期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 33 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 33 目 录 .................................................................... 5 ................................................................ 5 .......................................................................... 5 ................................ 5 .............................................................................6 ....................................................................................................................................................... 7 ...........................................................................................7 ....................................................... 8 ................................................... 8 ................................................... 9 ........................................ 9 ......................................9 .............................................. 10 ............................................................. 11 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...................24 ...............................................24 ........................................................... 25 ...............................................25 ...................................25 ...................................................26 ...................26 ...............................................................28 .......................28 ............................................................... 29 ........................................................................... 30 ....................................................... 30 ...............................................31 ...............................32 ....................................................... 32 5 / 33 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．直接写出结果。 5 1 9 9   2 3 7   1 3 2 8   32.6 1 5   55 11   1 1 5 7   17 3 14 14   5 1 12 6   2．直接写出结果。 7 9 ＋ 5 9＝ 5 8－ 1 4 ＝ 1＋ 57 ＝ 1.3－ 2 5＝ 1 4 ＋ 5 12＝ 2－ 1 5 ＝ 1－ 58－ 1 8＝ 4 5 ＋ 8 15＋ 7 15＝ 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 13 4 7 6 5 6   11 1 3 12 6 4       3 3 32 2 17 5 17 5    6 / 33 1 2 1 6 3 4   1 74 8 15 2 15    1101 0.125 8   2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 1 3 1 2 5 6   1 1 312 4 3 4    5 1 1 6 4 3   75 5 12 12    7 1 3 88 99 44       1 5 5 2 6 7 6 7              1．解方程。 2 7 3 6 x   0.75 0.5 1x x  ( 3) 2 22x    2．解方程。 3 7 4 9 x   3.5x－2.3x＝24 2x＋4×1.5＝10.6 7 / 33 1．对于自然数 A、B规定：A&B＝A×B÷5，若 X&12＝60，则 X的值 是( )。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是 y＝2x－10（y 表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿 43码的鞋，他的脚长是( ) 厘米。乐乐的妈妈的脚长是 23厘米，她需要穿( )码的鞋。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数 y＝5，则输入的 x＝( )。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第 n个图中有( )张菱形纸片； 第( )个图中有 2021张菱形纸片。 1．下面式子中，( )是等式，( )是方程。（在括号里填序号） ①10 5a a ，②7 9 63  ，③ 35 12 43Y Y  ，④ 24 7n  ，⑤ ( 2) 14 420m    。 2．①x＋56 ②45－m＝45 ③24m＝0.12 ④1.2×1.2＝1.44 ⑤x－2.5＜11 ⑥12＞a÷m ⑦xy＝10 ⑧8＋x ⑨6÷2.5＝2.4 ⑩12.5÷2.5 等式有：( )。（填序号） 8 / 33 方程有：( )。（填序号） 1．办公室买进一些 A4纸，如果平均每天用 20张，可以用 28天，实际每天节 约用纸 4张，这些 A4纸实际可用多少天？（用方程解） 2．甲乙两个工程队同时开凿一条长 800米的隧道，他们从两端相向施工，40天 打通，甲队每天开凿 12米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 3．甲乙两村合挖一条长 1390米的水渠，甲村从东往西挖。每天挖 75千米，挖 了 2天，乙村开始从西往东挖，这样又合挖了 8天才完成了任务。乙村平均每天 挖了多少米？（列方程解） 1．甲工程队每天修路 0.54千米，比乙工程队每天修的 3倍少 0.18千米。乙工程 队每天修路多少千米？（请列方程解答） 2．果园里有桃树和苹果树共 182棵，苹果树的棵数是桃树的 2.5倍。两种果树 各有多少棵？（请列方程解答） 9 / 33 1．甲乙两船从相距 226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过 4小时两船 相遇。甲船每小时行 26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 2．甲、乙两车同时从 A城开往 B城。7小时后，甲车超过乙车 42千米，甲车 每小时行 78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 1．四年级同学要去参加为期 5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每 间住 8人，那么有 6人没有房间住；如果每间多住 2人，那么有 6间空出来，四 年级一共有多少人？（列方程解） 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件 需快递员派送。若每个快递员派送 10件，还剩 6件；若每个快递员派送 12件， 还差 6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有 48条。笼子里鸡和兔各有多 少只？（列方程解答） 10 / 33 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有 35个头，从下面数，有 94只脚。鸡 和兔各有多少只？（用方程解） 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条 2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行 程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯 才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第 24分钟时，( ) 大伯走在( )大伯前面( )米处。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 11 / 33 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶 40千米。 (3)4路车与 7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( ) 12 / 33 月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电 ( )千瓦时。 2．下面是某商场平均每月销售衬衫和西装的统计表。 （1）根据统计表完成下面的折线统计图。 某商场平均每月销售衬衫和西装情况统计图 （2）这家商场 6月份平均每天销售多少件西装？ （3）这两个季度衬衫的销售量变化的趋势是什么？ （4）为了保证商场利润最大化，假如你是经理，如何安排进货？ 1．32÷8＝4，( )和( )是( )的因数；( )是 ( )和( )的倍数。 13 / 33 2．一个数的最大因数是 16，这个数的所有因数有( )，这个数的最小倍 数是( )。 1．写出下面各数的倍数。（各写 5个） 7的倍数 13的倍数 2．写出下面各数的因数。 1．把下列各数按要求填在括号里。 50 84 21 60 75 (1)既是 2的倍数，又是 5的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是 3的倍数的数有( )。 2．有一个三位数 37□，如果它是 3的倍数，□里最大能填( )；如果它既 是 2的倍数，又是 5的倍数□里能填( )。 1．从卡片 2 0 5 7中任取三张，按要求组成三位数。 奇数： 偶数： 2的倍数： 3的倍数： 5的倍数： 既是 2的倍数，又是 3的倍数： 同时是 2、5和 3的倍数： 14 / 33 2．从 6的因数中任选 3个数，组成一个既是 2的倍数，又是 3的倍数的最大三 位数，则这个数是( )。 1．三个连续偶数的和是 48，这三个偶数分别是( )、( )和 ( )。 2．三个连续奇数的和是 15，这三个奇数分别是( )、( )、 ( )；三个连续偶数的积是 2688，这三个偶数分别是( )、 ( )、( )。 1．按要求把算式写完整。（要求括号里填不为 0的数） 和是偶数：123＋( ) 和是奇数：53＋( ) 积是奇数：5×( ) 差是偶数：47－( ) 2．如果 m－3的差是偶数，m是( )数，那么 m＋99的和是( ) （填“奇数”或“偶数”）。 3．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树， 男生组每队植 5棵树，女生组每队植 4棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树 为偶数，那么女生组的队伍数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 1．32的因数有( )，其中质数有( )，合数有( )。 2．在 1～10这十个自然数中，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又 是质数的是( )；( )既不是质数，也不是合数。 1．填上合适的质数。 22＝( )＋( ) 91＝( )×( ) 2．在（ ）里填上合适的的质数。 18＝( )＋( )＝( )＋( ) 286＝( )×( )×( ) 15 / 33 1．在 37、48、59、71中，( )是合数，把这个数分解质因数是( )。 2．四个连续自然数的积是 360，这四个数的和是( )。 1．妈妈买了 30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一 根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？ 每次分别放几个？ 2．便民超市新运进 215瓶无菌消毒洗手液，如果每 3瓶装一箱，能正好装完吗？ 如果每 5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 3．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用 56米长的栅栏圈出一块长方形地，供 师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平 方米？ 4．傍晚弟弟开灯，一连开了 8下。请你说说这时灯亮了还是没亮。13下呢？ 16 / 33 1．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字 0，第一位数既是偶 数，又是质数；第二位数既是 5的倍数，又是 5的因数；第三位数既是 2的倍数， 又是 3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合 数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 2．小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为 10以内最大的偶数； 第二位数字为 4的最小倍数；第三位数字为只有因数 1和 3的数；第四位数字为 既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数； 第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为 6的最大因数。你知道这个号 码是多少吗？ 1．0.7里面有 7个( )分之一，用分数表示是( )；0.07里面有 7 个( )分之一，用分数表示为( )。 2． 37 的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位后就是 1。 1．钢琴的白键占琴键总数的 1322，是把( )看作单位“1”，平均分成了 ( )份，白键占其中的( )份。 2．一根绳子，王明剪去了 3 5，李东剪去了 3 5米，两人剪的( )。 A．李东剪的多 B．王明剪的多 C．两人剪的一样多 17 / 33 1．一盒粽子有 18个，平均分给 3个同学。每个粽子是这盒粽子的    ，每 个同学分到的粽子是这盒粽子的    。 2．一根木料长 5.6米，现在将它锯成同样长的小段，七次锯完，每小段占这根 木料的( )，每小段长( )米。 1．将下列假分数化成带分数后直接写到括号内。 15 7 ＝( ) 17 8 ＝( ) 356 ＝( ) 2．在分数 9 m 中（m是非 0自然数），当m( )时，9 m 是真分数；当m( ) 时， 9 m 是假分数；当 m( )时， 9 m 实际上是整数。 1．( )÷18＝ 5 20 30        3         30 ＋（ ） ＝ ＝ （ ） ＝( )（填带分数）。 2． 25 的分母增加 10，要使分数的大小不变，分子应该增加( )。 1．把下面分数约成最简分数。 24 36 ＝ 32 40＝ 35 50＝ 21 42 ＝ 12 16＝ 2．把下面每组中的两个数通分。 3 4 和 7 8 4 5 和 5 9 4 9 和 5 6 3 5和 1 2 1．30和 42的最大公因数是( )，12和 20的最小公倍数是( )。 2．如果 a＝3b（a、b都是不为 0的自然数），那么 a和 b的最大公因数是( )， 最小公倍数是( )。 3．如果 a＋1＝b（a，b均为非 0自然数），那么 a和 b的最大公因数是( )， 18 / 33 a和 b的最小公倍数是( )。 4．A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么 A和 B的最大公因数是( )，A和 B 的最小公倍数是( )。 1．一个长方形的长是 20厘米，宽是 12厘米，把这个长方形分成同样大小的正 方形，而且没有剩余。这样的正方形边长最大是多少厘米？可以分成多少个？ 2．早上 5时 40分 1路公交车和 2路公交车同时发车，1路车每隔 8分发一辆车， 2路车每隔 12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回 答） 1路公交车 5时 40分 5时 48分 2路公交车 5时 40分 3．小美到爷爷办的养牛场去玩。小美问：“爷爷，这里有多少头牛呢？”爷爷回 答说：“这里的牛，3头 3头地数，多 2头；12头 12头地数，多 11头；15头 15 头地数，多 14头。而且这群牛的数量在 150－200之间。”这群牛有多少头？ 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中 1 5 种西红柿， 3 7 种茄子，其余的种黄瓜。种 黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 19 / 33 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的 1 5 ，第二天比第一天少看了这本书 的 1 6 ，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了 12 杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了 1 3杯。 他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝 了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 1．一张正方形纸片的边长 6厘米，用它剪成一个最大的圆，这个圆的周长是 ( )，面积是( )，剪去的面积是( )。 2．小明在一个长 8厘米、宽 6厘米的长方形里画一个最大的半圆，这个半圆的 直径是( )厘米，周长是( )厘米。 1．一个圆的周长是 9.42cm，它的半径是( )cm，若它的半径扩大到原来 的 3倍，则周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 2．下图中大圆与小圆的半径比是 2∶1，则大圆与小圆的周长比是( )； 大圆与小圆的面积比是( )。 20 / 33 3．把一张圆形的纸片剪成两个相等的半圆形，它的周长增加了 8厘米，这张圆 形纸片的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 1．一面外圆内方装饰物（如图）。装饰物直径是 20cm，圆与正方形之间部分的 面积是( )cm2。 2．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处事的朴素道理。 如果下图中外面正方形的面积是 16dm2，则内圆的面积是( )dm2。 1．王阿姨准备用栅栏在靠墙的地方围一个半圆形鸡圈，靠墙的地方为直径不用 栅栏。已知这个半圆的直径是 6米，需要栅栏( )米，这个鸡圈的面积是 ( )。 2．一张半圆形纸片的半径是 4cm，它的周长是( )cm，面积是 ( )cm2，用它剪成一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2。 1．一辆电动车轮胎的外直径约是 50厘米，如果平均每分钟转 200周，通过一座 长 950米的大桥，大约需要几分钟？（得数保留整数） 21 / 33 2．王帅响应“绿色出行”的号召，选择骑自行车上学。自行车轮子的直径是 80厘 米。如果车轮子每分钟转 100圈，他从家里到学校需要骑行 10分钟，王帅家距 离学校多少米？（车身长度忽略不计） 3．杂技演员要表演独轮车走钢丝，车轮的直径是 40厘米，要骑过 43.96米的钢 丝，车轮要转多少圈？ 1．公园中圆形花坛的周长是 31.4米。 （1）这个花坛的占地面积是多少平方米？ （2）如果要在这个花坛的周围铺一条宽为 1米的小路，这条小路的面积是多少 平方米？ 2．一个圆形花坛的直径是 6米，现在要扩建花坛，把它的半径增加 1米。 （1）花坛的面积比原来增加了多少平方米？ （2）花坛的周长比原来增加多少米？ 22 / 33 1．下图是由三个半圆组成的图形，求图形的周长。（单位：厘米） 2．计算下面图形的周长。 1．计算如图阴影部分的面积。 2．求下图阴影部分面积。（单位：厘米） 23 / 33 3．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 4．下图正方形的边长为 2cm，求阴影部分的周长和面积。 24 / 33 1．妈妈的银行卡密码是一个六位数。根据下面信息，银行卡密码是( )。 第一位数：既是偶数，又是质数；第二位数：既是 5的倍数，又是 5的因数； 第三位数：既是 2的倍数，又是 3的倍数；第四位数：既不是质数，也不是合数； 第五位数：既是奇数，又是合数；第六位数：一位数中最大的合数。 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的 2倍， 第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位 数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是 8个数字的公因数。已知前 四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的 2倍小 477，贝贝家的电话 是( )。 1．把自然数 X和 Y分解质因数，分别是 3 5X n   ， 2 3Y n   ，如果 X和 Y 的最大公因数是 6，那么 n＝( )，X和 Y的最小公倍数是( )。 2．A和 B都是自然数，分解质因数 A＝2×5×C；B＝3×5×C。如果 A和 B的最 小公倍数是 60，那么 C＝( )。A和 B的最大公因数是( )。 1．一盒围棋，4颗 4颗数多 3颗，6颗 6颗数多 5颗，5颗 5颗数多 4颗。如果 这盒围棋子的数量在 150至 200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 2．有一批水果，总数在 1000个以内，如果每 24个装一箱，最后一箱还差 2个； 如果每 28个装一箱，最后一箱还差 2个；如果每 32个装一箱，最后一箱只有 30个。这批水果共有多少？ 25 / 33 1． 2330的分子和分母同时减去一个数，约分后得 3 4 ，同时减去的这个数是多少？ 2．一个分数的分子与分母的和是 50，如果把分子和分母都减去 5，所得的数约 分后是 1 4 。原来的分数是多少？ 1．对于整数 a，b，规定 a※b＝a×b－1，又知（3※x）※2＝0，则 x＝( )。 2．已知 2⭕3＝2＋3＋4＝9，5⭕4＝5＋6＋7＋8＝26，若 x⭕3＝15，则 x＝ ( ) 1．甲、乙两人沿着 400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而 行。甲的速度是 290米/分，乙的速度是 250米/分。经过多少分钟甲第二次追上 乙？（提示：可以画图思考） 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过 18 分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过 2分钟两人相遇。已知洋洋每 分钟走 60米，甲、乙两地相距多少米？ 26 / 33 1．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处事的道理。 如图，外面正方形的边长为 10分米，那么正方形内最大圆的半径是( ) 分米，这个圆的面积是( )平方分米。 2．如图，在圆内画了一个最大正方形，圆的面积是 31.4平方厘米。正方形的面 积是( )平方厘米。 1．如图，以三角形的三个顶点为圆心画圆，圆的半径都是 20厘米。图中阴影部 分的面积是多少平方厘米？ 2．有一个边长是 4米的正方形草场，在它的一组对角分别拴了一头牛，拴牛的 绳长是 4米。两头牛共同吃到草的面积是多少平方米？ 27 / 33 3．图中，圆的周长是 12.56厘米，圆的面积正好等于长方形的面积。 （1）你能求出这个长方形的周长吗？ （2）你能求出阴影部分的面积吗？（此小题为选做题，结果不计入等级） 28 / 33 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－ 12 ＝ 1 2 1 2 － 1 3＝     1 3－ 1 4 ＝     1 4 － 1 5 ＝     1 2 ＋ 1 6 ＋ 1 12＋ 1 20 ＝（ ）（请写出计算过程） 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 1 5 11 19 29 41 55 2 6 12 20 30 42 56 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ （请展示你的思维过程） 29 / 33 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 5 7 9 11 13 15 41 43 6 12 20 30 42 56 420 462         2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。   1 1 1 11 2 6 12 110       1 5 11 1092 2 6 12 110     1．计算。 7 7 7 79 +99 +999 +9999 8 8 8 8 。 2．计算。 1 1 1 119 9 7 3 8 2 4 8 16     30 / 33 1．计算。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 59 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 60 60 60 60 60                + 2．计算。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5                          ＋… 1 2 3 40 40 40      … 38 39 40 40     1．对大于 0的自然数 n规定一种运算“G”：①当 n是奇数时，   3 1G n n  ；②当 n是偶数时，  G n 等于 n连续被 2除，直到商是奇数。将 k次“G”运算记作 kG ， 如  1 5 3 5 1 16G     ，    2 15 16 16 2 2 2 2 1G G       ，  3 5 3 1 1 4G     。计算： （1）  1 2021G 的值； （2）  5 19G 的值： （3）  2021 19G 的值。 1 / 86 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 86 目 录 .................................................................... 5 ................................................................ 5 .......................................................................... 5 ................................ 6 .............................................................................9 ..................................................................................................................................................... 11 ........................................................................................ 14 ..................................................... 15 ................................................. 16 ................................................. 17 ...................................... 18 ....................................20 .............................................. 21 ............................................................. 23 ................................................................ 27 .......................................................................28 .............................................................. 29 ............................................................................ 30 ........................................................31 ......................................................... 32 3 / 86 ........................................................................................ 33 ...............................................................................34 ............................................................................. 34 .........35 .......................................................................37 ............................................................................ 38 ..................................................................................... 39 ............................................................................. 40 ..................................................... 40 ................................................................41 ........................................................................ 42 ...................... 43 ...................... 44 ......................................................... 47 .............................................................. 48 ....................................................................................... 49 .....................50 ........................................................52 ................................................................. 53 .......................................................................54 ............................................................. 56 ....................................57 4 / 86 .............................. 57 ...............................................................61 .. 61 ...................62 ...............................................63 ........................................................... 64 ...............................................65 ...................................66 ...................................................67 ...................69 ...............................................................72 .......................72 ............................................................... 75 ........................................................................... 76 ....................................................... 77 ...............................................80 ...............................82 ....................................................... 84 5 / 86 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．直接写出结果。 5 1 9 9   2 3 7   1 3 2 8   32.6 1 5   55 11   1 1 5 7   17 3 14 14   5 1 12 6   【答案】 2 3； 23 7； 1 8；1 64 11； 2 35； 10 7 ； 7 12 【详解】略 2．直接写出结果。 7 9 ＋ 5 9＝ 5 8－ 1 4 ＝ 1＋ 57 ＝ 1.3－ 2 5＝ 1 4 ＋ 5 12＝ 2－ 1 5 ＝ 1－ 58－ 1 8＝ 4 5 ＋ 8 15＋ 7 15＝ 【答案】 4 3； 3 8； 51 7 ；0.9 2 3； 41 5； 1 4 ； 41 5 【详解】略 6 / 86 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 13 4 7 6 5 6   11 1 3 12 6 4       3 3 32 2 17 5 17 5    1 2 1 6 3 4   1 74 8 15 2 15    1101 0.125 8   【答案】 41 5；0； 18 17； 13 12； 13 2；12.5 【分析】“13 4 76 5 6   ”根据同级运算法则，带符号交换 45 和 7 6 的位置，再计算； “ 11 1 3 12 6 4       ”先计算括号内的加法，再计算括号外的减法； “ 3 3 32 2 17 5 17 5    ”根据同级运算法则，先带符号交换 3 5和 32 17的位置，再根据减法的 性质计算； “ 1 2 1 6 3 4   ”从左至右，依次计算； “ 1 74 8 15 2 15    ”将除法写成分数形式，再根据减法的性质计算； “ 1101 0.125 8   ”将分数写成小数形式，再根据乘法分配律计算。 【详解】 13 4 7 6 5 6   ＝ 13 7 4 6 6 5   ＝ 41 5  ＝ 41 5 11 1 3 12 6 4       ＝ 11 11 12 12  ＝0 3 3 32 2 17 5 17 5    ＝ 3 32 3 2 17 17 5 5    7 / 86 ＝ 35 3 2 17 5 5       ＝ 35 1 17  ＝ 18 17 1 2 1 6 3 4   ＝ 5 1 6 4  ＝ 13 12 1 74 8 15 2 15    ＝ 1 7 84 2 15 15   ＝ 1 7 84 2 15 15       ＝ 14 1 2  ＝ 13 2 1101 0.125 8   ＝101 0.125 0.125  ＝  101 1 0.125  ＝100 0.125 ＝12.5 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 1 3 1 2 5 6   1 1 312 4 3 4    5 1 1 6 4 3   75 5 12 12    7 1 3 88 99 44       1 5 5 2 6 7 6 7              【答案】 14 15 ； 210 3 ； 11 12； 4； 1 792 ；2 【分析】（1）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （2）利用减法的性质和加法交换律，把算式变为 1 3 112 ( )4 4 3    ，按照运算顺序 8 / 86 从左到右依次计算； （3）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （4）根据分数与除法的关系，把算式变为 5 75 12 12   ，再利用减法的性质进行简 便计算； （5）利用减法的性质，括号打开，里面的加号变减号，交换 199和 3 44的位置，利 用加法交换律进行简便计算； （6）两个小括号打开，运算符号不变，再利用加法交换律和加法结合律进行简 便计算。 【详解】 1 3 1 2 5 6   ＝ 15 18 5 30 30 30   ＝ 33 30 0 5 3  ＝ 14 15 1 1 312 4 3 4    ＝ 1 3 112 ( ) 4 4 3    ＝ 112 1 3   ＝ 111 3  ＝ 210 3 5 1 1 6 4 3   ＝ 10 3 4 12 12 12   ＝ 7 4 12 12  ＝ 11 12 75 5 12 12    ＝ 5 75 12 12   9 / 86 ＝ 5 75 ( ) 12 12   ＝5 1 ＝4 7 1 3 88 99 44       ＝ 7 1 3 88 99 44   ＝ 7 1 88 8 6 8 99   ＝ 1 1 88 99  ＝ 2 9 792 8 79  ＝ 1 792 1 5 5 2 6 7 6 7              ＝ 1 5 5 2 6 7 6 7    ＝ 1 5 5 2( ) 6 6 7 7    ＝1 1 ＝2 1．解方程。 2 7 3 6 x   0.75 0.5 1x x  ( 3) 2 22x    【答案】 1 2 x  ； 4x  ； 17x  【分析】第一题利用等式的性质 1，等式两边同时减去 23； 第二题先计算0.75 0.5x x- ，再利用等式的性质 2，等式两边同时除以 0.25； 第三题先利用等式的性质 1，等式两边分别同时减去 2和 3。 【详解】 2 7 3 6 x   解： 2 2 7 2 3 3 6 3 x     10 / 86 7 4 66 x = - 1 2 x  0.75 0.5 1x x  解：0.25 1x  0.25 0.25 1 0.25x    4x  ( 3) 2 22x    解： ( 3) 2 2 22 2x + + - = - 3 20x   3 3 20 3x + - = - 17x  2．解方程。 3 7 4 9 x   3.5x－2.3x＝24 2x＋4×1.5＝10.6 【答案】 1 36 x  ；x＝20；x＝2.3 【分析】 3 7 4 9 x   ，根据等式的性质 1，两边同时－ 3 4 即可； 3.5x－2.3x＝24，先将左边合并成 1.2x，根据等式的性质 2，两边同时÷1.2即可； 2x＋4×1.5＝10.6，根据等式的性质 1和 2，两边同时－4×1.5的积，再同时÷2即 可。 【详解】 3 7 4 9 x   解： 3 3 7 3 4 4 9 4 x     28 27 36 36 x   1 36 x  3.5x－2.3x＝24 解：1.2x＝24 1.2x÷1.2＝24÷1.2 x＝20 11 / 86 2x＋4×1.5＝10.6 解：2x＋6－6＝10.6－6 2x＝4.6 2x÷2＝4.6÷2 x＝2.3 1．对于自然数 A、B规定：A&B＝A×B÷5，若 X&12＝60，则 X的值 是( )。 【答案】25 【分析】根据 A&B＝A×B÷5，则 X&12＝60化为 X×12÷5＝60，根据等 式的性质 2，方程两边同时除以 12，再乘 5，即可求出 X的值。 【详解】X×12÷5＝60 解：X×12÷5÷12×5＝60÷12×5 X＝5×5 X＝25 对于自然数 A、B规定：A&B＝A×B÷5，若 X&12＝60，则 X的值是 25。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是 y＝2x－10（y 表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿 43码的鞋，他的脚长是( ) 厘米。乐乐的妈妈的脚长是 23厘米，她需要穿( )码的鞋。 【答案】 26.5 36 【分析】根据题意，爸爸穿 43码的鞋，即 y＝43，将其代入 y＝2x－10中，求 出 x的值即爸爸的脚长；妈妈的脚长是 23厘米，即 x＝23，将其代入 y＝2x－10 中，求出 y值，即妈妈要穿的鞋码。 【详解】由分析可得： 把 y＝43代入 y＝2x－10中，得： y＝2x－10 43＝2x－10 12 / 86 2x－10＝43 2x－10＋10＝43＋10 2x＝53 2x÷2＝53÷2 x＝26.5（厘米） 把 x＝23代入 y＝2x－10中，得： y＝2x－10 ＝2×23－10 ＝46－10 ＝36 综上所述：乐乐的爸爸穿 43码的鞋，他的脚长是 26.5厘米。乐乐的妈妈的脚长 是 23厘米，她需要穿 36码的鞋。 【点睛】本题考查了含有字母的式子的求值，解方程，求值时，要先确定字母等 于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数 y＝5，则输入的 x＝( )。 【答案】10或 9 【分析】观察运算过程，可列出两个方程式，当 x是偶数时，x÷2＝y；当 x不是 偶数时，（x＋1）÷2＝y；若输出的数 y＝5，代入到两个算式中，即可求出输入 的 x的值。 【详解】当 x是偶数时，x÷2＝y 把 y＝5代入，可得 x÷2＝5 13 / 86 解：x＝5×2 x＝10 当 x不是偶数时，（x＋1）÷2＝y 把 y＝5代入，可得（x＋1）÷2＝5 解：x＋1＝5×2 x＋1＝10 x＝10－1 x＝9 【点睛】此题的解题关键是根据题意列出方程，通过解方程求出 x的值。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第 n个图中有( )张菱形纸片； 第( )个图中有 2021张菱形纸片。 【答案】 4n＋1 505 【分析】结合图示可知：第 1个图中有 5张菱形纸片，第 2个图中有 5＋4＝9（张） 菱形纸片；第 3个图中有 5＋4＋4＝13（张）菱形纸片；即：从第 2个图开始， 每个图依次增加 4张菱形纸片，照这样下去，则第 n个图中有 5＋（n－1）×4＝ 4n＋1（张）菱形纸片； 可假设第 x个图中有 2021张菱形纸片，列方程为：4x＋1＝2021，解这个方程即 可。 【详解】由分析得： ①第 1个图中有：5张 第 2个图中有：5＋4＝9（张） 第 3个图中有：5＋4＋4＝13（张） 第 n个图中有： 5＋（n－1）×4 ＝5＋4n－4 14 / 86 ＝4n＋1（张） ②解：设第 x个图中有 2021张菱形纸片。 4x＋1＝2021 4x＝2021－1 4x＝2020 x＝2020÷4 x＝505 即，第 505个图中有 2021张菱形纸片。 【点睛】能够从相邻的图形中，判断图形的变化规律，再通过分析、推理加以验 证；然后利用方程求得最后一问。 1．下面式子中，( )是等式，( )是方程。（在括号里填序号） ①10 5a a ，②7 9 63  ，③ 35 12 43Y Y  ，④ 24 7n  ，⑤ ( 2) 14 420m    。 【答案】 ②③⑤ ③⑤ 【分析】因为等式是含有等号且等号两边都相等的式子，所以可以判断出②③⑤ 是等式； 因为方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数② 等式。所以方程肯定是等式，据此可解答。 【详解】下面式子中，②③⑤是等式，③⑤是方程。 【点睛】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。 2．①x＋56 ②45－m＝45 ③24m＝0.12 ④1.2×1.2＝1.44 ⑤x－2.5＜11 ⑥12＞a÷m ⑦xy＝10 ⑧8＋x ⑨6÷2.5＝2.4 ⑩12.5÷2.5 等式有：( )。（填序号） 方程有：( )。（填序号） 【答案】 ②③④⑦⑨ ②③⑦ 【分析】含有等号的式子是等式。含有未知数的等式是方程。我们可逐项分析： ①没有等号，不是等式，也不是方程；②含有未知数 m的等式，是方程；③含 有未知数 m的等式，是方程；④含有等号，但没有未知数，是等式；⑤含有未 知数 x，但没有等号，不是等式也不是方程；⑥含有未知数 a、m，但没有等号， 15 / 86 不是等式也不是方程；⑦含有未知数 x、y的等式，是方程；⑧含有未知数 x， 但不是等式，也不是方程；⑨有等号但没有未知数，是等式；⑩没有等号，不是 等式也不是方程。据此可得出答案。 【详解】等式有：②③④⑦⑨。 方程有：②③⑦。 1．办公室买进一些 A4纸，如果平均每天用 20张，可以用 28天，实际每天节 约用纸 4张，这些 A4纸实际可用多少天？（用方程解） 【答案】35天 【分析】根据题意可知 A4纸的总张数一定，等量关系：实际平均每天用 A4纸 的张数×实际用的天数＝计划平均每天用 A4纸的张数×计划用的天数，据此列出 方程，并求解。 【详解】解：设这些 A4纸实际可用 x天。 （20－4） x＝20×28 16 x＝560 16 x ÷16＝560÷16 x＝35 答：这些 A4纸实际可用 35天。 2．甲乙两个工程队同时开凿一条长 800米的隧道，他们从两端相向施工，40天 打通，甲队每天开凿 12米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 【答案】8米 【分析】根据“工作效率×工作时间＝工作总量”可得出等量关系：甲队每天开凿 的长度×天数＋乙队每天开凿的长度×天数＝这条隧道的总长，据此列出方程， 并求解。 【详解】解：设乙队每天开凿 x米。 40×12＋40 x＝800 480＋40 x＝800 480＋40 x－480＝800－480 40 x＝320 16 / 86 40 x ÷40＝320÷40 x＝8 答：乙队每天开凿 8米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，根据工作效率、工作时间、工作总量之间的 关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 3．甲乙两村合挖一条长 1390米的水渠，甲村从东往西挖。每天挖 75千米，挖 了 2天，乙村开始从西往东挖，这样又合挖了 8天才完成了任务。乙村平均每天 挖了多少米？（列方程解） 【答案】80米 【分析】根据题意可知，甲每天挖的米数×甲挖的天数＋乙每天挖的米数×乙挖 的天数＝水渠的总长度，设乙村平均每天挖了 x米，列方程为（2＋8）×75＋8x ＝1390，然后解出方程即可。 【详解】解：设乙村平均每天挖了 x米。 （2＋8）×75＋8x＝1390 10×75＋8x＝1390 750＋8x＝1390 750＋8x－750＝1390－750 8x＝640 8x÷8＝640÷8 x＝80 答：乙村平均每天挖了 80米。 【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。 1．甲工程队每天修路 0.54千米，比乙工程队每天修的 3倍少 0.18千米。乙工程 队每天修路多少千米？（请列方程解答） 【答案】0.24千米 【分析】可列方程解决此题。设乙工程队每天修 x千米。根据等量关系“乙工程 队每天修的千米数×3－0.18＝甲工程队每天修的千米数”列出方程，解方程即可 求出乙工程队每天修的千米数。 17 / 86 【详解】解：乙工程队每天修 x千米。 3x－0.18＝0.54 3x－0.18＋0.18＝0.54＋0.18 3x＝0.72 3x÷3＝0.72÷3 x＝0.24 答：乙工程队每天修路 0.24千米。 【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用 x表示，未知数参与列式，把算 术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。 2．果园里有桃树和苹果树共 182棵，苹果树的棵数是桃树的 2.5倍。两种果树 各有多少棵？（请列方程解答） 【答案】桃树：52棵；苹果树：130棵 【分析】根据“苹果树的棵数是桃树的 2.5倍”可知，桃树的棵数是 1倍量（即标 准量）。可设桃树有 x棵，则苹果树有 2.5x棵。根据等量关系“桃树的棵数＋苹 果树的棵数＝182”列出方程，并解方程即可求出桃树的棵数；再用 182棵减去桃 树的棵数可求出苹果树的棵数。 【详解】解：设桃树有 x棵。 x＋2.5x＝182 （1＋2.5）x＝182 3.5x＝182 3.5x÷3.5＝182÷3.5 x＝52 182－52＝130（棵） 答：桃树有 52棵，苹果树有 130棵。 【点睛】用方程法解决含有两个未知数的实际问题时，设其中的 1倍量（标准量） 为 x，另一个未知量用含有 x的式子表示出来。 1．甲乙两船从相距 226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过 4小时两船 相遇。甲船每小时行 26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 18 / 86 【答案】30千米 【分析】由题意可知，设乙船每小时行 x千米，再根据相遇问题中的等量关系： 速度和×相遇时间＝相遇的路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时行 x千米。 （26.5＋x）×4＝226 （26.5＋x）×4÷4＝226÷4 26.5＋x＝56.5 26.5＋x－26.5＝56.5－26.5 x＝30 答：乙船每小时行 30千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确相遇问题中的等量关系是解题的关 键。 2．甲、乙两车同时从 A城开往 B城。7小时后，甲车超过乙车 42千米，甲车 每小时行 78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】72千米 【分析】速度×时间＝路程，将乙车的速度设为未知数，从而表示出乙车的路程。 根据“甲车路程－乙车路程＝42千米”列出方程解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行 x千米。 78×7－7x＝42 （78－x）×7＝42 （78－x）×7÷7＝42÷7 78－x＝6 x＝78－6 x＝72 答：乙车每小时行 72千米。 1．四年级同学要去参加为期 5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每 间住 8人，那么有 6人没有房间住；如果每间多住 2人，那么有 6间空出来，四 年级一共有多少人？（列方程解） 19 / 86 【答案】270人 【分析】先设一共有 x个房间，根据题意可知，两个分配方法不改变的是人数， 所以列式为：8x＋6＝（8＋2）（x－6）。据此解答即可。 【详解】解：先设一共有 x个房间。 8x＋6＝（8＋2）（x－6） 8x＋6＝10（x－6） 8x＋6＝10x－60 66＝2x x＝66÷2 x＝33 8×33＋6 ＝264＋6 ＝270（人） 答：四年级一共有 270人。 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件 需快递员派送。若每个快递员派送 10件，还剩 6件；若每个快递员派送 12件， 还差 6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【答案】快递员：6名；包裹：66件 【分析】可列方程解决盈亏问题。根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的 总件数是一定的。若每个快递员派送 10件，还剩 6件，则包裹的总件数是 10× 快递员的人数＋6；若每个快递员派送 12件，还差 6件，则包裹的总件数是 12× 快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的 人数－6”。设快递员 x名，则可列出方程 10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快 递员的人数；再用 10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员 x名。 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 20 / 86 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹 66件，快递员 6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决盈亏问题。根据包裹的总件数不 变建立等量关系是解答此题的关键。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有 48条。笼子里鸡和兔各有多 少只？（列方程解答） 【答案】鸡和兔各有 8只 【分析】设鸡和兔各有 x只，根据等量关系式：鸡腿的数量＋兔腿的数量＝48， 列方程解答即可。 【详解】解：设鸡和兔各有 x只。 2x+4x=48 6x=48 6x 6=48 6  x=8 答：鸡和兔各有 8只。 【点睛】此题考查了学生分析问题能力和列方程解应用题。 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有 35个头，从下面数，有 94只脚。鸡 和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】鸡：23只；兔子：12只 【分析】假设鸡有 x只，则兔子有（35－x）只，每只鸡有两只脚，每只兔子有 四只脚，根据数量关系：鸡的数量×2＋兔子的数量×4＝94，据此列出方程，解 方程即可求出鸡和兔子的数量。 21 / 86 【详解】解：设鸡有 x只，则兔子有（35－x）只， x×2＋（35－x）×4＝94 2x＋35×4－x×4＝94 2x＋140－4x＝94 140－94＝4x－2x 2x＝46 x＝46÷2 x＝23 35－23＝12（只） 答：鸡有 23只，兔子有 12只。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用方程进行解答， 也可以用假设法进行解答。 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条 2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行 程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯 才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第 24分钟时，( ) 大伯走在( )大伯前面( )米处。 【答案】 王 4 赵 赵 6 王 赵 400 22 / 86 【分析】通过观察可知，王大伯先到达终点，（32－28）分钟后赵大伯才到达； 赵大伯中途在距离起点 1000米处休息，休息了（16－10）分钟；第 24分钟时， 王大伯在赵大伯的前面，两人相距（2000－1600）米。 【详解】32－28＝4（分钟） 16－10＝6（分钟） 2000－1600＝400（米） 从图上可知：王大伯到达终点后，4分钟赵大伯才到达；赵大伯中途休息了 6分 钟；第 24分钟时，王大伯走在赵大伯前面 400米处。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根 据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶 40千米。 (3)4路车与 7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 【答案】(1) 9：00 10：00 (2)3 (3)10：00 (4) 1003 25 【分析】（1）观察折线统计图，实线表示 4路车运行的情况，9：00至 10：00 折线起伏明显，表示速度较快； 23 / 86 （2）4路车从 6：00出发，找到行驶 40千米对应的时间是 9：00，9：00减去 6： 00即可计算出经过的时间； （3）实线表示 4路车运行的情况，虚线表示 7路车运行的情况，两条线相交的 位置表示两车正好相遇，第二次相遇的位置对应的时间正好是 10：00； （4）7路车行驶的路程是 100千米，时间是 3小时，4路车行驶的路程是 100 千米，时间是 4小时，利用路程÷时间＝速度，代入数据分别计算即可。 （1） 4路车在 9：00～10：00速度较快。 （2） 9：00－6：00＝3（小时） 所以 4路车在开始 3小时内共行驶 40千米。 （3） 4路车与 7路车在 10：00第二次相遇。 （4） 10：00－7：00＝3（小时），10：00－6：00＝4（小时）， 100÷3＝1003 （千米/时） 100÷4＝25（千米/时） 【点睛】此题主要考查复式折线统计图的特点和作用，从统计图中提取信息，完 成作答。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 24 / 86 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( ) 月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电 ( )千瓦时。 【答案】（1）见详解； （2）一；四；四；六； （3）三； （4）82.5；75 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长 度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）从折线统计图上即可看出，虚线代表李老师家的用电情况，从一月到四月， 李老师家的用电量一直呈上升的趋势，从四月到六月，李老师家的用电量呈下降 的趋势。 （3）观察折线统计图，实线代表王老师的用电情况，虚线代表李老师家的用电 情况，当两条折线交叉重合的时候，即对应着王老师家和李老师家用电量一样多 的月份。 （4）把王老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以 6，即可求出王老师 家平均每月的用电量；把李老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以 6， 即可求出李老师家平均每月的用电量。 【详解】（1）如图： 25 / 86 （2）李老师家从一月到四月用电量呈上升趋势，从四月到六月用电量呈下降趋 势。 （3）王老师家和李老师家三月份用电量一样多。 （4）（60＋75＋90＋80＋100＋90）÷6 ＝495÷6 ＝82.5（千瓦时） （50＋60＋90＋100＋80＋70）÷6 ＝450÷6 ＝75（千瓦时） 即王老师家平均每月用电 82.5千瓦时，李老师家平均每月用电 75千瓦时。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根 据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．下面是某商场平均每月销售衬衫和西装的统计表。 （1）根据统计表完成下面的折线统计图。 某商场平均每月销售衬衫和西装情况统计图 26 / 86 （2）这家商场 6月份平均每天销售多少件西装？ （3）这两个季度衬衫的销售量变化的趋势是什么？ （4）为了保证商场利润最大化，假如你是经理，如何安排进货？ 【答案】（1）见详解 （2）2件 （3）第二季度衬衫的销售量一直保持上升的趋势，到七月份衬衫的销售量达到 最高值，从折线统计图上可以看出，第四季度衬衫的销售量有所下降。 （4）如果我是经理，我会考虑在 8月份以后少进一些衬衫，多进一些西装，因 为天气转冷，衬衫的销售量会逐渐下降。 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长 度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）这家商场 6月份销售了 60件西装，6月份共有 30天，求这家商场 6月份 平均每天销售多少件西装，根据平均数的意义，用销售的总数量 60件除以天数 30天，即可得解。 （3）实线代表这两个季度衬衫的销售情况，根据复式统计图中的数据变化趋势， 分析解答这两个季度衬衫销售量的变化情况。 （4）根据统计图的变化找出销售的变化，再根据销售的变化，保证商场利润最 大化，合理安排进货。 【详解】（1）如图： 27 / 86 （2）60÷30＝2（件） 答：这家商场 6月份平均每天销售 2件西装。 （3）答：第二季度衬衫的销售量一直保持上升的趋势，到七月份衬衫的销售量 达到最高值，从折线统计图上可以看出，第四季度衬衫的销售量有所下降。 （4）答：如果我是经理，我会考虑在 8月份以后少进一些衬衫，多进一些西装， 因为天气转冷，衬衫的销售量会逐渐下降。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根 据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 1．32÷8＝4，( )和( )是( )的因数；( )是 ( )和( )的倍数。 【答案】 8 4 32 32 8 4 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商 的倍数，除数和商是被除数的因数。 【详解】32÷8＝4，8和 4是 32的因数；32是 8和 4的倍数。 2．一个数的最大因数是 16，这个数的所有因数有( )，这个数的最小倍 数是( )。 【答案】 1，2，4，8，16 16 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定这个数；列乘法算 式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式， 乘法算式中的两个乘数就是这个数的因数。 28 / 86 【详解】16＝1×16＝2×8＝4×4 一个数的最大因数是 16，这个数的所有因数有 1，2，4，8，16，这个数的最小 倍数是 16。 1．写出下面各数的倍数。（各写 5个） 7的倍数 13的倍数 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的倍数的方法，写出 7和 13的倍数，各写 5个即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非 0自然数 的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】 （答案不唯一） 2．写出下面各数的因数。 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的因数的方法，列举出 42、36的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘 法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】 29 / 86 1．把下列各数按要求填在括号里。 50 84 21 60 75 (1)既是 2的倍数，又是 5的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是 3的倍数的数有( )。 【答案】(1)50、60 (2)21、75 【分析】（1）2的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是 0或 5的数。 2、5的倍数特征：个位上是 0的数。 （2）整数中，不是 2的倍数的数叫做奇数，个位上是 1、3、5、7、9的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 【详解】（1）既是 2的倍数，又是 5的倍数的数有 50、60。 （2）既是奇数，又是 3的倍数的数有 21、75。 2．有一个三位数 37□，如果它是 3的倍数，□里最大能填( )；如果它既 是 2的倍数，又是 5的倍数□里能填( )。 【答案】 8 0 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是 3的倍数，这个数就 是 3的倍数。 既是 2的倍数又是 5的倍数的特征：个位上的数字是 0的数，既是 2的倍数，又 是 5的倍数。 【详解】3＋7＝10、如果是 3的倍数，最小可填：12－10＝2，往后依次加 3都 是 3的倍数。 有一个三位数 37□，如果它是 3的倍数，□里可以填 2、5、8，最大能填 8；如果 它既是 2的倍数，又是 5的倍数□里能填 0。 30 / 86 1．从卡片 2 0 5 7中任取三张，按要求组成三位数。 奇数： 偶数： 2的倍数： 3的倍数： 5的倍数： 既是 2的倍数，又是 3的倍数： 同时是 2、5和 3的倍数： 【答案】 205，207，257，275，507，527，705，725 520，502，702， 720，570，750，572，752，250，270 520，502，702，720，570，750，572， 752，250，270 207，507，705，702，720，570，750，270 205，275， 705，725，520，720，570，750，250，270 702，720，570，750，270 720， 570，750，270 【分析】从卡片 2 0 5 7中任取三张，可以组成如下三位数：205、207、250、 257、270、275、502、507、520、527、570、572、702、705、720、725、750、 752。 能被 2整除的数叫做偶数。不能被 2整除的数叫做奇数。个位是 0、2、4、6、8 的数是 2的倍数；一个数的各个数位上的数相加的和如果是 3的倍数，那这个数 就是 3的倍数；个位上是 0或 5的数是 5的倍数。据此解答即可。 【详解】奇数：205，207，257，275，507，527，705，725 偶数：520，502，702，720，570，750，572，752，250，270 2的倍数：520，502，702，720，570，750，572，752，250，270 3的倍数：207，507，705，702，720，570，750，270 5的倍数：205，275，705，725，520，720，570，750，250，270 既是 2的倍数，又是 3的倍数：702，720，570，750，270 同时是 2、5和 3的倍数：720，570，750，270 2．从 6的因数中任选 3个数，组成一个既是 2的倍数，又是 3的倍数的最大三 位数，则这个数是( )。 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 5 【第一章】综合预测篇 5 【预测命题01】分数加减法基础计算。 5 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 5 【预测命题03】解方程。 6 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 7 【预测命题05】方程与等式。 7 【预测命题06】列方程解应用题基本题型。 8 【预测命题07】列方程解应用题与倍数问题。 8 【预测命题08】列方程解应用题与行程问题。 9 【预测命题09】列方程解应用题与盈亏问题。 9 【预测命题10】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 9 【预测命题11】折线统计图与行程问题。 10 【预测命题12】折线统计图综合应用。 11 【预测命题13】因数和倍数的定义与特征。 12 【预测命题14】因数和倍数的求法。 13 【预测命题15】2、5、3的倍数特征。 13 【预测命题16】组数问题。 13 【预测命题17】连续偶数或连续奇数。 14 【预测命题18】奇数和偶数的运算性质。 14 【预测命题19】质数与合数。 14 【预测命题20】质数的的组合。 14 【预测命题21】分解质因数。 15 【预测命题22】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数的实际应用。 15 【预测命题23】猜数问题。 16 【预测命题24】分数的认识和意义。 16 【预测命题25】单位“1”。 16 【预测命题26】分数与除法。 17 【预测命题27】真分数·假分数·带分数。 17 【预测命题28】分数的基本性质。 17 【预测命题29】约分和通分。 17 【预测命题30】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 17 【预测命题31】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 18 【预测命题32】分数加减法的实际应用。 18 【预测命题33】牛奶兑水问题。 19 【预测命题34】最圆问题。 19 【预测命题35】圆中的倍数关系、比例关系、增减变化关系。 19 【预测命题36】外圆内方和外方内圆。 20 【预测命题37】半圆的周长和面积。 20 【预测命题38】圆周长的实际应用。 20 【预测命题39】圆环面积的实际应用。 21 【预测命题40】含圆的不规则或组合图形的周长。 22 【预测命题41】含圆的不规则或组合图形的面积。 22 【第二章】重点攻克篇 24 【重点攻克01】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用。 24 【重点攻克02】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 24 【重点攻克03】最小公倍数的实际应用。 24 【重点攻克04】约分的实际应用。 25 【重点攻克05】定义新运算与规律探索。 25 【重点攻克06】列方程解追及问题和相遇问题。 25 【重点攻克07】外方内圆和外圆内方。 26 【重点攻克08】含圆的不规则、组合图形的周长与面积。 26 【第三章】难点挑战篇 28 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 28 【难点挑战02】带分数拆分法。 29 【难点挑战03】分组法。 30 【难点挑战04】材料探究与新定义。 30 【难点挑战05】最小公倍数的复杂应用。 31 【难点挑战06】复杂的含圆的阴影部分面积问题。 32 【难点挑战07】圆的动态变化问题。 32 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】分数加减法基础计算。 1．直接写出结果。                                                                           2．直接写出结果。 ＋＝        －＝         1＋＝           1.3－＝ ＋＝       2－＝         1－－＝        ＋＋＝ 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                       2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                                                          【预测命题03】解方程。 1．解方程。                2．解方程。          3.5x－2.3x＝24         2x＋4×1.5＝10.6 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 1．对于自然数A、B规定：A&B＝A×B÷5，若X&12＝60，则X的值是( )。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是y＝2x－10（y表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿43码的鞋，他的脚长是( )厘米。乐乐的妈妈的脚长是23厘米，她需要穿( )码的鞋。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数y＝5，则输入的x＝( )。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第n个图中有( )张菱形纸片；第( )个图中有2021张菱形纸片。 【预测命题05】方程与等式。 1．下面式子中，( )是等式，( )是方程。（在括号里填序号） ①，②，③，④，⑤。 2．①x＋56  ②45－m＝45  ③24m＝0.12  ④1.2×1.2＝1.44  ⑤x－2.5＜11 ⑥12＞a÷m  ⑦xy＝10  ⑧8＋x  ⑨6÷2.5＝2.4  ⑩12.5÷2.5 等式有：( )。（填序号） 方程有：( )。（填序号） 【预测命题06】列方程解应用题基本题型。 1．办公室买进一些A4纸，如果平均每天用20张，可以用28天，实际每天节约用纸4张，这些A4纸实际可用多少天？（用方程解） 2．甲乙两个工程队同时开凿一条长800米的隧道，他们从两端相向施工，40天打通，甲队每天开凿12米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 3．甲乙两村合挖一条长1390米的水渠，甲村从东往西挖。每天挖75千米，挖了2天，乙村开始从西往东挖，这样又合挖了8天才完成了任务。乙村平均每天挖了多少米？（列方程解） 【预测命题07】列方程解应用题与倍数问题。 1．甲工程队每天修路0.54千米，比乙工程队每天修的3倍少0.18千米。乙工程队每天修路多少千米？（请列方程解答） 2．果园里有桃树和苹果树共182棵，苹果树的棵数是桃树的2.5倍。两种果树各有多少棵？（请列方程解答） 【预测命题08】列方程解应用题与行程问题。 1．甲乙两船从相距226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过4小时两船相遇。甲船每小时行26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 2．甲、乙两车同时从A城开往B城。7小时后，甲车超过乙车42千米，甲车每小时行78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【预测命题09】列方程解应用题与盈亏问题。 1．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？（列方程解） 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【预测命题10】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【预测命题11】折线统计图与行程问题。 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第24分钟时，( )大伯走在( )大伯前面( )米处。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶40千米。 (3)4路车与7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 【预测命题12】折线统计图综合应用。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( )月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电( )千瓦时。 2．下面是某商场平均每月销售衬衫和西装的统计表。 （1）根据统计表完成下面的折线统计图。 某商场平均每月销售衬衫和西装情况统计图 （2）这家商场6月份平均每天销售多少件西装？ （3）这两个季度衬衫的销售量变化的趋势是什么？ （4）为了保证商场利润最大化，假如你是经理，如何安排进货？ 【预测命题13】因数和倍数的定义与特征。 1．32÷8＝4，( )和( )是( )的因数；( )是( )和( )的倍数。 2．一个数的最大因数是16，这个数的所有因数有( )，这个数的最小倍数是( )。 【预测命题14】因数和倍数的求法。 1．写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        2．写出下面各数的因数。 【预测命题15】2、5、3的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在括号里。 50      84      21      60      75 (1)既是2的倍数，又是5的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是3的倍数的数有( )。 2．有一个三位数37□，如果它是3的倍数，□里最大能填( )；如果它既是2的倍数，又是5的倍数□里能填( )。 【预测命题16】组数问题。 1．从卡片2  0  5  7中任取三张，按要求组成三位数。 奇数： 偶数： 2的倍数： 3的倍数： 5的倍数： 既是2的倍数，又是3的倍数： 同时是2、5和3的倍数： 2．从6的因数中任选3个数，组成一个既是2的倍数，又是3的倍数的最大三位数，则这个数是( )。 【预测命题17】连续偶数或连续奇数。 1．三个连续偶数的和是48，这三个偶数分别是( )、( )和( )。 2．三个连续奇数的和是15，这三个奇数分别是( )、( )、( )；三个连续偶数的积是2688，这三个偶数分别是( )、( )、( )。 【预测命题18】奇数和偶数的运算性质。 1．按要求把算式写完整。（要求括号里填不为0的数） 和是偶数：123＋( )      和是奇数：53＋( )   积是奇数：5×( )        差是偶数：47－( ) 2．如果m－3的差是偶数，m是( )数，那么m＋99的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 3．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树，男生组每队植5棵树，女生组每队植4棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【预测命题19】质数与合数。 1．32的因数有( )，其中质数有( )，合数有( )。 2．在1～10这十个自然数中，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又是质数的是( )；( )既不是质数，也不是合数。 【预测命题20】质数的的组合。 1．填上合适的质数。 22＝( )＋( )     91＝( )×( ) 2．在（    ）里填上合适的的质数。 18＝( )＋( )＝( )＋( )      286＝( )×( )×( ) 【预测命题21】分解质因数。 1．在37、48、59、71中，( )是合数，把这个数分解质因数是( )。 2．四个连续自然数的积是360，这四个数的和是( )。 【预测命题22】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数的实际应用。 1．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 2．便民超市新运进215瓶无菌消毒洗手液，如果每3瓶装一箱，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 3．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用56米长的栅栏圈出一块长方形地，供师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 4．傍晚弟弟开灯，一连开了8下。请你说说这时灯亮了还是没亮。13下呢？ 【预测命题23】猜数问题。 1．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 2．小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【预测命题24】分数的认识和意义。 1．0.7里面有7个( )分之一，用分数表示是( )；0.07里面有7个( )分之一，用分数表示为( )。 2．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位后就是1。 【预测命题25】单位“1”。 1．钢琴的白键占琴键总数的，是把( )看作单位“1”，平均分成了( )份，白键占其中的( )份。 2．一根绳子，王明剪去了，李东剪去了米，两人剪的( )。 A．李东剪的多 B．王明剪的多 C．两人剪的一样多 【预测命题26】分数与除法。 1．一盒粽子有18个，平均分给3个同学。每个粽子是这盒粽子的，每个同学分到的粽子是这盒粽子的。 2．一根木料长5.6米，现在将它锯成同样长的小段，七次锯完，每小段占这根木料的( )，每小段长( )米。 【预测命题27】真分数·假分数·带分数。 1．将下列假分数化成带分数后直接写到括号内。 ＝( )       ＝( )      ＝( ) 2．在分数中（m是非0自然数），当m( )时，是真分数；当m( )时，是假分数；当m( )时，实际上是整数。 【预测命题28】分数的基本性质。 1．( )÷18＝＝( )（填带分数）。 2．的分母增加10，要使分数的大小不变，分子应该增加( )。 【预测命题29】约分和通分。 1．把下面分数约成最简分数。 ＝        ＝        ＝        ＝        ＝ 2．把下面每组中的两个数通分。 和     和     和     和 【预测命题30】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 1．30和42的最大公因数是( )，12和20的最小公倍数是( )。 2．如果a＝3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 3．如果a＋1＝b（a，b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 4．A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【预测命题31】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 1．一个长方形的长是20厘米，宽是12厘米，把这个长方形分成同样大小的正方形，而且没有剩余。这样的正方形边长最大是多少厘米？可以分成多少个？ 2．早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答） 1路公交车 5时40分 5时48分 2路公交车 5时40分 3．小美到爷爷办的养牛场去玩。小美问：“爷爷，这里有多少头牛呢？”爷爷回答说：“这里的牛，3头3头地数，多2头；12头12头地数，多11头；15头15头地数，多14头。而且这群牛的数量在150－200之间。”这群牛有多少头？ 【预测命题32】分数加减法的实际应用。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中种西红柿，种茄子，其余的种黄瓜。种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的，第二天比第一天少看了这本书的，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【预测命题33】牛奶兑水问题。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了杯。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【预测命题34】最圆问题。 1．一张正方形纸片的边长6厘米，用它剪成一个最大的圆，这个圆的周长是( )，面积是( )，剪去的面积是( )。 2．小明在一个长8厘米、宽6厘米的长方形里画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米。 【预测命题35】圆中的倍数关系、比例关系、增减变化关系。 1．一个圆的周长是9.42cm，它的半径是( )cm，若它的半径扩大到原来的3倍，则周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 2．下图中大圆与小圆的半径比是2∶1，则大圆与小圆的周长比是( )；大圆与小圆的面积比是( )。 3．把一张圆形的纸片剪成两个相等的半圆形，它的周长增加了8厘米，这张圆形纸片的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【预测命题36】外圆内方和外方内圆。 1．一面外圆内方装饰物（如图）。装饰物直径是20cm，圆与正方形之间部分的面积是( )cm2。 2．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处事的朴素道理。如果下图中外面正方形的面积是16dm2，则内圆的面积是( )dm2。 【预测命题37】半圆的周长和面积。 1．王阿姨准备用栅栏在靠墙的地方围一个半圆形鸡圈，靠墙的地方为直径不用栅栏。已知这个半圆的直径是6米，需要栅栏( )米，这个鸡圈的面积是( )。 2．一张半圆形纸片的半径是4cm，它的周长是( )cm，面积是( )cm2，用它剪成一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2。 【预测命题38】圆周长的实际应用。 1．一辆电动车轮胎的外直径约是50厘米，如果平均每分钟转200周，通过一座长950米的大桥，大约需要几分钟？（得数保留整数） 2．王帅响应“绿色出行”的号召，选择骑自行车上学。自行车轮子的直径是80厘米。如果车轮子每分钟转100圈，他从家里到学校需要骑行10分钟，王帅家距离学校多少米？（车身长度忽略不计） 3．杂技演员要表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过43.96米的钢丝，车轮要转多少圈？ 【预测命题39】圆环面积的实际应用。 1．公园中圆形花坛的周长是31.4米。 （1）这个花坛的占地面积是多少平方米？ （2）如果要在这个花坛的周围铺一条宽为1米的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 2．一个圆形花坛的直径是6米，现在要扩建花坛，把它的半径增加1米。 （1）花坛的面积比原来增加了多少平方米？ （2）花坛的周长比原来增加多少米？ 【预测命题40】含圆的不规则或组合图形的周长。 1．下图是由三个半圆组成的图形，求图形的周长。（单位：厘米） 2．计算下面图形的周长。     【预测命题41】含圆的不规则或组合图形的面积。 1．计算如图阴影部分的面积。 2．求下图阴影部分面积。（单位：厘米） 3．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 4．下图正方形的边长为2cm，求阴影部分的周长和面积。 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用。 1．妈妈的银行卡密码是一个六位数。根据下面信息，银行卡密码是( )。 第一位数：既是偶数，又是质数；第二位数：既是5的倍数，又是5的因数； 第三位数：既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数：既不是质数，也不是合数； 第五位数：既是奇数，又是合数；第六位数：一位数中最大的合数。 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是( )。 【重点攻克02】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 1．把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 2．A和B都是自然数，分解质因数A＝2×5×C；B＝3×5×C。如果A和B的最小公倍数是60，那么C＝( )。A和B的最大公因数是( )。 【重点攻克03】最小公倍数的实际应用。 1．一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 2．有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱还差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少？ 【重点攻克04】约分的实际应用。 1．的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？ 2．一个分数的分子与分母的和是50，如果把分子和分母都减去5，所得的数约分后是。原来的分数是多少？ 【重点攻克05】定义新运算与规律探索。 1．对于整数a，b，规定a※b＝a×b－1，又知（3※x）※2＝0，则x＝( )。 2．已知2⭕3＝2＋3＋4＝9，5⭕4＝5＋6＋7＋8＝26，若x⭕3＝15，则x＝( ) 【重点攻克06】列方程解追及问题和相遇问题。 1．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是290米/分，乙的速度是250米/分。经过多少分钟甲第二次追上乙？（提示：可以画图思考） 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【重点攻克07】外方内圆和外圆内方。 1．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处事的道理。 如图，外面正方形的边长为10分米，那么正方形内最大圆的半径是( )分米，这个圆的面积是( )平方分米。    2．如图，在圆内画了一个最大正方形，圆的面积是31.4平方厘米。正方形的面积是( )平方厘米。 【重点攻克08】含圆的不规则、组合图形的周长与面积。 1．如图，以三角形的三个顶点为圆心画圆，圆的半径都是20厘米。图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 2．有一个边长是4米的正方形草场，在它的一组对角分别拴了一头牛，拴牛的绳长是4米。两头牛共同吃到草的面积是多少平方米？ 3．图中，圆的周长是12.56厘米，圆的面积正好等于长方形的面积。 （1）你能求出这个长方形的周长吗？ （2）你能求出阴影部分的面积吗？（此小题为选做题，结果不计入等级） 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（     ）（请写出计算过程） 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 （请展示你的思维过程） 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。            【难点挑战02】带分数拆分法。 1．计算。 。 2．计算。 【难点挑战03】分组法。 1．计算。 2．计算。 ＋…… 【难点挑战04】材料探究与新定义。 1．对大于0的自然数n规定一种运算“G”：①当n是奇数时，；②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数。将k次“G”运算记作，如，，。计算： （1）的值； （2）的值： （3）的值。 2．整数的奥秘。 6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的自然数，叫做完全数（也叫做完美数）。8的因数有1、2、4、8，这几个因数的关系是：1＋2＋4＜8，像8这样的自然数，叫做亏数。20的因数有1、2、4、5、10、20，这几个因数的关系是：1＋2＋4＋5＋10＞20，像20这样的自然数，叫做盈数。3和5是一对质数，且相差2，像3和5这样相差为2的一对质数叫做孪生质数。 （1）请你找出20以内的其他孪生质数。 （2）小新说：“最小的盈数是12”。你同意他的说法吗？请说明理由。 【难点挑战05】最小公倍数的复杂应用。 1．早上下了一场大雪后，豆豆和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一地点同向行走，豆豆每步长约54厘米，爸爸每步长约72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，这条小路长约多少米？ 2．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？ 【难点挑战06】复杂的含圆的阴影部分面积问题。 1．如图，一个半径为1cm的小圆盘沿着一个直径为4cm的大圆盘外侧做无滑动的滚动。当小圆盘的中心围绕大圆 盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是( )cm2。 2．如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。 【难点挑战07】圆的动态变化问题。 1．如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。 （1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？ （2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点( )。（括号里填、、或。） 2．如图所示，两个圆周只有一个公共点，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，甲、乙两虫同时从点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题取3） （1）问乙虫第一次爬回到点时，需要多少秒？ （2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到点时甲虫恰好爬到点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 5 【第一章】综合预测篇 5 【预测命题01】分数加减法基础计算。 5 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 6 【预测命题03】解方程。 9 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 11 【预测命题05】方程与等式。 14 【预测命题06】列方程解应用题基本题型。 15 【预测命题07】列方程解应用题与倍数问题。 16 【预测命题08】列方程解应用题与行程问题。 17 【预测命题09】列方程解应用题与盈亏问题。 18 【预测命题10】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 20 【预测命题11】折线统计图与行程问题。 21 【预测命题12】折线统计图综合应用。 23 【预测命题13】因数和倍数的定义与特征。 27 【预测命题14】因数和倍数的求法。 28 【预测命题15】2、5、3的倍数特征。 29 【预测命题16】组数问题。 30 【预测命题17】连续偶数或连续奇数。 31 【预测命题18】奇数和偶数的运算性质。 32 【预测命题19】质数与合数。 33 【预测命题20】质数的的组合。 34 【预测命题21】分解质因数。 34 【预测命题22】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数的实际应用。 35 【预测命题23】猜数问题。 37 【预测命题24】分数的认识和意义。 38 【预测命题25】单位“1”。 39 【预测命题26】分数与除法。 40 【预测命题27】真分数·假分数·带分数。 40 【预测命题28】分数的基本性质。 41 【预测命题29】约分和通分。 42 【预测命题30】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 43 【预测命题31】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 44 【预测命题32】分数加减法的实际应用。 47 【预测命题33】牛奶兑水问题。 48 【预测命题34】最圆问题。 49 【预测命题35】圆中的倍数关系、比例关系、增减变化关系。 50 【预测命题36】外圆内方和外方内圆。 52 【预测命题37】半圆的周长和面积。 53 【预测命题38】圆周长的实际应用。 54 【预测命题39】圆环面积的实际应用。 56 【预测命题40】含圆的不规则或组合图形的周长。 57 【预测命题41】含圆的不规则或组合图形的面积。 57 【第二章】重点攻克篇 61 【重点攻克01】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用。 61 【重点攻克02】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 62 【重点攻克03】最小公倍数的实际应用。 63 【重点攻克04】约分的实际应用。 64 【重点攻克05】定义新运算与规律探索。 65 【重点攻克06】列方程解追及问题和相遇问题。 66 【重点攻克07】外方内圆和外圆内方。 67 【重点攻克08】含圆的不规则、组合图形的周长与面积。 69 【第三章】难点挑战篇 72 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 72 【难点挑战02】带分数拆分法。 75 【难点挑战03】分组法。 76 【难点挑战04】材料探究与新定义。 77 【难点挑战05】最小公倍数的复杂应用。 80 【难点挑战06】复杂的含圆的阴影部分面积问题。 82 【难点挑战07】圆的动态变化问题。 84 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】分数加减法基础计算。 1．直接写出结果。                                                                         【答案】；；；1 ；；； 【详解】略 2．直接写出结果。 ＋＝        －＝         1＋＝          1.3－＝ ＋＝       2－＝         1－－＝        ＋＋＝ 【答案】；；；0.9 ；；； 【详解】略 【预测命题02】分数加减法混合运算和简便计算。 1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                   【答案】；0；； ；；12.5 【分析】“”根据同级运算法则，带符号交换和的位置，再计算； “”先计算括号内的加法，再计算括号外的减法； “”根据同级运算法则，先带符号交换和的位置，再根据减法的性质计算； “”从左至右，依次计算； “”将除法写成分数形式，再根据减法的性质计算； “”将分数写成小数形式，再根据乘法分配律计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                                                               【答案】；；； 4；；2 【分析】（1）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （2）利用减法的性质和加法交换律，把算式变为，按照运算顺序从左到右依次计算； （3）通分后按照运算顺序从左到右依次计算； （4）根据分数与除法的关系，把算式变为，再利用减法的性质进行简便计算； （5）利用减法的性质，括号打开，里面的加号变减号，交换和的位置，利用加法交换律进行简便计算； （6）两个小括号打开，运算符号不变，再利用加法交换律和加法结合律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 【预测命题03】解方程。 1．解方程。               【答案】；； 【分析】第一题利用等式的性质1，等式两边同时减去； 第二题先计算，再利用等式的性质2，等式两边同时除以0.25； 第三题先利用等式的性质1，等式两边分别同时减去2和3。 【详解】 解： 解： 解： 2．解方程。         3.5x－2.3x＝24        2x＋4×1.5＝10.6 【答案】；x＝20；x＝2.3 【分析】，根据等式的性质1，两边同时－即可； 3.5x－2.3x＝24，先将左边合并成1.2x，根据等式的性质2，两边同时÷1.2即可； 2x＋4×1.5＝10.6，根据等式的性质1和2，两边同时－4×1.5的积，再同时÷2即可。 【详解】 解： 3.5x－2.3x＝24 解：1.2x＝24 1.2x÷1.2＝24÷1.2 x＝20 2x＋4×1.5＝10.6 解：2x＋6－6＝10.6－6 2x＝4.6 2x÷2＝4.6÷2 x＝2.3 【预测命题04】四种新型题型（定义新运算·程序框图·材料定义·探索规律）。 1．对于自然数A、B规定：A&B＝A×B÷5，若X&12＝60，则X的值是( )。 【答案】25 【分析】根据A&B＝A×B÷5，则X&12＝60化为X×12÷5＝60，根据等式的性质2，方程两边同时除以12，再乘5，即可求出X的值。 【详解】X×12÷5＝60 解：X×12÷5÷12×5＝60÷12×5 X＝5×5 X＝25 对于自然数A、B规定：A&B＝A×B÷5，若X&12＝60，则X的值是25。 2．鞋的尺码通常用“码”和“厘米”作单位，它们之间的换算关系是y＝2x－10（y表示鞋的码数，x表厘米数）。乐乐的爸爸穿43码的鞋，他的脚长是( )厘米。乐乐的妈妈的脚长是23厘米，她需要穿( )码的鞋。 【答案】 26.5 36 【分析】根据题意，爸爸穿43码的鞋，即y＝43，将其代入y＝2x－10中，求出x的值即爸爸的脚长；妈妈的脚长是23厘米，即x＝23，将其代入y＝2x－10中，求出y值，即妈妈要穿的鞋码。 【详解】由分析可得： 把y＝43代入y＝2x－10中，得： y＝2x－10 43＝2x－10 2x－10＝43 2x－10＋10＝43＋10 2x＝53 2x÷2＝53÷2 x＝26.5（厘米） 把x＝23代入y＝2x－10中，得： y＝2x－10 ＝2×23－10 ＝46－10 ＝36 综上所述：乐乐的爸爸穿43码的鞋，他的脚长是26.5厘米。乐乐的妈妈的脚长是23厘米，她需要穿36码的鞋。 【点睛】本题考查了含有字母的式子的求值，解方程，求值时，要先确定字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 3．在如图所示的运算过程中，若输出的数y＝5，则输入的x＝( )。 【答案】10或9 【分析】观察运算过程，可列出两个方程式，当x是偶数时，x÷2＝y；当x不是偶数时，（x＋1）÷2＝y；若输出的数y＝5，代入到两个算式中，即可求出输入的x的值。 【详解】当x是偶数时，x÷2＝y 把y＝5代入，可得x÷2＝5 解：x＝5×2 x＝10 当x不是偶数时，（x＋1）÷2＝y 把y＝5代入，可得（x＋1）÷2＝5 解：x＋1＝5×2 x＋1＝10 x＝10－1 x＝9 【点睛】此题的解题关键是根据题意列出方程，通过解方程求出x的值。 4．下图是用菱形纸片按规律拼成的图案，第n个图中有( )张菱形纸片；第( )个图中有2021张菱形纸片。 【答案】 4n＋1 505 【分析】结合图示可知：第1个图中有5张菱形纸片，第2个图中有5＋4＝9（张）菱形纸片；第3个图中有5＋4＋4＝13（张）菱形纸片；即：从第2个图开始，每个图依次增加4张菱形纸片，照这样下去，则第n个图中有5＋（n－1）×4＝4n＋1（张）菱形纸片； 可假设第x个图中有2021张菱形纸片，列方程为：4x＋1＝2021，解这个方程即可。 【详解】由分析得： ①第1个图中有：5张 第2个图中有：5＋4＝9（张） 第3个图中有：5＋4＋4＝13（张） 第n个图中有： 5＋（n－1）×4 ＝5＋4n－4 ＝4n＋1（张） ②解：设第x个图中有2021张菱形纸片。 4x＋1＝2021 4x＝2021－1 4x＝2020 x＝2020÷4 x＝505 即，第505个图中有2021张菱形纸片。 【点睛】能够从相邻的图形中，判断图形的变化规律，再通过分析、推理加以验证；然后利用方程求得最后一问。 【预测命题05】方程与等式。 1．下面式子中，( )是等式，( )是方程。（在括号里填序号） ①，②，③，④，⑤。 【答案】 ②③⑤ ③⑤ 【分析】因为等式是含有等号且等号两边都相等的式子，所以可以判断出②③⑤是等式； 因为方程是指含有未知数的等式，所以方程必须具备两个条件：①含有未知数②等式。所以方程肯定是等式，据此可解答。 【详解】下面式子中，②③⑤是等式，③⑤是方程。 【点睛】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。 2．①x＋56  ②45－m＝45  ③24m＝0.12  ④1.2×1.2＝1.44  ⑤x－2.5＜11 ⑥12＞a÷m  ⑦xy＝10  ⑧8＋x  ⑨6÷2.5＝2.4  ⑩12.5÷2.5 等式有：( )。（填序号） 方程有：( )。（填序号） 【答案】 ②③④⑦⑨ ②③⑦ 【分析】含有等号的式子是等式。含有未知数的等式是方程。我们可逐项分析：①没有等号，不是等式，也不是方程；②含有未知数m的等式，是方程；③含有未知数m的等式，是方程；④含有等号，但没有未知数，是等式；⑤含有未知数x，但没有等号，不是等式也不是方程；⑥含有未知数a、m，但没有等号，不是等式也不是方程；⑦含有未知数x、y的等式，是方程；⑧含有未知数x，但不是等式，也不是方程；⑨有等号但没有未知数，是等式；⑩没有等号，不是等式也不是方程。据此可得出答案。 【详解】等式有：②③④⑦⑨。 方程有：②③⑦。 【预测命题06】列方程解应用题基本题型。 1．办公室买进一些A4纸，如果平均每天用20张，可以用28天，实际每天节约用纸4张，这些A4纸实际可用多少天？（用方程解） 【答案】35天 【分析】根据题意可知A4纸的总张数一定，等量关系：实际平均每天用A4纸的张数×实际用的天数＝计划平均每天用A4纸的张数×计划用的天数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这些A4纸实际可用天。 （20－4）＝20×28    16＝560 16÷16＝560÷16 ＝35 答：这些A4纸实际可用35天。 2．甲乙两个工程队同时开凿一条长800米的隧道，他们从两端相向施工，40天打通，甲队每天开凿12米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 【答案】8米 【分析】根据“工作效率×工作时间＝工作总量”可得出等量关系：甲队每天开凿的长度×天数＋乙队每天开凿的长度×天数＝这条隧道的总长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙队每天开凿米。 40×12＋40＝800 480＋40＝800 480＋40－480＝800－480 40＝320 40÷40＝320÷40 ＝8 答：乙队每天开凿8米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，根据工作效率、工作时间、工作总量之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 3．甲乙两村合挖一条长1390米的水渠，甲村从东往西挖。每天挖75千米，挖了2天，乙村开始从西往东挖，这样又合挖了8天才完成了任务。乙村平均每天挖了多少米？（列方程解） 【答案】80米 【分析】根据题意可知，甲每天挖的米数×甲挖的天数＋乙每天挖的米数×乙挖的天数＝水渠的总长度，设乙村平均每天挖了x米，列方程为（2＋8）×75＋8x＝1390，然后解出方程即可。 【详解】解：设乙村平均每天挖了x米。 （2＋8）×75＋8x＝1390 10×75＋8x＝1390 750＋8x＝1390 750＋8x－750＝1390－750 8x＝640 8x÷8＝640÷8 x＝80 答：乙村平均每天挖了80米。 【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。 【预测命题07】列方程解应用题与倍数问题。 1．甲工程队每天修路0.54千米，比乙工程队每天修的3倍少0.18千米。乙工程队每天修路多少千米？（请列方程解答） 【答案】0.24千米 【分析】可列方程解决此题。设乙工程队每天修x千米。根据等量关系“乙工程队每天修的千米数×3－0.18＝甲工程队每天修的千米数”列出方程，解方程即可求出乙工程队每天修的千米数。 【详解】解：乙工程队每天修x千米。 3x－0.18＝0.54 3x－0.18＋0.18＝0.54＋0.18 3x＝0.72 3x÷3＝0.72÷3 x＝0.24 答：乙工程队每天修路0.24千米。 【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用x表示，未知数参与列式，把算术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。 2．果园里有桃树和苹果树共182棵，苹果树的棵数是桃树的2.5倍。两种果树各有多少棵？（请列方程解答） 【答案】桃树：52棵；苹果树：130棵 【分析】根据“苹果树的棵数是桃树的2.5倍”可知，桃树的棵数是1倍量（即标准量）。可设桃树有x棵，则苹果树有2.5x棵。根据等量关系“桃树的棵数＋苹果树的棵数＝182”列出方程，并解方程即可求出桃树的棵数；再用182棵减去桃树的棵数可求出苹果树的棵数。 【详解】解：设桃树有x棵。 x＋2.5x＝182 （1＋2.5）x＝182 3.5x＝182 3.5x÷3.5＝182÷3.5 x＝52 182－52＝130（棵） 答：桃树有52棵，苹果树有130棵。 【点睛】用方程法解决含有两个未知数的实际问题时，设其中的1倍量（标准量）为x，另一个未知量用含有x的式子表示出来。 【预测命题08】列方程解应用题与行程问题。 1．甲乙两船从相距226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过4小时两船相遇。甲船每小时行26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】30千米 【分析】由题意可知，设乙船每小时行x千米，再根据相遇问题中的等量关系：速度和×相遇时间＝相遇的路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时行x千米。 （26.5＋x）×4＝226 （26.5＋x）×4÷4＝226÷4 26.5＋x＝56.5 26.5＋x－26.5＝56.5－26.5 x＝30 答：乙船每小时行30千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确相遇问题中的等量关系是解题的关键。 2．甲、乙两车同时从A城开往B城。7小时后，甲车超过乙车42千米，甲车每小时行78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】72千米 【分析】速度×时间＝路程，将乙车的速度设为未知数，从而表示出乙车的路程。根据“甲车路程－乙车路程＝42千米”列出方程解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 78×7－7x＝42 （78－x）×7＝42 （78－x）×7÷7＝42÷7 78－x＝6 x＝78－6 x＝72 答：乙车每小时行72千米。 【预测命题09】列方程解应用题与盈亏问题。 1．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？（列方程解） 【答案】270人 【分析】先设一共有x个房间，根据题意可知，两个分配方法不改变的是人数，所以列式为：8x＋6＝（8＋2）（x－6）。据此解答即可。 【详解】解：先设一共有x个房间。 8x＋6＝（8＋2）（x－6） 8x＋6＝10（x－6） 8x＋6＝10x－60 66＝2x x＝66÷2 x＝33 8×33＋6 ＝264＋6 ＝270（人） 答：四年级一共有270人。 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【答案】快递员：6名；包裹：66件 【分析】可列方程解决盈亏问题。根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员x名。 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决盈亏问题。根据包裹的总件数不变建立等量关系是解答此题的关键。 【预测命题10】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 【答案】鸡和兔各有8只 【分析】设鸡和兔各有x只，根据等量关系式：鸡腿的数量＋兔腿的数量＝48，列方程解答即可。 【详解】解：设鸡和兔各有x只。 答：鸡和兔各有8只。 【点睛】此题考查了学生分析问题能力和列方程解应用题。 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】鸡：23只；兔子：12只 【分析】假设鸡有x只，则兔子有（35－x）只，每只鸡有两只脚，每只兔子有四只脚，根据数量关系：鸡的数量×2＋兔子的数量×4＝94，据此列出方程，解方程即可求出鸡和兔子的数量。 【详解】解：设鸡有x只，则兔子有（35－x）只， x×2＋（35－x）×4＝94 2x＋35×4－x×4＝94 2x＋140－4x＝94 140－94＝4x－2x 2x＝46 x＝46÷2 x＝23 35－23＝12（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用方程进行解答，也可以用假设法进行解答。 【预测命题11】折线统计图与行程问题。 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第24分钟时，( )大伯走在( )大伯前面( )米处。 【答案】 王 4 赵 赵 6 王 赵 400 【分析】通过观察可知，王大伯先到达终点，（32－28）分钟后赵大伯才到达；赵大伯中途在距离起点1000米处休息，休息了（16－10）分钟；第24分钟时，王大伯在赵大伯的前面，两人相距（2000－1600）米。 【详解】32－28＝4（分钟） 16－10＝6（分钟） 2000－1600＝400（米） 从图上可知：王大伯到达终点后，4分钟赵大伯才到达；赵大伯中途休息了6分钟；第24分钟时，王大伯走在赵大伯前面400米处。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶40千米。 (3)4路车与7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 【答案】(1) 9：00 10：00 (2)3 (3)10：00 (4) 25 【分析】（1）观察折线统计图，实线表示4路车运行的情况，9：00至10：00折线起伏明显，表示速度较快； （2）4路车从6：00出发，找到行驶40千米对应的时间是9：00，9：00减去6：00即可计算出经过的时间； （3）实线表示4路车运行的情况，虚线表示7路车运行的情况，两条线相交的位置表示两车正好相遇，第二次相遇的位置对应的时间正好是10：00； （4）7路车行驶的路程是100千米，时间是3小时，4路车行驶的路程是100千米，时间是4小时，利用路程÷时间＝速度，代入数据分别计算即可。 （1） 4路车在9：00～10：00速度较快。 （2） 9：00－6：00＝3（小时） 所以4路车在开始3小时内共行驶40千米。 （3） 4路车与7路车在10：00第二次相遇。 （4） 10：00－7：00＝3（小时），10：00－6：00＝4（小时）， 100÷3＝（千米/时） 100÷4＝25（千米/时） 【点睛】此题主要考查复式折线统计图的特点和作用，从统计图中提取信息，完成作答。 【预测命题12】折线统计图综合应用。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( )月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电( )千瓦时。 【答案】（1）见详解； （2）一；四；四；六； （3）三； （4）82.5；75 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）从折线统计图上即可看出，虚线代表李老师家的用电情况，从一月到四月，李老师家的用电量一直呈上升的趋势，从四月到六月，李老师家的用电量呈下降的趋势。 （3）观察折线统计图，实线代表王老师的用电情况，虚线代表李老师家的用电情况，当两条折线交叉重合的时候，即对应着王老师家和李老师家用电量一样多的月份。 （4）把王老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以6，即可求出王老师家平均每月的用电量；把李老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以6，即可求出李老师家平均每月的用电量。 【详解】（1）如图： （2）李老师家从一月到四月用电量呈上升趋势，从四月到六月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家三月份用电量一样多。 （4）（60＋75＋90＋80＋100＋90）÷6 ＝495÷6 ＝82.5（千瓦时） （50＋60＋90＋100＋80＋70）÷6 ＝450÷6 ＝75（千瓦时） 即王老师家平均每月用电82.5千瓦时，李老师家平均每月用电75千瓦时。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．下面是某商场平均每月销售衬衫和西装的统计表。 （1）根据统计表完成下面的折线统计图。 某商场平均每月销售衬衫和西装情况统计图 （2）这家商场6月份平均每天销售多少件西装？ （3）这两个季度衬衫的销售量变化的趋势是什么？ （4）为了保证商场利润最大化，假如你是经理，如何安排进货？ 【答案】（1）见详解 （2）2件 （3）第二季度衬衫的销售量一直保持上升的趋势，到七月份衬衫的销售量达到最高值，从折线统计图上可以看出，第四季度衬衫的销售量有所下降。 （4）如果我是经理，我会考虑在8月份以后少进一些衬衫，多进一些西装，因为天气转冷，衬衫的销售量会逐渐下降。 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）这家商场6月份销售了60件西装，6月份共有30天，求这家商场6月份平均每天销售多少件西装，根据平均数的意义，用销售的总数量60件除以天数30天，即可得解。 （3）实线代表这两个季度衬衫的销售情况，根据复式统计图中的数据变化趋势，分析解答这两个季度衬衫销售量的变化情况。 （4）根据统计图的变化找出销售的变化，再根据销售的变化，保证商场利润最大化，合理安排进货。 【详解】（1）如图： （2）60÷30＝2（件） 答：这家商场6月份平均每天销售2件西装。 （3）答：第二季度衬衫的销售量一直保持上升的趋势，到七月份衬衫的销售量达到最高值，从折线统计图上可以看出，第四季度衬衫的销售量有所下降。 （4）答：如果我是经理，我会考虑在8月份以后少进一些衬衫，多进一些西装，因为天气转冷，衬衫的销售量会逐渐下降。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 【预测命题13】因数和倍数的定义与特征。 1．32÷8＝4，( )和( )是( )的因数；( )是( )和( )的倍数。 【答案】 8 4 32 32 8 4 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 【详解】32÷8＝4，8和4是32的因数；32是8和4的倍数。 2．一个数的最大因数是16，这个数的所有因数有( )，这个数的最小倍数是( )。 【答案】 1，2，4，8，16 16 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定这个数；列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个乘数就是这个数的因数。 【详解】16＝1×16＝2×8＝4×4 一个数的最大因数是16，这个数的所有因数有1，2，4，8，16，这个数的最小倍数是16。 【预测命题14】因数和倍数的求法。 1．写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        【答案】见详解 【分析】根据找一个数的倍数的方法，写出7和13的倍数，各写5个即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】 （答案不唯一） 2．写出下面各数的因数。 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的因数的方法，列举出42、36的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】 【预测命题15】2、5、3的倍数特征。 1．把下列各数按要求填在括号里。 50      84      21      60      75 (1)既是2的倍数，又是5的倍数的数有( )。 (2)既是奇数，又是3的倍数的数有( )。 【答案】(1)50、60 (2)21、75 【分析】（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 （2）整数中，不是2的倍数的数叫做奇数，个位上是1、3、5、7、9的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】（1）既是2的倍数，又是5的倍数的数有50、60。 （2）既是奇数，又是3的倍数的数有21、75。 2．有一个三位数37□，如果它是3的倍数，□里最大能填( )；如果它既是2的倍数，又是5的倍数□里能填( )。 【答案】 8 0 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 【详解】3＋7＝10、如果是3的倍数，最小可填：12－10＝2，往后依次加3都是3的倍数。 有一个三位数37□，如果它是3的倍数，□里可以填2、5、8，最大能填8；如果它既是2的倍数，又是5的倍数□里能填0。 【预测命题16】组数问题。 1．从卡片2  0  5  7中任取三张，按要求组成三位数。 奇数： 偶数： 2的倍数： 3的倍数： 5的倍数： 既是2的倍数，又是3的倍数： 同时是2、5和3的倍数： 【答案】 205，207，257，275，507，527，705，725 520，502，702，720，570，750，572，752，250，270 520，502，702，720，570，750，572，752，250，270 207，507，705，702，720，570，750，270 205，275，705，725，520，720，570，750，250，270 702，720，570，750，270 720，570，750，270 【分析】从卡片2  0  5  7中任取三张，可以组成如下三位数：205、207、250、257、270、275、502、507、520、527、570、572、702、705、720、725、750、752。 能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数的各个数位上的数相加的和如果是3的倍数，那这个数就是3的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数。据此解答即可。 【详解】奇数：205，207，257，275，507，527，705，725 偶数：520，502，702，720，570，750，572，752，250，270 2的倍数：520，502，702，720，570，750，572，752，250，270 3的倍数：207，507，705，702，720，570，750，270 5的倍数：205，275，705，725，520，720，570，750，250，270 既是2的倍数，又是3的倍数：702，720，570，750，270 同时是2、5和3的倍数：720，570，750，270 2．从6的因数中任选3个数，组成一个既是2的倍数，又是3的倍数的最大三位数，则这个数是( )。 【答案】612 【分析】，所以6的因数有1，2，3，6；2的倍数：个位上是0，2，4，6，8的数，3的倍数：各个数位上数字之和是3的倍数，据此解答即可。 【详解】6的因数有：1，2，3，6，要从中选3个，组成最大的三位数，百位上最大只能是6，要使这个三位数是2的倍数，个位上只能是2，要使这个三位数是3的倍数，那十位上只能是1，因为是3的倍数，所以这个三位数是612。 【点睛】本题考查2、3的倍数，解答本题的关键是掌握2、3的倍数特征。 【预测命题17】连续偶数或连续奇数。 1．三个连续偶数的和是48，这三个偶数分别是( )、( )和( )。 【答案】 14 16 18 【分析】相邻的偶数之间相差2，三个连续偶数的和÷3＝中间偶数，中间偶数－2＝较小偶数，中间偶数＋2＝较大偶数。 【详解】48÷3＝16 16－2＝14 16＋2＝18 这三个偶数分别是14、16、18。 2．三个连续奇数的和是15，这三个奇数分别是( )、( )、( )；三个连续偶数的积是2688，这三个偶数分别是( )、( )、( )。 【答案】 3 5 7 12 14 16 【分析】如果三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的平均数即是中间的一个奇数，再根据相邻的奇数相差2，即可算出另外两个数。 如果三个连续偶数的积是2688，那么可以从最小的非零偶数起，试着找出这三个连续偶数。 【详解】 所以三个连续奇数的和是15，这三个奇数分别是3、5、7。 所以三个连续偶数的积是2688，这三个偶数分别是12、14、16。 【预测命题18】奇数和偶数的运算性质。 1．按要求把算式写完整。（要求括号里填不为0的数） 和是偶数：123＋( )      和是奇数：53＋( )   积是奇数：5×( )        差是偶数：47－( ) 【答案】 3 2 1 7 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据奇数和偶数的运算性质可知： 和是偶数，123是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数，得出另一个加数一定是奇数； 和是奇数，53是奇数，根据奇数＋偶数＝奇数；得出另一个加数一定是偶数； 积是奇数，5是奇数，根据奇数×奇数＝奇数，得出另一个因数一定是奇数； 差是偶数，47是奇数，根据奇数－奇数＝偶数，得出减数一定是奇数。 【详解】和是偶数：123＋3；（答案不唯一） 和是奇数：53＋2；（答案不唯一） 积是奇数：5×1；（答案不唯一） 差是偶数：47－7；（答案不唯一） 2．如果m－3的差是偶数，m是( )数，那么m＋99的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 奇 偶数 【分析】根据奇数－奇数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，据此解答。 【详解】由分析可得：如果m－3的差是偶数，m是奇数，那么m＋99的和是偶数。 3．《礼记》有言：“孟春之月，盛德在木”。植树节当天，老师带同学们去植树，男生组每队植5棵树，女生组每队植4棵树。如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】奇数 【分析】根据题意，植树总棵数＝男生组植树总棵数＋女生组植树总棵数，男生组植树总棵数＝男生组队伍数×5，女生组植树总棵数＝女生组队伍数×4，植树总棵数为偶数，所以男生组植树总棵数也为偶数，男生组队伍数也为偶数，又因为队伍总数为奇数，所以女生组队伍数是奇数；据此解答。 【详解】由分析可得：如果队伍总数为奇数，植树总棵树为偶数，那么女生组的队伍数是奇数。 【预测命题19】质数与合数。 1．32的因数有( )，其中质数有( )，合数有( )。 【答案】 1、2、4、8、16、32 2 4、8、16、32 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，1既不是质数也不是合数。 【详解】 所以32的因数有1、2、4、8、16、32；其中质数有：2；合数有：4、8、16、32。 【点睛】本题考查因数、质数与合数，解答本题的关键是掌握求一个数的因数的计算方法。 2．在1～10这十个自然数中，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又是质数的是( )；( )既不是质数，也不是合数。 【答案】 9 2 1 【分析】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，最小的质数是2；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【详解】在1～10这十个自然数中，既是奇数又是合数的是9；既是偶数又是质数的是2，1既不是质数，也不是合数。 【预测命题20】质数的的组合。 1．填上合适的质数。 22＝( )＋( )     91＝( )×( ) 【答案】 3 19 13 7 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】22＝3＋19或22＝5＋17    91＝13×7 2．在（    ）里填上合适的的质数。 18＝( )＋( )＝( )＋( )      286＝( )×( )×( ) 【答案】 5 13 7 11 2 11 13 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 【详解】18＝5＋13＝7＋11 286＝2×11×13 【预测命题21】分解质因数。 1．在37、48、59、71中，( )是合数，把这个数分解质因数是( )。 【答案】 48 48＝2×2×2×2×3 【分析】除了1和它本身之外，还有其他因数的数是合数；把一个合数用质数相乘的形式表现出来就是分解质因数；据此填空即可。 【详解】由分析可知，在37、48、59、71中，48是合数，把这个数分解质因数是48＝2×2×2×2×3。 2．四个连续自然数的积是360，这四个数的和是( )。 【答案】18 【分析】因为四个连续自然数的积是360，因此360一定包含这四个连续自然数中所有的质因数。因此，可以将360先分解质因数；再根据“四个自然数是连续的”这一条件确定这四个连续自然数；最后将这四个数加起来求和即可。 【详解】360＝2×2×2×3×3×5＝3×2×2×5×2×3＝3×（2×2）×5×（2×3）＝3×4×5×6 所以这四个连续自然数是3，4，5，6。 3＋4＋5＋6＝18 所以这四个数的和是18。 【点睛】把一个数分解成质数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。 【预测命题22】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数的实际应用。 1．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 2．便民超市新运进215瓶无菌消毒洗手液，如果每3瓶装一箱，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】不能；能；215不是3的倍数，是5的倍数 【分析】如果215是3的倍数，则每3瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。如果215是5的倍数，则每5瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。根据3和5的倍数的特征进行分析。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】2＋1＋5＝8，8不是3的倍数，则215不是3的倍数。215个位是5，则215是5的倍数。 答：如果每3瓶装一箱，不能正好装完；如果每5瓶装一箱，能正好装完。因为215不是3的倍数，是5的倍数。 3．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用56米长的栅栏圈出一块长方形地，供师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 【答案】187平方米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长糊2，代入数据，求出长方形地的长与宽的和，即56÷2＝28米；长方形的长和宽都是质数，把28分解成两个质数相加，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出长方形面积，比较大小即可得解。 【详解】56÷2＝28（米） 28以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23 5＋23＝28（米） 11＋17＝28（米） 长方形长是23米，宽是5米； 面积：5×23＝115（平方米） 长方形长是17米，宽是11米； 面积：11×17＝187（平方米） 115＜187，最大面积是187平方米。 答：这个长方形的面积最大是187平方米。 4．傍晚弟弟开灯，一连开了8下。请你说说这时灯亮了还是没亮。13下呢？ 【答案】不亮；亮 【分析】弟弟拉第一下灯，灯亮，再拉一下，灯不亮，再拉一下，灯亮，可见灯是按亮、不亮、亮、不亮的顺序循环出现的，所以拉奇数下灯亮，偶数下灯不亮；所以，拉了8下开关灯是不亮的，同种方法可求出拉13下灯的状态。 【详解】拉奇数下灯变亮，偶数下变为不亮； 拉8下，为偶数次，所以这时灯是不亮的； 拉13下，为奇数次，所以这时灯是亮的； 答：这时灯是不亮的，13下后这时灯是亮的。 【点睛】完成本题的关键是明确开关拉偶数次开关的状态与原来相比不变，拉奇数次状态变化。 【预测命题23】猜数问题。 1．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【答案】256199 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【详解】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 2．小丽家的电话号码由八位数字组成，已知第一位数字为10以内最大的偶数；第二位数字为4的最小倍数；第三位数字为只有因数1和3的数；第四位数字为既是偶数又是质数的数；第五位数字为最小的质数；第六位数字为最小的合数；第七位数字为一位数中最大的合数；第八位数字为6的最大因数。你知道这个号码是多少吗？ 【答案】84322496 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，即可写出这个八位数。 【详解】10以内最大的偶数是8；4的最小倍数是4；只有因数1和3的数是3；既是偶数又是质数的数是2；最小的质数是2；最小的合数是4；一位数中最大的合数是9；6的最大因数是6，因此这个八位数是：84322496。 答：这个号码是84322496。 【预测命题24】分数的认识和意义。 1．0.7里面有7个( )分之一，用分数表示是( )；0.07里面有7个( )分之一，用分数表示为( )。 【答案】 十 百 【分析】0.7中7在十分位上，表示7个十分之一；0.07中7在百分位上，表示7个百分之一；把小数化为分数时，先把小数写成分数，原来有几位小数就在l后面写几个0作为分母，原来的小数去掉小数点作为分子，能约分的要约分；据此解答。 【详解】由分析可得：0.7里面有7个十分之一，用分数表示是；0.07里面有7个百分之一，用分数表示为。 2．的分数单位是( )，再添上( )个这样的分数单位后就是1。 【答案】 4 【分析】分母是几分数单位就是几分之一，分子是几就有几个这样的分数单位，将1化成分母是7的假分数，求出两个分子的差，就是需要添上的分数单位的个数。 【详解】1＝、7－3＝4（个） 的分数单位是，再添上4个这样的分数单位后就是1。 【预测命题25】单位“1”。 1．钢琴的白键占琴键总数的，是把( )看作单位“1”，平均分成了( )份，白键占其中的( )份。 【答案】 琴键总数 22 13 【分析】单位“1”的确定，一般是把分率“的”前面的量看作单位“1”，或者是把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。 【详解】钢琴的白键占琴键总数的，是把看作单位“1”，平均分成了22份，白键占其中的13份。 2．一根绳子，王明剪去了，李东剪去了米，两人剪的( )。 A．李东剪的多 B．王明剪的多 C．两人剪的一样多 【答案】B 【分析】把这根绳子的长度看作单位“1”，用单位“1”减去王明剪去的，从而计算出剩下的部分，剩下的部分就是李东最多能剪的部分，依此比较即可。 【详解】1－＝ 则李东最多能剪去这根绳子的，且＞，所以王明剪的多。 故答案为：B 【预测命题26】分数与除法。 1．一盒粽子有18个，平均分给3个同学。每个粽子是这盒粽子的，每个同学分到的粽子是这盒粽子的。 【答案】； 【分析】求每个粽子是这盒粽子的几分之几，就是求1是18的几分之几，用1除以18即可； 把18个粽子平均分给3个同学，先把这盒粽子看作单位“1”，平均分成3份，用1除以3，即是每个同学分到的粽子是这盒粽子的几分之几。 【详解】1÷18＝ 1÷3＝ 每个粽子是这盒粽子的，每个同学分到的粽子是这盒粽子的。 2．一根木料长5.6米，现在将它锯成同样长的小段，七次锯完，每小段占这根木料的( )，每小段长( )米。 【答案】 0.7 【分析】根据题意可知，锯木头锯一次可以把一根木头锯成2段，锯两次可以锯成（段），可以得出锯的段数比锯的次数多1，那么锯七次可以锯成（段），再根据分数的意义和小数的平均分意义解答即可。 【详解】根据题意可得锯七次，可以把这根木头锯成（段），由分数的意义可知，每小段占这根木料的； （米） 每小段占这根木料的（），每小段长（0.7）米。 【点睛】根据题意，锯木头的段数比锯的次数多1，再根据题意进一步解答即可。 【预测命题27】真分数·假分数·带分数。 1．将下列假分数化成带分数后直接写到括号内。 ＝( )       ＝( )      ＝( ) 【答案】 【分析】把假分数化成带分数，用分子除以分母，得到的商作带分数的整数部分，余数作分子，分母不变，据此解答。 【详解】＝15÷7＝ ＝17÷8＝ ＝35÷6＝ 2．在分数中（m是非0自然数），当m( )时，是真分数；当m( )时，是假分数；当m( )时，实际上是整数。 【答案】 小于9 大于或等于9 是9的倍数 【分析】分子比分母小的分数叫作真分数；分子大于或等于分母的分数叫作假分数；当假分数的分子是分母的倍数时，分数可化为整数。 【详解】在分数中，当m小于9时，是真分数；当m大于或等于9时，是假分数；当m是9的倍数时，实际上是整数。 【预测命题28】分数的基本性质。 1．( )÷18＝＝( )（填带分数）。 【答案】30；12；20； 【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数的大小不变； 分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母； 假分数化带分数：分子除以分母，求出商和余数。商是带分数的整数部分，余数是带分数分数部分的分子，分母不变。据此解题。 【详解】 ＝30÷18 5÷3＝1……2 所以，30÷18＝＝＝＝。 2．的分母增加10，要使分数的大小不变，分子应该增加( )。 【答案】4 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；的分母增加10，也就是分母乘3，根据分数的基本性质，要使分数的大小不变，分子也要乘3，2×3＝6，相当于分子增加（6－2）。 【详解】5＋10＝15 15÷5＝3 2×3－2 ＝6－2 ＝4 的分母增加10，要使分数的大小不变，分子应该增加4。 【预测命题29】约分和通分。 1．把下面分数约成最简分数。 ＝        ＝        ＝        ＝        ＝ 【答案】；；；； 【分析】根据分数的基本性质进行约分，通常分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果是分子和分母只有公因数1的最简分数。 【详解】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 2．把下面每组中的两个数通分。 和    和    和    和 【答案】，；，；，；， 【分析】通分的方法：先求出这两个分数的分母的最小公倍数，把它作为这两个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数。据此解答即可。 【详解】，； ，； ，； ，。 【预测命题30】最大公因数和最小公倍数的四种求法。 1．30和42的最大公因数是( )，12和20的最小公倍数是( )。 【答案】 6 60 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】（1）30＝2×3×5 42＝2×3×7 30和42的最大公因数是2×3＝6。 （2）12＝2×2×3 20＝2×2×5 12和20的最小公倍数是2×2×3×5＝60。 2．如果a＝3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】根据题意，a＝3b，即a÷b＝3，说明a和b是倍数关系，且a＞b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】如果a＝3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 3．如果a＋1＝b（a，b均为非0自然数），那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】当两个数为互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积，据此解答。 【详解】如果a＋1＝b（a，b均为非0自然数），那么a和b是相邻的自然数，两个相邻的自然数是互质数，所以a和b的最大公因数是1，a和b的最小公倍数是ab。 【点睛】本题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数，明确a和b是互质数是解答题目的关键。 4．A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 42 630 【分析】两个数最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积；两个数的最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，据此解答。 【详解】A＝2×3×5×7 B＝2×3×3×7 A和B的最大公因数是2×3×7＝42。 A和B的最小公倍数是2×3×7×3×5＝630。 A＝2×3×5×7，B＝2×3×3×7，那么A和B的最大公因数是42，A和B的最小公倍数630。 【预测命题31】最大公因数和最小公倍数的实际应用。 1．一个长方形的长是20厘米，宽是12厘米，把这个长方形分成同样大小的正方形，而且没有剩余。这样的正方形边长最大是多少厘米？可以分成多少个？ 【答案】4厘米；15个 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 求出长方形长和宽的最大公因数是分成的最大正方形的边长，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，长方形面积÷正方形面积＝分成的个数，据此列式解答。 【详解】20＝2×2×5 12＝2×2×3 2×2＝4（厘米） 20×12÷（4×4） ＝240÷16 ＝15（个） 答：这样的正方形边长最大是4厘米，可以分成15个。 2．早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答） 1路公交车 5时40分 5时48分 2路公交车 5时40分 【答案】5时56分；6时4分；6时12分 5时52分；6时4分；6时16分；6时28分 6时4分 【分析】1路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上8分钟； 2路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上12分钟； 据此把表格补充完整。 已知1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，求第二次两车同时发车时刻，就是求8和12的最小公倍数，再用第一次两路车同时发车时刻加上最小公倍数，即可求解。 【详解】1路公交车： 5时48分＋8分＝5时56分 5时56分＋8分＝6时4分 6时4分＋8分＝6时12分 2路公交车： 5时40分＋12分＝5时52分 5时52分＋12分＝6时4分 6时4分＋12分＝6时16分 6时16分＋12分＝6时28分 填表如下： 1路公交车 5时40分 5时48分 5时56分 6时4分 6时12分 2路公交车 5时40分 5时52分 6时4分 6时16分 6时28分 8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数：2×2×2×3＝24 即每隔24分两路车就同时发车。 5时40＋24分＝6时4分 答：这两路车6时4分第二次同时发车。 3．小美到爷爷办的养牛场去玩。小美问：“爷爷，这里有多少头牛呢？”爷爷回答说：“这里的牛，3头3头地数，多2头；12头12头地数，多11头；15头15头地数，多14头。而且这群牛的数量在150－200之间。”这群牛有多少头？ 【答案】179头 【分析】3头3头地数，多2头，即少1头；12头12头地数，多11头，即少1头；15头15头地数，多14头，即少1头，也就是先找到3、12和15在150~200之间的公倍数，再用公倍数减1就是这群牛的头数。 【详解】 3、12和15的最小公倍数：3×4×5＝60（头）， 60×3＝180（头） 180－1＝179（头） 答：这群牛有179头。 【预测命题32】分数加减法的实际应用。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中种西红柿，种茄子，其余的种黄瓜。种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 【答案】 【分析】把整个大棚的面积看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去种西红柿、茄子的面积占大棚面积的分率，即是种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几。 【详解】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：种黄瓜的面积占整个大棚面积的。 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的，第二天比第一天少看了这本书的，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【答案】 【分析】把书的总页数看作单位“1”，根据分数减法的意义，用－即可求出第二天看了这本书的几分之几，再加上第一天看的分率，即可求出两天一共看了这本故事书的几分之几。 【详解】－＋ ＝＋ ＝ 答：两天一共看了这本故事书的。 【预测命题33】牛奶兑水问题。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了杯。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 【答案】见详解；纯牛奶杯；水杯 【分析】把这杯纯牛奶看作单位“1”，第1次喝了杯，即把单位“1”平均分成2份，喝了其中的1份；兑满水，又喝了杯，此时喝的杯里，一半是纯牛奶，一半是水；借助图形可知，杯的一半是杯，喝的纯牛奶是（＋）杯，喝的水是杯。 【详解】 表示杯的一半是杯； 纯牛奶： ＋ ＝＋ ＝（杯） 水：杯。 答：他一共喝了杯纯牛奶，杯水。 【点睛】借助画图理解“的一半是多少”，掌握异分母分数加减法的计算方法是解题的关键。 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【答案】杯；杯 【分析】喝了半杯纯芒果汁，即杯，兑满水后，杯子中有一半纯果汁一半水，再喝半杯，又喝了杯纯芒果汁和杯水，将两次喝的纯芒果汁加起来即可。 【详解】＋＝＋＝（杯） 答：这时小丽一共喝了杯芒果汁，杯水。 【点睛】异分母分数相加减，先通分再计算。 【预测命题34】最圆问题。 1．一张正方形纸片的边长6厘米，用它剪成一个最大的圆，这个圆的周长是( )，面积是( )，剪去的面积是( )。 【答案】 18.84厘米/18.84cm 28.26平方厘米/28.26cm 7.74平方厘米/7.74cm 【分析】一张正方形纸片的边长6厘米，用它剪成一个最大的圆，则这个最大的圆的直径就是这个正方形的边长即6厘米，利用圆的周长公式可求出其周长；剪去的面积就等于原正方形面积减去圆形面积。 【详解】圆的周长：3.14×6＝18.84（厘米） 圆的面积：3.14×（6÷2）×（6÷2） ＝3.14×3×3 ＝9.42×3 ＝28.26（平方厘米） 正方形纸片面积：6×6＝36（平方厘米） 剪下的面积：36－28.26＝7.74（平方厘米） 所以这个圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米，剪去的面积是7.74平方厘米。 2．小明在一个长8厘米、宽6厘米的长方形里画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 8 20.56 【分析】根据题意可知：以8厘米为直径画半圆最大，利用半圆周长公式C＝πd÷2＋d，把数代入计算即可。 【详解】如图： 这个半圆的直径是8厘米， 3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 周长是20.56厘米。 【点睛】本题关键知道怎样在长方形上画一个最大的半圆；注意半圆的周长是圆周长的一半加上一条直径。 【预测命题35】圆中的倍数关系、比例关系、增减变化关系。 1．一个圆的周长是9.42cm，它的半径是( )cm，若它的半径扩大到原来的3倍，则周长扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。 【答案】 1.5 3 9 【分析】根据圆的半径＝r÷π÷2，代入数据即可；再根据圆的周长公式和圆的面积公式可计算出原来圆的周长和面积与扩大后的圆的周长和面积，最后再用扩大后的周长除以原来的周长、用扩大后的面积除以原来的面积即可得到答案。 【详解】圆的半径：9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（cm） 扩大后的半径：1.5×3＝4.5（cm） 扩大后的周长：4.5×2×3.14 ＝9×3.14 ＝28.26（cm） 周长扩大到原来的：28.26÷9.42＝3 原来圆的面积：3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（cm2） 扩大圆的面积：3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（cm2） 面积扩大到原来的：63.585÷7.065＝9 【点睛】解答此题的关键是求出原来圆的半径，然后再根据半径与直径的关系，圆的周长公式和圆的面积公式进行计算即可。 2．下图中大圆与小圆的半径比是2∶1，则大圆与小圆的周长比是( )；大圆与小圆的面积比是( )。 【答案】 2∶1 4∶1 【分析】因为圆的周长公式为：C＝2πr，所以大圆与小圆的周长比为半径比为2∶1，又因为圆的面积公式为：S＝πr2，所以大圆与小圆的面积比为半径比的平方为：22∶12，所以为4∶1，据此解答。 【详解】由分析可得：大圆与小圆的周长比是2∶1； 大圆与小圆的面积比是：22∶12＝4∶1。 【点睛】本题根据圆的周长公式C＝2πr和圆的面积公式S＝πr2，进行判断填空即可。 3．把一张圆形的纸片剪成两个相等的半圆形，它的周长增加了8厘米，这张圆形纸片的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 2 12.56 【分析】把一张圆形纸片剪成两个相等的半圆，它们的周长之和比原来的圆增加两条直径，用8厘米除以2由此求出圆的直径。再根据直径和半径之间的关系，求出圆的半径，根据圆的面积：S＝，代入数据即可求出求出圆的面积。 【详解】8÷2÷2＝2（厘米） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 即这张圆形纸片的半径是2厘米，面积是12.56平方厘米。 【点睛】理解增加的周长是两条直径是解题的关键。 【预测命题36】外圆内方和外方内圆。 1．一面外圆内方装饰物（如图）。装饰物直径是20cm，圆与正方形之间部分的面积是( )cm2。 【答案】114 【分析】观察图形可知，圆与正方形之间部分的面积＝圆的面积－正方形的面积；圆的面积根据S圆＝πr2求解，求正方形的面积时，要把正方形用对角线平均分成两个一样的三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积。分别求出圆和正方形的面积，再相减即可。 【详解】如图： 圆的面积： 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×100 ＝314（cm2） 正方形的面积： 20×（20÷2）÷2×2 ＝20×10÷2×2 ＝200÷2×2 ＝200（cm2） 314－200＝114（cm2） 圆与正方形之间部分的面积是114cm2。 【点睛】本题考查组合图形面积的计算，关键在计算正方形的面积时，运用转化思想，把正方形的面积转化成两个一样的三角形的面积，根据三角形的面积公式求解。 2．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处事的朴素道理。如果下图中外面正方形的面积是16dm2，则内圆的面积是( )dm2。 【答案】12.56 【分析】根据正方形的面积公式：S＝a2，已知正方形的面积是16dm2，可求出正方形的边长为4dm，即圆的直径为4dm，则圆的半径为（4÷2）dm，根据圆的面积公式：S＝代入数据求出内圆的面积。 【详解】因为4×4＝16（dm2） 所以正方形的边长为4dm。 圆的半径为4÷2＝2（dm） 3.14×2×2＝12.56（dm2） 即内圆的面积是12.56dm2。 【点睛】此题主要考查正方形和圆的面积公式的实际运用。 【预测命题37】半圆的周长和面积。 1．王阿姨准备用栅栏在靠墙的地方围一个半圆形鸡圈，靠墙的地方为直径不用栅栏。已知这个半圆的直径是6米，需要栅栏( )米，这个鸡圈的面积是( )。 【答案】 9.42 14.13 【分析】需要栅栏的长度，实际是求圆的周长的一半，根据圆的周长公式：C＝，求出圆的周长后，再除以2即可求出栅栏的长度，根据圆的面积公式：S＝，代入数据求出圆的面积，再除以2即可求出这个鸡圈的面积。 【详解】3.14×6÷2＝9.42（米） 3.14×（6÷2）2÷2 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝14.13（平方米） 即需要栅栏9.42米，这个鸡圈的面积是14.13平方米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和面积公式求解。 2．一张半圆形纸片的半径是4cm，它的周长是( )cm，面积是( )cm2，用它剪成一个最大的三角形，这个三角形的面积是( )cm2。 【答案】 20.56 25.12 16 【分析】圆周长＝2πr，圆面积＝πr2。据此，先求出对应圆的周长，再将周长除以2，再将商加上直径的长度，即可求出半圆的周长；先求出对应圆的面积，再除以2，即可求出这个半圆形的面积。在半圆里面剪出一个最大的三角形，这个三角形的底是直径，高是半径，再根据“三角形面积＝底×高÷2”列式求出这个三角形的面积。 【详解】2×3.14×4÷2＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（cm2） （4×2）×4÷2 ＝8×4÷2 ＝16（cm2） 所以，它的周长是20.56cm，面积是25.12cm2，用它剪成一个最大的三角形，这个三角形的面积是16cm2。 【预测命题38】圆周长的实际应用。 1．一辆电动车轮胎的外直径约是50厘米，如果平均每分钟转200周，通过一座长950米的大桥，大约需要几分钟？（得数保留整数） 【答案】3分钟 【分析】先利用圆的周长公式求出轮胎的周长，也就是转一圈可以走的路程，进而求出车轮每分钟行驶的路程，再据“路程÷速度＝时间”即可求出过这座桥所用的时间。 【详解】50厘米＝0.5米 3.14×0.5＝1.57（米） 1.57×200＝314（米） 950÷314≈3（分钟） 答：大约需要3分钟。 【点睛】解答此题的关键是，知道自行车过桥时，是自行车的车轮的周长与大桥的长度有关系，理清思路，利用公式和数量关系，即可解答。 2．王帅响应“绿色出行”的号召，选择骑自行车上学。自行车轮子的直径是80厘米。如果车轮子每分钟转100圈，他从家里到学校需要骑行10分钟，王帅家距离学校多少米？（车身长度忽略不计） 【答案】2512米 【分析】根据“”表示出自行车轮子的周长，再乘车轮子每分钟转的圈数求出自行车每分钟行驶的路程，最后利用“路程＝速度×时间”求出王帅家与学校之间的距离，据此解答。 【详解】3.14×80×100 ＝251.2×100 ＝25120（厘米） 25120厘米＝251.2米 251.2×10＝2512（米） 答：王帅家距离学校2512米。 【点睛】掌握圆的周长计算公式求出自行车每分钟行驶的路程是解答题目的关键。 3．杂技演员要表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过43.96米的钢丝，车轮要转多少圈？ 【答案】35圈 【分析】根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出车轮的周长，把钢丝的长度换算成厘米后，再除以车轮的周长，即可求出车轮要转的圈数。 【详解】43.96米＝4396厘米 3.14×40＝125.6（厘米） 4396÷125.6＝35（圈） 答：车轮要转35圈。 【点睛】此题的解题关键是利用圆的周长公式，解决实际的问题。 【预测命题39】圆环面积的实际应用。 1．公园中圆形花坛的周长是31.4米。 （1）这个花坛的占地面积是多少平方米？ （2）如果要在这个花坛的周围铺一条宽为1米的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）78.5平方米（2）34.54平方米 【详解】（1）31.4÷3.14÷2＝5（米） 3.14×5×5＝78.5（平方米） 答：这个花坛的占地面积是78.5平方米。 （2）31.4÷3.14÷2＝5（米） 5＋1＝6（米） 3.14×（6×6－5×5）＝34.54（平方米） 答：这条小路的面积是34.54平方米。 2．一个圆形花坛的直径是6米，现在要扩建花坛，把它的半径增加1米。 （1）花坛的面积比原来增加了多少平方米？ （2）花坛的周长比原来增加多少米？ 【答案】（1）21.98平方米 （2）6.28米 【详解】（1）6÷2＝3（米） 3.14×[（3＋1）2－32] ＝3.14×[16－9] ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：花坛的面积比原来增加21.98平方米。 （2）3.14×（6＋1×2）－3.14×6 ＝3.14×8－18.84 ＝25.12－18.84 ＝6.28（米） 答：花坛的周长比原来增加6.28米。 【预测命题40】含圆的不规则或组合图形的周长。 1．下图是由三个半圆组成的图形，求图形的周长。（单位：厘米） 【答案】12.56厘米 【分析】图形的周长＝大圆周长一半＋小圆周长＝半径2厘米的圆的周长，据此列式计算。 【详解】3.14×2×2＝12.56（厘米） 2．计算下面图形的周长。     【答案】228.5cm 【分析】观察图形可知，该组合图形的周长等于＝半圆的周长＋三条正方形的边长，据此解答即可。 【详解】50×3.14÷2＋50×3 ＝157÷2＋150 ＝78.5＋150 ＝228.5（cm） 【预测命题41】含圆的不规则或组合图形的面积。 1．计算如图阴影部分的面积。 【答案】15.87平方厘米 【分析】利用梯形面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，梯形的上底为（3＋3＋2）厘米，下底为12厘米，高为3厘米，代入求出梯形的面积，利用圆的面积公式：S＝，再除以2求出半圆的面积，所以阴影部分的面积等于梯形面积减去半圆面积。 【详解】（3×2＋2＋12）×3÷2－3.14×32÷2 ＝（6＋2＋12）×3÷2－3.14×9÷2 ＝20×3÷2－14.13 ＝30－14.13 ＝15.87（平方厘米） 2．求下图阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】22平方厘米 【分析】如图：通过平移，把上面的阴影部分补充到空白部分，下面的阴影部分可组成一个梯形，梯形的上底是4厘米，下底是7厘米，高是4厘米，根据梯形的面积公式，即可求出阴影部分的面积。 【详解】（4＋7）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝22（平方厘米） 3．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】9.42平方厘米 【分析】经过平移后，如图：大圆的半径为2厘米，空白小圆的半径为（2÷2）厘米，利用圆的面积公式，分别计算大圆和空白小圆的面积，用大圆的面积减去空白小圆的面积，即是阴影部分的面积。 【详解】3.14×22－3.14×（2÷2）2 ＝3.14×4－3.14×1 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方厘米） 4．下图正方形的边长为2cm，求阴影部分的周长和面积。 【答案】6.28cm；2.28cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长等于半径为2cm的半圆的周长；阴影部分的面积等于半径为2cm的2个圆的面积减去正方形的面积；根据圆的周长和面积公式，代入相应数值计算即可。 【详解】 （cm） （cm2） 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】因数和倍数·奇数和偶数·质数和合数综合应用。 1．妈妈的银行卡密码是一个六位数。根据下面信息，银行卡密码是( )。 第一位数：既是偶数，又是质数；第二位数：既是5的倍数，又是5的因数； 第三位数：既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数：既不是质数，也不是合数； 第五位数：既是奇数，又是合数；第六位数：一位数中最大的合数。 【答案】256199 【分析】2、5、3的倍数的特征： 2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数； 5的倍数：个位上是的0或5数； 3的倍数：各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 奇数和偶数，自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。 质数和合数，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 【详解】第一位数：既是偶数又是质数的数是2； 第二位数：既是5的倍数，又是5的因数的数是5； 第三位数：既是2的倍数，又是3的倍数的一位数是6； 第四位数：既不是质数，也不是合数的数是1； 第五位数：既是奇数，又是合数是一位数是9； 第六位数：一位数中最大的合数是9； 所以这个银行密码：256199。 【点睛】本题把2、5、3的倍数的特征、奇数偶数、质数合数与银行卡六位密码相结合，充满趣味又不失严谨的风范。只是思考量稍大，解题时注意别马虎。 2．贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是( )。 【答案】84254451 【分析】 第三位数字是最小的质数，则是2；六位数字是最小的合数，是4，第一位数字是第六位数字的2倍，第一位就8；第八位数字是8个数字的公因数，是1。设这个数的第二位和第五位是a，第四位和第七位是b，则这个8位数是，观察后设，根据运算的算理则＝8020＋x，，再根据前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477列出方程求出a和b的值。 【详解】设 则a是4，b是5 贝贝家的电话是84254451。 【点睛】要熟练掌握加减乘除的运算的算理。 【重点攻克02】分解质因数与最大公因数、最小公倍数。 1．把自然数X和Y分解质因数，分别是，，如果X和Y的最大公因数是6，那么n＝( )，X和Y的最小公倍数是( )。 【答案】 2 60 【分析】X和Y公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，目前公有质因数只有3，6÷3＝2，那么n是2，才能保证这两个数的最大公因数是6； 公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数，据此列式求出X和Y的最小公倍数。 【详解】6÷3＝2 2×3×5×2＝60 所以，n＝2，X和Y的最小公倍数是60。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解题的关键。 2．A和B都是自然数，分解质因数A＝2×5×C；B＝3×5×C。如果A和B的最小公倍数是60，那么C＝( )。A和B的最大公因数是( )。 【答案】 2 10 【分析】（1）根据最小公倍数的意义，最小公倍数就是A和B公倍数中最小的一个，即最小公倍数是A和B都含有的质因数的乘积，再乘上A和B独自含有的质因数，所得的积就是它们的最小公倍数。所以A和B的最小公倍数是2×3×5×c＝60，据此求出C； （2）根据最大公因数的意义，最大公因数就是A和B公因数中最大的一个，即最大公因数是A和B都含有的质因数的乘积，所得的积就是它们的最大公因数；所以A和B的最大公因数是：5×C，因为C已求出，问题得解。 【详解】（1）由A＝2×5×C；B＝3×5×C，可知A和B都含有的质因数是5和C，A独自含有的质因数是2，B独自含有的质因数是3， 所以A和B的最小公倍数是：2×3×5×c＝60，C＝60÷（2×3×5）＝2； （2）由A＝2×5×C；B＝3×5×C，可知A和B都含有的质因数是5和C， 所以A和B的最大公因数是：5×C，C＝2所以：5×C＝5×2＝10； 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的意义。注意最大公因数是两个数都含有的因数的乘积，最小公倍数是两个数都含有的质因数的乘积，再乘上独自含有的质因数。 【重点攻克03】最小公倍数的实际应用。 1．一盒围棋，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗。如果这盒围棋子的数量在150至200颗之间，这盒围棋子有多少颗？ 【答案】179颗 【分析】4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，5颗5颗数多4颗，说明围棋棋子数量比4、6、5的公倍数少1，求出4、6、5的最小公倍数，再找到150至200之间的公倍数，减去1即可。 【详解】4、6和5的最小公倍数是60。 200÷60＝3……20 60×3－1 ＝180－1 ＝179（颗） 【点睛】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 2．有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱还差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少 【答案】670个 【分析】如果每32个一箱，最后一箱只有30个，如果每24个、28个装一箱，最后一箱还差2个，只要把总数加2，就同时被24、28、32三个数整除，因此求出24、28、32在1000内的公倍数，然后减去2，即可求解。 【详解】24＝2×2×2×3，28＝2×2×7，32＝2×2×2×2×2，所以24、28、32的最小公倍数是2×2×2×3×7×2×2＝672，672－2＝670（个），在1000以内符合条件。 答：这批水果共有670个。 【点睛】余数相同，灵活运用最小公倍数的求解方法，然后减去余数，即可得解。 【重点攻克04】约分的实际应用。 1．的分子和分母同时减去一个数，约分后得，同时减去的这个数是多少？ 【答案】2 【分析】的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后是，根据分数的性质，把的分子分母同时扩大相同的倍数，且分子分母的值不超过23和30，则有下面几种：、、 、 、，可以发现原来的分数分子分母同时减去2符合题意。 【详解】根据分数的基本性质： ====== 可以发现23-2=21；30-28=2 答：同时减去的这个数是2。 【点睛】解答本题的关键是利用分数的基本性质找出所有数，然后进行观察比较才能得出答案。 2．一个分数的分子与分母的和是50，如果把分子和分母都减去5，所得的数约分后是。原来的分数是多少？ 【答案】 【分析】列举约分后得到的分数：、可以发现的分子和分母都加上5后，和是50。 【详解】由分析知：的分子、分母各加上5是： 32＋5＝37 8＋5＝13 37＋13＝50 符合题意，所以这个分数是。 答：这个分数是。 【点晴】抓住约分后是这个已知条件，用列举法找出约分后是的分数，再把分子、分母分别加上5后，新的分子分母之和是50，符合这个条件的分数就找出来了。 【重点攻克05】定义新运算与规律探索。 1．对于整数a，b，规定a※b＝a×b－1，又知（3※x）※2＝0，则x＝( )。 【答案】0.5 【分析】根据定义的新运算a※b＝a×b－1，把（3※x）※2＝0进行转换，解方程即可。 【详解】因为a※b＝a×b－1，所以3※x＝3x－1，（3x－1）※2＝2×（3x－1）－1＝6x－2－1＝0； 6x－2－1＝0 解：6x＝3 x＝0.5 故答案为：0.5 【点睛】解答此题的关键是能把新的运算转换成我们所学的加减乘除相关运算，再解方程。 2．已知2⭕3＝2＋3＋4＝9，5⭕4＝5＋6＋7＋8＝26，若x⭕3＝15，则x＝( ) 【答案】4 【分析】观察等式，可知2⭕3表示从2开始，3个连续自然数的和，5⭕4表示从5开始，4个连续自然数的和，由此可知x⭕3表示从x开始，3个连续自然数的和，据此列方程求解即可。 【详解】由x⭕3＝15，得： x＋（x＋1）＋（x＋2）＝15 3x＋3＝15 3x＝12 x＝4 故答案为：4。 【点睛】本题考查定义新运算，关键是根据已知等式，正确理解新定义的运算规则。 【重点攻克06】列方程解追及问题和相遇问题。 1．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是290米/分，乙的速度是250米/分。经过多少分钟甲第二次追上乙？（提示：可以画图思考） 【答案】20分钟 【分析】甲、乙两人沿着环形跑道跑步，他们同时从一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙时需要比乙一共多走整整一圈400米，第二次追上乙要多走整整二圈800米。也就是两人的路程差是800米。据此解答。 【详解】解：设经过x分钟甲第二次追上乙。 290x－250x＝400×2 40x＝800 x＝20 答：经过20分钟甲第二次追上乙。 【点睛】理解在环形跑道追及问题中，若两人同时同向出发，快者第几次追上慢者，就需要比慢者多走几个全程是解答本题的关键。 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【答案】270米 【分析】根据题意，设明明每分钟走x米。根据路程差÷速度差＝追及时间，路程差也是甲、乙两地距离，速度和×相遇时间＝总路程，列方程解答。 【详解】解：设明明每分钟走x米。 18（x－60）＝2（x＋60） 18x－1080＝2x＋120 18x－2x＝120＋1080 16x＝1200 x＝75 （75＋60）×2 ＝135×2 ＝270（米） 答：甲、乙两地相距270米。 【点睛】解答此题的关键是找到追及路程中的路程差和相遇路程中的总路程相等。 【重点攻克07】外方内圆和外圆内方。 1．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处事的道理。 如图，外面正方形的边长为10分米，那么正方形内最大圆的半径是( )分米，这个圆的面积是( )平方分米。    【答案】 5 78.5 【分析】在“外方内圆”中，正方形的边长就是圆的直径，即圆的直径是10分米。先用圆的直径÷2求出圆的半径；再根据圆的面积求出这个圆的面积。 【详解】10÷2＝5（分米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 所以，正方形内最大圆的半径是5分米，这个圆的面积是78.5平方分米。 【点睛】解决此题关键是明确在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。 2．如图，在圆内画了一个最大正方形，圆的面积是31.4平方厘米。正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】20 【分析】设圆的半径为r，根据圆面积公式和正方形面积公式可知，这个图形中的正方形的面积为2r2，圆的面积为πr2，用31.4÷3.14即可求出r2是多少，进而求出正方形的面积。 【详解】如图： 要使正方形的面积最大，正方形的对角线为圆的直径， 设圆的半径为r，圆的面积为πr2，正方形的面积为：2r2 3.14×r2＝31.4 r2＝31.4÷3.14 r2＝10 所以正方形的面积为：2×10＝20（平方厘米） 正方形的面积是20平方厘米。 【点睛】本题主要考查了正方形和圆的关系，熟记相关公式是解答本题的关键。 【重点攻克08】含圆的不规则、组合图形的周长与面积。 1．如图，以三角形的三个顶点为圆心画圆，圆的半径都是20厘米。图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】628平方厘米 【分析】以三角形的三个顶点为圆心画圆，则阴影部分是三个扇形，它们的圆心角之和就是三角形的内角和，即是180°，根据圆的面积公式：S＝πr2，然后用圆的面积乘即可求出阴影部分的面积。 【详解】 ＝3.14×400× ＝1256× ＝628（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是628平方厘米。 【点睛】本题考查圆的面积，结合三角形的内角和是180°是解题的关键。 2．有一个边长是4米的正方形草场，在它的一组对角分别拴了一头牛，拴牛的绳长是4米。两头牛共同吃到草的面积是多少平方米？ 【答案】9.12平方米 【分析】如图两头牛共同吃到草的面积是图中叶子形状（阴影部分）的面积，连接叶子对角，阴影部分被分成完全相同的两部分，先用的圆形面积减去三角形的面积求出阴影面积的一半，最后再乘2即可求出两头牛共同吃到草的面积。 【详解】（3.14×424×4÷2）×2 ＝（3.14×1616÷2）×2 ＝（12.56－8）×2 ＝4.56×2 ＝9.12（平方米） 答：两头牛共同吃到草的面积是9.12平方米。 【点睛】通过作图的方式把所求面积分割成两部分，用的圆形面积减去三角形的面积的求出每部分的面积是解题的关键。 3．图中，圆的周长是12.56厘米，圆的面积正好等于长方形的面积。 （1）你能求出这个长方形的周长吗？ （2）你能求出阴影部分的面积吗？（此小题为选做题，结果不计入等级） 【答案】（1）16.56厘米；（2）9.42平方厘米 【分析】（1）通过观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，那么a＝S÷b，据此求出长方形的长，然后根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，把数据代入公式解答。 （2）在长方形里面的空白部分面积等于圆的面积的，因为圆的面积正好等于长方形的面积，所以阴影部分面积等于圆的面积的（1－），即阴影部分的面积等于圆面积的，据此解答即可。 【详解】（1）12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 12.56÷2＝6.28（厘米） （6.28＋2）×2 ＝8.28×2 ＝16.56（厘米） 答：长方形的周长是16.56厘米。 （2）3.14×22×（1－） ＝3.14×4× ＝9.42（平方厘米） 答：阴影部分的面积是9.42平方厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（     ）（请写出计算过程） 【答案】； ； ； （计算过程见详解） 【分析】（1）异分母分数相减，先通分，然后分母不变，把分子相减。1－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝。 （2）通过观察计算结果找出规律。－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝；……（≥1）。 （3）根据规律可知：＝，前后两个相邻的分数因为运算符号相反，所以相加得0。 【详解】 ＝ 计算过程如下： ＝ ＝1－ ＝ 【点睛】一个分数，如果分子是1，分母是两个相邻自然数的积，那么这个分数就可以拆分成两个分子是1，分母是两个相邻自然数的分数相减的形式。 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 （请展示你的思维过程） 【答案】 【分析】、、……据此将所有加数拆成1－几分之一的形式，再根据交换结合律，将所有的1加起来，剩余的减数，根据减法的性质，将所有的减数先加起来，再拆成相减的形式，中间全部抵消，进而简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 【答案】 【分析】根据分数的裂项可知＝＋；＝＋；＝＋；……＝＋；＝＋，利用此规律把原式转换，然后利用减法的性质和加法结合律即可简便运算。 【详解】－＋－＋－＋……＋－ ＝＋－（＋）＋＋－（＋）＋……＋＋－（＋） ＝＋－－＋＋－－＋……＋＋－－ ＝－ ＝ 2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。            【答案】；（发现见详解） 【分析】（1）小题，因为；；即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。所以，可利用拆项的方法计算； （2）小题，；；即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1，这样一来，使计算简便。 【详解】由分析得： 我的发现： （1）即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。 （2）即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1。 【点睛】这两道题，一个是可以拆成分数之差；一个可以拆成分数之和。正是利用这种特殊的结构来达到简算的目的。 【难点挑战02】带分数拆分法。 1．计算。 。 【答案】 【分析】将带分数拆成整数＋分数，利用加法交换结合律写成，4个整数看成10＋100＋1000＋10000，最后减4，将4个分数的和化成带分数，再与整数和相加即可。 【详解】 2．计算。 【答案】 【分析】将带分数拆成整数加真分数，利用乘法结合律和交换律，将整数与整数相加，分数与分数相加，最后将它们的和相加。分数的和为，可以将这些分数放在看作单位“1”的正方形中，如图：，空白部分占正方形的，则其他部分占正方形的，即。 【详解】 【难点挑战03】分组法。 1．计算。 【答案】885 【分析】观察算式可知：分母相同的分数，其分子从1到比分母小1个数，凡是分母是奇数的，如＝1，＝2，都是整数，且等于，以此类推；分母是偶数的，如＝0.5，＝1.5，＝2.5以此类推，＝29.5，此时，从0.5到29.5一共有59个数，并且我们用第一个数加上最后一个数，用它们的和去乘个数59，再除以2，就是这个算式的最终结果。 【详解】 ＝0.5＋1＋1.5＋2＋2.5＋……29.5 ＝（0.5＋29.5）×59÷2 ＝30×59÷2 ＝1770÷2 ＝885 【点睛】本题关键是能够找出分母相同且为奇数的数相加的和的规律；及分母相同且为偶数的分数相加的规律。其次也要懂得仿照用高斯求和公式，用第一个数加上最后一个数，再用这个和乘这些数的个数，最后用积除以2，就是答案了。 2．计算。 ＋…… 【答案】390 【分析】每个括号中按同分母分数加法计算，然后化成小数，利用凑项求和。 【详解】＋…… ＝0.5＋1＋1.5＋2＋…＋19.5 ＝（0.5＋1＋1.5＋2＋…＋19.5＋0.5＋1＋1.5＋…＋19.5）÷2 ＝[（0.5＋19.5）＋（1＋19）＋…＋（19.5＋0.5）]÷2 ＝（0.5＋19.5）×39÷2 ＝390 【点睛】本题考查了分数的简便计算，观察规律，再计算。 【难点挑战04】材料探究与新定义。 1．对大于0的自然数n规定一种运算“G”：①当n是奇数时，；②当n是偶数时，等于n连续被2除，直到商是奇数。将k次“G”运算记作，如，，。计算： （1）的值； （2）的值： （3）的值。 【答案】（1）； （2）； （3）4 【分析】首先正确理解新定义的算式的含义，当n是奇数时，按照3n＋1来计算；当n是偶数时，按照n连续被2除计算，直到商是奇数。然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 【详解】（1） 答：的值为6064。 （2） 答：的值为34。 （3） 从开始，计算结果是1和4循环，（2021－11）÷2＝2010÷2＝1005，所以。 答：的值为4。 【点睛】解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式的含义。 2．整数的奥秘。 6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的自然数，叫做完全数（也叫做完美数）。8的因数有1、2、4、8，这几个因数的关系是：1＋2＋4＜8，像8这样的自然数，叫做亏数。20的因数有1、2、4、5、10、20，这几个因数的关系是：1＋2＋4＋5＋10＞20，像20这样的自然数，叫做盈数。3和5是一对质数，且相差2，像3和5这样相差为2的一对质数叫做孪生质数。 （1）请你找出20以内的其他孪生质数。 （2）小新说：“最小的盈数是12”。你同意他的说法吗？请说明理由。 【答案】（1）5和7、11和13、17和19；（2）同意 【分析】（1）根据像3和5这样相差为2的一对质数叫做孪生质数，先列举出20以内的质数，再找出两个质数相差2的一对质数即可。 （2）根据20的因数有1、2、4、5、10、20，这几个因数的关系是：1＋2＋4＋5＋10＞20，像20这样的自然数，叫做盈数，根据盈数的定义，质数不是盈数，先列举出12以下的合数的因数，看能不能找到比12还小的盈数。 【详解】（1）20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。 由题意得，3和5是一对孪生质数， 7－5＝2 5和7是一对孪生质数， 13－11＝2 11和13是一对孪生质数， 19－17＝2 17和19是一对孪生质数。 （2）4的因数有：1、2、4， 这几个因数的关系是：1＋2＜4 6的因数有：1、2、3、6， 这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6 8的因数有1、2、4、8， 这几个因数的关系是：1＋2＋4＜8 9的因数有1、3、9， 这几个因数的关系是：1＋3＜9 10的因数有1、2、5、10， 这几个因数的关系是：1＋2＋5＜10 12的因数有1、2、3、4、6、12， 这几个因数的关系是：1＋2＋3＋4＋6＞12 根据盈数的定义，说明4、6、8、9、10都不是盈数，质数也不是盈数。 所以找不到比12还小的盈数，小新说：“最小的盈数是12”。此说法正确。 我同意小新的说法。 【点睛】本题主要考查了质数、合数、因数的灵活应用，关键是分析题干的信息，解决问题。 【难点挑战05】最小公倍数的复杂应用。 1．早上下了一场大雪后，豆豆和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一地点同向行走，豆豆每步长约54厘米，爸爸每步长约72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印，这条小路长约多少米？ 【答案】21.6米 【分析】从“两人各走完一圈后又都回到出发点”可知，环形小路的长度是54和72的公倍数。先用短除法求出54和72的最小公倍数是216，那么在216厘米里，豆豆的脚印有216÷54＝4个，爸爸的脚印有216÷72＝3个，每间隔216厘米就有一对脚印重合，即在每一个216厘米里有4＋3－1＝6个脚印。因为是环形小路，首尾相接，两端重合在一起，所以重合的脚印个数和间隔数相等。这条环形小路留下了60个脚印，60里有多少个6，即有多少个216厘米，即小路的长。据此解答。 【详解】 2×3×3×3×4＝216 54和72的最小公倍数是216，所以从起点开始，每216厘米有一对脚印重合。 在每一个216厘米里的脚印有： 216÷54＋216÷72－1 ＝4＋3－1 ＝6（个） 环形小路的长度： 216×（60÷6） ＝216×10 ＝2160（厘米） 2160厘米＝21.6米 答：这条小路长约21.6米 【点睛】本题主要考查了公倍数的应用，关键是要根据两人步长的最小公倍数来求出两人脚印重合的步数。 2．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？ 【答案】30分钟 【分析】由题意可知，相遇时走的路程差是圆形跑道的整数倍，甲、乙、丙三人两两相遇时的路程差都是300米，根据“路程差÷速度差”计算甲乙、甲丙、乙丙分别经过多少分钟相遇，再求出它们的最小公倍数即可。 【详解】甲乙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－100） ＝300÷20 ＝15（分钟） 甲丙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－70） ＝300÷50 ＝6（分钟） 乙丙第二次相遇时经过的时间：300÷（100－70） ＝300÷30 ＝10（分钟） 2×3×5＝30（分钟） 答：30分钟之后3人又可以相聚。 【点睛】本题主要考查环形路线中的追及问题和最小公倍数的应用，灵活运用追及问题的计算公式是解答题目的关键。 【难点挑战06】复杂的含圆的阴影部分面积问题。 1．如图，一个半径为1cm的小圆盘沿着一个直径为4cm的大圆盘外侧做无滑动的滚动。当小圆盘的中心围绕大圆 盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是( )cm2。 【答案】12.56 【分析】如下图，涂黄色阴影部分是两个半径为1cm的半圆，可以组成一个圆；黑色阴影部分是一个圆环；所以小圆盘运动过程中扫过的面积＝圆环的面积＋半径为1cm的小圆面积。 根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】4÷2＝2（cm） 2＋1×2 ＝2＋2 ＝4（cm） 3.14×（42－22）× ＝3.14×（16－4）× ＝3.14×12× ＝9.42（cm2） 3.14×12＝3.14（cm2） 一共：9.42＋3.14＝12.56（cm2） 小圆盘运动过程中扫过的面积是12.56cm2。 【点睛】本题考查圆环的面积、圆的面积公式的运用，分析出小圆盘运动过程中扫过的面积是由哪些图形的面积相加得到，然后根据图形的面积公式列式计算。 2．如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】1.14 【分析】根据题意，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积； 在圆里画一个最大的正方形，如下图，用正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个最大正方形的面积； 最后用圆的面积减去最大正方形的面积，即是阴影部分的面积。 【详解】圆的半径：2÷2＝1（cm） 圆的面积：3.14×1×1＝3.14（cm2） 圆内最大正方形的面积：2×1÷2×2＝2（cm2） 阴影部分的面积：3.14－2＝1.14（cm2） 阴影部分的面积是1.14cm2。 【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是把圆内最大正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积求解。 【难点挑战07】圆的动态变化问题。 1．如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。 （1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？ （2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点( )。（括号里填、、或。） 【答案】（1）50.24厘米 （2）B 【分析】（1）当小圆从大圆上的点 A 出发，沿着大圆滚动，第一次回到点 A 时，小圆的圆心走过路线的长度是半径为6＋2＝8厘米的圆一周的长度； （2）小圆的半径是 2cm ，大圆的半径是 6cm，则小圆滚动3圈后才能回到A点，这个过程中M点与大圆接触3次；M第9次与大圆接触时，小圆又回到A点，小圆第10次与大圆接触时，是走了大圆一周的，即12.56厘米，更接近于B点。 【详解】（1）2×3.14×（2＋6） ＝2×3.14×8 ＝50.24（厘米） 答：小圆的圆心走过路线的长度是50.24厘米。 （2）根据分析可得，当点 M 第10次与大圆接触时，点 M 更接近大圆上的点B。 【点睛】本题考查圆的周长，解答本题的关键是分析圆的运动轨迹。 2．如图所示，两个圆周只有一个公共点，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，甲、乙两虫同时从点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题取3） （1）问乙虫第一次爬回到点时，需要多少秒？ （2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到点时甲虫恰好爬到点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由。 【答案】（1）180秒 （2）能；乙虫至少爬了4圈 【分析】（1）当乙虫第一次爬到A点时，正好爬了一个小圆的周长，再根据路程÷速度＝时间解答即可； （2）根据题意，计算出小圆周长与大圆周长的一半的最小公倍数，然后再用最小公倍数除以小圆的圆周长就是乙虫爬行的圈数，列式解答即可得到答案。 【详解】（1） （秒） 答：乙虫第一次爬回到点时，需要180秒。 （2）能 90与72的最小公倍数是360 （圈） 答：此时乙虫至少爬了4圈。 【点睛】解答此题的关键是确定小圆的周长和弧AB的长，然后再进行计算即可。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$