工组的男生和女生一共有( )人。 【预测命题34】平均数问题。 1．学校举行广播体操比赛，7位评委给一个班级的打分如下：5分、8分、7.5分、8.5分、9分、10分、7分。去掉一个最高分和一个最低分，这个班的平均分是多少分？ 2．笑笑在一分钟投篮比赛中，2次投的平均个数是25个，要使3次投的平均个数是26个，第3次应投多少个？ 3．2020至2021学年度第二学期淘气参加了4次数学考试，4次数学考试的平均分是93分。已知他第一次的成绩是89分，第二次和第三次的成绩都是94分，淘气第四次数学考试的成绩是多少分？ 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 1．一个长方体长16分米，高7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积增加160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，缸中水深1.8分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是多少？ 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 2．用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【重点攻克03】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 1．把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 2．A和B都是自然数，分解质因数A＝2×5×C；B＝3×5×C。如果A和B的最小公倍数是60，那么C＝( )。A和B的最大公因数是( )。 【重点攻克04】最小公倍数的实际应用。 1．一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 2．有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱还差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少？ 【重点攻克05】约分的实际应用。 1．的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？ 2．一个分数的分子与分母的和是50，如果把分子和分母都减去5，所得的数约分后是。原来的分数是多少？ 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（     ）（请写出计算过程） 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 （请展示你的思维过程） 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。            【难点挑战02】带分数拆分法。 1．计算。 。 2．计算。 【难点挑战03】分组法。 1．计算。 2．计算。 ＋…… 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 1．如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【难点挑战05】溢水问题。 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 2．一个长25厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了20毫升。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【难点挑战06】注水运动问题。 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（     ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【难点挑战07】最小公倍数的复杂应用。 1．早上下了一场大雪后，豆豆和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一地点同向行走，豆豆每步长约54厘米，爸爸每步长约72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，这条小路长约多少米？ 2．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 5 【第一章】综合预测篇 5 【预测命题01】分数加减法基础计算。 5 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 6 【预测命题03】解方程。 9 【预测命题04】正负数基本题型。 11 【预测命题05】温度和温差。 12 【预测命题06】正负数和实际应用。 14 【预测命题07】分数的认识和意义。 16 【预测命题08】单位“1”。 17 【预测命题09】分数与除法。 17 【预测命题10】真分数·假分数·带分数。 18 【预测命题11】分数的基本性质。 19 【预测命题12】约分和通分。 20 【预测命题13】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 21 【预测命题14】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 22 【预测命题15】分数加减法的实际应用。 24 【预测命题16】牛奶兑水问题。 25 【预测命题17】根据方位图描述位置方向和行进路线。 27 【预测命题18】长方体和正方体的认识与特征。 29 【预测命题19】长方体和正方体的表面展开图。 31 【预测命题20】长方体和正方体的棱长和实际应用。 32 【预测命题21】长方体和正方体的表面积实际应用。 32 【预测命题22】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 33 【预测命题23】棱长扩倍问题。 34 【预测命题24】染色问题。 35 【预测命题25】根据展开图求表面积和体积。 36 【预测命题26】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 38 【预测命题27】面积·体积·容积单位的选择和换算。 40 【预测命题28】图形折叠问题。 41 【预测命题29】等积变形问题。 43 【预测命题30】排水法求不规则物体的体积。 44 【预测命题31】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 46 【预测命题32】折线统计图与行程问题。 48 【预测命题33】统计图综合应用。 50 【预测命题34】平均数问题。 53 【第二章】重点攻克篇 56 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 56 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 57 【重点攻克03】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 59 【重点攻克04】最小公倍数的实际应用。 60 【重点攻克05】约分的实际应用。 61 【第三章】难点挑战篇 63 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 63 【难点挑战02】带分数拆分法。 66 【难点挑战03】分组法。 67 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 68 【难点挑战05】溢水问题。 70 【难点挑战06】注水运动问题。 71 【难点挑战07】最小公倍数的复杂应用。 74 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】分数加减法基础计算。 1．直接写出结果。                                                                         【答案】；；；1 ；；； 【详解】略 2．直接写出结果。 ＋＝        －＝         1＋＝          1.3－＝ ＋＝       2－＝         1－－＝        ＋＋＝ 【答案】；；；0.9 ；；； 【详解】略 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                   【答案】；0；； ；；12.5 【分析】“”根据同级运算法则，带符号交换和的位置，再计算； “”先计算括号内的加法，再计算括号外的减法； “”根据同级运算法则，先带符号交换和的位置，再根据减法的性质计算； “”从左至右，依次计算； “”将除法写成分数形式，再根据减法的性质计算； “”将分数写成小数形式，再根据乘法分配律计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                                                               【答案】；；； 4；；2 【分析】（1）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （2）利用减法的性质和加法交换律，把算式变为，按照运算顺序从左到右依次计算； （3）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （4）根据分数与除法的关系，把算式变为，再利用减法的性质进行简便计算； （5）利用减法的性质，括号打开，里面的加号变减号，交换和的位置，利用加法交换律进行简便计算； （6）两个小括号打开，运算符号不变，再利用加法交换律和加法结合律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 【预测命题03】解方程。 1．解方程。               【答案】；； 【分析】第一题利用等式的性质1，等式两边同时减去； 第二题先计算，再利用等式的性质2，等式两边同时除以0.25； 第三题先利用等式的性质1，等式两边分别同时减去2和3。 【详解】 解： 解： 解： 2．解方程。         3.5x－2.3x＝24        2x＋4×1.5＝10.6 【答案】；x＝20；x＝2.3 【分析】，根据等式的性质1，两边同时－即可； 3.5x－2.3x＝24，先将左边合并成1.2x，根据等式的性质2，两边同时÷1.2即可； 2x＋4×1.5＝10.6，根据等式的性质1和2，两边同时－4×1.5的积，再同时÷2即可。 【详解】 解： 3.5x－2.3x＝24 解：1.2x＝24 1.2x÷1.2＝24÷1.2 x＝20 2x＋4×1.5＝10.6 解：2x＋6－6＝10.6－6 2x＝4.6 2x÷2＝4.6÷2 x＝2.3 【预测命题04】正负数基本题型。 1．数轴上的点A用小数表示是( )；点B用小数表示是( )。 【答案】 ﹣0.1 0.14/﹢0.14 【分析】观察数轴可知，0.1平均分成5份，每个小格表示0.02，点A在0的左边是负数，点B在0的右侧是正数，据此根据单位长度的大小表示出点A和点B即可。 【详解】数轴上的点A用小数表示是﹣0.1；点B用小数表示是0.14。 【点睛】关键是确定单位长度，在数轴上的数从左到右依次变大。 2．在﹣6，3.2，，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有( )，负数有( )，自然数有( )。 【答案】 3.2、、﹢4、2 ﹣6、﹣3.5、﹣0.136 0、2 【分析】根据正数是指比0大的数，负数是指比0小的数，0既不是正数也不是负数；自然数就是像0、1、2……这样的数，0和正整数统称为自然数；整数就是像﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3……等这样的数，负整数、0、正整数统称为整数；据此解答。 【详解】由分析可得：在﹣6，3.2，，﹣3.5，0，﹢4，2，﹣0.136中，正数有3.2、、﹢4、2，负数有﹣6、﹣3.5、﹣0.136，自然数有0、2。 3．在，，，和这四个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 0.8 【分析】正数大于负数，再把百分数和分数化成小数，再按小数比较大小的方法进行比较即可。 【详解】75.2％＝0.752 【点睛】本题考查小数、分数、百分数的互化、负数，解答本题的关键是掌握小数、分数、百分数的互化的方法。 4．如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学得了85分，记作﹢2，那么得90分和80分，应分别记作( )和( )。 【答案】 ﹢7 ﹣3 【分析】 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选83分为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负，直接得出结论即可。 【详解】 90－83＝7（分） 83－80＝3（分） 平均成绩为83分，某同学考了85分，记作﹢2， 得分90分和80分应分别记作﹢7和﹣3。 5．某食品包装袋上标注净含量为500±30克，这袋食品最少为( )克，最多为( )克。 【答案】 470 530 【分析】根据正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负，一袋食品包装袋上印着500±30克合格的字样，分别求出最重和最轻的克数。 【详解】500＋30＝530（克） 500－30＝470（克） 这袋食品最少为470克，最多为530克。 【预测命题05】温度和温差。 1．某日杭州最高气温是零上10摄氏度，记作( )；哈尔滨最高气温是零下11摄氏度，记作( )；北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示( )。这一天三个城市的最高气温最大相差( )摄氏度。 【答案】 10℃ ﹣11℃ 零下3摄氏度/零下3℃ 21 【分析】在用正、负数表示两种具有相反意义的量时，要先规定哪种量为正（或负）。如果一种量用正数表示，那么另一种与它相反的量就用负数表示。以0摄氏度为标准，零上温度记为正，则零下温度就记为负，据此解答。 解决有关正、负数的计算问题时，可以用画图法，以0为分界点，分成两段来计算。这三个温度中，最高温度是零上10摄氏度（10摄氏度），最低温度是零下11摄氏度（﹣11摄氏度），求这一天三个城市的最高气温最大相差多少摄氏度，即求10摄氏度比﹣11摄氏度高多少摄氏度。如下图 【详解】某日杭州最高气温是零上10摄氏度，记作10℃； 哈尔滨最高气温是零下11摄氏度，记作﹣11℃； 北京最高气温记作：﹣3摄氏度，这个温度表示零下3摄氏度。 10＋11＝21（摄氏度） 所以，这一天三个城市的最高气温最大相差21摄氏度。 2．冰壶比赛中要将冰面温度恒定在零下6℃，而为了保证运动员的正常发挥，又要求冰上1.5米温度控制在10℃。“零下6℃”记作( )，“10℃”记作( )，这两个温度相差( )℃。 【答案】 ﹣6℃ 10℃/﹢10℃ 16 【分析】以0℃为标准，高于0℃记为正，低于0℃记为负，写正数时，正号可以省略不写；将比0℃低的温度和比0℃高的温度相加，就是这两个温度的差，据此分析。 【详解】6＋10＝16（℃） “零下6℃”记作﹣6℃，“10℃”记作10℃，这两个温度相差16℃。 【点睛】关键是理解正负数的意义，正负数可以表示相反意义的量。 【预测命题06】正负数和实际应用。 1．一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小刚家，又继续向东走了1.5千米，到达小李家，然后又向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。 （1）若以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在数轴上表示出小明家，小李家，小刚家的位置。 （2）小明家距离小刚家有多远？ （3）这辆货车共走了多少千米？ 【答案】（1） （2）8千米； （3）19千米 【分析】（1）根据题意，可得以超市为原点O，小刚家的位置可以表示为＋3千米，小李家的位置可以表示为﹢3＋1.5＝﹢4.5（千米），小明家的位置可以表示为﹢4.5－9.5＝﹣5（千米），据此解答即可； （2）用小明家的位置表示的数减去小刚家的位置表示的数，求出小明家距离小刚家有多远即可； （3）根据加法的意义，用3加上1.5，再加上9.5，最后再加上5，求出这辆货车共走了多少千米即可。 【详解】（1）根据分析，可得 （2）（千米） 答：小明家距离小刚家有8千米。 （3）＋5 ＝4.5＋9.5＋5 ＝19（千米） 答：这辆货车共走了19千米。 【点睛】此题主要考查了负数的意义，以及正、负数的运算方法的应用，掌握正负数的意义是解题关键。 2．小李上周末买进股票1000股，每股20元，下表为本周每日股票的涨跌（与前一日比较）情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） ﹢4 ﹢5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 （1）本周三收盘时，小李所持股票每股多少元？ （2）本周内股票最高价出现在星期几？是多少元？ （3）已知小李买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额的1.5‰的手续费和3‰的交易税，若小李在本周星期五收盘时卖出全部股票，他收益如何？ 【答案】（1）28元； （2）星期二；29元； （3）亏了1115.5元 【分析】（1）由图可以算出每天每股的价格； （2）比较五天涨跌可知，星期一和星期二都是涨，则该股票最高价出现在星期二，进而求出每股的价格； （3）收益＝卖股票收入－买股票支出－卖股票手续费和交易税－买股票手续费，代入求值即可。 【详解】（1）20＋4＋5－1 ＝29－1 ＝28（元） 答：到本周三，小张所持股票每股28元。 （2）20＋4＋5 ＝24＋5 ＝29（元） 答：本周内，股票最高价出现在星期二，是29元。 （3）29－1－3－6 ＝28－3－6 ＝25－6 ＝19（元） 1000×19＝19000（元） 1000×20＝20000（元） 19000－20000－20000×1.5‰－19000×（1.5‰＋3‰） ＝﹣1000－30－85.5 ＝﹣1115.5（元） 答：小张亏了1115.5元。 【点睛】此题主查考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用，解答此题应注意把书本的正负数灵活运用到实际生活中。 【预测命题07】分数的认识和意义。 1．0.7里面有7个( )分之一，用分数表示是( )；0.07里面有7个( )分之一，用分数表示为( )。 【答案】 十 百 【分析】0.7中7在十分位上，表示7个十分之一；0.07中7在百分位上，表示7个百分之一；把小数化为分数时，先把小数写成分数，原来有几位小数就在l后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分的要约分；据此解答。 【详解】由分析可得：0.7里面有7个十分之一，用分数表示是；0.07里面有7个百分之一，用分数表示为。 2．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位后就是1。 【答案】 4 【分析】分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位，将1化成分母是7的假分数，求出两个分子的差，就是需要添上的分数单位的个数。 【详解】1＝、7－3＝4（个） 的分数单位是，再添上4个这样的分数单位后就是1。 【预测命题08】单位“1”。 1．钢琴的白键占琴键总数的，是把( )看作单位“1”，平均分成了( )份，白键占其中的( )份。 【答案】 琴键总数 22 13 【分析】单位“1”的确定，一般是把分率“的”前面的量看作单位“1”，或者是把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 【详解】钢琴的白键占琴键总数的，是把看作单位“1”，平均分成了22份，白键占其中的13份。 2．一根绳子，王明剪去了，李东剪去了米，两人剪的( )。 A．李东剪的多 B．王明剪的多 C．两人剪的一样多 【答案】B 【分析】把这根绳子的长度看作单位“1”，用单位“1”减去王明剪去的，从而计算出剩下的部分，剩下的部分就是李东最多能剪的部分，依此比较即可。 【详解】1－＝ 则李东最多能剪去这根绳子的，且＞，所以王明剪的多。 故答案为：B 【预测命题09】分数与除法。 1．一盒粽子有18个，平均分给3个同学。每个粽子是这盒粽子的，每个同学分到的粽子是这盒粽子的。 【答案】； 【分析】求每个粽子是这盒粽子的几分之几，就是求1是18的几分之几，用1除以18即可； 把18个粽子平均分给3个同学，先把这盒粽子看作单位“1”，平均分成3份，用1除以3，即是每个同学分到的粽子是这盒粽子的几分之几。 【详解】1÷18＝ 1÷3＝ 每个粽子是这盒粽子的，每个同学分到的粽子是这盒粽子的。 2．一根木料长5.6米，现在将它锯成同样长的小段，七次锯完，每小段占这根木料的( )，每小段长( )米。 【答案】 0.7 【分析】根据题意可知，锯木头锯一次可以把一根木头锯成2段，锯两次可以锯成（段），可以得出锯的段数比锯的次数多1，那么锯七次可以锯成（段），再根据分数的意义和小数的平均分意义解答即可。 【详解】根据题意可得锯七次，可以把这根木头锯成（段），由分数的意义可知，每小段占这根木料的； （米） 每小段占这根木料的（），每小段长（0.7）米。 【点睛】根据题意，锯木头的段数比锯的次数多1，再根据题意进一步解答即可。 【预测命题10】真分数·假分数·带分数。 1．将下列假分数化成带分数后直接写到括号内。 ＝( )       ＝( )      ＝( ) 【答案】 【分析】把假分数化成带分数，用分子除以分母，得到的商作带分数的整数部分，余数作分子，分母不变，据此解答。 【详解】＝15÷7＝ ＝17÷8＝ ＝35÷6＝ 2．在分数中（m是非0自然数），当m( )时，是真分数；当m( )时，是假分数；当m( )时，实际上是整数。 【答案】 小于9 大于或等于9 是9的倍数 【分析】分子比分母小的分数叫作真分数；分子大于或等于分母的分数叫作假分数；当假分数的分子是分母的倍数时，分数可化为整数。 【详解】在分数中，当m小于9时，是真分数；当m大于或等于9时，是假分数；当m是9的倍数时，实际上是整数。 【预测命题11】分数的基本性质。 1．( )÷18＝＝( )（填带分数）。 【答案】30；12；20； 【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数的大小不变； 分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母； 假分数化带分数：分子除以分母，求出商和余数。商是带分数的整数部分，余数是带分数分数部分的分子，分母不变。据此解题。 【详解】 ＝30÷18 5÷3＝1……2 所以，30÷18＝＝＝＝。 2．的分母增加10，要使分数的大小不变，分子应该增加( )。 【答案】4 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；的分母增加10，也就是分母乘3，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分子也要乘3，2×3＝6，相当于分子增加（6－2）。 【详解】5＋10＝15 15÷5＝3 2×3－2 ＝6－2 ＝4 的分母增加10，要使分数的大小不变，分子应该增加4。 【预测命题12】约分和通分。 1．把下面分数约成最简分数。 ＝        ＝        ＝        ＝        ＝ 【答案】；；；； 【分析】根据分数的基本性质进行约分，通常分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果是分子和分母只有公因数1的最简分数。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 2．把下面每组中的两个数通分。 和    和    和    和 【答案】，；，；，；， 【分析】通分的方法：先求出这两个分数的分母的最小公倍数，把它作为这两个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数。据此解答即可。 【详解】，； ，； ，； ，。 【预测命题13】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 1．30和42的最大公因数是( )，12和20的最小公倍数是( )。 【答案】 6 60 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】（1）30＝2×3×5 42＝2×3×7 30和42的最大公因数是2×3＝6。 （2）12＝2×2×3 20＝2×2×5 12和20的最小公倍数是2×2×3×5＝60。 2．如果a＝3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】根据题意，a＝3b，即a÷b＝3，说明a和b是倍数关系，且a＞b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】如果a＝3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 3．如果a＋1＝b（a，b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】当两个数为互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积，据此解答。 【详解】如果a＋1＝b（a，b均为非0自然数），那么a和b是相邻的自然数，两个相邻的自然数是互质数，所以a和b的最大公因数是1，a和b的最小公倍数是ab。 【点睛】本题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数，明确a和b是互质数是解答题目的关键。 4．A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 42 630 【分析】两个数最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积；两个数的最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，据此解答。 【详解】A＝2×3×5×7 B＝2×3×3×7 A和B的最大公因数是2×3×7＝42。 A和B的最小公倍数是2×3×7×3×5＝630。 A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是42，A和B的最小公倍数630。 【预测命题14】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 1．一个长方形的长是20厘米，宽是12厘米，把这个长方形分成同样大小的正方形，而且没有剩余。这样的正方形边长最大是多少厘米？可以分成多少个？ 【答案】4厘米；15个 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 求出长方形长和宽的最大公因数是分成的最大正方形的边长，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，长方形面积÷正方形面积＝分成的个数，据此列式解答。 【详解】20＝2×2×5 12＝2×2×3 2×2＝4（厘米） 20×12÷（4×4） ＝240÷16 ＝15（个） 答：这样的正方形边长最大是4厘米，可以分成15个。 2．早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答） 1路公交车 5时40分 5时48分 2路公交车 5时40分 【答案】5时56分；6时4分；6时12分 5时52分；6时4分；6时16分；6时28分 6时4分 【分析】1路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上8分钟； 2路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上12分钟； 据此把表格补充完整。 已知1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，求第二次两车同时发车时刻，就是求8和12的最小公倍数，再用第一次两路车同时发车时刻加上最小公倍数，即可求解。 【详解】1路公交车： 5时48分＋8分＝5时56分 5时56分＋8分＝6时4分 6时4分＋8分＝6时12分 2路公交车： 5时40分＋12分＝5时52分 5时52分＋12分＝6时4分 6时4分＋12分＝6时16分 6时16分＋12分＝6时28分 填表如下： 1路公交车 5时40分 5时48分 5时56分 6时4分 6时12分 2路公交车 5时40分 5时52分 6时4分 6时16分 6时28分 8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数：2×2×2×3＝24 即每隔24分两路车就同时发车。 5时40＋24分＝6时4分 答：这两路车6时4分第二次同时发车。 3．小美到爷爷办的养牛场去玩。小美问：“爷爷，这里有多少头牛呢？”爷爷回答说：“这里的牛，3头3头地数，多2头；12头12头地数，多11头；15头15头地数，多14头。而且这群牛的数量在150－200之间。”这群牛有多少头？ 【答案】179头 【分析】3头3头地数，多2头，即少1头；12头12头地数，多11头，即少1头；15头15头地数，多14头，即少1头，也就是先找到3、12和15在150~200之间的公倍数，再用公倍数减1就是这群牛的头数。 【详解】 3、12和15的最小公倍数：3×4×5＝60（头）， 60×3＝180（头） 180－1＝179（头） 答：这群牛有179头。 【预测命题15】分数加减法的实际应用。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中种西红柿，种茄子，其余的种黄瓜。种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 【答案】 【分析】把整个大棚的面积看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去种西红柿、茄子的面积占大棚面积的分率，即是种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几。 【详解】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：种黄瓜的面积占整个大棚面积的。 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的，第二天比第一天少看了这本书的，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【答案】 【分析】把书的总页数看作单位“1”，根据分数减法的意义，用－即可求出第二天看了这本书的几分之几，再加上第一天看的分率，即可求出两天一共看了这本故事书的几分之几。 【详解】－＋ ＝＋ ＝ 答：两天一共看了这本故事书的。 【预测命题16】牛奶兑水问题。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了杯。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 【答案】见详解；纯牛奶杯；水杯 【分析】把这杯纯牛奶看作单位“1”，第1次喝了杯，即把单位“1”平均分成2份，喝了其中的1份；兑满水，又喝了杯，此时喝的杯里，一半是纯牛奶，一半是水；借助图形可知，杯的一半是杯，喝的纯牛奶是（＋）杯，喝的水是杯。 【详解】 表示杯的一半是杯； 纯牛奶： ＋ ＝＋ ＝（杯） 水：杯。 答：他一共喝了杯纯牛奶，杯水。 【点睛】借助画图理解“的一半是多少”，掌握异分母分数加减法的计算方法是解题的关键。 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【答案】杯；杯 【分析】喝了半杯纯芒果汁，即杯，兑满水后，杯子中有一半纯果汁一半水，再喝半杯，又喝了杯纯芒果汁和杯水，将两次喝的纯芒果汁加起来即可。 【详解】＋＝＋＝（杯） 答：这时小丽一共喝了杯芒果汁，杯水。 【点睛】异分母分数相加减，先通分再计算。 【预测命题17】根据方位图描述位置方向和行进路线。 1．图书馆在学校西偏南35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35°方向上。 【答案】 东 北 【分析】根据位置的相对性可知，描述两个物体之间的相对位置时，方向相反，角度相等，据此解答。 【详解】通过分析可知，图书馆在学校西偏南35°方向上，则学校在图书馆东偏北35°方向上。 【点睛】本题考查了学生对位置相对性的掌握情况，可以画图帮助理解。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从A点出发，先向( )走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点B。 【答案】 东 3 北偏东 60 12 【分析】根据地图“上北下南，左西右东”的规定，他们是从A点出发，先向东走3km；然后以这个地点为观察点，90°－30°＝60°，即向北偏东60°方法走12km到达活动地点B，如下图所示。 【详解】通过分析可知，他们是从A点出发，先向东走3km，再向北偏东60°方向走12km到达活动地点B。 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南45°，距离淘气家300米。试着在图中画出超市的位置。 【答案】（1）北；西30；200； （2）见详解； （3）北；东60；400； （4）见详解 【分析】（1）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，奇思家距离书店有200米，以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定奇思家的位置即可。 （2）同样根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，奇思从家出发，经过书店，到达学校，每到一个地方，观测点随之发生变化，根据方向、角度、距离确定书店和学校的位置，再描述出上学的路线即可。 （3）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，经过测量，妙想家离书店在图上有2厘米，由此计算出妙想家和书店的实际距离，再以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定妙想家的位置即可。 （4）观察平面图，图上的1厘米表示实际距离100米，超市距离淘气家300米，用300米除以100米，求出这两地在图上的距离是3厘米，按地图上的方向“上北下南，左西右东”，再以淘气家为观测点，根据方向、角度、距离确定超市的位置，并在图中画出超市的位置。 【详解】（1）奇思家的位置是在北偏西30°，距离书店200米。 （2）答：奇思从家向南偏东30°的方向走200米到书店，再从书店向正东方向走280米到学校。 （3）2×200＝400（米） 妙想家的位置是北偏东60°，距离书店400米。 （4）300÷100＝3（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查根据方向、角度和距离确定位置以及描述线路图，确定观测点是关键。 【预测命题18】长方体和正方体的认识与特征。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 （2）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 （3）长方体长方体有8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体特征： （1）6个面都是正方形，且面积相等； （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有8个顶点，6个面，12条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 8 5 2 60 【分析】观察图形可知，长方体的长是8cm，宽是（9－2－2）cm，高是2cm，再根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】长是8cm 宽：9－2－2 ＝7－2 ＝5（cm） 高是2cm 棱长总和： （8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是8cm，宽是5cm，高是2cm，棱长总和是60cm。 【预测命题19】长方体和正方体的表面展开图。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有3的面与标有5的面相对，标有6的面与标有1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 【答案】 谐 社 和 【分析】2－2－2型正方体展开图，假如“和”在上面，则“建”在后面，“构”在左面，“谐”在右面，“社”在前面，“会”在上面，正方体上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，据此填空。 【详解】根据分析，“构”字对面是谐字，“建”字对面是社字，“会”字对面是和字。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，具有一定的空间想象能力。 【预测命题20】长方体和正方体的棱长和实际应用。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要122厘米的彩带。 2．一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 【答案】4分米 【分析】长方体棱长总和就是铁丝的长度，用（长＋宽＋高）×4计算出铁丝长度，再根据正方体的棱长＝铁丝的长度÷12，作答即可。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 48÷12＝4（分米） 答：这个正方体的棱长是4分米。 【预测命题21】长方体和正方体的表面积实际应用。 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是9米，宽是6米，高是3.5米，门窗的面积是16.5平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这向教室需要多少涂料费？ 【答案】855元 【分析】从题意可知，教室地面是不用粉刷的，需要粉刷的面是前后左右面和上面共5个面。因此粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗的面积，所以需要的涂料费＝粉刷的面积×每平方米需要的涂料费，据此作答即可。 【详解】9×6＋9×3.5×2＋6×3.5×2－16.5 ＝54＋63＋42－16.5 ＝142.5（平方米） 142.5×6＝855（元） 答：粉刷这向教室需要855元涂料费。 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 【答案】126.96平方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可，最后根据1平方分米＝100平方厘米，把结果转化为以“平方分米”为单位。 【详解】46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 12696平方厘米＝126.96平方分米 答：他们至少需要126.96平方分米的红纸。 【预测命题22】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 1．一个正方体木箱的棱长总和是24米，它的体积是多少立方米？ 【答案】8立方米 【分析】根据题意可知，棱长=总棱长÷12，即可得棱长，然后根据正方体体积计算公式：V＝，据此可解。 【详解】24÷12＝2（米） V＝＝＝8（立方米） 答：它的体积是8立方米。 2．一辆汽车的油箱，从里面量长8分米，宽4分米，高2.5分米，如果这辆汽车每千米的耗油量是0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【答案】1000千米 【分析】根据题意，汽车的油箱为长方体，长方体容积＝长×宽×高，求出油箱的容积，可以得油的总量。油的总量÷每千米耗油量＝可行驶的距离，据此代入数据计算即可。 【详解】8×4×2.5 ＝32×2.5 ＝80（立方分米） ＝80（升） 80÷0.08＝1000（千米） 答：一箱油最多可以供这辆汽车行驶1000千米。 【预测命题23】棱长扩倍问题。 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 9 27 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，以及积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。由此解答。 【详解】由分析可知：长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，棱长总和扩大到原来的3倍；表面积扩大到原来的3×3＝9倍；体积扩大到原来的3×3×3＝27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和、表面积和体积的计算方法以及积的变化规律，明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。 2．一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【答案】 9 1728立方厘米/1728cm3 【分析】正方体的棱长是4cm，则棱长扩大为原来的3倍后，棱长为（3×4）cm，分别求出扩大前后的表面积和体积，用扩大后的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数。 【详解】3×4＝12（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 864÷96＝9 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（cm3） 【点睛】灵活运用正方体表面积和体积公式是解决此题的关键。 【预测命题24】染色问题。 1．把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】384 【分析】把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体，每条棱上可以锯出10个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可以确定锯出的小正方体的个数，只有一面涂色的小正方体都在原来大正方体每个面的中间，求出原来大正方体每个面中间小正方体的个数，乘6即可。 【详解】如图 10－2＝8（个） 8×8×6＝384（个） 只有一面涂色的小正方体有384个。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，明确锯出的小正方体的个数，理解只有一面涂色的小正方体都在原来大正方体每个面的中间。 2．如图是由7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色（底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 0 3 【分析】如下图所示： 1号正方体涂色的有4面，2号正方体涂色的有4面，3号正方体涂色的有4面，4号正方体涂色的有3面，5号正方体涂色的有3面，6号正方体涂色的有5面，7号正方体涂色的有3面，依此填空。 【详解】根据分析可知，一面涂色的小正方体有0个，三面涂色的小正方体有3个。 【点睛】解答此题的关键是要先分析出每个正方体涂色的面数。 【预测命题25】根据展开图求表面积和体积。 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 【答案】①图见详解 ②580平方厘米；800立方厘米 【分析】①长方体相对的面完全一样，据此涂色即可。 ②从图中可知，这个长方体的长是21－5＝16厘米，宽是10厘米，高是5厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，容积和体积的求法一样，代入数据分别求出表面积和容积即可。 【详解】①如下图所示： ②长：21－5＝16（厘米） 表面积： （16×10＋16×5＋10×5）×2 ＝（160＋80＋50）×2 ＝290×2 ＝580（平方厘米） 体积： 16×10×5 ＝160×5 ＝800（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是580平方厘米，容积是800立方厘米。 2．有一张长方体表面展开图（如图）。    （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米； （2）24立方厘米 【分析】（1）由图可知，长方体的长为（8－2×2）厘米，长方体的宽为3厘米，长方体的高为2厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出这个长方体的表面积； （2）已知长方体的长、宽、高，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。 【详解】（1）8－2×2 ＝8－4 ＝4（厘米） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是52平方厘米。 （2）4×3×2＝24（立方厘米） 答：折成长方体后它的体积是24立方厘米。 【点睛】根据长方体的展开图确定长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积和体积的计算公式是解答题目的关键。 【预测命题26】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 1．一块长4米的长方体木料，把它锯成2米长的两段，表面积增加了8平方分米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 【答案】160立方分米 【分析】根据题意可知，把这个长方体木料横截成两段，表面积比原来增加两个截面的面积，用增加的表面积÷2，求出长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】4米＝40分米 （8÷2）×40 ＝4×40 ＝160（立方分米） 答：原来这块木料的体积是160立方分米。 2．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 【答案】96平方厘米；48平方厘米 【分析】长方体切成两个大小相等的长方体，表面积增加了2个长方形的面。平行于最大的两个面去切，增加的表面积最多，平行于最小的两个面去切，增加的表面积最少，据此分析。 【详解】8×6×2＝96（平方厘米） 6×4×2＝48（平方厘米） 答：表面积最多增加96平方厘米，最少增加48平方厘米。 3．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？ 【答案】600立方厘米 【分析】由题意可知，原长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为10－4＝6（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。 【详解】10－4＝6（厘米） 10×10×6＝600（立方厘米） 答：这个长方体的体积是600立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积公式求解。 4．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）144平方分米 （2）360立方分米 【分析】（1）观察图形可知，太阳能电池板的上面是6个长12分米、宽2分米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘6即可。 （2）先根据长方体的体积公式V＝abh，求出一个小长方体的体积，再乘6，即是这个太阳能电池板的体积。 【详解】（1）12×2×6 ＝24×6 ＝144（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是144平方分米。 （2）12×2×2.5 ＝24×2.5 ＝60（立方分米） 60×6＝360（立方分米） 答：这个太阳能电池板的体积是360立方分米。 【预测命题27】面积·体积·容积单位的选择和换算。 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为200( )，占地面积大约占地60( )。 爸爸一次献血200( )，汽车油箱容积48( )。 【答案】 立方米/m3 平方米/m2 毫升/mL 升/L 【分析】1平方米是边长为1米的正方形面积大小，教室占地面积比较大，用平方米作单位比较合适；1立方米是棱长为1米的正方体所占空间的大小，教室所占空间比较大，用立方米作单位比较合适；手指尖的体积大约是1立方厘米，1毫升液体的体积就是1立方厘米，献血量会少一些，用毫升作单位比较合适；粉笔盒的体积接近1立方分米，1升液体的体积是1立方分米，汽车油箱容积比较大，用升作单位比较合适，根据实际情况并结合题中的数字选择合适的单位即可。 【详解】我们的教室所占空间约为200立方米，占地面积大约占地60平方米； 爸爸一次献血200毫升，汽车油箱容积48升。 【点睛】本题考查单位选择，解答本题的关键是了解面积、体积、容积单位的概念。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 360 800 0.8/ 5 0.65/ 650 【分析】根据进率：1m2＝100dm2，1mL＝1cm3，1L＝1000mL，1m3＝1方，1dm3＝1L，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）3.6×100＝360（dm2） 3.6m2＝360dm2 （2）800÷1000＝0.8（L） 800mL＝800cm3＝0.8L （3）5m3＝5方 （4）0.65×1000＝650（mL） 0.65dm3＝0.65L＝650mL 【预测命题28】图形折叠问题。 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【答案】775平方厘米；1875立方厘米 【分析】从图中可知，在长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后向上折，焊接成一个无盖长方体盒子。 这个长方体盒子用铁皮的面积＝长方形铁皮的面积－4个边长为5厘米的小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 这个长方体盒子的长是（35－5－5）厘米，宽是（25－5－5）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积（容积）公式＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出盒子的容积。 【详解】铁皮的面积： 35×25－5×5×4 ＝875－100 ＝775（平方厘米） 盒子的长：35－5－5＝25（厘米） 盒子的宽：25－5－5＝15（厘米） 盒子的容积： 25×15×5 ＝375×5 ＝1875（立方厘米） 答：这个盒子用了775平方厘米铁皮，它的容积是1875立方厘米。 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【答案】表面积是500平方厘米，容积是1000立方厘米 【分析】制作长方体容器，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，长、宽都会减少两个小正方形边长，高就是小正方形边长，求出长、宽、高代入公式即可求容积。长方形铁皮除去切掉的四个正方形，剩余部分都用于制作长方体，所以长方体表面积＝长方形剩余部分面积，即长方体表面积＝长方形面积－四个小正方形面积。 【详解】30－5－5 ＝25－5 ＝20（厘米） 20－5－5 ＝15－5 ＝10（厘米） 20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 30×20－5×5×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） 答：表面积是500平方厘米，容积是1000立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的容积，明确长方体的长、宽和高是解题的关键。 【预测命题29】等积变形问题。 1．把一个棱长为9分米的正方体铁块，熔铸成一个长18分米，高60厘米的长方体，这个长方体的宽是多少分米？ 【答案】6.75分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体熔铸成长方体体积不变，即可求出熔铸成长方体的体积，再根据长方体的宽＝体积÷长÷高，即可求出这个长方体的宽是多少分米。 【详解】正方体的体积：9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方分米） 60厘米＝6分米 长方体的宽：729÷18÷6 ＝40.5÷6 ＝6.75（分米） 答：这个长方体的宽是6.75分米。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体体积公式的灵活运用。 2．一个棱长为4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 【答案】2分米 【分析】此题主要考查长方体、正方体的容积（体积）公式的灵活运用。 先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体鱼缸的容积，然后用这个体积除以长方体鱼缸的底面积就是水深的高度；据此解答。 【详解】4×4×4÷（8×4） ＝64÷32 ＝2（分米） 答：水深是2分米。 3．有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？ 【答案】18厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷最小底面面积即可。 【详解】 ＝3600÷200 ＝18（cm） 答：水深是18厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【预测命题30】排水法求不规则物体的体积。 1．爸爸在一个底面长、宽分别是5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米。这个假山石的体积是多少？ 【答案】6立方分米 【分析】根据题意，在一个长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米，那么水上升部分的体积等于这个假山石的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，即可求出这个假山石的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】3厘米＝0.3分米 5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：这个假山石的体积是6立方分米。 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升高多少分米？ 【答案】（1）222平方分米 （2）1.6分米 【分析】（1）求制作这个无盖的长方体鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 （2）把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，那么鱼缸里的水会上升，水上升部分的体积等于这块花岗石的体积；先根据正方体的体积公式V＝a3，求出花岗石的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出水面上升的高度。 【详解】（1）8×5＋8×7×2＋5×7×2 ＝40＋112＋70 ＝222（平方分米） 答：制作这个鱼缸一共需要222平方分米的玻璃。 （2）4×4×4＝64（立方分米） 64÷（8×5） ＝64÷40 ＝1.6（分米） 答：鱼缸里的水面升高1.6分米。 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】3.6立方分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，由此求出正方体容器的体积以及水的体积。将正方体的体积减去水的体积，再将差加上溢出水的体积，即可求出石头的体积。 【详解】1.8升＝1.8立方分米 3×3×3－3×3×2.8＋1.8 ＝27－25.2＋1.8 ＝3.6（立方分米） 答：这块石头的体积是3.6立方分米。 【预测命题31】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 【答案】体积变小；容积变大；表面积变大 【分析】根据题意，在正方体木块的上面正中间挖去一个小正方体，那么体积减少了1个小正方体的体积，所以体积比原来的体积小。 原来正方体没有容积，因为挖去了一个小正方体，容积增加了这个小正方体的容积。 挖去一个小正方体，减少了小正方体的1个面，同时又露出了小正方体的5个面，所以表面积比原来的表面积多了小正方体的4个面。 【详解】体积比原来小了：2×2×2＝8（立方厘米） 容积比原来大了：2×2×2＝8（立方厘米） 表面积比原来大了：2×2×4＝16（平方厘米） 答：它的体积变小了，容积变大了，表面积变大了。 2．有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      【答案】体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米 【分析】通过观察图形可知，这个组合图形的体积等于2个长方体一个正方体的体积和，由于2个长方体和一个正方体粘合在一起，所以求表面积时，左面的长方体只求它的上下、前后4个的面的面积，右面的正方体只求4个面的面积，中间的长方体求出表面积，然后合并起来即可。 【详解】10×10×20＋10×10×30＋10×10×10 ＝2000＋3000＋1000 ＝5000＋1000 ＝6000（立方厘米） 10×20×2＋10×10×2＋（10×10＋10×30＋10×30）×2＋10×10×4 ＝400＋200＋（100＋300＋300）×2＋400 ＝600＋700×2＋400 ＝600＋1400＋400 ＝2000＋400 ＝2400（平方厘米） 答：这个物体的体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【预测命题32】折线统计图与行程问题。 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第24分钟时，( )大伯走在( )大伯前面( )米处。 【答案】 王 4 赵 赵 6 王 赵 400 【分析】通过观察可知，王大伯先到达终点，（32－28）分钟后赵大伯才到达；赵大伯中途在距离起点1000米处休息，休息了（16－10）分钟；第24分钟时，王大伯在赵大伯的前面，两人相距（2000－1600）米。 【详解】32－28＝4（分钟） 16－10＝6（分钟） 2000－1600＝400（米） 从图上可知：王大伯到达终点后，4分钟赵大伯才到达；赵大伯中途休息了6分钟；第24分钟时，王大伯走在赵大伯前面400米处。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶40千米。 (3)4路车与7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 【答案】(1) 9：00 10：00 (2)3 (3)10：00 (4) 25 【分析】（1）观察折线统计图，实线表示4路车运行的情况，9：00至10：00折线起伏明显，表示速度较快； （2）4路车从6：00出发，找到行驶40千米对应的时间是9：00，9：00减去6：00即可计算出经过的时间； （3）实线表示4路车运行的情况，虚线表示7路车运行的情况，两条线相交的位置表示两车正好相遇，第二次相遇的位置对应的时间正好是10：00； （4）7路车行驶的路程是100千米，时间是3小时，4路车行驶的路程是100千米，时间是4小时，利用路程÷时间＝速度，代入数据分别计算即可。 （1） 4路车在9：00～10：00速度较快。 （2） 9：00－6：00＝3（小时） 所以4路车在开始3小时内共行驶40千米。 （3） 4路车与7路车在10：00第二次相遇。 （4） 10：00－7：00＝3（小时），10：00－6：00＝4（小时）， 100÷3＝（千米/时） 100÷4＝25（千米/时） 【点睛】此题主要考查复式折线统计图的特点和作用，从统计图中提取信息，完成作答。 【预测命题33】统计图综合应用。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( )月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电( )千瓦时。 【答案】（1）见详解； （2）一；四；四；六； （3）三； （4）82.5；75 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）从折线统计图上即可看出，虚线代表李老师家的用电情况，从一月到四月，李老师家的用电量一直呈上升的趋势，从四月到六月，李老师家的用电量呈下降的趋势。 （3）观察折线统计图，实线代表王老师的用电情况，虚线代表李老师家的用电情况，当两条折线交叉重合的时候，即对应着王老师家和李老师家用电量一样多的月份。 （4）把王老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以6，即可求出王老师家平均每月的用电量；把李老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以6，即可求出李老师家平均每月的用电量。 【详解】（1）如图： （2）李老师家从一月到四月用电量呈上升趋势，从四月到六月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家三月份用电量一样多。 （4）（60＋75＋90＋80＋100＋90）÷6 ＝495÷6 ＝82.5（千瓦时） （50＋60＋90＋100＋80＋70）÷6 ＝450÷6 ＝75（千瓦时） 即王老师家平均每月用电82.5千瓦时，李老师家平均每月用电75千瓦时。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．小小统计员：下面是五年级兴趣小组的人数情况统计表。（每人只能选一个兴趣小组） （1）根据统计表内的数据将统计图补充完整。 （2）在这四个兴趣小组中，人数最多的是( )组。 （3）( )组男生人数最多，( )组女生人数最少。 （4）参加篮球组的男生比参加科技组的女生多( )人，参加手工组的男生和女生一共有( )人。 【答案】（1）见详解； （2）合唱； （3）篮球；篮球； （4）10；40 【分析】（1）根据条形统计图的绘制方法，结合统计表中的数据完成统计图； （2）分别计算出各组的总人数，再比较大小即可； （3）观察统计图中的直条即可作答； （4）参加篮球组的男生人数减去参加科技组的女生人数；参加手工组的男生人数加上女生人数即可。 【详解】（1）统计图如下： （2）18＋22＝30（人） 22＋20＝42（人） 30＋12＝42（人） 26＋32＝58（人） 30＜42＜58 在这四个兴趣小组中，人数最多的是合唱组。 （3）篮球组男生人数最多，篮球组女生人数最少。 （4）30－20＝10（人） 18＋22＝40（人） 参加篮球组的男生比参加科技组的女生多10人，参加手工组的男生和女生一共有40人。 【点睛】本题考查了条形统计图的填补知识点，根据统计表提供的数据完成条形统计图的填补，运用统计图提供的信息解决问题。 【预测命题34】平均数问题。 1．学校举行广播体操比赛，7位评委给一个班级的打分如下：5分、8分、7.5分、8.5分、9分、10分、7分。去掉一个最高分和一个最低分，这个班的平均分是多少分？ 【答案】8分 【分析】根据平均数问题的基本数量关系：总数量÷份数＝平均数，先找出最高分10分和最低分5分，然后求出剩下的7－2＝5人的总分，再除以人数5，就可以得出所求的平均分。 【详解】（8＋7.5＋8.5＋9＋7）÷（7－2） ＝（15.5＋8.5＋9＋7）÷5 ＝（24＋9＋7）÷5 ＝（33＋7）÷5 ＝40÷5 ＝8（分） 答：这个班的平均分是8分。 【点睛】本题主要考查平均数的概念，熟记平均数计算公式是解题的关键。 2．笑笑在一分钟投篮比赛中，2次投的平均个数是25个，要使3次投的平均个数是26个，第3次应投多少个？ 【答案】28个 【分析】用前两次的平均数乘2，可算出前两次投篮的总个数，再用3次的平均数乘3，可得3次投篮的总个数，用3次投篮的总个数减去前两次投篮的总个数即可算出第3次投篮的个数。 【详解】26×3－25×2 ＝78－50 ＝28（个） 答：第3次应投28个。 【点睛】此题解题的关键是灵活利用平均数的意义求出3次投篮的和与2次投篮的和，同时一定要注意运算的正确性。 3．2020至2021学年度第二学期淘气参加了4次数学考试，4次数学考试的平均分是93分。已知他第一次的成绩是89分，第二次和第三次的成绩都是94分，淘气第四次数学考试的成绩是多少分？ 【答案】95分 【分析】根据题意，首先用4次考试的平均分乘4求出总分，然后根据减法的意义，用4次考试的总分减去前3次考试的成绩就是第4次考试的成绩。 【详解】93×4－（89＋94＋94） ＝93×4－（183＋94） ＝93×4－277 ＝372－277 ＝95（分） 答：淘气第四次数学考试的成绩是95分。 【点睛】此题考查的目的是理解平均数的意义，掌握求平均数的方法及应用。 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 1．一个长方体长16分米，高7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积增加160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】560立方分米 【分析】增加的面积就是2个长方体的底面积，增加的面积÷2＝长方体的底面积，长方体的底面积÷长方体的长＝长方体的宽，长方体的长×宽×高＝长方体的体积。据此解答。 【详解】160÷2÷16 =80÷16 ＝5（分米） 16×7×5 =112×5 ＝560（立方分米） 答：原来长方体的体积是560立方分米。 2．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 【答案】（1）66平方分米 （2）5分米 【分析】（1）由题意，这个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，装的水深2.5分米；要求得水与容器的接触面积是多少平方分米，就是求下底面、前后面、左右面的面积之和（其中，前后面、左右面的高为实际水深2.5分米）；列式为：8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2； （2）以右侧面为底面，把这个长方体竖起来放在桌子上，此时底面的长为4分米、宽为2分米，要求得此时水深是多少分米，根据长方体体积公式，V长方体＝长×宽×高，可得高＝体积÷（长×宽），列式为：8×2×2.5÷（4×2）。 【详解】（1）8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2 ＝16＋（20＋5）×2 ＝16＋25×2 ＝16＋50 ＝66（平方分米） 答：水与容器的接触面积是66平方分米。 （2）8×2×2.5÷（4×2） ＝40÷8 ＝5（分米） 答：这时水深是5分米。 【点睛】综合考查了有关长方体表面积的计算、体积公式的灵活应用，需要明确每一道小题中，长方体的长、宽、高所对应的具体数值。 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，缸中水深1.8分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是多少？ 【答案】13.2立方分米 【分析】求这块石头的体积，就是求水面升高（4－1.8）分米部分的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】3×2×（4－1.8） ＝6×2.2 ＝13.2（立方分米） 答：这块石头的体积是13.2立方分米。 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 【答案】； 【分析】图1挖掉的是一个宽和高为2厘米 、长为6厘米 的长方体，用原来大正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。可以先计算三条孔道的体积，因为三条孔道相交的地方是一个正方体，且这个正方体总共被计算了3次，实际只计算1次就可以，因此三条孔道的实际总体积为三条孔道的体积减去2个正方体的体积 ；然后用原来正方体的体积减去三条孔道的实际总体积即可。 【详解】 ＝216－24 ＝192（cm3） ＝72－16 ＝56（cm3） ＝216－56 ＝160（cm3） 答：图1剩余部分的体积是。图2剩余部分的体积是。 【点睛】本题考查长方体、正方体的体积，解答本题的关键是求出三条孔道的实际总体积。 2．用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】46平方厘米 【分析】（1）不管叠多高，上下两面的表面积都是3×3＝9个面； （2）再看前后左右四个面，都是2×3＋1＝7个面。 【详解】1×1×（9×2＋7×4） ＝1×（18＋28） ＝46（平方厘米） 答：该图形的表面积是46平方厘米。 【点睛】此题也可通过数图形解答。我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1平方厘米，则表面积就是46平方厘米。 【重点攻克03】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 1．把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【分析】X和Y公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，目前公有质因数只有3，6÷3＝2，那么n是2，才能保证这两个数的最大公因数是6； 公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数，据此列式求出X和Y的最小公倍数。 【详解】6÷3＝2 2×3×5×2＝60 所以，n＝2，X和Y的最小公倍数是60。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解题的关键。 2．A和B都是自然数，分解质因数A＝2×5×C；B＝3×5×C。如果A和B的最小公倍数是60，那么C＝( )。A和B的最大公因数是( )。 【答案】 2 10 【分析】（1）根据最小公倍数的意义，最小公倍数就是A和B公倍数中最小的一个，即最小公倍数是A和B都含有的质因数的乘积，再乘上A和B独自含有的质因数，所得的积就是它们的最小公倍数。所以A和B的最小公倍数是2×3×5×c＝60，据此求出C； （2）根据最大公因数的意义，最大公因数就是A和B公因数中最大的一个，即最大公因数是A和B都含有的质因数的乘积，所得的积就是它们的最大公因数；所以A和B的最大公因数是：5×C，因为C已求出，问题得解。 【详解】（1）由A＝2×5×C；B＝3×5×C，可知A和B都含有的质因数是5和C，A独自含有的质因数是2，B独自含有的质因数是3， 所以A和B的最小公倍数是：2×3×5×c＝60，C＝60÷（2×3×5）＝2； （2）由A＝2×5×C；B＝3×5×C，可知A和B都含有的质因数是5和C， 所以A和B的最大公因数是：5×C，C＝2所以：5×C＝5×2＝10； 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的意义。注意最大公因数是两个数都含有的因数的乘积，最小公倍数是两个数都含有的质因数的乘积，再乘上独自含有的质因数。 【重点攻克04】最小公倍数的实际应用。 1．一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 【答案】179颗 【分析】4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗，说明围棋棋子数量比4、6、5的公倍数少1，求出4、6、5的最小公倍数，再找到150至200之间的公倍数，减去1即可。 【详解】4、6和5的最小公倍数是60。 200÷60＝3……20 60×3－1 ＝180－1 ＝179（颗） 【点睛】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 2．有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱还差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少 【答案】670个 【分析】如果每32个一箱，最后一箱只有30个，如果每24个、28个装一箱，最后一箱还差2个，只要把总数加2，就同时被24、28、32三个数整除，因此求出24、28、32在1000内的公倍数，然后减去2，即可求解。 【详解】24＝2×2×2×3，28＝2×2×7，32＝2×2×2×2×2，所以24、28、32的最小公倍数是2×2×2×3×7×2×2＝672，672－2＝670（个），在1000以内符合条件。 答：这批水果共有670个。 【点睛】余数相同，灵活运用最小公倍数的求解方法，然后减去余数，即可得解。 【重点攻克05】约分的实际应用。 1．的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？ 【答案】2 【分析】的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后是，根据分数的性质，把的分子分母同时扩大相同的倍数，且分子分母的值不超过23和30，则有下面几种：、、 、 、，可以发现原来的分数分子分母同时减去2符合题意。 【详解】根据分数的基本性质： ====== 可以发现23-2=21；30-28=2 答：同时减去的这个数是2。 【点睛】解答本题的关键是利用分数的基本性质找出所有数，然后进行观察比较才能得出答案。 2．一个分数的分子与分母的和是50，如果把分子和分母都减去5，所得的数约分后是。原来的分数是多少？ 【答案】 【分析】列举约分后得到的分数：、可以发现的分子和分母都加上5后，和是50。 【详解】由分析知：的分子、分母各加上5是： 32＋5＝37 8＋5＝13 37＋13＝50 符合题意，所以这个分数是。 答：这个分数是。 【点晴】抓住约分后是这个已知条件，用列举法找出约分后是的分数，再把分子、分母分别加上5后，新的分子分母之和是50，符合这个条件的分数就找出来了。 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（     ）（请写出计算过程） 【答案】； ； ； （计算过程见详解） 【分析】（1）异分母分数相减，先通分，然后分母不变，把分子相减。1－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝。 （2）通过观察计算结果找出规律。－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝；……（≥1）。 （3）根据规律可知：＝，前后两个相邻的分数因为运算符号相反，所以相加得0。 【详解】 ＝ 计算过程如下： ＝ ＝1－ ＝ 【点睛】一个分数，如果分子是1，分母是两个相邻自然数的积，那么这个分数就可以拆分成两个分子是1，分母是两个相邻自然数的分数相减的形式。 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 （请展示你的思维过程） 【答案】 【分析】、、……据此将所有加数拆成1－几分之一的形式，再根据交换结合律，将所有的1加起来，剩余的减数，根据减法的性质，将所有的减数先加起来，再拆成相减的形式，中间全部抵消，进而简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 【答案】 【分析】根据分数的裂项可知＝＋；＝＋；＝＋；……＝＋；＝＋，利用此规律把原式转换，然后利用减法的性质和加法结合律即可简便运算。 【详解】－＋－＋－＋……＋－ ＝＋－（＋）＋＋－（＋）＋……＋＋－（＋） ＝＋－－＋＋－－＋……＋＋－－ ＝－ ＝ 2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。            【答案】；（发现见详解） 【分析】（1）小题，因为；；即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。所以，可利用拆项的方法计算； （2）小题，；；即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1，这样一来，使计算简便。 【详解】由分析得： 我的发现： （1）即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。 （2）即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1。 【点睛】这两道题，一个是可以拆成分数之差；一个可以拆成分数之和。正是利用这种特殊的结构来达到简算的目的。 【难点挑战02】带分数拆分法。 1．计算。 。 【答案】 【分析】将带分数拆成整数＋分数，利用加法交换结合律写成，4个整数看成10＋100＋1000＋10000，最后减4，将4个分数的和化成带分数，再与整数和相加即可。 【详解】 2．计算。 【答案】 【分析】将带分数拆成整数加真分数，利用乘法结合律和交换律，将整数与整数相加，分数与分数相加，最后将它们的和相加。分数的和为，可以将这些分数放在看作单位“1”的正方形中，如图：，空白部分占正方形的，则其他部分占正方形的，即。 【详解】 【难点挑战03】分组法。 1．计算。 【答案】885 【分析】观察算式可知：分母相同的分数，其分子从1到比分母小1个数，凡是分母是奇数的，如＝1，＝2，都是整数，且等于，以此类推；分母是偶数的，如＝0.5，＝1.5，＝2.5以此类推，＝29.5，此时，从0.5到29.5一共有59个数，并且我们用第一个数加上最后一个数，用它们的和去乘个数59，再除以2，就是这个算式的最终结果。 【详解】 ＝0.5＋1＋1.5＋2＋2.5＋……29.5 ＝（0.5＋29.5）×59÷2 ＝30×59÷2 ＝1770÷2 ＝885 【点睛】本题关键是能够找出分母相同且为奇数的数相加的和的规律；及分母相同且为偶数的分数相加的规律。其次也要懂得仿照用高斯求和公式，用第一个数加上最后一个数，再用这个和乘这些数的个数，最后用积除以2，就是答案了。 2．计算。 ＋…… 【答案】390 【分析】每个括号中按同分母分数加法计算，然后化成小数，利用凑项求和。 【详解】＋…… ＝0.5＋1＋1.5＋2＋…＋19.5 ＝（0.5＋1＋1.5＋2＋…＋19.5＋0.5＋1＋1.5＋…＋19.5）÷2 ＝[（0.5＋19.5）＋（1＋19）＋…＋（19.5＋0.5）]÷2 ＝（0.5＋19.5）×39÷2 ＝390 【点睛】本题考查了分数的简便计算，观察规律，再计算。 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 1．如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，长增加3厘米，即增加部分的长方体长是3厘米，体积是6立方厘米，6÷3＝2平方厘米，即宽乘高是2平方厘米；宽增加4厘米，即增加部分的长方体宽是4厘米，体积是32立方厘米，32÷4＝8平方厘米，即长乘高是8平方厘米；高增加5厘米，即增加部分的长方体高是5厘米，体积是20立方厘米，20÷5＝4平方厘米，即长乘宽是4平方厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求解即可。 【详解】6÷3＝2（平方厘米） 32÷4＝8（平方厘米） 20÷5＝4（平方厘米） （2＋8＋4）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是28平方厘米。 2．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】158平方分米 【分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米） 如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔ 如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）； 然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。 【详解】由分析可知： 宽×高：60÷4＝15（平方分米） 长×高：72÷3＝24（平方分米） 长×宽：80÷2＝40（平方分米） （15＋24＋40）×2 ＝（39＋40）×2 ＝79×2 ＝158（平方分米） 答：原来长方体的表面积是158平方分米。 【难点挑战05】溢水问题。 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 【答案】144立方米 【分析】铁块的长×宽×玻璃容器的高＝一个铁块让容器溢出的水的体积，一个铁块让容器溢出的水的体积×2＝容器溢出的水的体积。 【详解】4×3×6×2 ＝12×6×2 ＝72×2 ＝144（立方米） 答：容器溢出的水的体积是144立方米。 2．一个长25厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了20毫升。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【答案】520立方厘米 【分析】根据题意可知，这个物体的体积＝长方体容器的容积－原来水的体积＋溢出的水的体积；长方体容器的容积－原来水的体积＝长×宽×（容器的高－水原来的高度），再加上溢出的水的体积就可得到这个铁球的体积。 【详解】25×10×（8－6） ＝250×2 ＝500（立方厘米） 20毫升＝20立方厘米 500＋20＝520（立方厘米） 答：这个铁球的体积是520立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。 【难点挑战06】注水运动问题。 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（     ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 【答案】（1）B； （2）30厘米； （3）200平方厘米 【分析】（1）由图可知，横轴表示时间，纵轴表示水面高度，9：03关闭水龙头停止注水，9：03对应点B的位置； （2）从上午9：00开始到9：03关闭水龙头经过3分钟，根据每分钟的水流量计算出3分钟的水流量，水面高度＝3分钟的水流量÷玻璃水缸的底面积； （3）铁块的体积等于放入铁块后上升部分水的体积，则铁块的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，最后利用“底面积＝长方体的体积÷高”求出长方体铁块的底面积。 【详解】（1）图中点B的位置表示停止注水。 （2）从上午9：00到9：03经过了3分钟。 3×8×1000 ＝24×1000 ＝24000（立方厘米） 24000÷（50×16） ＝24000÷800 ＝30（厘米） 答：9：03时玻璃缸水面高度为30厘米。 （3）上升部分水的体积：50×16×（32－30） ＝50×16×2 ＝800×2 ＝1600（立方厘米） 铁块的底面积：1600÷8＝200（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是200平方厘米。 【点睛】分析折线统计图提取需要的解题信息，并掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后，右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方法。 【难点挑战07】最小公倍数的复杂应用。 1．早上下了一场大雪后，豆豆和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一地点同向行走，豆豆每步长约54厘米，爸爸每步长约72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，这条小路长约多少米？ 【答案】21.6米 【分析】从“两人各走完一圈后又都回到出发点”可知，环形小路的长度是54和72的公倍数。先用短除法求出54和72的最小公倍数是216，那么在216厘米里，豆豆的脚印有216÷54＝4个，爸爸的脚印有216÷72＝3个，每间隔216厘米就有一对脚印重合，即在每一个216厘米里有4＋3－1＝6个脚印。因为是环形小路，首尾相接，两端重合在一起，所以重合的脚印个数和间隔数相等。这条环形小路留下了60个脚印，60里有多少个6，即有多少个216厘米，即小路的长。据此解答。 【详解】 2×3×3×3×4＝216 54和72的最小公倍数是216，所以从起点开始，每216厘米有一对脚印重合。 在每一个216厘米里的脚印有： 216÷54＋216÷72－1 ＝4＋3－1 ＝6（个） 环形小路的长度： 216×（60÷6） ＝216×10 ＝2160（厘米） 2160厘米＝21.6米 答：这条小路长约21.6米 【点睛】本题主要考查了公倍数的应用，关键是要根据两人步长的最小公倍数来求出两人脚印重合的步数。 2．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？ 【答案】30分钟 【分析】由题意可知，相遇时走的路程差是圆形跑道的整数倍，甲、乙、丙三人两两相遇时的路程差都是300米，根据“路程差÷速度差”计算甲乙、甲丙、乙丙分别经过多少分钟相遇，再求出它们的最小公倍数即可。 【详解】甲乙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－100） ＝300÷20 ＝15（分钟） 甲丙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－70） ＝300÷50 ＝6（分钟） 乙丙第二次相遇时经过的时间：300÷（100－70） ＝300÷30 ＝10（分钟） 2×3×5＝30（分钟） 答：30分钟之后3人又可以相聚。 【点睛】本题主要考查环形路线中的追及问题和最小公倍数的应用，灵活运用追及问题的计算公式是解答题目的关键。 1 / 3 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