第4章 专題八 射影定理&专题九 一线三等角——相似-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

第四章 图形的相似 第10课时 专题八 射影定理 探究二 射影定理的应用 课预习 例2如图,在△ABC中,BCA=90{,CD 1.射影定理:在真角三角形中,斜边上的高是 1AB于点D, BED-90*,EB-ED,连接 两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条 AE,若BC-3/2,求△ABE的面积. 直角边又是这条直角边在斜边上的射影和 【思路点拨】作EF1AB于点F,根据等腰直角 斜边的比例中项. 几何语言:在Rt△ABC中,ABC=90* 三角形的性质得到EF-BD,根据射影定理得到 BD是斜边AC上的高,则有射影定理:(1) BD·AB=BC*-18,再由三角形的面积公式计算 BD*-AD·CD:(2)AB*=AC·AD;(3) 即可得解。 BC-CD·AC 2.注意射影定理仅在直角三角形中成立 D 课堂探究 探究一 射影定理的证明 例在△ABC中,乙ABC-90*,BD是斜 边AC上的高,求证:BD*=AD·CD. 得出可得。 【思路点拨】通过证明△ABD△BCD,从而 针对训练 2.如图,在Rt△ABC中, ACB=90{*,AB 针对l练 18.AC=6,CD1AB于点D,则AD的 1.△ABC中, ABC-90{*,BD是斜边AC 长为 ( ) 上的高:求证:AB*}-AC·AD,BC*-CD A./② B.2 C.3 .AC. D.4 ### 2题图 3题图 3.如图,在Rt△ABC中,乙ACB-90{*},点D 是边AB上的一点,CD1AB于点D,若 AD:BD-1:3,则AC:BC- .66. 三 优课堂A·九年级数学(上) 第11课时 专题九 一线三等角--相似 课预习 1.“一线三等角”模型:指的是有三个等角的顶 角在同一条直线上构成的一组相似三角形 (1)点P在线段AB上(同侧) ###_##_# 说角一线三等角 直角一线三等角 貌角一线三等角 (2)点P在线段AB的延长线上(异侧) 锐一线三等角 直角一线三等角 轨角一线三等角 课堂探究 探究一 一线三直角 针对训练 例1如图,在矩形ABCD中,AB=2.AD 1.如图,已知直线v=一2x+2分别与x轴、 -5.一把三角尺的直角顶点P在线段AD上 v轴交于A,B两点,以线段AB为直角边 滑动时(点P与A,D两点不重合),一直角边 在第一象限内作Rt△ABC, BAC=90*。 (1)点A的坐标为 始终经过点C,另一直角边与射线AB交于 ,点B的坐标 为 点E. (1)求证:△DPCcoAEP (2)当之CPD=30*时,求AE的长; (3)当点E在线段AB上时,求PD的取 值范围. 【思路点拨】(1)根据等角的余角相等,得 AEP一CPD,根据两个角对应相等即可证明 相似;(2)根据含30角的直角三角形的性质,得PC 一4,再根据勾股定理求得DP的长,结合相似三角 形的对应边的比相等即可求解;(3)由△DPC PDCD 得AE-(5-a),其中0<a<5,由0<AE<2,得 出a的取值范围可得解. ·671 第四章 图形的相似 探究二 一线三等角 针对训练 则2如图,在△ABC中,AB=AC=10. 2.如图,在△ABC中,AB-2/2,B-45^$ BC=16,点D是边BC上一动点(不与B.C两 以A为直角顶点作等腰直角三角形 点重合),ADE= B-a,DE交AC于点E ADE,点D在BC上,点E在AC上,若 判断下列结论是否正确 CE-/5,则CD的长为. (1)△ADE△ACD; (2)当BD=6时,△ABD与△DCE全等; (3)△DCE为直角三角形时,BD的长为8 3.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边 【思路点拨】(1)根据“有两组对应角相等的三 BC上移动(点E不与点B,C重合),满足 角形相似”即可证明;(2)由BD-6,则DC-10,证 乙DEF= B,且点D,F分别在边AB, 得对应边相等,△ABD与△DCE全等;(3)△DCE AC上. 为直角三角形有两种可能:①乙CED一90{*};② (1)求证:△BDEco△CEF 之EDC一90*,分别利用等腰三角形的性质与相似 (2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE 三角形的性质求得答案。 平分DFC. .68·曰写优课堂转切A+·九年级数学（上） 第10课时 专题八射影定理 探究二射影定理的应用 课前预习】 例2如图，在△ABC中，∠BCA=90°，CD 1.射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是 ⊥AB于点D,∠BED=90°，EB=ED,连接 两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条 AE,若BC=32,求△ABE的面积. 直角边又是这条直角边在斜边上的射影和 【思路点拨】作EF⊥AB于点F,根据等腰直角 斜边的比例中项。 几何语言：在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 三角形的性质得到EF=2BD,根据射影定理得到 BD是斜边AC上的高，则有射影定理：(1) BD·AB=BC?=18,再由三角形的面积公式计算 BD=AD·CD:(2)AB=AC·AD:(3) 即可得解， BC2=CD·AC. 2.注意射影定理仅在直角三角形中成立 )课堂探究 探究一 射影定理的证明 解答图 例I在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜 解：过点E作EF⊥AB于点F,如解答图， 边AC上的高.求证：BD=AD·CD. :∠BED=90°，EB=ED.EF⊥AB. 【思路点拨】通过证明△ABD∽△BCD,从而 六EF=之BD, 得出8部品申可得运。 ,∠BCA=-90°，CD⊥AB, 证明：：在△ABC中，BD是 ∴.BD·AB=BC2=18, 斜边AC上的高， ∴△ABE的面积为号·AB:ET ∴.∠ADB=∠BDC=90°， .∠A+∠ABD=90, -×ABBD-号 :∠ABC=90,∴.∠A+∠C=90°， ·∠ABD=∠C,.△ABD∽△BCD, ÷0部BD-AD:Cm 针对训练 针对训练 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 1.△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC 18,AC=6,CD⊥AB于点D,则AD的 长为 (B) 上的高.求证：AB=AC·AD,BC2=CD ·AC A.2 B.2 C.3 D.4 证明：：∠A+∠C=90°， ∠A+∠ABD=90', .∠C=∠ABD. ∠A=∠DBC, 2题图 3题图 易证△ABD△BCD△ACB, 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D 福"偎 是边AB上的一点，CD⊥AB于点D,若 .AB-AC·AD,BC-CD·AC AD:BD-1:3.AC:BC-1:3 ·66 日写优课堂转钧A+·九年级数学（上） 探究二一线三等角 △BFA△BAD部-需BD- 2 例2如图，在△ABC中，AB=AC=10, 综上所述·△DCE为直角三角形时，BD=8或 BC=16,点D是边BC上一动点（不与B,C两 点重合)，∠ADE=∠B=a,DE交AC于点E, BD=5,放(3)正确。 2 判断下列结论是否正确： (1)△ADE∽△ACD: 针对训练 (2)当BD=6时，△ABD与△DCE全等： 2.如图，在△ABC中，AB=2√2，∠B=45°， (3)△DCE为直角三角形时，BD的长为8 以A为直角顶点作等腰直角三角形 空 ADE,点D在BC上，点E在AC上.若 CE=5,则CD的长为5. 【思路点拨】(1)根据“有两组对应角相等的三 角形相似”即可证明：(2)由BD=6.则DC=10.证 得对应边相等，△ABD与△DCE全等：(3)△DCE D 为直角三角形有两种可能：①∠CED=90°：② 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边 ∠EDC=90°，分别利用等腰三角形的性质与相似 BC上移动（点E不与点B,C重合），满足 三角形的性质求得答案。 ∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB, AC上. (1)求证：△BDE∽△CEF: (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE 解答图 平分∠DFC. 解：(1)：AB=AC,.∠B=∠C, 证明：(1)，AB=AC, 又：∠ADE=∠B,∴.∠ADE=∠C .∠B=∠C, △ADE△ACD,故(1D正确： :∠BDE=180°-∠B-∠DEB. (2),BD=6,BC=16,,.CD=10. ∠(EF=180°-∠DEF-∠DEB, AB=AC,,∠B=∠C. ∠DEF=∠B, ,∠ADB=180°-a-∠CDE, .∠BDE=∠CEF, ∠CED=180°-a.-∠CDE, ∴△BDE∽△CEF: .∠ADB=∠DEC. (2)△BDE△CEF. [∠B=∠C, 在△ABD与△DCE中，{∠ADB=∠DEC 器 AB=CD. :点E是BC的中点， ∴.△ABD2△DCE,故(2)正确： ..BE-CE. (3)△DCE为直角三角彩，有以下两种可能： 得 ∠CED=90°或∠EDC=90°， :∠DEF=∠B=∠C, ①当∠CED=90°时，即∠AED=90,由(1)可知 △DEFn△ECF, △ADE△ACD.∴.∠ADC=∠AED, .∠DFE=∠CFE. :∠AED=90°.∴.∠ADC-90°.即AD⊥BC, ,,FE平分∠DFC. AB=AC.∴.BD-CD.∴.BD-8: ②当∠EDC=90"时，，∠ADE+∠EDC=∠B+ ∠BAD,∠ADE=∠B,.∠BAD=∠EDC=90°，如 解答图，迹点A作AF⊥BC于点F,则BF-8, :∠B是公共角，∠AFB=∠BAD=90°， ·68