期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 32 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 32 目 录 .................................................................... 5 ................................................................ 5 ...................................................................... 5 ............................ 5 ............................................................... 6 .............................................. 7 .............................................................................7 ...................................................................................... 7 .................................................................... 7 .................................................................8 .....................................................................8 .............................................. 8 ........................................................... 9 .............................................................. 10 ............................................10 .............................................................. 11 .................................................... 12 ........................................................ 12 ...................................................12 ..................................... 13 ................................13 3 / 32 ....................14 ......................................................................... 14 ..................................................................................14 ............................................15 ...................... 16 ............................................ 17 .............................................................. 17 .............................................................. 18 ...................................... 18 .................. 19 ................................................. 19 ................................................. 20 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............................................................... 32 5 / 32 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．直接写得数。 13 9 28 14   7 5 12 36   3 1 2 4   37 5   14 5 25 7   1 15 9 2   5 15 6 8   7 9 12 8   2．直接写出得数。 60 17   3 1 10 2   3 3 4 5   12 7   1 1 10 5   10.5 2   2 21 7   3 1 5 6   1．计算下面各题，能简算的要简算。 4 5 －（ 1 4 ＋ 3 8） 11 9 － 5 7 － 2 7 6 / 32 2 7 × 1 8 ×24 1 6 ÷ 1 15＋ 5 6 ×15 2．计算下面各题，能简算的要简算。 8 3 1 8 9 11 9 11    9 1 7 16 2 16       7 35 35 8 8    1 1 1 11 3 6 2        1．解方程。 77 8 x  5 5 6 24 x  8x＋10x＝144 2．解方程。 5 2 8 3 x   45 4 225x  38.6 16.8 5 x x  7 / 32 1．比一比，在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4 8 5 3  ( ) 83 2 3 9 4  ( ) 29 7 4 13  ( ) 7 4 13  2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3 3 4 4  ( ) 3 4 9 4 10 7  ( ) 9 10 13 1 20 4  ( ) 13 4 20  1．单位换算。 9 5分＝( )秒 3 7 角＝( )元 3 4 m＝( )cm 125 4 mL＝( )L 5 72 dm2＝( )cm2 36 35 时＝( )日 2．单位换算。 11 12 时＝( )分 3 5元＝( )角 21 25 m＝( )cm 7 8 L＝( )mL 13 20 dm2＝( )cm2 56日＝( )时 1．83的倒数是( )，( )与 0.45互为倒数，( )的倒数是 1； 如果 a和 b互为倒数，那么 ab÷ 45 ＝( )。 2． 27 ×( )＝5×( )＝ 1 3 ×( )＝ 71 8 ×( )＝1。 3．【 】已知 a 45 ＝b  4 5 ＝c，其中 a、b、c均不为 0，那么 a、b、c这三个 数中，最大的是( )，最小的是( )。 4．【 】已知 43 ×a＝b÷ 4 5 ＝c÷0.2＝d× 6 6，且 a、b、c、d四个数均不为 0。那 么，在这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 1．张大爷家苹果树的棵数比梨树多 47 ，这里是把( )看作单位“1”， 苹果树的棵数相当于梨树的( )。若苹果树有 154棵，梨树有( ) 棵。 8 / 32 2．甲数比乙数多45%，看作单位“1”的数是( )数，甲数相当于乙数的 ( )%；如果乙数是 100，甲数就是( )。 1．6米的电线用去 23米，还剩( )米；若用去 2 3，还剩( )米。 2．一条长 4米的彩带，先剪去全长的 1 4 ，又剪去 3 4 米，还剩( )米。 3．张叔叔分装 20千克糖果，如果每袋装 1 5 ，可以装( )袋；如果每袋装 1 5 千克，可以装( )袋。 4．把一根绳子折成两段，第一段长 3 5米，第二段占全长的 3 5，这根绳子全长 ( )米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长( )米，每 段是全长的( )。 1．李师傅用 3 5吨花生榨油 6 25吨，平均每吨花生榨油( )吨，榨一吨油要 ( )吨花生。 2．小红骑自行车去公园，她 25 小时骑行了 6km。照这样的速度，她 1小时可以 骑行( )km，她每骑行 1km用( )小时。 1．图书馆在学校西偏南 35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35° 方向上。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从 A点出发，先向( ) 走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点 B。 9 / 32 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店 ( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店 ( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南 45°，距离淘气家 300米。试着 在图中画出超市的位置。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中 1 5 种西红柿， 3 7 种茄子，其余的种黄瓜。种 黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的 1 5 ，第二天比第一天少看了这本书 的 1 6 ，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 10 / 32 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了 12 杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了 1 3杯。 他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝 了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 1．光在空气中的传播速度是 30万千米/秒，在玻璃中的传播速度是它在空气中 传播速度的 2 3，光在玻璃中的传播速度是多少万千米/秒？ 2．池塘里有 14只鹅，正好是鸭的只数的 27，池塘里有多少只鸭子？（先写出等 量关系，再画出示意图，最后解决问题） 3．芳芳和欢欢两人各买了一本同样价格的字典。芳芳花去所带钱的 47 ，欢欢花 去所带钱的 3 5。已知芳芳带了 42元，你知道欢欢带了多少元吗？ 11 / 32 4．育才小学开展了节水活动，9月共用水 240吨，10月的用水量比九月少 1 6 ， 10月用水多少吨？ 5．果园今年收获樱桃 3400千克，受天气影响比去年减产 320。果园去年收获樱 桃多少千克？ 1．某校六年级有学生 184人，五年级有学生 196人，两个年级的学生人数正好 占全校人数的 1 3，这个学校一共有多少人？ 2．国光超市运来一批休闲套装，上衣比裤子贵 36元。已知裤子是上衣的 3 5，这 套休闲套装上衣和裤子各多少元钱？（用两种方法解） 3．饲养场养鹅和鸭共 630只，其中养的鹅的只数是鸭的 3 4 ，该饲养场养鹅、鸭 分别有多少只？ 12 / 32 1．食堂有一批大米，第一周用去了总数的四分之一，第二周用去了余下的五分 之二，两周一共用去了 660千克。这批大米一共有多少千克？（用方程解） 2．一根电线，电工师傅第一次用去了它的 1 4 ，第二次用去了余下的 2 3，还剩下 40米，电工师傅第一次用去多少米？ 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 ( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上 标有 3的面与标有( )的面相对，标有 6的面与标有( )的面相对。 13 / 32 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备 和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是 ( )字。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、 高分别是 25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．一根铁丝可以扎成一个长 6分米，宽 3分米，高 3分米的长方体，如果用这 根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是 9米，宽是 6米，高是 3.5米，门窗的 面积是 16.5平方米。如果每平方米需要花 6元涂料费，粉刷这向教室需要多少 涂料费？ 14 / 32 2．5月 21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长 46厘米的正方体纸箱 的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红 纸？ 1．一个正方体木箱的棱长总和是 24米，它的体积是多少立方米？ 2．一辆汽车的油箱，从里面量长 8分米，宽 4分米，高 2.5分米，如果这辆汽 车每千米的耗油量是 0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，它的棱长总和扩大到原来的 ( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( ) 倍。 2．一个正方体的棱长是 4cm，现将棱长扩大为原来的 3倍，它的表面积扩大为 原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 1．把棱长是 10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是 1dm的小正方 体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 2．如图是由 7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色 （底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体 有( )个。 15 / 32 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 2．有一张长方体表面展开图（如图）。 （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 16 / 32 1．一块长 4米的长方体木料，把它锯成 2米长的两段，表面积增加了 8平方分 米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 2．把一个长 8厘米，宽 6厘米，高 4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方 体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 3．一个长方体（如下图），如果高增加 4厘米，就变成了棱长是 10厘米的正方 体，这个长方体的体积是多少？ 4．如图，一个太阳能电池板是由 6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的 长是 12分米，宽 2分米，高 2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平 方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 17 / 32 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为 200( )，占地面积大约占地 60( )。 爸爸一次献血 200( )，汽车油箱容积 48( )。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2 800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方 0.65dm3＝( )L＝( )mL 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为 5厘米的正方形，然后 沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积 是多少？ 18 / 32 1．把一个棱长为 9分米的正方体铁块，熔铸成一个长 18分米，高 60厘米的长 方体，这个长方体的宽是多少分米？ 2．一个棱长为 4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长 8分米，宽 4分 米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 3．有一个长方体容器，底面长 30厘米，宽 20厘米，高 10厘米，里面的水深 6 厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小 面为底面），里面的水深是多少厘米？ 1．爸爸在一个底面长、宽分别是 5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山 石，水面上升了 3厘米。这个假山石的体积是多少？ 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长 8分米，宽 5分米，高 7分米，里面水深 5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为 4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升 高多少分米？ 19 / 32 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为 3分米，水深 2.8分米，将一块石头完 全浸没在水中，这时溢出水 1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 1．一个棱长 8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长 2厘米的小正方 体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 2．有三块高分别为 10厘米、20厘米和 30厘米的长方体木块，它们的底面均为 边长是 10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个 物体的体积是多少？表面积呢？ 1．甲工程队每天修路 0.54千米，比乙工程队每天修的 3倍少 0.18千米。乙工程 队每天修路多少千米？（请列方程解答） 20 / 32 2．果园里有桃树和苹果树共 182棵，苹果树的棵数是桃树的 2.5倍。两种果树 各有多少棵？（请列方程解答） 1．甲乙两船从相距 226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过 4小时两船 相遇。甲船每小时行 26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 2．甲、乙两车同时从 A城开往 B城。7小时后，甲车超过乙车 42千米，甲车 每小时行 78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 1．四年级同学要去参加为期 5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每 间住 8人，那么有 6人没有房间住；如果每间多住 2人，那么有 6间空出来，四 年级一共有多少人？（列方程解） 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件 需快递员派送。若每个快递员派送 10件，还剩 6件；若每个快递员派送 12件， 还差 6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 21 / 32 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有 48条。笼子里鸡和兔各有多 少只？（列方程解答） 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有 35个头，从下面数，有 94只脚。鸡 和兔各有多少只？（用方程解） 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条 2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行 程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯 才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第 24分钟时，( ) 大伯走在( )大伯前面( )米处。 22 / 32 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶 40千米。 (3)4路车与 7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 23 / 32 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( ) 月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电 ( )千瓦时。 2．小小统计员：下面是五年级兴趣小组的人数情况统计表。（每人只能选一个 兴趣小组） （1）根据统计表内的数据将统计图补充完整。 （2）在这四个兴趣小组中，人数最多的是( )组。 （3）( )组男生人数最多，( )组女生人数最少。 （4）参加篮球组的男生比参加科技组的女生多( )人，参加手工组的男 生和女生一共有( )人。 1．学校举行广播体操比赛，7位评委给一个班级的打分如下：5分、8分、7.5 分、8.5分、9分、10分、7分。去掉一个最高分和一个最低分，这个班的平均 分是多少分？ 24 / 32 2．笑笑在一分钟投篮比赛中，2次投的平均个数是 25个，要使 3次投的平均个 数是 26个，第 3次应投多少个？ 3．2020至 2021学年度第二学期淘气参加了 4次数学考试，4次数学考试的平均 分是 93分。已知他第一次的成绩是 89分，第二次和第三次的成绩都是 94分， 淘气第四次数学考试的成绩是多少分？ 25 / 32 1．一个长方体长 16分米，高 7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积 增加 160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．一个密封的长方体容器，里面长 8分米，宽 2分米，高 4分米，已装了一部 分水，水深 2.5分米。 （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深 是多少分米？ 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长 3分米，宽 2分米，高 4分米，缸中水深 1.8 分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是 多少？ 26 / 32 1．如图 1，一个棱长为6cm的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全 部挖空），正面的孔是一个边长为 2cm的正方形，图 1剩余部分的体积是多少？ 如果像图 2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图 2 剩余部分的体积是多少？ 2．用棱长是 1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多 少平方厘米？ 1．电脑录入一份稿件，甲单独录入 10小时完成，乙单独录入 15小时完成，如 果两人一起录入 4小时后，余下的稿件由甲单独来完成，甲还要多少小时完成？ 27 / 32 2．老刘和小李合作一项工作需要 12天完成，如果让老刘先做 8天，剩下的工作 由小李单独做，小李还要 14天才能完成。小李单独做这项工作需要几天才能完 成？ 1．星期五下午实验小学进行清洁大扫除活动，六（1）班参加大扫除的女生是男 生的 4 5 ，后来调走 22名女生，又调入 22名男生，这时女生是男生的 1 4 ，这个小 学原来参加大扫除活动的有多少人？ 2．六年级一班女学生人数是男学生的 57 ，后来有 2名男生调入本班，这时女学 生人数是男学生的 2 3，原来六年级一班有男、女学生各多少人？ 1．甲、乙两人沿着 400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而 行。甲的速度是 290米/分，乙的速度是 250米/分。经过多少分钟甲第二次追上 乙？（提示：可以画图思考） 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过 18 分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过 2分钟两人相遇。已知洋洋每 分钟走 60米，甲、乙两地相距多少米？ 28 / 32 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－ 12 ＝ 1 2 1 2 － 1 3＝     1 3－ 1 4 ＝     1 4 － 1 5 ＝     1 2 ＋ 1 6 ＋ 1 12＋ 1 20 ＝（ ）（请写出计算过程） 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 1 5 11 19 29 41 55 2 6 12 20 30 42 56 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ （请展示你的思维过程） 29 / 32 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 5 7 9 11 13 15 41 43 6 12 20 30 42 56 420 462         2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。   1 1 1 11 2 6 12 110       1 5 11 1092 2 6 12 110     1．计算。 7 7 7 79 +99 +999 +9999 8 8 8 8 。 2．计算。 1 1 1 119 9 7 3 8 2 4 8 16     30 / 32 1．计算。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 59 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 60 60 60 60 60                + 2．计算。 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5                          ＋… 1 2 3 40 40 40      … 38 39 40 40     1．如图，一个长方体，如果长增加 3厘米，宽和高都不变，体积增加 6立方厘 米；如果宽增加 4厘米，长和高都不变，体积增加 32立方厘米；如果高增加 5 厘米，长和宽都不变，体积增加 20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平 方厘米？ 1 / 80 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 2 / 80 目 录 .................................................................... 5 ................................................................ 5 ...................................................................... 5 ............................ 6 ............................................................... 8 ............................................ 10 ...........................................................................11 .................................................................................... 12 .................................................................. 14 ...............................................................15 ...................................................................17 ............................................ 19 ......................................................... 21 .............................................................. 22 ............................................24 .............................................................. 26 .................................................... 28 ........................................................ 29 ...................................................31 ..................................... 32 ................................33 3 / 80 ....................33 ......................................................................... 34 ..................................................................................35 ............................................37 ...................... 39 ............................................ 40 .............................................................. 41 .............................................................. 43 ...................................... 45 .................. 46 ................................................. 48 ................................................. 49 ...................................... 50 ....................................52 .............................................. 53 ..................................................................... 55 ............................................................................. 59 ...............................................................61 ...............................61 ...................62 ....................................................................... 64 ................................................................... 66 4 / 80 ...................................67 ...............................................................69 .......................69 ............................................................... 72 ........................................................................... 73 .......................................74 ....................................................................... 76 ............................................................... 77 5 / 80 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的 综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按 到 划 分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难 点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据 学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不 同考点、不同考题进行讲解与训练。 1．直接写得数。 13 9 28 14   7 5 12 36   3 1 2 4   37 5   14 5 25 7   1 15 9 2   5 15 6 8   7 9 12 8   【答案】 31 28； 4 9； 7 4 ； 35 3 2 5 ； 5 6； 4 9 ； 14 27 【详解】略 2．直接写出得数。 60 17   3 1 10 2   3 3 4 5   12 7   1 1 10 5   10.5 2   2 21 7   3 1 5 6   【答案】0； 45 ； 3 20； 13 7 1 2 ； 1 4 ；6； 1 10 【详解】略 6 / 80 1．计算下面各题，能简算的要简算。 4 5 －（ 1 4 ＋ 3 8） 11 9 － 5 7 － 2 7 2 7 × 1 8 ×24 1 6 ÷ 1 15＋ 5 6 ×15 【答案】 7 40； 2 9 6 7 ；15 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算括号外的减法； （2）根据减法的性质，先算 57 ＋ 2 7，再算减法； （3）根据乘法结合律，先运算 1 8 ×24，再用 2 7乘它们的乘积； （4）先把除以 1 15改写成乘 15，再根据乘法分配律简算。 【详解】 4 5 －（ 1 4 ＋ 3 8） ＝ 4 5 －（ 2 8 ＋ 3 8） ＝ 4 5 － 5 8 ＝ 32 40－ 25 40 ＝ 7 40 11 9 － 5 7 － 2 7 ＝ 11 9 －（ 5 7 ＋ 2 7） ＝ 11 9 －1 ＝ 2 9 2 7 × 1 8 ×24 ＝ 2 7 ×3 ＝ 6 7 7 / 80 1 6 ÷ 1 15＋ 5 6 ×15 ＝ 1 6 ×15＋ 56 ×15 ＝（ 1 6 ＋ 5 6）×15 ＝1×15 ＝15 2．计算下面各题，能简算的要简算。 8 3 1 8 9 11 9 11    9 1 7 16 2 16       7 35 35 8 8    1 1 1 11 3 6 2        【答案】（1）0（2） 12 （3）35（4） 223 【分析】（1）根据“带符号搬家”的方法，原式＝ 8 1 3 8 9 9 11 11    ，再运用减法的性 质简算； （2）运用减法的性质简算； （3）把 35÷8转化为 35× 1 8，再运用乘法分配律简算； （4）按照分数四则混合运算的顺序，先算减法，再算加法，最后算乘法。 【详解】（1） 8 3 1 89 11 9 11    ＝ 8 1 3 8+ 9 9 11 11        ＝1－1 ＝0 （2） 9 1 7 16 2 16       ＝ 9 1 7+ 16 2 16  ＝ 9 7 1+ 16 16 2  ＝1－ 12 ＝ 1 2 8 / 80 （3） 7 35 35 8 8    ＝ 7 135 35 8 8    ＝（ 7 1+ 8 8 ）×35 ＝1×35 ＝35 （4） 1 1 1 11 3 6 2        ＝ 1 1 11 6 2       ＝ 2 3 ×11 ＝ 22 3 1．解方程。 77 8 x  5 5 6 24 x  8x＋10x＝144 【答案】 1 8 x  ； 1 4 x  ； 8x  【分析】第一小题中根据等式性质在等号两边同时除以 7，除以 7等于乘 17 ，运 用分数乘法计算得出答案；第二小题中在等号两边同时除以 5 6 ，除以 5 6 等于乘 6 5 ， 运用分数乘法得出答案；第三小题中先计算等号左边的加法，将数字部分相加， x不变得到 18x，再同时除以 18，计算得出答案。 【详解】 77 8 x  解： 77 7 7 8 x    7 17 7 8 7 x    1 8 x  5 5 6 24 x  解： 5 5 5 5 6 6 24 6 x    9 / 80 5 6 5 6 6 5 24 5 x   1 4 x  8 10 144x x＋ ＝ 解：18 144x  18 18 144 18x    8x  2．解方程。 5 2 8 3 x   45 4 225x  38.6 16.8 5 x x  【答案】 5 12 x  ； 45x  ； 2.1x  【分析】（1）根据等式的基本性质，方程两边同时乘 58； （2）方程两边同时减去 45，两边再同时除以 4； （3）先把方程左边化简为8x，两边再同时除以 8即可。 【详解】（1） 5 28 3 x   解： 5 5 8 8 5 2 8 3 x     2 5 3 8 x   10 24 x  5 12 x  （2）45 4 225x  解：45 4 45 225 45x    4 225 45x   4 180x  4 4 180 4x    45x  （3） 38.6 16.8 5 x x  解： 43 3 16.8 5 5 x x  10 / 80 40 16.8 5 x  8 16.8x  8 8 16.8 8x    16.8 8x   2.1x  1．比一比，在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 4 8 5 3  ( ) 83 2 3 9 4  ( ) 29 7 4 13  ( ) 7 4 13  【答案】 ＜ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于 1的数，结果比原来的数小。一个数（0除外） 除以小于 1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）除以大于 1的数，结果 比原来的数小；一个数（0除外）乘大于 1的数，结果比原来的数大；据此解答 即可。 【详解】 4 8 5 3  ＜ 8 3 2 3 9 4  ＞ 2 9 因为 7 4 13  ＜ 7 13， 7 4 13  ＞ 7 13 所以 7 4 13  ＜ 7 4 13  2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3 3 4 4  ( ) 3 4 9 4 10 7  ( ) 9 10 13 1 20 4  ( ) 13 4 20  【答案】 ＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）乘一个大于 1的数，结果大于原数；一个数（0除外） 乘一个小于 1的数，结果小于原数；一个数（0除外）除以一个大于 1的数，商 就小于被除数；除以一个小于 1的数商就大于被除数；据此解答。 【详解】 3 3 4 4  ＜ 3 4 9 4 10 7  ＞ 9 10 11 / 80 13 1 20 4  ＞ 13 4 20  【点睛】此题的解题关键是灵活运用积与因数、商与被除数的关系、分数的大小 比较。 1．单位换算。 9 5分＝( )秒 3 7 角＝( )元 3 4 m＝( )cm 125 4 mL＝( )L 5 72 dm2＝( )cm2 36 35 时＝( )日 【答案】 108 370 75 1 32 125 18 3 70 【分析】1分＝60秒，1元＝10角，1米＝100厘米，1升＝1000毫升，1平方 分米＝100平方厘米，1日＝24小时；大单位变小单位乘进率，小单位变大单位 除以进率，由此解答即可。 【详解】 9 5分＝108秒； 3 7 角＝ 3 70 元； 3 4 m＝75cm； 125 4 mL＝ 1 32 L； 5 72 dm2＝ 125 18 cm2 36 35 时＝ 3 70 日 【点睛】熟练掌握时间单位、面积单位、容积单位、长度单位以及人民币之间的 进率是解答本题的关键。 2．单位换算。 11 12 时＝( )分 3 5元＝( )角 21 25 m＝( )cm 7 8 L＝( )mL 13 20 dm2＝( )cm2 56日＝( )时 【答案】 55 6 84 875 65 20 【分析】1时＝60分；1元＝10角；1米＝100厘米；1升＝1000毫升；1平方 分米＝100平方厘米；1日＝24时，据此解答。 12 / 80 【详解】 11 12时＝55分 3 5元＝6角 21 25m＝84cm 7 8 L＝875mL 13 20 dm2＝65cm2 5 6日＝20时 【点睛】本题考查单位名数的互换，关键是熟记进率。 1．83的倒数是( )，( )与 0.45互为倒数，( )的倒数是 1； 如果 a和 b互为倒数，那么 ab÷ 45 ＝( )。 【答案】 3 8 20 9 1 5 4 【分析】（1）找真分数、假分数的倒数的方法：交换分子、分母的位置； （2）求小数的倒数的方法：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （3）乘积是 1的两个数互为倒数，根据倒数的意义可知：1的倒数还是 1。 （4）根据倒数的意义可知：如果 a和 b互为倒数，则 ab＝1。把 ab＝1整体代入 ab÷ 45 计算即可。 【详解】把 8 3的分子、分母交换位置是 3 8，所以 8 3的倒数是 3 8； 0.45＝ 45100＝ 9 20 ，把 9 20 的分子、分母交换位置是 20 9 ，所以 20 9 与 0.45互为倒数； 因为 1×1＝1，所以 1的倒数是 1。 因为 a和 b互为倒数，所以 ab＝1。ab÷ 45 ＝1÷ 4 5 ＝1× 5 4 ＝ 5 4 。 【点睛】此题考查了倒数的意义及求一个数的倒数的方法。 2． 27 ×( )＝5×( )＝ 1 3 ×( )＝ 71 8 ×( )＝1。 【答案】 7 2 / 13 2 /3.5 1 5 /0.2 3 8 15 【分析】乘积是 1的两个数互为倒数，将带分数化成假分数，交换真分数和假分 13 / 80 数，分子和分母的位置，即可得到它的倒数；整数的倒数等于这个整数分之一， 据此填空。 【详解】 7 151 = 8 8 2 7 × 7 2 ＝5× 1 5 ＝ 1 3 ×3＝ 71 8 × 8 15＝1 【点睛】关键是理解倒数的含义，掌握确定一个数的倒数的方法。 3．【 】已知 a 45 ＝b  4 5 ＝c，其中 a、b、c均不为 0，那么 a、b、c这三个 数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 a b 【分析】由题意知，令 c＝1，a 45＝b  4 5 ＝c，也就是 a  4 5 ＝b× 5 4 ＝1，根据倒 数的概念，可求得 a、b的值，再比较大小即可。 【详解】令 c＝1 a 45 ＝b  4 5 ＝1 即：a 45 ＝b× 5 4 ＝1 a＝ 5 4 ，b＝ 45 5 4 ＞1＞ 45 所以 a＞c＞b a、b、c这三个数中，最大的是 a，最小的是 b。 【点睛】令 c为 1，利用倒数的知识可快速解答本题。 4．【 】已知 43 ×a＝b÷ 4 5 ＝c÷0.2＝d× 6 6，且 a、b、c、d四个数均不为 0。那 么，在这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 d c 【分析】可以设 4 3 ×a＝b÷ 4 5 ＝c÷0.2＝d× 6 6＝1，然后根据因数＝积÷另一个因数， 被除数＝商×除数，分别求出 a、b、c、d的值，再比较大小，找出最大的数和最 小的数。 【详解】设 4 3 ×a＝b÷ 4 5 ＝c÷0.2＝d× 6 6＝1。 14 / 80 a＝1÷ 43＝1× 3 4 ＝ 3 4 ＝0.75 b＝1× 45 ＝ 4 5 ＝0.8 c＝1×0.2＝0.2 d＝1÷ 66＝1÷1＝1 1＞0.8＞0.75＞0.2 d＞b＞a＞c 在这四个数中，最大的数是 d，最小的数是 c。 【点睛】运用赋值法，根据乘法、除法中各部分的关系计算出 a、b、c、d的值， 直接比较大小，更直观。 1．张大爷家苹果树的棵数比梨树多 47 ，这里是把( )看作单位“1”， 苹果树的棵数相当于梨树的( )。若苹果树有 154棵，梨树有( ) 棵。 【答案】 梨树的棵数 11 7 98 【分析】根据题意，苹果树的棵数比梨树多 4 7 ，是把梨树的棵数看作单位“1”， 则苹果树的棵数相当于梨树的（1＋ 47 ）；若苹果树有 154棵，根据分数除法的 意义解答，即可求出梨树的棵数。 【详解】1＋ 47 ＝ 11 7 张大爷家苹果树的棵数比梨树多 4 7 ，这里是把梨树的棵数看作单位“1”，苹果树 的棵数相当于梨树的 11 7 。 154÷117 ＝154× 711 ＝98（棵） 若苹果树有 154棵，梨树有 98棵。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法 15 / 80 的意义解答。 2．甲数比乙数多45%，看作单位“1”的数是( )数，甲数相当于乙数的 ( )%；如果乙数是 100，甲数就是( )。 【答案】 乙 145 145 【分析】由题意可知：45%是乙数的 45%，所以是把乙数看作单位“1”。 乙数是单位“1”，甲数比乙数多45%，则甲数所对应的分率是 1＋45%。求一个数 是另一个数的百分之几的解法：用“比较量÷标准量”来计算，并把结果化成百分 数。据此用（1＋45%）÷1可求出甲数相当于乙数的 145%。 求一个数的百分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）×百分率＝部 分量。据此用 100×145%可求出甲数。 【详解】（1 45% 1＋ ） ＝145%÷1 ＝145% 100 145% 145 ＝ 所以甲数比乙数多45%，看作单位“1”的数是乙数，甲数相当于乙数的145%；如 果乙数是 100，甲数就是 145。 【点睛】此题主要考查了求一个数是另一个数的百分之几、求一个数的百分之几 是多少的问题。 1．6米的电线用去 23米，还剩( )米；若用去 2 3，还剩( )米。 【答案】 15 3 / 16 3 2 【分析】已知 6米的电线用去 23米，根据减法的意义，用全长减去用去的长度， 即是还剩下的长度； 把电线的全长看作单位“1”，用去 23，那么还剩下全长的（1－ 2 3）， 根据求一个 数的几分之几是多少，用全长乘（1－ 23），即可求出剩下的长度。 【详解】6－ 23＝ 15 3（米） 6×（1－ 23 ） 16 / 80 ＝6× 13 ＝2（米） 6米的电线用去 23米，还剩 15 3米；若用去 2 3，还剩 2米。 【点睛】区分“ 23米”和“ 2 3 ”的不同，前者带单位，是具体的数量；后者不带单位， 是分率。 2．一条长 4米的彩带，先剪去全长的 1 4 ，又剪去 3 4 米，还剩( )米。 【答案】 12 4 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用 4乘 1 4 即可得到先 剪去的长度，然后用彩带的长度减去两次剪的长度即可求出还剩下的长度。 【详解】4－4× 1 4 － 3 4 ＝4－1－ 3 4 ＝3－ 3 4 ＝ 12 4（米） 则还剩 12 4米。 3．张叔叔分装 20千克糖果，如果每袋装 1 5 ，可以装( )袋；如果每袋装 1 5 千克，可以装( )袋。 【答案】 5 100 【分析】把糖果的重量看作单位“1”，如果每袋装 1 5 ，则可以装 1÷ 1 5 ＝5袋；根据 除法的意义，用糖果的重量除以每袋装的具体的重量即可求出可以装多少袋。 【详解】1÷ 1 5 ＝1×5＝5（袋） 20÷ 1 5 ＝20×5＝100（袋） 则张叔叔分装 20千克糖果，如果每袋装 1 5 ，可以装 5袋；如果每袋装 1 5 千克，可 以装 100袋。 【点睛】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分 17 / 80 的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量。注意：分率不能带单位 名称，而具体的数量要带单位名称。 4．把一根绳子折成两段，第一段长 3 5米，第二段占全长的 3 5，这根绳子全长 ( )米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长( )米，每 段是全长的( )。 【答案】 3 2 3 8 1 4 【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，第二段占全长的 3 5，则第一段占全长 的（1－ 3 5），然后用第一段的长度除以（1－ 3 5）即可求出全长；对折两次，相 当于把这根绳子平均分成 4份，用全长除以 4即可求出每段的长度；把这根绳子 的全长看作单位“1”，用 1除以段数即可求出每段是全长的几分之几。据此解答。 【详解】 3 5 ÷（1－ 3 5） ＝ 3 5 ÷ 2 5 ＝ 3 5 × 5 2 ＝ 3 2 （米） 3 2 ÷4 ＝ 3 2 × 1 4 ＝ 3 8（米） 1÷4＝ 1 4 所以，把一根绳子折成两段，第一段长 3 5米，第二段占全长的 3 5，这根绳子全长 3 2 米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长 3 8米，每段是全长的 1 4 。 【点睛】本题考查了分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应 的分率。 1．李师傅用 3 5吨花生榨油 6 25吨，平均每吨花生榨油( )吨，榨一吨油要 18 / 80 ( )吨花生。 【答案】 2 5 5 2 【分析】已知用 3 5吨花生榨油 6 25吨，求平均每吨花生榨油多少吨，用 6 25 ÷ 3 5解答； 求榨一吨油要多少吨花生，用 3 5 ÷ 6 25解答。 【详解】 6 25 ÷ 3 5 ＝ 6 25 × 5 3 ＝ 2 5 （吨） 3 5 ÷ 6 25 ＝ 3 5 × 25 6 ＝ 5 2（吨） 李师傅用 3 5吨花生榨油 6 25吨，平均每吨花生榨油 2 5 吨，榨一吨油要 5 2 吨花生。 【点睛】解答本题的关键是弄清楚谁是单一量，再用另一个量进行平均分。 2．小红骑自行车去公园，她 25 小时骑行了 6km。照这样的速度，她 1小时可以 骑行( )km，她每骑行 1km用( )小时。 【答案】 15 1 15 【分析】求 1小时行的千米数即求速度，根据路程÷时间＝速度即可列式计算； 求行 1km用的时间，用自行车行的时间除以路程即可解答。 【详解】6÷ 25 ＝6× 52 ＝15（km） 2 5 ÷6 ＝ 2 5 × 1 6 ＝ 1 15（小时） 19 / 80 她 1小时可以骑行 15km，她每骑行 1km用 1 15小时。 【点睛】此题主要考查关系式：路程÷时间＝速度，时间÷路程＝每行 1km用的 时间。 1．图书馆在学校西偏南 35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35° 方向上。 【答案】 东 北 【分析】根据位置的相对性可知，描述两个物体之间的相对位置时，方向相反， 角度相等，据此解答。 【详解】通过分析可知，图书馆在学校西偏南 35°方向上，则学校在图书馆东偏 北 35°方向上。 【点睛】本题考查了学生对位置相对性的掌握情况，可以画图帮助理解。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从 A点出发，先向( ) 走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点 B。 【答案】 东 3 北偏东 60 12 【分析】根据地图“上北下南，左西右东”的规定，他们是从 A点出发，先向东走 3km；然后以这个地点为观察点，90°－30°＝60°，即向北偏东 60°方法走 12km 到达活动地点 B，如下图所示。 【详解】通过分析可知，他们是从 A点出发，先向东走 3km，再向北偏东 60° 20 / 80 方向走 12km到达活动地点 B。 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店 ( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店 ( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南 45°，距离淘气家 300米。试着 在图中画出超市的位置。 【答案】（1）北；西 30；200； （2）见详解； （3）北；东 60；400； （4）见详解 【分析】（1）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，奇思家距离书店 有 200米，以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定奇思家的位置即可。 （2）同样根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，奇思从家出发，经过书店， 到达学校，每到一个地方，观测点随之发生变化，根据方向、角度、距离确定书 店和学校的位置，再描述出上学的路线即可。 （3）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，经过测量，妙想家离书店 在图上有 2厘米，由此计算出妙想家和书店的实际距离，再以书店为观测点，根 据方向、角度、距离确定妙想家的位置即可。 （4）观察平面图，图上的 1厘米表示实际距离 100米，超市距离淘气家 300米， 21 / 80 用 300米除以 100米，求出这两地在图上的距离是 3厘米，按地图上的方向“上 北下南，左西右东”，再以淘气家为观测点，根据方向、角度、距离确定超市的 位置，并在图中画出超市的位置。 【详解】（1）奇思家的位置是在北偏西 30°，距离书店 200米。 （2）答：奇思从家向南偏东 30°的方向走 200米到书店，再从书店向正东方向 走 280米到学校。 （3）2×200＝400（米） 妙想家的位置是北偏东 60°，距离书店 400米。 （4）300÷100＝3（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查根据方向、角度和距离确定位置以及描述线路图，确定观 测点是关键。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中 1 5 种西红柿， 3 7 种茄子，其余的种黄瓜。种 黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 【答案】 13 35 【分析】把整个大棚的面积看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去种西 红柿、茄子的面积占大棚面积的分率，即是种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分 之几。 【详解】1－ 1 5 － 3 7 22 / 80 ＝ 4 5 － 3 7 ＝ 28 35 － 15 35 ＝ 13 35 答：种黄瓜的面积占整个大棚面积的 13 35 。 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的 1 5 ，第二天比第一天少看了这本书 的 1 6 ，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【答案】 7 30 【分析】把书的总页数看作单位“1”，根据分数减法的意义，用 1 5 － 1 6 即可求出第 二天看了这本书的几分之几，再加上第一天看的分率，即可求出两天一共看了这 本故事书的几分之几。 【详解】 1 5 － 1 6 ＋ 1 5 ＝ 1 30＋ 1 5 ＝ 7 30 答：两天一共看了这本故事书的 7 30。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了 12 杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了 1 3杯。 他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 【答案】见详解；纯牛奶 2 3杯；水 1 6 杯 【分析】把这杯纯牛奶看作单位“1”，第 1次喝了 12 杯，即把单位“1”平均分成 2 份，喝了其中的 1份；兑满水，又喝了 13杯，此时喝的 1 3杯里，一半是纯牛奶， 一半是水；借助图形可知， 1 3杯的一半是 1 6 杯，喝的纯牛奶是（ 1 2 ＋ 1 6 ）杯，喝 的水是 1 6 杯。 23 / 80 【详解】 表示 1 3杯的一半是 1 6 杯； 纯牛奶： 1 2 ＋ 1 6 ＝ 3 6＋ 1 6 ＝ 2 3（杯） 水： 1 6 杯。 答：他一共喝了 2 3杯纯牛奶， 1 6 杯水。 【点睛】借助画图理解“ 13的一半是多少”，掌握异分母分数加减法的计算方法是 解题的关键。 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝 了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【答案】 3 4 杯； 1 4 杯 【分析】喝了半杯纯芒果汁，即 1 2 杯，兑满水后，杯子中有一半纯果汁一半水， 再喝半杯，又喝了 1 4 杯纯芒果汁和 1 4 杯水，将两次喝的纯芒果汁加起来即可。 【详解】 1 2 ＋ 1 4 ＝ 2 4 ＋ 1 4 ＝ 3 4 （杯） 答：这时小丽一共喝了 3 4 杯芒果汁， 1 4 杯水。 【点睛】异分母分数相加减，先通分再计算。 24 / 80 1．光在空气中的传播速度是 30万千米/秒，在玻璃中的传播速度是它在空气中 传播速度的 2 3，光在玻璃中的传播速度是多少万千米/秒？ 【答案】20万千米/秒 【分析】把光在空气中的传播速度看作单位“1”，在玻璃中的传播速度是它在空 气中传播速度的 2 3，求光在玻璃中的传播速度，用光在空气中的传播速度× 2 3解 答。 【详解】30× 23 ＝20（万千米/秒） 答：光在玻璃中的传播速度是 20万千米/秒。 【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法是解答本题的关键。 2．池塘里有 14只鹅，正好是鸭的只数的 27，池塘里有多少只鸭子？（先写出等 量关系，再画出示意图，最后解决问题） 【答案】49只；等量关系和画图见详解 【分析】将鸭的只数看作单位“1”，画一条线段表示鸭的只数，将鸭的只数平均 分成 7份，鹅有这样的 2份，据此画出线段图，标记问题和数据，鹅的只数÷对 应分率＝鸭的只数，据此列式解答。 【详解】鹅的只数÷ 27＝鸭的只数 14÷ 27＝14× 7 2 ＝49（只） 答：池塘里有 49只鸭子。 3．芳芳和欢欢两人各买了一本同样价格的字典。芳芳花去所带钱的 47 ，欢欢花 去所带钱的 3 5。已知芳芳带了 42元，你知道欢欢带了多少元吗？ 【答案】40元 25 / 80 【分析】已知芳芳带了42元，买一本字典后花去所带钱的 47 ，即这本字典是（42× 4 7 ＝24）元，又知欢欢买一本字典花去所带钱的 3 5，用字典的钱数除以 3 5即可求出 欢欢带了多少元。 【详解】42× 47 ÷ 3 5 ＝24÷ 3 5 ＝24× 53 ＝40（元） 答：欢欢带了 40元。 4．育才小学开展了节水活动，9月共用水 240吨，10月的用水量比九月少 1 6 ， 10月用水多少吨？ 【答案】200吨 【分析】把 9月用水量看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即 可。 【详解】240×（1－ 1 6 ） ＝240× 56 ＝200（吨） 答：10月用水 200吨。 【点睛】解答此题的关键是：判断出单位“1”，进而根据一个数乘分数的意义， 用乘法解答。 5．果园今年收获樱桃 3400千克，受天气影响比去年减产 320。果园去年收获樱 桃多少千克？ 【答案】4000千克 【分析】把去年收获樱桃的质量看作单位“1”，今年收获樱桃的质量是去年收获 樱桃质量的（1－ 320），单位“1”未知，已知一个数的几分之几是多少，求这个 数，用除法，用 3400除以（1－ 320），即可求出果园去年收获樱桃多少千克。 26 / 80 【详解】3400÷（1－ 320） ＝3400÷ 1720 ＝4000（千克） 答：果园去年收获樱桃 4000千克。 【点睛】此题的解题关键是先确定单位“1”，再根据分数除法的意义，解决实际 的问题。 1．某校六年级有学生 184人，五年级有学生 196人，两个年级的学生人数正好 占全校人数的 1 3，这个学校一共有多少人？ 【答案】1140人 【分析】把全校人数看作单位“1”，五年级和六年级的总人数占全校人数的 13， 根据“量÷对应的分率”求出学校的总人数，据此解答。 【详解】（184＋196）÷ 13 ＝380÷ 13 ＝1140（人） 答：这个学校一共有 1140人。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 2．国光超市运来一批休闲套装，上衣比裤子贵 36元。已知裤子是上衣的 3 5，这 套休闲套装上衣和裤子各多少元钱？（用两种方法解） 【答案】上衣 90元；裤子 54元 【分析】方法一：把上衣的价钱看作单位“1”，已知裤子是上衣的 3 5，则上衣比 裤子贵的 36元是上衣的（1－ 3 5），单位“1”未知，用贵的钱数除以（1－ 3 5）， 求出上衣的价钱；再用上衣的价钱减去 36，即是裤子的价钱。 方法二：根据“裤子是上衣的 3 5 ”，可以设上衣是 x元，则裤子是 3 5 x元；根据“上 衣比裤子贵 36元”可得出等量关系：上衣的价钱－裤子的价钱＝上衣比裤子贵的 钱数，据此列出方程，并求解。 27 / 80 【详解】方法一： 上衣： 36÷（1－ 3 5） ＝36÷ 25 ＝36× 52 ＝90（元） 裤子：90－36＝54（元） 答：这套休闲套装上衣 90元，裤子 54元。 方法二： 解：设上衣是 x元，则裤子是 3 5 x元。 x－ 3 5 x＝36 2 5 x＝36 x＝36÷ 25 x＝36× 52 x＝90 裤子：90－36＝54（元） 答：这套休闲套装上衣 90元，裤子 54元。 3．饲养场养鹅和鸭共 630只，其中养的鹅的只数是鸭的 3 4 ，该饲养场养鹅、鸭 分别有多少只？ 【答案】养鹅：270只；养鸭：360只 【分析】根据题意，设饲养场养鸭 x只，养鹅的只数是鸭的 3 4 ，即养鹅的只数是 3 4 x只，养鹅与鸭共 630只，即养鸭的只数＋养鹅的只数＝630只，列方程：x ＋ 3 4 x＝630，解方程，即可解答。 【详解】解：设养鸭 x只，则养鹅 3 4 x只。 x＋ 3 4 x＝630 28 / 80 7 4 x＝630 x＝630÷ 7 4 x＝630× 47 x＝360 养鹅：360× 3 4 ＝270（只） 答：饲养场养鹅 270只，养鸭 360只。 1．食堂有一批大米，第一周用去了总数的四分之一，第二周用去了余下的五分 之二，两周一共用去了 660千克。这批大米一共有多少千克？（用方程解） 【答案】1200千克 【分析】根据题意，设这批大米一共有 x千克，第一周用去了总数的 1 4 ，即第一 周用了 1 4 x千克；第二周用去了余下的 2 5 ，用大米的总质量减去第一周用去的质 量，就是余下的质量即（ x－ 1 4 x）千克，根据分数乘法的意义可知第二周用去 了（ x－ 1 4 x）× 25 千克； 根据“两周一共用去了 660千克”可得出等量关系：第一周用去大米的质量＋第二 周用去大米的质量＝两周一共用去大米的质量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这批大米一共有 x千克。 1 4 x＋（ x－ 1 4 x）× 25 ＝660 1 4 x＋ 3 4 x × 25＝660 1 4 x＋ 3 10 x＝660 5 20 x＋ 6 20 x＝660 11 20 x＝660 x＝660÷ 1120 x＝660× 2011 29 / 80 x＝1200 答：这批大米一共有 1200千克。 2．一根电线，电工师傅第一次用去了它的 1 4 ，第二次用去了余下的 2 3，还剩下 40米，电工师傅第一次用去多少米？ 【答案】40米 【分析】把这根电线的长度看作单位“1”，第一次用去了它的 1 4 ，则还剩下它的 （1－ 1 4 ），第二次用去了余下的 2 3，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法 计算，则第二次用去了全长的（1－ 1 4 ）× 23；用 1减去第一次和第二次用去全长 的分率即可求出剩下的长度占全长的分率，即 40米，再根据已知一个数的几分 之几是多少，求这个数，用除法计算，据此可求出这根电线的长度；最后用电线 的全长乘 1 4 即可求出电工师傅第一次用去的长度。 【详解】1－ 1 4 －（1－ 1 4 ）× 23 ＝1－ 1 4 － 3 4 × 23 ＝1－ 1 4 － 1 2 ＝ 3 4 － 1 2 ＝ 1 4 40÷ 1 4 ＝40×4＝160（米） 160× 1 4 ＝40（米） 答：电工师傅第一次用去 40米。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方 形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全 30 / 80 相同。 （2）长方体有 12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有 4条棱。 （3）长方体长方体有 8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长 方体的长、宽、高。 正方体特征： （1）6个面都是正方形，且面积相等； （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有 8个顶点， 6个面，12条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是 ( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 8 5 2 60 【分析】观察图形可知，长方体的长是 8cm，宽是（9－2－2）cm，高是 2cm， 再根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可 解答。 【详解】长是 8cm 宽：9－2－2 ＝7－2 ＝5（cm） 高是 2cm 棱长总和： （8＋5＋2）×4 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 5 【第一章】综合预测篇 5 【预测命题01】分数加减乘除基础计算。 5 【预测命题02】分数加减乘除混合运算和简便计算。 5 【预测命题03】分数加减乘除解方程。 6 【预测命题04】积和乘数的关系·商和被除数的关系。 7 【预测命题05】分数与单位换算。 7 【预测命题06】倒数及其应用。 7 【预测命题07】单位“1”与等量关系式。 7 【预测命题08】分量和分率的区分问题。 8 【预测命题09】分数除法与归一问题。 8 【预测命题10】根据方位图描述位置方向和行进路线。 8 【预测命题11】分数加减法的实际应用。 9 【预测命题12】牛奶兑水问题。 10 【预测命题13】分数乘除法应用题基本题型。 10 【预测命题14】量率对应问题。 11 【预测命题15】单位“1”转换问题。 12 【预测命题16】长方体和正方体的认识与特征。 12 【预测命题17】长方体和正方体的表面展开图。 12 【预测命题18】长方体和正方体的棱长和实际应用。 13 【预测命题19】长方体和正方体的表面积实际应用。 13 【预测命题20】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 14 【预测命题21】棱长扩倍问题。 14 【预测命题22】染色问题。 14 【预测命题23】根据展开图求表面积和体积。 15 【预测命题24】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 16 【预测命题25】面积·体积·容积单位的选择和换算。 17 【预测命题26】图形折叠问题。 17 【预测命题27】等积变形问题。 18 【预测命题28】排水法求不规则物体的体积。 18 【预测命题29】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 19 【预测命题30】列方程解应用题与倍数问题。 19 【预测命题31】列方程解应用题与行程问题。 20 【预测命题32】列方程解应用题与盈亏问题。 20 【预测命题33】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 21 【预测命题34】折线统计图与行程问题。 21 【预测命题35】统计图综合应用。 22 【预测命题36】平均数问题。 23 【第二章】重点攻克篇 25 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 25 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 26 【重点攻克03】工程问题。 26 【重点攻克04】不变量问题。 27 【重点攻克05】列方程解追及问题和相遇问题。 27 【第三章】难点挑战篇 28 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 28 【难点挑战02】带分数拆分法。 29 【难点挑战03】分组法。 30 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 30 【难点挑战05】溢水问题。 31 【难点挑战06】注水运动问题。 32 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】分数加减乘除基础计算。 1．直接写得数。                                                                        2．直接写出得数。                               【预测命题02】分数加减乘除混合运算和简便计算。 1．计算下面各题，能简算的要简算。 －（＋）            －－ ××24                 ÷＋×15 2．计算下面各题，能简算的要简算。             【预测命题03】分数加减乘除解方程。 1．解方程。                              8x＋10x＝144 2．解方程。           【预测命题04】积和乘数的关系·商和被除数的关系。 1．比一比，在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )          ( )           ( ) 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) 【预测命题05】分数与单位换算。 1．单位换算。 分＝( )秒   角＝( )元   m＝( )cm mL＝( )L   dm2＝( )cm2   时＝( )日 2．单位换算。 时＝( )分    元＝( )角    m＝( )cm L＝( )mL    dm2＝( )cm2    日＝( )时 【预测命题06】倒数及其应用。 1．的倒数是( )，( )与0.45互为倒数，( )的倒数是1；如果a和b互为倒数，那么ab÷＝( )。 2．×( )＝5×( )＝×( )＝×( )＝1。 3．【】已知a＝b＝c，其中a、b、c均不为0，那么a、b、c这三个数中，最大的是( )，最小的是( )。 4．【】已知×a＝b÷＝c÷0.2＝d×，且a、b、c、d四个数均不为0。那么，在这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【预测命题07】单位“1”与等量关系式。 1．张大爷家苹果树的棵数比梨树多，这里是把( )看作单位“1”，苹果树的棵数相当于梨树的( )。若苹果树有154棵，梨树有( )棵。 2．甲数比乙数多，看作单位“1”的数是( )数，甲数相当于乙数的( )；如果乙数是100，甲数就是( )。 【预测命题08】分量和分率的区分问题。 1．6米的电线用去米，还剩( )米；若用去，还剩( )米。 2．一条长4米的彩带，先剪去全长的，又剪去米，还剩( )米。 3．张叔叔分装20千克糖果，如果每袋装，可以装( )袋；如果每袋装千克，可以装( )袋。 4．把一根绳子折成两段，第一段长米，第二段占全长的，这根绳子全长( )米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长( )米，每段是全长的( )。 【预测命题09】分数除法与归一问题。 1．李师傅用吨花生榨油吨，平均每吨花生榨油( )吨，榨一吨油要( )吨花生。 2．小红骑自行车去公园，她小时骑行了6km。照这样的速度，她1小时可以骑行( )km，她每骑行1km用( )小时。 【预测命题10】根据方位图描述位置方向和行进路线。 1．图书馆在学校西偏南35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35°方向上。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从A点出发，先向( )走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点B。 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南45°，距离淘气家300米。试着在图中画出超市的位置。 【预测命题11】分数加减法的实际应用。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中种西红柿，种茄子，其余的种黄瓜。种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的，第二天比第一天少看了这本书的，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【预测命题12】牛奶兑水问题。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了杯。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【预测命题13】分数乘除法应用题基本题型。 1．光在空气中的传播速度是30万千米/秒，在玻璃中的传播速度是它在空气中传播速度的，光在玻璃中的传播速度是多少万千米/秒？ 2．池塘里有14只鹅，正好是鸭的只数的，池塘里有多少只鸭子？（先写出等量关系，再画出示意图，最后解决问题） 3．芳芳和欢欢两人各买了一本同样价格的字典。芳芳花去所带钱的，欢欢花去所带钱的。已知芳芳带了42元，你知道欢欢带了多少元吗？ 4．育才小学开展了节水活动，9月共用水240吨，10月的用水量比九月少，10月用水多少吨？ 5．果园今年收获樱桃3400千克，受天气影响比去年减产。果园去年收获樱桃多少千克？ 【预测命题14】量率对应问题。 1．某校六年级有学生184人，五年级有学生196人，两个年级的学生人数正好占全校人数的，这个学校一共有多少人？ 2．国光超市运来一批休闲套装，上衣比裤子贵36元。已知裤子是上衣的，这套休闲套装上衣和裤子各多少元钱？（用两种方法解） 3．饲养场养鹅和鸭共630只，其中养的鹅的只数是鸭的，该饲养场养鹅、鸭分别有多少只？ 【预测命题15】单位“1”转换问题。 1．食堂有一批大米，第一周用去了总数的四分之一，第二周用去了余下的五分之二，两周一共用去了660千克。这批大米一共有多少千克？（用方程解） 2．一根电线，电工师傅第一次用去了它的，第二次用去了余下的，还剩下40米，电工师傅第一次用去多少米？ 【预测命题16】长方体和正方体的认识与特征。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【预测命题17】长方体和正方体的表面展开图。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 【预测命题18】长方体和正方体的棱长和实际应用。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 【预测命题19】长方体和正方体的表面积实际应用。 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是9米，宽是6米，高是3.5米，门窗的面积是16.5平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这向教室需要多少涂料费？ 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 【预测命题20】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 1．一个正方体木箱的棱长总和是24米，它的体积是多少立方米？ 2．一辆汽车的油箱，从里面量长8分米，宽4分米，高2.5分米，如果这辆汽车每千米的耗油量是0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【预测命题21】棱长扩倍问题。 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 2．一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【预测命题22】染色问题。 1．把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 2．如图是由7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色（底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 【预测命题23】根据展开图求表面积和体积。 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 2．有一张长方体表面展开图（如图）。    （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 【预测命题24】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 1．一块长4米的长方体木料，把它锯成2米长的两段，表面积增加了8平方分米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 2．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 3．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？ 4．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【预测命题25】面积·体积·容积单位的选择和换算。 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为200( )，占地面积大约占地60( )。 爸爸一次献血200( )，汽车油箱容积48( )。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 【预测命题26】图形折叠问题。 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【预测命题27】等积变形问题。 1．把一个棱长为9分米的正方体铁块，熔铸成一个长18分米，高60厘米的长方体，这个长方体的宽是多少分米？ 2．一个棱长为4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 3．有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？ 【预测命题28】排水法求不规则物体的体积。 1．爸爸在一个底面长、宽分别是5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米。这个假山石的体积是多少？ 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升高多少分米？ 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【预测命题29】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 2．有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      【预测命题30】列方程解应用题与倍数问题。 1．甲工程队每天修路0.54千米，比乙工程队每天修的3倍少0.18千米。乙工程队每天修路多少千米？（请列方程解答） 2．果园里有桃树和苹果树共182棵，苹果树的棵数是桃树的2.5倍。两种果树各有多少棵？（请列方程解答） 【预测命题31】列方程解应用题与行程问题。 1．甲乙两船从相距226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过4小时两船相遇。甲船每小时行26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 2．甲、乙两车同时从A城开往B城。7小时后，甲车超过乙车42千米，甲车每小时行78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【预测命题32】列方程解应用题与盈亏问题。 1．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？（列方程解） 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【预测命题33】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【预测命题34】折线统计图与行程问题。 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第24分钟时，( )大伯走在( )大伯前面( )米处。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶40千米。 (3)4路车与7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 【预测命题35】统计图综合应用。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( )月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电( )千瓦时。 2．小小统计员：下面是五年级兴趣小组的人数情况统计表。（每人只能选一个兴趣小组） （1）根据统计表内的数据将统计图补充完整。 （2）在这四个兴趣小组中，人数最多的是( )组。 （3）( )组男生人数最多，( )组女生人数最少。 （4）参加篮球组的男生比参加科技组的女生多( )人，参加手工组的男生和女生一共有( )人。 【预测命题36】平均数问题。 1．学校举行广播体操比赛，7位评委给一个班级的打分如下：5分、8分、7.5分、8.5分、9分、10分、7分。去掉一个最高分和一个最低分，这个班的平均分是多少分？ 2．笑笑在一分钟投篮比赛中，2次投的平均个数是25个，要使3次投的平均个数是26个，第3次应投多少个？ 3．2020至2021学年度第二学期淘气参加了4次数学考试，4次数学考试的平均分是93分。已知他第一次的成绩是89分，第二次和第三次的成绩都是94分，淘气第四次数学考试的成绩是多少分？ 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 1．一个长方体长16分米，高7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积增加160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，缸中水深1.8分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是多少？ 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 2．用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【重点攻克03】工程问题。 1．电脑录入一份稿件，甲单独录入10小时完成，乙单独录入15小时完成，如果两人一起录入4小时后，余下的稿件由甲单独来完成，甲还要多少小时完成？ 2．老刘和小李合作一项工作需要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这项工作需要几天才能完成？ 【重点攻克04】不变量问题。 1．星期五下午实验小学进行清洁大扫除活动，六（1）班参加大扫除的女生是男生的，后来调走22名女生，又调入22名男生，这时女生是男生的，这个小学原来参加大扫除活动的有多少人？ 2．六年级一班女学生人数是男学生的，后来有2名男生调入本班，这时女学生人数是男学生的，原来六年级一班有男、女学生各多少人？ 【重点攻克05】列方程解追及问题和相遇问题。 1．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是290米/分，乙的速度是250米/分。经过多少分钟甲第二次追上乙？（提示：可以画图思考） 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（     ）（请写出计算过程） 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 （请展示你的思维过程） 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。            【难点挑战02】带分数拆分法。 1．计算。 。 2．计算。 【难点挑战03】分组法。 1．计算。 2．计算。 ＋…… 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 1．如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【难点挑战05】溢水问题。 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 2．一个长25厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了20毫升。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【难点挑战06】注水运动问题。 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（     ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 ——唐·李白《早发白帝城》 ” 目 录 【序章】专题解读篇 5 【第一章】综合预测篇 5 【预测命题01】分数加减乘除基础计算。 5 【预测命题02】分数加减乘除混合运算和简便计算。 6 【预测命题03】分数加减乘除解方程。 8 【预测命题04】积和乘数的关系·商和被除数的关系。 10 【预测命题05】分数与单位换算。 11 【预测命题06】倒数及其应用。 12 【预测命题07】单位“1”与等量关系式。 14 【预测命题08】分量和分率的区分问题。 15 【预测命题09】分数除法与归一问题。 17 【预测命题10】根据方位图描述位置方向和行进路线。 19 【预测命题11】分数加减法的实际应用。 21 【预测命题12】牛奶兑水问题。 22 【预测命题13】分数乘除法应用题基本题型。 24 【预测命题14】量率对应问题。 26 【预测命题15】单位“1”转换问题。 28 【预测命题16】长方体和正方体的认识与特征。 29 【预测命题17】长方体和正方体的表面展开图。 31 【预测命题18】长方体和正方体的棱长和实际应用。 32 【预测命题19】长方体和正方体的表面积实际应用。 33 【预测命题20】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 33 【预测命题21】棱长扩倍问题。 34 【预测命题22】染色问题。 35 【预测命题23】根据展开图求表面积和体积。 37 【预测命题24】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 39 【预测命题25】面积·体积·容积单位的选择和换算。 40 【预测命题26】图形折叠问题。 41 【预测命题27】等积变形问题。 43 【预测命题28】排水法求不规则物体的体积。 45 【预测命题29】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 46 【预测命题30】列方程解应用题与倍数问题。 48 【预测命题31】列方程解应用题与行程问题。 49 【预测命题32】列方程解应用题与盈亏问题。 50 【预测命题33】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 52 【预测命题34】折线统计图与行程问题。 53 【预测命题35】统计图综合应用。 55 【预测命题36】平均数问题。 59 【第二章】重点攻克篇 61 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 61 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 62 【重点攻克03】工程问题。 64 【重点攻克04】不变量问题。 66 【重点攻克05】列方程解追及问题和相遇问题。 67 【第三章】难点挑战篇 69 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 69 【难点挑战02】带分数拆分法。 72 【难点挑战03】分组法。 73 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 74 【难点挑战05】溢水问题。 76 【难点挑战06】注水运动问题。 77 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习·终极压轴版│Ultimate Edition 【序章】专题解读篇 本专题是期末复习·终极压轴版。本部分内容是对学期内最高频考点考题的综合预测，根据考察频率、考题难度、重点难点，将考点按到划分区间，内容覆盖极广泛，又具有极强的针对性。 本专题一共划分为三大篇章，包括“综合预测篇”、“重点攻克篇”、“难点挑战篇”，每一篇章的侧重点各有不同，考点考题的选择亦有不同，建议根据学生的实际水平和总体情况，将其作为期末复习压轴内容并侧重于不同篇章、不同考点、不同考题进行讲解与训练。 【第一章】综合预测篇 【预测命题01】分数加减乘除基础计算。 1．直接写得数。                                                                      【答案】；；； ；；； 【详解】略 2．直接写出得数。                               【答案】0；；； ；；6； 【详解】略 【预测命题02】分数加减乘除混合运算和简便计算。 1．计算下面各题，能简算的要简算。 －（＋）            －－ ××24                 ÷＋×15 【答案】； ；15 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算括号外的减法； （2）根据减法的性质，先算＋，再算减法； （3）根据乘法结合律，先运算×24，再用乘它们的乘积； （4）先把除以改写成乘15，再根据乘法分配律简算。 【详解】－（＋） ＝－（＋） ＝－ ＝－ ＝ －－ ＝－（＋） ＝－1 ＝ ××24 ＝×3 ＝ ÷＋×15 ＝×15＋×15 ＝（＋）×15 ＝1×15 ＝15 2．计算下面各题，能简算的要简算。             【答案】（1）0（2） （3）35（4） 【分析】（1）根据“带符号搬家”的方法，原式＝，再运用减法的性质简算； （2）运用减法的性质简算； （3）把35÷8转化为35×，再运用乘法分配律简算； （4）按照分数四则混合运算的顺序，先算减法，再算加法，最后算乘法。 【详解】（1） ＝      ＝1－1 ＝0 （2） ＝ ＝ ＝1－ ＝ （3）     ＝ ＝（）×35 ＝1×35 ＝35 （4） ＝ ＝×11 ＝ 【预测命题03】分数加减乘除解方程。 1．解方程。                              8x＋10x＝144 【答案】；； 【分析】第一小题中根据等式性质在等号两边同时除以7，除以7等于乘，运用分数乘法计算得出答案；第二小题中在等号两边同时除以，除以等于乘，运用分数乘法得出答案；第三小题中先计算等号左边的加法，将数字部分相加，x不变得到18x，再同时除以18，计算得出答案。 【详解】 解： 解： 解： 2．解方程。           【答案】；； 【分析】（1）根据等式的基本性质，方程两边同时乘； （2）方程两边同时减去45，两边再同时除以4； （3）先把方程左边化简为，两边再同时除以8即可。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【预测命题04】积和乘数的关系·商和被除数的关系。 1．比一比，在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )          ( )           ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）除以大于1的数，结果比原来的数小；一个数（0除外）乘大于1的数，结果比原来的数大；据此解答即可。 【详解】＜ ＞ 因为＜，＞ 所以＜ 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）乘一个大于1的数，结果大于原数；一个数（0除外）乘一个小于1的数，结果小于原数；一个数（0除外）除以一个大于1的数，商就小于被除数；除以一个小于1的数商就大于被除数；据此解答。 【详解】＜ ＞ ＞ 【点睛】此题的解题关键是灵活运用积与因数、商与被除数的关系、分数的大小比较。 【预测命题05】分数与单位换算。 1．单位换算。 分＝( )秒   角＝( )元   m＝( )cm mL＝( )L   dm2＝( )cm2   时＝( )日 【答案】 108 75 【分析】1分＝60秒，1元＝10角，1米＝100厘米，1升＝1000毫升，1平方分米＝100平方厘米，1日＝24小时；大单位变小单位乘进率，小单位变大单位除以进率，由此解答即可。 【详解】分＝108秒；    角＝元； m＝75cm； mL＝L； dm2＝cm2    时＝日 【点睛】熟练掌握时间单位、面积单位、容积单位、长度单位以及人民币之间的进率是解答本题的关键。 2．单位换算。 时＝( )分    元＝( )角    m＝( )cm L＝( )mL    dm2＝( )cm2    日＝( )时 【答案】 55 6 84 875 65 20 【分析】1时＝60分；1元＝10角；1米＝100厘米；1升＝1000毫升；1平方分米＝100平方厘米；1日＝24时，据此解答。 【详解】时＝55分 元＝6角 m＝84cm L＝875mL dm2＝65cm2 日＝20时 【点睛】本题考查单位名数的互换，关键是熟记进率。 【预测命题06】倒数及其应用。 1．的倒数是( )，( )与0.45互为倒数，( )的倒数是1；如果a和b互为倒数，那么ab÷＝( )。 【答案】 1 【分析】（1）找真分数、假分数的倒数的方法：交换分子、分母的位置； （2）求小数的倒数的方法：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （3）乘积是1的两个数互为倒数，根据倒数的意义可知：1的倒数还是1。 （4）根据倒数的意义可知：如果a和b互为倒数，则ab＝1。把ab＝1整体代入ab÷计算即可。 【详解】把的分子、分母交换位置是，所以的倒数是； 0.45＝＝，把的分子、分母交换位置是，所以与0.45互为倒数； 因为1×1＝1，所以1的倒数是1。 因为a和b互为倒数，所以ab＝1。ab÷＝1÷＝1×＝。 【点睛】此题考查了倒数的意义及求一个数的倒数的方法。 2．×( )＝5×( )＝×( )＝×( )＝1。 【答案】 //3.5 /0.2 3 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，将带分数化成假分数，交换真分数和假分数，分子和分母的位置，即可得到它的倒数；整数的倒数等于这个整数分之一，据此填空。 【详解】 ×＝5×＝×3＝×＝1 【点睛】关键是理解倒数的含义，掌握确定一个数的倒数的方法。 3．【】已知a＝b＝c，其中a、b、c均不为0，那么a、b、c这三个数中，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 a b 【分析】由题意知，令c＝1，a＝b＝c，也就是a＝b×＝1，根据倒数的概念，可求得a、b的值，再比较大小即可。 【详解】令c＝1 a＝b＝1 即：a＝b×＝1 a＝，b＝ ＞1＞ 所以a＞c＞b a、b、c这三个数中，最大的是a，最小的是b。 【点睛】令c为1，利用倒数的知识可快速解答本题。 4．【】已知×a＝b÷＝c÷0.2＝d×，且a、b、c、d四个数均不为0。那么，在这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 d c 【分析】可以设×a＝b÷＝c÷0.2＝d×＝1，然后根据因数＝积÷另一个因数，被除数＝商×除数，分别求出a、b、c、d的值，再比较大小，找出最大的数和最小的数。 【详解】设×a＝b÷＝c÷0.2＝d×＝1。 a＝1÷＝1×＝＝0.75 b＝1×＝＝0.8 c＝1×0.2＝0.2 d＝1÷＝1÷1＝1 1＞0.8＞0.75＞0.2 d＞b＞a＞c 在这四个数中，最大的数是d，最小的数是c。 【点睛】运用赋值法，根据乘法、除法中各部分的关系计算出a、b、c、d的值，直接比较大小，更直观。 【预测命题07】单位“1”与等量关系式。 1．张大爷家苹果树的棵数比梨树多，这里是把( )看作单位“1”，苹果树的棵数相当于梨树的( )。若苹果树有154棵，梨树有( )棵。 【答案】 梨树的棵数 98 【分析】根据题意，苹果树的棵数比梨树多，是把梨树的棵数看作单位“1”，则苹果树的棵数相当于梨树的（1＋）；若苹果树有154棵，根据分数除法的意义解答，即可求出梨树的棵数。 【详解】1＋＝ 张大爷家苹果树的棵数比梨树多，这里是把梨树的棵数看作单位“1”，苹果树的棵数相当于梨树的。 154÷ ＝154× ＝98（棵） 若苹果树有154棵，梨树有98棵。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 2．甲数比乙数多，看作单位“1”的数是( )数，甲数相当于乙数的( )；如果乙数是100，甲数就是( )。 【答案】 乙 145 145 【分析】由题意可知：45%是乙数的45%，所以是把乙数看作单位“1”。 乙数是单位“1”，甲数比乙数多，则甲数所对应的分率是1＋45%。求一个数是另一个数的百分之几的解法：用“比较量÷标准量”来计算，并把结果化成百分数。据此用（1＋45%）÷1可求出甲数相当于乙数的145%。 求一个数的百分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）×百分率＝部分量。据此用100×145%可求出甲数。 【详解】（ ＝145%÷1 ＝145% 所以甲数比乙数多，看作单位“1”的数是乙数，甲数相当于乙数的；如果乙数是100，甲数就是145。 【点睛】此题主要考查了求一个数是另一个数的百分之几、求一个数的百分之几是多少的问题。 【预测命题08】分量和分率的区分问题。 1．6米的电线用去米，还剩( )米；若用去，还剩( )米。 【答案】 / 2 【分析】已知6米的电线用去米，根据减法的意义，用全长减去用去的长度，即是还剩下的长度； 把电线的全长看作单位“1”，用去，那么还剩下全长的（1－）， 根据求一个数的几分之几是多少，用全长乘（1－），即可求出剩下的长度。 【详解】6－＝（米） 6×（1－） ＝6× ＝2（米） 6米的电线用去米，还剩米；若用去，还剩2米。 【点睛】区分“米”和“”的不同，前者带单位，是具体的数量；后者不带单位，是分率。 2．一条长4米的彩带，先剪去全长的，又剪去米，还剩( )米。 【答案】 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用4乘即可得到先剪去的长度，然后用彩带的长度减去两次剪的长度即可求出还剩下的长度。 【详解】4－4×－ ＝4－1－ ＝3－ ＝（米） 则还剩米。 3．张叔叔分装20千克糖果，如果每袋装，可以装( )袋；如果每袋装千克，可以装( )袋。 【答案】 5 100 【分析】把糖果的重量看作单位“1”，如果每袋装，则可以装1÷＝5袋；根据除法的意义，用糖果的重量除以每袋装的具体的重量即可求出可以装多少袋。 【详解】1÷＝1×5＝5（袋） 20÷＝20×5＝100（袋） 则张叔叔分装20千克糖果，如果每袋装，可以装5袋；如果每袋装千克，可以装100袋。 【点睛】解决此题关键是弄清求的是“分率”还是“具体的数量”，求分率：平均分的是单位“1”；求具体的数量：平均分的是具体的数量。注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。 4．把一根绳子折成两段，第一段长米，第二段占全长的，这根绳子全长( )米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长( )米，每段是全长的( )。 【答案】 【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，第二段占全长的，则第一段占全长的（1－），然后用第一段的长度除以（1－）即可求出全长；对折两次，相当于把这根绳子平均分成4份，用全长除以4即可求出每段的长度；把这根绳子的全长看作单位“1”，用1除以段数即可求出每段是全长的几分之几。据此解答。 【详解】÷（1－） ＝÷ ＝× ＝（米） ÷4 ＝× ＝（米） 1÷4＝ 所以，把一根绳子折成两段，第一段长米，第二段占全长的，这根绳子全长米；将这根绳子对折两次后沿对折处剪开，每段长米，每段是全长的。 【点睛】本题考查了分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率。 【预测命题09】分数除法与归一问题。 1．李师傅用吨花生榨油吨，平均每吨花生榨油( )吨，榨一吨油要( )吨花生。 【答案】 【分析】已知用吨花生榨油吨，求平均每吨花生榨油多少吨，用÷解答；求榨一吨油要多少吨花生，用÷解答。 【详解】÷ ＝× ＝（吨） ÷ ＝× ＝（吨） 李师傅用吨花生榨油吨，平均每吨花生榨油吨，榨一吨油要吨花生。 【点睛】解答本题的关键是弄清楚谁是单一量，再用另一个量进行平均分。 2．小红骑自行车去公园，她小时骑行了6km。照这样的速度，她1小时可以骑行( )km，她每骑行1km用( )小时。 【答案】 15 【分析】求1小时行的千米数即求速度，根据路程÷时间＝速度即可列式计算；求行1km用的时间，用自行车行的时间除以路程即可解答。 【详解】6÷ ＝6× ＝15（km） ÷6 ＝× ＝（小时） 她1小时可以骑行15km，她每骑行1km用小时。 【点睛】此题主要考查关系式：路程÷时间＝速度，时间÷路程＝每行1km用的时间。 【预测命题10】根据方位图描述位置方向和行进路线。 1．图书馆在学校西偏南35°方向上，则学校在图书馆( )偏( )35°方向上。 【答案】 东 北 【分析】根据位置的相对性可知，描述两个物体之间的相对位置时，方向相反，角度相等，据此解答。 【详解】通过分析可知，图书馆在学校西偏南35°方向上，则学校在图书馆东偏北35°方向上。 【点睛】本题考查了学生对位置相对性的掌握情况，可以画图帮助理解。 2．六（2）班同学春游活动行走路线如图。他们是从A点出发，先向( )走( )km，再向( )( )°方向走( )km到达活动地点B。 【答案】 东 3 北偏东 60 12 【分析】根据地图“上北下南，左西右东”的规定，他们是从A点出发，先向东走3km；然后以这个地点为观察点，90°－30°＝60°，即向北偏东60°方法走12km到达活动地点B，如下图所示。 【详解】通过分析可知，他们是从A点出发，先向东走3km，再向北偏东60°方向走12km到达活动地点B。 3．量一量、算一算，完成题目。（测量的长度保留整厘米数） （1）以书店为观测点。奇思家的位置是在( )偏( )°，距离书店( )米。 （2）说一说奇思上学的行走路线。 （3）以书店为观测点。妙想家的位置是( )偏( )°，距离书店( )米。 （4）以淘气家为观测点。超市的位置是东偏南45°，距离淘气家300米。试着在图中画出超市的位置。 【答案】（1）北；西30；200； （2）见详解； （3）北；东60；400； （4）见详解 【分析】（1）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，奇思家距离书店有200米，以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定奇思家的位置即可。 （2）同样根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，奇思从家出发，经过书店，到达学校，每到一个地方，观测点随之发生变化，根据方向、角度、距离确定书店和学校的位置，再描述出上学的路线即可。 （3）此题是按“上北下南，左西右东”来规定方向的，经过测量，妙想家离书店在图上有2厘米，由此计算出妙想家和书店的实际距离，再以书店为观测点，根据方向、角度、距离确定妙想家的位置即可。 （4）观察平面图，图上的1厘米表示实际距离100米，超市距离淘气家300米，用300米除以100米，求出这两地在图上的距离是3厘米，按地图上的方向“上北下南，左西右东”，再以淘气家为观测点，根据方向、角度、距离确定超市的位置，并在图中画出超市的位置。 【详解】（1）奇思家的位置是在北偏西30°，距离书店200米。 （2）答：奇思从家向南偏东30°的方向走200米到书店，再从书店向正东方向走280米到学校。 （3）2×200＝400（米） 妙想家的位置是北偏东60°，距离书店400米。 （4）300÷100＝3（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查根据方向、角度和距离确定位置以及描述线路图，确定观测点是关键。 【预测命题11】分数加减法的实际应用。 1．张叔叔家有一个蔬菜大棚，其中种西红柿，种茄子，其余的种黄瓜。种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几？ 【答案】 【分析】把整个大棚的面积看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去种西红柿、茄子的面积占大棚面积的分率，即是种黄瓜的面积占整个大棚面积的几分之几。 【详解】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：种黄瓜的面积占整个大棚面积的。 2．小红看一本故事书，第一天看了这本书的，第二天比第一天少看了这本书的，两天一共看了这本故事书的几分之几？ 【答案】 【分析】把书的总页数看作单位“1”，根据分数减法的意义，用－即可求出第二天看了这本书的几分之几，再加上第一天看的分率，即可求出两天一共看了这本故事书的几分之几。 【详解】－＋ ＝＋ ＝ 答：两天一共看了这本故事书的。 【预测命题12】牛奶兑水问题。 1．一杯纯牛奶，聪聪喝了杯后，觉得有些凉，就兑满了热水，又喝了杯。他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？（用画图的方式解答） 【答案】见详解；纯牛奶杯；水杯 【分析】把这杯纯牛奶看作单位“1”，第1次喝了杯，即把单位“1”平均分成2份，喝了其中的1份；兑满水，又喝了杯，此时喝的杯里，一半是纯牛奶，一半是水；借助图形可知，杯的一半是杯，喝的纯牛奶是（＋）杯，喝的水是杯。 【详解】 表示杯的一半是杯； 纯牛奶： ＋ ＝＋ ＝（杯） 水：杯。 答：他一共喝了杯纯牛奶，杯水。 【点睛】借助画图理解“的一半是多少”，掌握异分母分数加减法的计算方法是解题的关键。 2．一杯纯芒果汁，小丽喝了半杯后，觉得味太浓了，就用温开水兑满。她又喝了半杯，就去写作业了。请问这时小丽一共喝了多少杯芒果汁？多少杯水？ 【答案】杯；杯 【分析】喝了半杯纯芒果汁，即杯，兑满水后，杯子中有一半纯果汁一半水，再喝半杯，又喝了杯纯芒果汁和杯水，将两次喝的纯芒果汁加起来即可。 【详解】＋＝＋＝（杯） 答：这时小丽一共喝了杯芒果汁，杯水。 【点睛】异分母分数相加减，先通分再计算。 【预测命题13】分数乘除法应用题基本题型。 1．光在空气中的传播速度是30万千米/秒，在玻璃中的传播速度是它在空气中传播速度的，光在玻璃中的传播速度是多少万千米/秒？ 【答案】20万千米/秒 【分析】把光在空气中的传播速度看作单位“1”，在玻璃中的传播速度是它在空气中传播速度的，求光在玻璃中的传播速度，用光在空气中的传播速度×解答。 【详解】30×＝20（万千米/秒） 答：光在玻璃中的传播速度是20万千米/秒。 【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法是解答本题的关键。 2．池塘里有14只鹅，正好是鸭的只数的，池塘里有多少只鸭子？（先写出等量关系，再画出示意图，最后解决问题） 【答案】49只；等量关系和画图见详解 【分析】将鸭的只数看作单位“1”，画一条线段表示鸭的只数，将鸭的只数平均分成7份，鹅有这样的2份，据此画出线段图，标记问题和数据，鹅的只数÷对应分率＝鸭的只数，据此列式解答。 【详解】鹅的只数÷＝鸭的只数 14÷＝14×＝49（只） 答：池塘里有49只鸭子。 3．芳芳和欢欢两人各买了一本同样价格的字典。芳芳花去所带钱的，欢欢花去所带钱的。已知芳芳带了42元，你知道欢欢带了多少元吗？ 【答案】40元 【分析】已知芳芳带了42元，买一本字典后花去所带钱的，即这本字典是（42×＝24）元，又知欢欢买一本字典花去所带钱的，用字典的钱数除以即可求出欢欢带了多少元。 【详解】42×÷ ＝24÷ ＝24× ＝40（元） 答：欢欢带了40元。 4．育才小学开展了节水活动，9月共用水240吨，10月的用水量比九月少，10月用水多少吨？ 【答案】200吨 【分析】把9月用水量看作单位“1”，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可。 【详解】240×（1－） ＝240× ＝200（吨） 答：10月用水200吨。 【点睛】解答此题的关键是：判断出单位“1”，进而根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。 5．果园今年收获樱桃3400千克，受天气影响比去年减产。果园去年收获樱桃多少千克？ 【答案】4000千克 【分析】把去年收获樱桃的质量看作单位“1”，今年收获樱桃的质量是去年收获樱桃质量的（1－），单位“1”未知，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用3400除以（1－），即可求出果园去年收获樱桃多少千克。 【详解】3400÷（1－） ＝3400÷ ＝4000（千克） 答：果园去年收获樱桃4000千克。 【点睛】此题的解题关键是先确定单位“1”，再根据分数除法的意义，解决实际的问题。 【预测命题14】量率对应问题。 1．某校六年级有学生184人，五年级有学生196人，两个年级的学生人数正好占全校人数的，这个学校一共有多少人？ 【答案】1140人 【分析】把全校人数看作单位“1”，五年级和六年级的总人数占全校人数的，根据“量÷对应的分率”求出学校的总人数，据此解答。 【详解】（184＋196）÷ ＝380÷ ＝1140（人） 答：这个学校一共有1140人。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 2．国光超市运来一批休闲套装，上衣比裤子贵36元。已知裤子是上衣的，这套休闲套装上衣和裤子各多少元钱？（用两种方法解） 【答案】上衣90元；裤子54元 【分析】方法一：把上衣的价钱看作单位“1”，已知裤子是上衣的，则上衣比裤子贵的36元是上衣的（1－），单位“1”未知，用贵的钱数除以（1－），求出上衣的价钱；再用上衣的价钱减去36，即是裤子的价钱。 方法二：根据“裤子是上衣的”，可以设上衣是元，则裤子是元；根据“上衣比裤子贵36元”可得出等量关系：上衣的价钱－裤子的价钱＝上衣比裤子贵的钱数，据此列出方程，并求解。 【详解】方法一： 上衣： 36÷（1－） ＝36÷ ＝36× ＝90（元） 裤子：90－36＝54（元） 答：这套休闲套装上衣90元，裤子54元。 方法二： 解：设上衣是元，则裤子是元。 －＝36 ＝36 ＝36÷ ＝36× ＝90 裤子：90－36＝54（元） 答：这套休闲套装上衣90元，裤子54元。 3．饲养场养鹅和鸭共630只，其中养的鹅的只数是鸭的，该饲养场养鹅、鸭分别有多少只？ 【答案】养鹅：270只；养鸭：360只 【分析】根据题意，设饲养场养鸭x只，养鹅的只数是鸭的，即养鹅的只数是x只，养鹅与鸭共630只，即养鸭的只数＋养鹅的只数＝630只，列方程：x＋x＝630，解方程，即可解答。 【详解】解：设养鸭x只，则养鹅x只。 x＋x＝630 x＝630 x＝630÷ x＝630× x＝360 养鹅：360×＝270（只） 答：饲养场养鹅270只，养鸭360只。 【预测命题15】单位“1”转换问题。 1．食堂有一批大米，第一周用去了总数的四分之一，第二周用去了余下的五分之二，两周一共用去了660千克。这批大米一共有多少千克？（用方程解） 【答案】1200千克 【分析】根据题意，设这批大米一共有千克，第一周用去了总数的，即第一周用了千克；第二周用去了余下的，用大米的总质量减去第一周用去的质量，就是余下的质量即（－）千克，根据分数乘法的意义可知第二周用去了（－）×千克； 根据“两周一共用去了660千克”可得出等量关系：第一周用去大米的质量＋第二周用去大米的质量＝两周一共用去大米的质量，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这批大米一共有千克。 ＋（－）×＝660 ＋×＝660 ＋＝660 ＋＝660 ＝660 ＝660÷ ＝660× ＝1200 答：这批大米一共有1200千克。 2．一根电线，电工师傅第一次用去了它的，第二次用去了余下的，还剩下40米，电工师傅第一次用去多少米？ 【答案】40米 【分析】把这根电线的长度看作单位“1”，第一次用去了它的，则还剩下它的（1－），第二次用去了余下的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则第二次用去了全长的（1－）×；用1减去第一次和第二次用去全长的分率即可求出剩下的长度占全长的分率，即40米，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此可求出这根电线的长度；最后用电线的全长乘即可求出电工师傅第一次用去的长度。 【详解】1－－（1－）× ＝1－－× ＝1－－ ＝－ ＝ 40÷＝40×4＝160（米） 160×＝40（米） 答：电工师傅第一次用去40米。 【预测命题16】长方体和正方体的认识与特征。 1．长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 （2）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 （3）长方体长方体有8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体特征： （1）6个面都是正方形，且面积相等； （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有8个顶点，6个面，12条棱。 2．下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm，棱长总和是( )cm。 【答案】 8 5 2 60 【分析】观察图形可知，长方体的长是8cm，宽是（9－2－2）cm，高是2cm，再根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】长是8cm 宽：9－2－2 ＝7－2 ＝5（cm） 高是2cm 棱长总和： （8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 下图是一个长方体的展开图，从图中可知：（单位：厘米）长方体的长是8cm，宽是5cm，高是2cm，棱长总和是60cm。 【预测命题17】长方体和正方体的表面展开图。 1．把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有3的面与标有5的面相对，标有6的面与标有1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。 2．学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 【答案】 谐 社 和 【分析】2－2－2型正方体展开图，假如“和”在上面，则“建”在后面，“构”在左面，“谐”在右面，“社”在前面，“会”在上面，正方体上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，据此填空。 【详解】根据分析，“构”字对面是谐字，“建”字对面是社字，“会”字对面是和字。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，具有一定的空间想象能力。 【预测命题18】长方体和正方体的棱长和实际应用。 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要122厘米的彩带。 2．一根铁丝可以扎成一个长6分米，宽3分米，高3分米的长方体，如果用这根铁丝刚好扎成一个正方体，这个正方体的棱长是多少？ （接头处忽略不计） 【答案】4分米 【分析】长方体棱长总和就是铁丝的长度，用（长＋宽＋高）×4计算出铁丝长度，再根据正方体的棱长＝铁丝的长度÷12，作答即可。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 48÷12＝4（分米） 答：这个正方体的棱长是4分米。 【预测命题19】长方体和正方体的表面积实际应用。 1．学校要粉刷新教室，已知教室的长是9米，宽是6米，高是3.5米，门窗的面积是16.5平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这向教室需要多少涂料费？ 【答案】855元 【分析】从题意可知，教室地面是不用粉刷的，需要粉刷的面是前后左右面和上面共5个面。因此粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗的面积，所以需要的涂料费＝粉刷的面积×每平方米需要的涂料费，据此作答即可。 【详解】9×6＋9×3.5×2＋6×3.5×2－16.5 ＝54＋63＋42－16.5 ＝142.5（平方米） 142.5×6＝855（元） 答：粉刷这向教室需要855元涂料费。 2．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 【答案】126.96平方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可，最后根据1平方分米＝100平方厘米，把结果转化为以“平方分米”为单位。 【详解】46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 12696平方厘米＝126.96平方分米 答：他们至少需要126.96平方分米的红纸。 【预测命题20】长方体和正方体的体积（容积）实际应用。 1．一个正方体木箱的棱长总和是24米，它的体积是多少立方米？ 【答案】8立方米 【分析】根据题意可知，棱长=总棱长÷12，即可得棱长，然后根据正方体体积计算公式：V＝，据此可解。 【详解】24÷12＝2（米） V＝＝＝8（立方米） 答：它的体积是8立方米。 2．一辆汽车的油箱，从里面量长8分米，宽4分米，高2.5分米，如果这辆汽车每千米的耗油量是0.08升，一箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【答案】1000千米 【分析】根据题意，汽车的油箱为长方体，长方体容积＝长×宽×高，求出油箱的容积，可以得油的总量。油的总量÷每千米耗油量＝可行驶的距离，据此代入数据计算即可。 【详解】8×4×2.5 ＝32×2.5 ＝80（立方分米） ＝80（升） 80÷0.08＝1000（千米） 答：一箱油最多可以供这辆汽车行驶1000千米。 【预测命题21】棱长扩倍问题。 1．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 9 27 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，以及积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。由此解答。 【详解】由分析可知：长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，棱长总和扩大到原来的3倍；表面积扩大到原来的3×3＝9倍；体积扩大到原来的3×3×3＝27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和、表面积和体积的计算方法以及积的变化规律，明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。 2．一个正方体的棱长是4cm，现将棱长扩大为原来的3倍，它的表面积扩大为原来的( )倍，扩大后的正方体体积是( )。 【答案】 9 1728立方厘米/1728cm3 【分析】正方体的棱长是4cm，则棱长扩大为原来的3倍后，棱长为（3×4）cm，分别求出扩大前后的表面积和体积，用扩大后的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数。 【详解】3×4＝12（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 864÷96＝9 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（cm3） 【点睛】灵活运用正方体表面积和体积公式是解决此题的关键。 【预测命题22】染色问题。 1．把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体（无剩余，损耗不计），只有一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】384 【分析】把棱长是10dm的正方体的表面涂色后，再锯成一个个棱长是1dm的小正方体，每条棱上可以锯出10个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，可以确定锯出的小正方体的个数，只有一面涂色的小正方体都在原来大正方体每个面的中间，求出原来大正方体每个面中间小正方体的个数，乘6即可。 【详解】如图 10－2＝8（个） 8×8×6＝384（个） 只有一面涂色的小正方体有384个。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，明确锯出的小正方体的个数，理解只有一面涂色的小正方体都在原来大正方体每个面的中间。 2．如图是由7个同样大小的小正方体拼成的物体，如果把这个物体的表面涂色（底面也涂），那么一面涂色的小正方体有( )个，三面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 0 3 【分析】如下图所示： 1号正方体涂色的有4面，2号正方体涂色的有4面，3号正方体涂色的有4面，4号正方体涂色的有3面，5号正方体涂色的有3面，6号正方体涂色的有5面，7号正方体涂色的有3面，依此填空。 【详解】根据分析可知，一面涂色的小正方体有0个，三面涂色的小正方体有3个。 【点睛】解答此题的关键是要先分析出每个正方体涂色的面数。 【预测命题23】根据展开图求表面积和体积。 1．如图是一个长方体纸盒的展开图。（单位：厘米） ①请你给相对的面涂上相同的颜色。 ②这个长方体纸盒的表面积和容积各是多少？（纸盒厚度忽略不计） 【答案】①图见详解 ②580平方厘米；800立方厘米 【分析】①长方体相对的面完全一样，据此涂色即可。 ②从图中可知，这个长方体的长是21－5＝16厘米，宽是10厘米，高是5厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，容积和体积的求法一样，代入数据分别求出表面积和容积即可。 【详解】①如下图所示： ②长：21－5＝16（厘米） 表面积： （16×10＋16×5＋10×5）×2 ＝（160＋80＋50）×2 ＝290×2 ＝580（平方厘米） 体积： 16×10×5 ＝160×5 ＝800（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的表面积是580平方厘米，容积是800立方厘米。 2．有一张长方体表面展开图（如图）。    （1）这个长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）折成长方体后它的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）52平方厘米； （2）24立方厘米 【分析】（1）由图可知，长方体的长为（8－2×2）厘米，长方体的宽为3厘米，长方体的高为2厘米，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出这个长方体的表面积； （2）已知长方体的长、宽、高，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。 【详解】（1）8－2×2 ＝8－4 ＝4（厘米） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是52平方厘米。 （2）4×3×2＝24（立方厘米） 答：折成长方体后它的体积是24立方厘米。 【点睛】根据长方体的展开图确定长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积和体积的计算公式是解答题目的关键。 【预测命题24】表面积的增减变化问题（切拼问题）。 1．一块长4米的长方体木料，把它锯成2米长的两段，表面积增加了8平方分米。原来这块木料的体积是多少立方分米？ 【答案】160立方分米 【分析】根据题意可知，把这个长方体木料横截成两段，表面积比原来增加两个截面的面积，用增加的表面积÷2，求出长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】4米＝40分米 （8÷2）×40 ＝4×40 ＝160（立方分米） 答：原来这块木料的体积是160立方分米。 2．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个大小相等的长方体。表面积最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 【答案】96平方厘米；48平方厘米 【分析】长方体切成两个大小相等的长方体，表面积增加了2个长方形的面。平行于最大的两个面去切，增加的表面积最多，平行于最小的两个面去切，增加的表面积最少，据此分析。 【详解】8×6×2＝96（平方厘米） 6×4×2＝48（平方厘米） 答：表面积最多增加96平方厘米，最少增加48平方厘米。 3．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？ 【答案】600立方厘米 【分析】由题意可知，原长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为10－4＝6（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。 【详解】10－4＝6（厘米） 10×10×6＝600（立方厘米） 答：这个长方体的体积是600立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积公式求解。 4．如图，一个太阳能电池板是由6个相同的小长方体拼成的，每个小长方体的长是12分米，宽2分米，高2.5分米。 （1）要给太阳能电池板的上面涂上一层吸热材料，涂吸热材料的面积是多少平方分米？ （2）这个太阳能电池板的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）144平方分米 （2）360立方分米 【分析】（1）观察图形可知，太阳能电池板的上面是6个长12分米、宽2分米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘6即可。 （2）先根据长方体的体积公式V＝abh，求出一个小长方体的体积，再乘6，即是这个太阳能电池板的体积。 【详解】（1）12×2×6 ＝24×6 ＝144（平方分米） 答：涂吸热材料的面积是144平方分米。 （2）12×2×2.5 ＝24×2.5 ＝60（立方分米） 60×6＝360（立方分米） 答：这个太阳能电池板的体积是360立方分米。 【预测命题25】面积·体积·容积单位的选择和换算。 1．请在下面括号填上合适的单位。 我们的教室所占空间约为200( )，占地面积大约占地60( )。 爸爸一次献血200( )，汽车油箱容积48( )。 【答案】 立方米/m3 平方米/m2 毫升/mL 升/L 【分析】1平方米是边长为1米的正方形面积大小，教室占地面积比较大，用平方米作单位比较合适；1立方米是棱长为1米的正方体所占空间的大小，教室所占空间比较大，用立方米作单位比较合适；手指尖的体积大约是1立方厘米，1毫升液体的体积就是1立方厘米，献血量会少一些，用毫升作单位比较合适；粉笔盒的体积接近1立方分米，1升液体的体积是1立方分米，汽车油箱容积比较大，用升作单位比较合适，根据实际情况并结合题中的数字选择合适的单位即可。 【详解】我们的教室所占空间约为200立方米，占地面积大约占地60平方米； 爸爸一次献血200毫升，汽车油箱容积48升。 【点睛】本题考查单位选择，解答本题的关键是了解面积、体积、容积单位的概念。 2．在括号里填上合适的数。 3.6m2＝( )dm2     800mL＝( )cm3＝( )L 5m3＝( )方        0.65dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 360 800 0.8/ 5 0.65/ 650 【分析】根据进率：1m2＝100dm2，1mL＝1cm3，1L＝1000mL，1m3＝1方，1dm3＝1L，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）3.6×100＝360（dm2） 3.6m2＝360dm2 （2）800÷1000＝0.8（L） 800mL＝800cm3＝0.8L （3）5m3＝5方 （4）0.65×1000＝650（mL） 0.65dm3＝0.65L＝650mL 【预测命题26】图形折叠问题。 1．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【答案】775平方厘米；1875立方厘米 【分析】从图中可知，在长方形铁皮的四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后向上折，焊接成一个无盖长方体盒子。 这个长方体盒子用铁皮的面积＝长方形铁皮的面积－4个边长为5厘米的小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 这个长方体盒子的长是（35－5－5）厘米，宽是（25－5－5）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积（容积）公式＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出盒子的容积。 【详解】铁皮的面积： 35×25－5×5×4 ＝875－100 ＝775（平方厘米） 盒子的长：35－5－5＝25（厘米） 盒子的宽：25－5－5＝15（厘米） 盒子的容积： 25×15×5 ＝375×5 ＝1875（立方厘米） 答：这个盒子用了775平方厘米铁皮，它的容积是1875立方厘米。 2．一块长方形铁皮，如图，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后沿图中的虚线向上折，焊接成一个无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？ 【答案】表面积是500平方厘米，容积是1000立方厘米 【分析】制作长方体容器，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，长、宽都会减少两个小正方形边长，高就是小正方形边长，求出长、宽、高代入公式即可求容积。长方形铁皮除去切掉的四个正方形，剩余部分都用于制作长方体，所以长方体表面积＝长方形剩余部分面积，即长方体表面积＝长方形面积－四个小正方形面积。 【详解】30－5－5 ＝25－5 ＝20（厘米） 20－5－5 ＝15－5 ＝10（厘米） 20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 30×20－5×5×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） 答：表面积是500平方厘米，容积是1000立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的容积，明确长方体的长、宽和高是解题的关键。 【预测命题27】等积变形问题。 1．把一个棱长为9分米的正方体铁块，熔铸成一个长18分米，高60厘米的长方体，这个长方体的宽是多少分米？ 【答案】6.75分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体熔铸成长方体体积不变，即可求出熔铸成长方体的体积，再根据长方体的宽＝体积÷长÷高，即可求出这个长方体的宽是多少分米。 【详解】正方体的体积：9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方分米） 60厘米＝6分米 长方体的宽：729÷18÷6 ＝40.5÷6 ＝6.75（分米） 答：这个长方体的宽是6.75分米。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体体积公式的灵活运用。 2．一个棱长为4分米的正方体鱼缸里装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 【答案】2分米 【分析】此题主要考查长方体、正方体的容积（体积）公式的灵活运用。 先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出正方体鱼缸的容积，然后用这个体积除以长方体鱼缸的底面积就是水深的高度；据此解答。 【详解】4×4×4÷（8×4） ＝64÷32 ＝2（分米） 答：水深是2分米。 3．有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？ 【答案】18厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷最小底面面积即可。 【详解】 ＝3600÷200 ＝18（cm） 答：水深是18厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【预测命题28】排水法求不规则物体的体积。 1．爸爸在一个底面长、宽分别是5分米、4分米的长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米。这个假山石的体积是多少？ 【答案】6立方分米 【分析】根据题意，在一个长方体鱼缸里放了一个假山石，水面上升了3厘米，那么水上升部分的体积等于这个假山石的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，即可求出这个假山石的体积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】3厘米＝0.3分米 5×4×0.3 ＝20×0.3 ＝6（立方分米） 答：这个假山石的体积是6立方分米。 2．有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）制作这个鱼缸一共需要多少平方分米的玻璃？ （2）如果把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，鱼缸里的水面升高多少分米？ 【答案】（1）222平方分米 （2）1.6分米 【分析】（1）求制作这个无盖的长方体鱼缸需要玻璃的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。 （2）把一个棱长为4分米的正方体花岗石完全浸入水中，那么鱼缸里的水会上升，水上升部分的体积等于这块花岗石的体积；先根据正方体的体积公式V＝a3，求出花岗石的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出水面上升的高度。 【详解】（1）8×5＋8×7×2＋5×7×2 ＝40＋112＋70 ＝222（平方分米） 答：制作这个鱼缸一共需要222平方分米的玻璃。 （2）4×4×4＝64（立方分米） 64÷（8×5） ＝64÷40 ＝1.6（分米） 答：鱼缸里的水面升高1.6分米。 3．一个正方体的容器，从里面量棱长为3分米，水深2.8分米，将一块石头完全浸没在水中，这时溢出水1.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】3.6立方分米 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，由此求出正方体容器的体积以及水的体积。将正方体的体积减去水的体积，再将差加上溢出水的体积，即可求出石头的体积。 【详解】1.8升＝1.8立方分米 3×3×3－3×3×2.8＋1.8 ＝27－25.2＋1.8 ＝3.6（立方分米） 答：这块石头的体积是3.6立方分米。 【预测命题29】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 【答案】体积变小；容积变大；表面积变大 【分析】根据题意，在正方体木块的上面正中间挖去一个小正方体，那么体积减少了1个小正方体的体积，所以体积比原来的体积小。 原来正方体没有容积，因为挖去了一个小正方体，容积增加了这个小正方体的容积。 挖去一个小正方体，减少了小正方体的1个面，同时又露出了小正方体的5个面，所以表面积比原来的表面积多了小正方体的4个面。 【详解】体积比原来小了：2×2×2＝8（立方厘米） 容积比原来大了：2×2×2＝8（立方厘米） 表面积比原来大了：2×2×4＝16（平方厘米） 答：它的体积变小了，容积变大了，表面积变大了。 2．有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      【答案】体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米 【分析】通过观察图形可知，这个组合图形的体积等于2个长方体一个正方体的体积和，由于2个长方体和一个正方体粘合在一起，所以求表面积时，左面的长方体只求它的上下、前后4个的面的面积，右面的正方体只求4个面的面积，中间的长方体求出表面积，然后合并起来即可。 【详解】10×10×20＋10×10×30＋10×10×10 ＝2000＋3000＋1000 ＝5000＋1000 ＝6000（立方厘米） 10×20×2＋10×10×2＋（10×10＋10×30＋10×30）×2＋10×10×4 ＝400＋200＋（100＋300＋300）×2＋400 ＝600＋700×2＋400 ＝600＋1400＋400 ＝2000＋400 ＝2400（平方厘米） 答：这个物体的体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【预测命题30】列方程解应用题与倍数问题。 1．甲工程队每天修路0.54千米，比乙工程队每天修的3倍少0.18千米。乙工程队每天修路多少千米？（请列方程解答） 【答案】0.24千米 【分析】可列方程解决此题。设乙工程队每天修x千米。根据等量关系“乙工程队每天修的千米数×3－0.18＝甲工程队每天修的千米数”列出方程，解方程即可求出乙工程队每天修的千米数。 【详解】解：乙工程队每天修x千米。 3x－0.18＝0.54 3x－0.18＋0.18＝0.54＋0.18 3x＝0.72 3x÷3＝0.72÷3 x＝0.24 答：乙工程队每天修路0.24千米。 【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用x表示，未知数参与列式，把算术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。 2．果园里有桃树和苹果树共182棵，苹果树的棵数是桃树的2.5倍。两种果树各有多少棵？（请列方程解答） 【答案】桃树：52棵；苹果树：130棵 【分析】根据“苹果树的棵数是桃树的2.5倍”可知，桃树的棵数是1倍量（即标准量）。可设桃树有x棵，则苹果树有2.5x棵。根据等量关系“桃树的棵数＋苹果树的棵数＝182”列出方程，并解方程即可求出桃树的棵数；再用182棵减去桃树的棵数可求出苹果树的棵数。 【详解】解：设桃树有x棵。 x＋2.5x＝182 （1＋2.5）x＝182 3.5x＝182 3.5x÷3.5＝182÷3.5 x＝52 182－52＝130（棵） 答：桃树有52棵，苹果树有130棵。 【点睛】用方程法解决含有两个未知数的实际问题时，设其中的1倍量（标准量）为x，另一个未知量用含有x的式子表示出来。 【预测命题31】列方程解应用题与行程问题。 1．甲乙两船从相距226千米的两个港口同时出发，相向而行，经过4小时两船相遇。甲船每小时行26.5千米，乙船每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】30千米 【分析】由题意可知，设乙船每小时行x千米，再根据相遇问题中的等量关系：速度和×相遇时间＝相遇的路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每小时行x千米。 （26.5＋x）×4＝226 （26.5＋x）×4÷4＝226÷4 26.5＋x＝56.5 26.5＋x－26.5＝56.5－26.5 x＝30 答：乙船每小时行30千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确相遇问题中的等量关系是解题的关键。 2．甲、乙两车同时从A城开往B城。7小时后，甲车超过乙车42千米，甲车每小时行78千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 【答案】72千米 【分析】速度×时间＝路程，将乙车的速度设为未知数，从而表示出乙车的路程。根据“甲车路程－乙车路程＝42千米”列出方程解方程即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 78×7－7x＝42 （78－x）×7＝42 （78－x）×7÷7＝42÷7 78－x＝6 x＝78－6 x＝72 答：乙车每小时行72千米。 【预测命题32】列方程解应用题与盈亏问题。 1．四年级同学要去参加为期5天的研学实践活动，学校安排房间时发现如果每间住8人，那么有6人没有房间住；如果每间多住2人，那么有6间空出来，四年级一共有多少人？（列方程解） 【答案】270人 【分析】先设一共有x个房间，根据题意可知，两个分配方法不改变的是人数，所以列式为：8x＋6＝（8＋2）（x－6）。据此解答即可。 【详解】解：先设一共有x个房间。 8x＋6＝（8＋2）（x－6） 8x＋6＝10（x－6） 8x＋6＝10x－60 66＝2x x＝66÷2 x＝33 8×33＋6 ＝264＋6 ＝270（人） 答：四年级一共有270人。 2．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？（列方程解） 【答案】快递员：6名；包裹：66件 【分析】可列方程解决盈亏问题。根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员x名。 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决盈亏问题。根据包裹的总件数不变建立等量关系是解答此题的关键。 【预测命题33】列方程解应用题与鸡兔同笼问题。 1. 笼子里鸡和兔的数量相同，它们的腿加起来共有48条。笼子里鸡和兔各有多少只？（列方程解答） 【答案】鸡和兔各有8只 【分析】设鸡和兔各有x只，根据等量关系式：鸡腿的数量＋兔腿的数量＝48，列方程解答即可。 【详解】解：设鸡和兔各有x只。 答：鸡和兔各有8只。 【点睛】此题考查了学生分析问题能力和列方程解应用题。 2. 笼子里有若于只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？（用方程解） 【答案】鸡：23只；兔子：12只 【分析】假设鸡有x只，则兔子有（35－x）只，每只鸡有两只脚，每只兔子有四只脚，根据数量关系：鸡的数量×2＋兔子的数量×4＝94，据此列出方程，解方程即可求出鸡和兔子的数量。 【详解】解：设鸡有x只，则兔子有（35－x）只， x×2＋（35－x）×4＝94 2x＋35×4－x×4＝94 2x＋140－4x＝94 140－94＝4x－2x 2x＝46 x＝46÷2 x＝23 35－23＝12（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。 【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用方程进行解答，也可以用假设法进行解答。 【预测命题34】折线统计图与行程问题。 1．赵大伯和王大伯一天早晨同时在一条2200米的直路上锻炼，下面是他俩的行程图。从图上可知：( )大伯到达终点后，( )分钟( )大伯才到达；( )大伯中途休息了( )分钟；第24分钟时，( )大伯走在( )大伯前面( )米处。 【答案】 王 4 赵 赵 6 王 赵 400 【分析】通过观察可知，王大伯先到达终点，（32－28）分钟后赵大伯才到达；赵大伯中途在距离起点1000米处休息，休息了（16－10）分钟；第24分钟时，王大伯在赵大伯的前面，两人相距（2000－1600）米。 【详解】32－28＝4（分钟） 16－10＝6（分钟） 2000－1600＝400（米） 从图上可知：王大伯到达终点后，4分钟赵大伯才到达；赵大伯中途休息了6分钟；第24分钟时，王大伯走在赵大伯前面400米处。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．下图是从同一车站发出的两辆车的运行情况。根据图示回答问题。 (1)4路车在( )～( )速度较快。 (2)4路车在开始( )小时内共行驶40千米。 (3)4路车与7路车在( )第二次相遇。 (4)7路车平均每小时行( )千米，4路车平均每小时行( )千米。 【答案】(1) 9：00 10：00 (2)3 (3)10：00 (4) 25 【分析】（1）观察折线统计图，实线表示4路车运行的情况，9：00至10：00折线起伏明显，表示速度较快； （2）4路车从6：00出发，找到行驶40千米对应的时间是9：00，9：00减去6：00即可计算出经过的时间； （3）实线表示4路车运行的情况，虚线表示7路车运行的情况，两条线相交的位置表示两车正好相遇，第二次相遇的位置对应的时间正好是10：00； （4）7路车行驶的路程是100千米，时间是3小时，4路车行驶的路程是100千米，时间是4小时，利用路程÷时间＝速度，代入数据分别计算即可。 （1） 4路车在9：00～10：00速度较快。 （2） 9：00－6：00＝3（小时） 所以4路车在开始3小时内共行驶40千米。 （3） 4路车与7路车在10：00第二次相遇。 （4） 10：00－7：00＝3（小时），10：00－6：00＝4（小时）， 100÷3＝（千米/时） 100÷4＝25（千米/时） 【点睛】此题主要考查复式折线统计图的特点和作用，从统计图中提取信息，完成作答。 【预测命题35】统计图综合应用。 1．王老师家和李老师家去年上半年用电情况如下表。 （1）根据表中的数据，完成下面的折线统计图。 （2）李老师家从( )月到( )月用电量呈上升趋势，从( )月到( )月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家( )月份用电量一样多。 （4）王老师家平均每月用电( )千瓦时，李老师家平均每月用电( )千瓦时。 【答案】（1）见详解； （2）一；四；四；六； （3）三； （4）82.5；75 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：先整理数据；利用纵轴和横轴上的长度单位所表示的数量，根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）从折线统计图上即可看出，虚线代表李老师家的用电情况，从一月到四月，李老师家的用电量一直呈上升的趋势，从四月到六月，李老师家的用电量呈下降的趋势。 （3）观察折线统计图，实线代表王老师的用电情况，虚线代表李老师家的用电情况，当两条折线交叉重合的时候，即对应着王老师家和李老师家用电量一样多的月份。 （4）把王老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以6，即可求出王老师家平均每月的用电量；把李老师家一月到六月所有的用电量加起来，再除以6，即可求出李老师家平均每月的用电量。 【详解】（1）如图： （2）李老师家从一月到四月用电量呈上升趋势，从四月到六月用电量呈下降趋势。 （3）王老师家和李老师家三月份用电量一样多。 （4）（60＋75＋90＋80＋100＋90）÷6 ＝495÷6 ＝82.5（千瓦时） （50＋60＋90＋100＋80＋70）÷6 ＝450÷6 ＝75（千瓦时） 即王老师家平均每月用电82.5千瓦时，李老师家平均每月用电75千瓦时。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2．小小统计员：下面是五年级兴趣小组的人数情况统计表。（每人只能选一个兴趣小组） （1）根据统计表内的数据将统计图补充完整。 （2）在这四个兴趣小组中，人数最多的是( )组。 （3）( )组男生人数最多，( )组女生人数最少。 （4）参加篮球组的男生比参加科技组的女生多( )人，参加手工组的男生和女生一共有( )人。 【答案】（1）见详解； （2）合唱； （3）篮球；篮球； （4）10；40 【分析】（1）根据条形统计图的绘制方法，结合统计表中的数据完成统计图； （2）分别计算出各组的总人数，再比较大小即可； （3）观察统计图中的直条即可作答； （4）参加篮球组的男生人数减去参加科技组的女生人数；参加手工组的男生人数加上女生人数即可。 【详解】（1）统计图如下： （2）18＋22＝30（人） 22＋20＝42（人） 30＋12＝42（人） 26＋32＝58（人） 30＜42＜58 在这四个兴趣小组中，人数最多的是合唱组。 （3）篮球组男生人数最多，篮球组女生人数最少。 （4）30－20＝10（人） 18＋22＝40（人） 参加篮球组的男生比参加科技组的女生多10人，参加手工组的男生和女生一共有40人。 【点睛】本题考查了条形统计图的填补知识点，根据统计表提供的数据完成条形统计图的填补，运用统计图提供的信息解决问题。 【预测命题36】平均数问题。 1．学校举行广播体操比赛，7位评委给一个班级的打分如下：5分、8分、7.5分、8.5分、9分、10分、7分。去掉一个最高分和一个最低分，这个班的平均分是多少分？ 【答案】8分 【分析】根据平均数问题的基本数量关系：总数量÷份数＝平均数，先找出最高分10分和最低分5分，然后求出剩下的7－2＝5人的总分，再除以人数5，就可以得出所求的平均分。 【详解】（8＋7.5＋8.5＋9＋7）÷（7－2） ＝（15.5＋8.5＋9＋7）÷5 ＝（24＋9＋7）÷5 ＝（33＋7）÷5 ＝40÷5 ＝8（分） 答：这个班的平均分是8分。 【点睛】本题主要考查平均数的概念，熟记平均数计算公式是解题的关键。 2．笑笑在一分钟投篮比赛中，2次投的平均个数是25个，要使3次投的平均个数是26个，第3次应投多少个？ 【答案】28个 【分析】用前两次的平均数乘2，可算出前两次投篮的总个数，再用3次的平均数乘3，可得3次投篮的总个数，用3次投篮的总个数减去前两次投篮的总个数即可算出第3次投篮的个数。 【详解】26×3－25×2 ＝78－50 ＝28（个） 答：第3次应投28个。 【点睛】此题解题的关键是灵活利用平均数的意义求出3次投篮的和与2次投篮的和，同时一定要注意运算的正确性。 3．2020至2021学年度第二学期淘气参加了4次数学考试，4次数学考试的平均分是93分。已知他第一次的成绩是89分，第二次和第三次的成绩都是94分，淘气第四次数学考试的成绩是多少分？ 【答案】95分 【分析】根据题意，首先用4次考试的平均分乘4求出总分，然后根据减法的意义，用4次考试的总分减去前3次考试的成绩就是第4次考试的成绩。 【详解】93×4－（89＋94＋94） ＝93×4－（183＋94） ＝93×4－277 ＝372－277 ＝95（分） 答：淘气第四次数学考试的成绩是95分。 【点睛】此题考查的目的是理解平均数的意义，掌握求平均数的方法及应用。 【第二章】重点攻克篇 【重点攻克01】长方体和正方体的三种典型问题。 1．一个长方体长16分米，高7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积增加160平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】560立方分米 【分析】增加的面积就是2个长方体的底面积，增加的面积÷2＝长方体的底面积，长方体的底面积÷长方体的长＝长方体的宽，长方体的长×宽×高＝长方体的体积。据此解答。 【详解】160÷2÷16 =80÷16 ＝5（分米） 16×7×5 =112×5 ＝560（立方分米） 答：原来长方体的体积是560立方分米。 2．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 【答案】（1）66平方分米 （2）5分米 【分析】（1）由题意，这个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，装的水深2.5分米；要求得水与容器的接触面积是多少平方分米，就是求下底面、前后面、左右面的面积之和（其中，前后面、左右面的高为实际水深2.5分米）；列式为：8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2； （2）以右侧面为底面，把这个长方体竖起来放在桌子上，此时底面的长为4分米、宽为2分米，要求得此时水深是多少分米，根据长方体体积公式，V长方体＝长×宽×高，可得高＝体积÷（长×宽），列式为：8×2×2.5÷（4×2）。 【详解】（1）8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2 ＝16＋（20＋5）×2 ＝16＋25×2 ＝16＋50 ＝66（平方分米） 答：水与容器的接触面积是66平方分米。 （2）8×2×2.5÷（4×2） ＝40÷8 ＝5（分米） 答：这时水深是5分米。 【点睛】综合考查了有关长方体表面积的计算、体积公式的灵活应用，需要明确每一道小题中，长方体的长、宽、高所对应的具体数值。 3．一个长方体玻璃缸，从里面量长3分米，宽2分米，高4分米，缸中水深1.8分米。把一块石头放入水中（完全浸没），这时水刚好满了。这块石头的体积是多少？ 【答案】13.2立方分米 【分析】求这块石头的体积，就是求水面升高（4－1.8）分米部分的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】3×2×（4－1.8） ＝6×2.2 ＝13.2（立方分米） 答：这块石头的体积是13.2立方分米。 【重点攻克02】不规则或组合立体图形的表面积和体积。 1．如图1，一个棱长为的正方体，从正面的中心向后挖一个长方体（向后全部挖空），正面的孔是一个边长为的正方形，图1剩余部分的体积是多少？如果像图2这样从正面、上面、右面的中心各向后挖一个这样的孔，那么图2剩余部分的体积是多少？ 【答案】； 【分析】图1挖掉的是一个宽和高为2厘米 、长为6厘米 的长方体，用原来大正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。可以先计算三条孔道的体积，因为三条孔道相交的地方是一个正方体，且这个正方体总共被计算了3次，实际只计算1次就可以，因此三条孔道的实际总体积为三条孔道的体积减去2个正方体的体积 ；然后用原来正方体的体积减去三条孔道的实际总体积即可。 【详解】 ＝216－24 ＝192（cm3） ＝72－16 ＝56（cm3） ＝216－56 ＝160（cm3） 答：图1剩余部分的体积是。图2剩余部分的体积是。 【点睛】本题考查长方体、正方体的体积，解答本题的关键是求出三条孔道的实际总体积。 2．用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】46平方厘米 【分析】（1）不管叠多高，上下两面的表面积都是3×3＝9个面； （2）再看前后左右四个面，都是2×3＋1＝7个面。 【详解】1×1×（9×2＋7×4） ＝1×（18＋28） ＝46（平方厘米） 答：该图形的表面积是46平方厘米。 【点睛】此题也可通过数图形解答。我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1平方厘米，则表面积就是46平方厘米。 【重点攻克03】工程问题。 1．电脑录入一份稿件，甲单独录入10小时完成，乙单独录入15小时完成，如果两人一起录入4小时后，余下的稿件由甲单独来完成，甲还要多少小时完成？ 【答案】小时 【分析】不知道工作总量具体是多少，将工作总量看作是单位“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，甲乙合作的工作效率为＋＝，甲、乙合作录入4小时，剩下的工作总量为1－×4，求出剩下的工作总量，用剩下的工作总量除以甲的工作效率［1－×4］÷，即可求出甲还要多少小时完成。 【详解】1÷10＝ 1÷15＝ ＋ ＝＋ ＝ ＝ ［1－×4］÷ ＝［1－］÷ ＝×10 （小时） 答：余下的甲单独录入还需要小时完成。 2．老刘和小李合作一项工作需要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这项工作需要几天才能完成？ 【答案】18天 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，把工作总量看作单位“1”，两人合作的工作效率是，根据题目已知“老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能做完”可以转化为“老刘和小李合作8天后，小李再做天才能做完”。因为两人合作的工作效率不变，故两人合作8天的工作量就是乘8，再用“1”减去两人合作了8天的工作量，剩余的就是小李要单独做的工作量，用它除以小李单独做的工作时间，就能求出小李的工作效率。最后再用“1”除以小李的工作效率，就是小李单独做这项工作需要花费的时间。 【详解】小李工作效率： 工作时间： （天） 答：小李单独做这项工作需要18天才能完成。 【重点攻克04】不变量问题。 1．星期五下午实验小学进行清洁大扫除活动，六（1）班参加大扫除的女生是男生的，后来调走22名女生，又调入22名男生，这时女生是男生的，这个小学原来参加大扫除活动的有多少人？ 【答案】90人 【分析】设原来参加大扫除活动的男生有x人，则原来参加大扫除活动的女生有x人，根据“调走22名女生，又调入22名男生，这时女生是男生的”，可列出方程： x－22＝（x＋22），据此即可解答。 【详解】解：设参加大扫除活动的男生有x人 x－22＝（x＋22） x－22＝x＋ x－x＝＋22 x－x＝＋22 x＝＋ x＝ x÷＝÷ x×＝× x＝50 50×＝40（人） 50＋40＝90（人） 答：这个小学原来参加大扫除活动的有90人。 【点睛】明确这一过程中根据前后女生占男生人数的分率列出方程是完成本题的关键。 2．六年级一班女学生人数是男学生的，后来有2名男生调入本班，这时女学生人数是男学生的，原来六年级一班有男、女学生各多少人？ 【答案】男学生28名，女学生有20名 【分析】由题意可知，设六年级一班有男学生x名，则女生学生有名，再根据等量关系：（男生人数＋2）×＝女生人数，据此列方程解答即可。 【详解】解：设六年级一班有男学生x名，则女生学生有名。 ＋2） ＝28 28×＝20（名） 答：原来六年级一班有男学生28名，女学生有20名。 【重点攻克05】列方程解追及问题和相遇问题。 1．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是290米/分，乙的速度是250米/分。经过多少分钟甲第二次追上乙？（提示：可以画图思考） 【答案】20分钟 【分析】甲、乙两人沿着环形跑道跑步，他们同时从一地点出发，同向而行，甲第一次追上乙时需要比乙一共多走整整一圈400米，第二次追上乙要多走整整二圈800米。也就是两人的路程差是800米。据此解答。 【详解】解：设经过x分钟甲第二次追上乙。 290x－250x＝400×2 40x＝800 x＝20 答：经过20分钟甲第二次追上乙。 【点睛】理解在环形跑道追及问题中，若两人同时同向出发，快者第几次追上慢者，就需要比慢者多走几个全程是解答本题的关键。 2．明明和洋洋分别从甲、乙两地同时出发，如果两人同向而行，那么经过18分钟明明追上洋洋；如果两人相对而行，那么经过2分钟两人相遇。已知洋洋每分钟走60米，甲、乙两地相距多少米？ 【答案】270米 【分析】根据题意，设明明每分钟走x米。根据路程差÷速度差＝追及时间，路程差也是甲、乙两地距离，速度和×相遇时间＝总路程，列方程解答。 【详解】解：设明明每分钟走x米。 18（x－60）＝2（x＋60） 18x－1080＝2x＋120 18x－2x＝120＋1080 16x＝1200 x＝75 （75＋60）×2 ＝135×2 ＝270（米） 答：甲、乙两地相距270米。 【第三章】难点挑战篇 【难点挑战01】分数裂项法（分数裂差与分数裂和）。 1．（1）（分数裂差）先计算，再利用规律解决问题。 1－＝ －＝ －＝ －＝ ＋＋＋＝（     ）（请写出计算过程） 【答案】； ； ； （计算过程见详解） 【分析】（1）异分母分数相减，先通分，然后分母不变，把分子相减。1－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝。 （2）通过观察计算结果找出规律。－＝＝；－＝＝；＝＝；＝＝；……（≥1）。 （3）根据规律可知：＝，前后两个相邻的分数因为运算符号相反，所以相加得0。 【详解】 ＝ 计算过程如下： ＝ ＝1－ ＝ 【点睛】一个分数，如果分子是1，分母是两个相邻自然数的积，那么这个分数就可以拆分成两个分子是1，分母是两个相邻自然数的分数相减的形式。 1．（2）（分数裂差）探究规律，巧妙计算。 （请展示你的思维过程） 【答案】 【分析】、、……据此将所有加数拆成1－几分之一的形式，再根据交换结合律，将所有的1加起来，剩余的减数，根据减法的性质，将所有的减数先加起来，再拆成相减的形式，中间全部抵消，进而简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2．（1）（分数裂和）怎样算简便就怎样算。 【答案】 【分析】根据分数的裂项可知＝＋；＝＋；＝＋；……＝＋；＝＋，利用此规律把原式转换，然后利用减法的性质和加法结合律即可简便运算。 【详解】－＋－＋－＋……＋－ ＝＋－（＋）＋＋－（＋）＋……＋＋－（＋） ＝＋－－＋＋－－＋……＋＋－－ ＝－ ＝ 2．（2）（分数裂差与分数裂和）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。            【答案】；（发现见详解） 【分析】（1）小题，因为；；即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。所以，可利用拆项的方法计算； （2）小题，；；即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1，这样一来，使计算简便。 【详解】由分析得： 我的发现： （1）即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。 （2）即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1。 【点睛】这两道题，一个是可以拆成分数之差；一个可以拆成分数之和。正是利用这种特殊的结构来达到简算的目的。 【难点挑战02】带分数拆分法。 1．计算。 。 【答案】 【分析】将带分数拆成整数＋分数，利用加法交换结合律写成，4个整数看成10＋100＋1000＋10000，最后减4，将4个分数的和化成带分数，再与整数和相加即可。 【详解】 2．计算。 【答案】 【分析】将带分数拆成整数加真分数，利用乘法结合律和交换律，将整数与整数相加，分数与分数相加，最后将它们的和相加。分数的和为，可以将这些分数放在看作单位“1”的正方形中，如图：，空白部分占正方形的，则其他部分占正方形的，即。 【详解】 【难点挑战03】分组法。 1．计算。 【答案】885 【分析】观察算式可知：分母相同的分数，其分子从1到比分母小1个数，凡是分母是奇数的，如＝1，＝2，都是整数，且等于，以此类推；分母是偶数的，如＝0.5，＝1.5，＝2.5以此类推，＝29.5，此时，从0.5到29.5一共有59个数，并且我们用第一个数加上最后一个数，用它们的和去乘个数59，再除以2，就是这个算式的最终结果。 【详解】 ＝0.5＋1＋1.5＋2＋2.5＋……29.5 ＝（0.5＋29.5）×59÷2 ＝30×59÷2 ＝1770÷2 ＝885 【点睛】本题关键是能够找出分母相同且为奇数的数相加的和的规律；及分母相同且为偶数的分数相加的规律。其次也要懂得仿照用高斯求和公式，用第一个数加上最后一个数，再用这个和乘这些数的个数，最后用积除以2，就是答案了。 2．计算。 ＋…… 【答案】390 【分析】每个括号中按同分母分数加法计算，然后化成小数，利用凑项求和。 【详解】＋…… ＝0.5＋1＋1.5＋2＋…＋19.5 ＝（0.5＋1＋1.5＋2＋…＋19.5＋0.5＋1＋1.5＋…＋19.5）÷2 ＝[（0.5＋19.5）＋（1＋19）＋…＋（19.5＋0.5）]÷2 ＝（0.5＋19.5）×39÷2 ＝390 【点睛】本题考查了分数的简便计算，观察规律，再计算。 【难点挑战04】复杂的表面积增减变化问题。 1．如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米。求这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】28平方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，长增加3厘米，即增加部分的长方体长是3厘米，体积是6立方厘米，6÷3＝2平方厘米，即宽乘高是2平方厘米；宽增加4厘米，即增加部分的长方体宽是4厘米，体积是32立方厘米，32÷4＝8平方厘米，即长乘高是8平方厘米；高增加5厘米，即增加部分的长方体高是5厘米，体积是20立方厘米，20÷5＝4平方厘米，即长乘宽是4平方厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求解即可。 【详解】6÷3＝2（平方厘米） 32÷4＝8（平方厘米） 20÷5＝4（平方厘米） （2＋8＋4）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是28平方厘米。 2．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】158平方分米 【分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米） 如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔ 如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）； 然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。 【详解】由分析可知： 宽×高：60÷4＝15（平方分米） 长×高：72÷3＝24（平方分米） 长×宽：80÷2＝40（平方分米） （15＋24＋40）×2 ＝（39＋40）×2 ＝79×2 ＝158（平方分米） 答：原来长方体的表面积是158平方分米。 【难点挑战05】溢水问题。 1．一个装满水的长方体玻璃容器，长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，然后把两个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的铁块立着放入容器中，容器溢出的水的体积是多少？ 【答案】144立方米 【分析】铁块的长×宽×玻璃容器的高＝一个铁块让容器溢出的水的体积，一个铁块让容器溢出的水的体积×2＝容器溢出的水的体积。 【详解】4×3×6×2 ＝12×6×2 ＝72×2 ＝144（立方米） 答：容器溢出的水的体积是144立方米。 2．一个长25厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体玻璃容器盛有一些水，水深6厘米。现将一个铁球完全浸没水中，这时容器内的水溢出了20毫升。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【答案】520立方厘米 【分析】根据题意可知，这个物体的体积＝长方体容器的容积－原来水的体积＋溢出的水的体积；长方体容器的容积－原来水的体积＝长×宽×（容器的高－水原来的高度），再加上溢出的水的体积就可得到这个铁球的体积。 【详解】25×10×（8－6） ＝250×2 ＝500（立方厘米） 20毫升＝20立方厘米 500＋20＝520（立方厘米） 答：这个铁球的体积是520立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。 【难点挑战06】注水运动问题。 1．有一个无水的长方体玻璃水缸，尺寸如左下图所示，一个水龙头从上午9：00开始向玻璃缸内注水，水的流量是8立方分米/分，到9：03关闭水龙头停止注水。接着马上在缸内放入一个高为8厘米的长方体铁块，使之全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如下图所示。 （1）图中点（     ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）9：03时玻璃缸水面高度为多少厘米？ （3）求出长方体铁块的底面积。 【答案】（1）B； （2）30厘米； （3）200平方厘米 【分析】（1）由图可知，横轴表示时间，纵轴表示水面高度，9：03关闭水龙头停止注水，9：03对应点B的位置； （2）从上午9：00开始到9：03关闭水龙头经过3分钟，根据每分钟的水流量计算出3分钟的水流量，水面高度＝3分钟的水流量÷玻璃水缸的底面积； （3）铁块的体积等于放入铁块后上升部分水的体积，则铁块的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，最后利用“底面积＝长方体的体积÷高”求出长方体铁块的底面积。 【详解】（1）图中点B的位置表示停止注水。 （2）从上午9：00到9：03经过了3分钟。 3×8×1000 ＝24×1000 ＝24000（立方厘米） 24000÷（50×16） ＝24000÷800 ＝30（厘米） 答：9：03时玻璃缸水面高度为30厘米。 （3）上升部分水的体积：50×16×（32－30） ＝50×16×2 ＝800×2 ＝1600（立方厘米） 铁块的底面积：1600÷8＝200（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是200平方厘米。 【点睛】分析折线统计图提取需要的解题信息，并掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 2．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【答案】（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后，右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方法。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$