第1章 特殊平行四边形 回顾与思考-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

曰写优课堂作勒A+·九年级数学（上） 针对训练 探究二。矩形的性质与判定 1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结 例2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, 论中正确的有 ∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC,BD交于点 ①当AB=BC时，四边形ABCD是菱形： O,DE平分∠ADC,交BC于点E,连接OE ②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； (1)求证：四边形ABCD是矩形： ③当∠ABC=90°时，四边形ABCD是 (2)若∠BDE=15°，求∠DOE: 菱形： (3)在(2)的条件下，若AB=2,求△BOE ①当AC=BD时，四边形ABCD是菱形 的面积。 A.1个 B.2个C.3个D.4个 【思路点拨】(1)由平行线的性质易证∠BAD 2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 90°，得出∠BAD-∠ABC-∠ADC=90°，脚可得 于点O,过点C作CE⊥AD于点E,连接 出结论：(2)由矩形和角平分线的性质得出∠CDE OE,若OB=4,S菱形BcD=48,则OE的长 =∠CED=45°，则EC=DC,推出∠CDO=60°，证 为 明△(CD是等边三角形，求出∠OCB=30°，得出 ∠COE=75°，即可得出结果：(3)作OF⊥BC于点 F,求出EC,OF的长即可， 2题图 3题图 3.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2 和5，P是对角线AC上任一点（点P不与 点A,C重合)，且PE∥BC交AB于点E, PF∥CD交AD于点F,则阴影部分的面 积是 4.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角 线，AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°，E 为AD的中点，连接BE (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1, 求AC的长. ·19三 优课堂A·九年级数学(上) 第12课时 回顾与思考 课预习 课堂探究 定义:有一组,邻边相等 的平行四边 探究一 菱形的性质与判定 形叫做菱形 则1如图,四边形ABCD是菱形,乙BAD 相等 对边平行,四条边 -60*,点H是对角线AC的中点,点E在AB 菱形性质对角 相等 的延长线上,CE1AB,垂足为E,点F在AB 对角线互相 垂直平分 的延长线上,CF1AD,垂足为F. (一组邻边 相等 的平行四边形 (1)求证:四边形CEHF是菱形; 判定四边都 相等 的四边形 (2)若CE-4,求菱形ABCD的面积 对角线互相 垂直 的平行四边形 【思路点拨】(1)根据菱形的性质和判定定理即 定义:有一个角是 直角 的平行四边形 可得到结论;(2)根据勾股定理得到AC一8.连接 叫做矩形 BD,则BDIAC,求得AH-4,根据勾股定理得到 [对边平行且 相等 得到BD,根据菱形ABCD的面积公式即可得到 四个角都是 直角 结论。 矩形 性质对角线 互相平分且相等 直角三角形斜边上的中线等于 边的一半 有一个角是 直角 的平行四边形 判定有三个角是 直角 的四边形 解答图 对角线 相等 解:(1)*'四边形ABCD是菱形,乙BAD-60{*。 的平行四边形 '.EAC-FAC-30". 定义:有一组邻边相等,并且有一个角 又'CELAB,CF1AD.'.CE-CF= 是 直角 的平行四边形叫做正方形 AC. 对边平行,四条边 相等 .点H为对角线AC的中点. 性质四个角都是 直角 $EH-FH-AC..CE=CF=EH-FH. 对角线 相等且互相垂直平分 '.四边形CEHF是菱形: [有一组邻边 相等 ,并且有一个 (2)·四边形ABCD是菱形,BAD=60*。 角是 直角 的平行四边形 '.乙EAC-乙FAC-30*。 有一组邻边相等的 矩形 判定 'CEAB.CE-4.'AC-2CE=8. 对角线相等的 1 菱形 连接BD,则BD1AC,AH-AC-4. 对角线互相垂直的 短形 菱形 .点H为对角线AC的中点, 有一个角是直角的 '.D,H,B在同一直线上,.BH一 AB. 课堂导入 .AB=AH+BH.'$(2BH)$-BH+4^.$ 用语言叙述下列几种四边形之间的关系 .BH4、 4..B一2BH-83. .菱形ABCD的面积-AC·BD-×8X .18. 第一章 特殊平行四边形 探究二 针对训练 矩形的性质与判定 1.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结 2如图,在四边形ABCD中,AD/BC. ( B) 论中正确的有 ABC= ADC=90{*},对角线AC,BD交于点$ ①当AB一BC时,四边形ABCD是菱形; O.DE平分ADC,交BC于点E,连接OE ②当AC1.BD时,四边形ABCD是菱形 (1)求证:四边形ABCD是矩形; ③当 ABC=90*时,四边形ABCD是 (2)若 BDE=15^*},求 DOE; 菱形; (3)在(2)的条件下,若AB=2,求△BOE ④当AC=BD时,四边形ABCD是菱形. 的面积. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【思路点拨】(1)由平行线的性质易证乙BAD 2.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交 90{* ,得出 BAD- ABC- ADC-90*,即可得 于点O,过点C作CE1AD于点E,连接 出结论;(2)由矩形和角平分线的性质得出乙CDE OE,若OB-4.SAuco=48,则OE的长 - CED-45*,则EC-DC.推出 CDO-60*$证 为6, 明△OCD是等边三角形,求出OCB=30{*},得出 COE-75{,即可得出结果;(3)作OF1BC于点 F.求出EC,OF的长即可. 2题图 3题图 3.如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2 和5,P是对角线AC上任一点(点P不与 解答图 (1)证明:'AD//BC...乙ABC+乙BAD-180”。 点A,C重合),且PE/BC交AB于点E .ABC-90..' BAD-90. PF//CD交AD于点F,则阴影部分的面 '. BAD= ABC- ADC-90, 积是2.5. '.四边形ABCD是矩形; 4.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角 (2)解:'四边形ABCD是矩形,DE 平 $线,AD/BC,$AD$=2BC. ABD$=9 0$*$,$E$ 分乙ADC. 为AD的中点,连接BE .ZCDE-CED-45..'.EC-DC. (1)求证:四边形BCDE为菱形; 又: BDE-15..' CDO-60. (2)连接AC,若AC平分乙BAD,BC-1 又。矩形的对角线互相平分且相等, 求AC的长. '.OD-OC...△OCD是等边三角形, (1)证明:.AD-2BC,E为 ..DOC-OCD-60. ..OCB-90-DCO-30. AD的中点. .DE-BC. ·CO-CE..COE-(180*-30}-2-7. .AD/BC...四边形BC- '. D0E-D0C+ COE=60{+75*-13 $; DE是平行四边形, (3)解:作OF1BC于点F.四边形ABCD是矩形, .ABD-90$$AE-DE. '$$CD=AB=2 . B$CD=90$$AO=$CO.B$=$ ·.BE一DE。..四边形BCDE是菱形; $O$AC=BD.$'$AO=BO=CO=DO.$'$BF=F$C$ .0F一 CD-1. (2)解:'.AD/BC.AC平分 BAD .. BAC- DAC- BCA.'*AB-BC-1. ·DE手分乙ADC.乙ADC-90。:乙EDC- 'AD=2BC-2.'$AD-2 AB.'$ ADB-30$ 45*,在Rt△EDC中,EC-CD-2. '.乙DAC-30$乙ADC-60”,在Rt△ACD中. :△OEC的面积- .AD-2...CD-1.AC-③. .19. 三 优课堂A·九年级数学(上) 探究三 针对训练 正方形的性质与判定 5.如图,△ABC中,AB=AC.ADIBC,垂足 则3如图,正方形ABCD 为D,DE/AB,交AC于点E,ED=3,则 中,E,F分别为AB,AD上的 AE的长为 (C) 点,AF=BE,CE,BF交于点 A.1.5 C.3 B.2 D.3.5 H.BF交AC于点M,O为AC #### 的中点,OB交CE于点N,连接OH.下列结 论:①BFICE;②BM-CN;③ FHO-45$ ④CH-BH-/2OH ①②③① 其中正确的结论是: .(填序号) 5题图 6题图 6.如图,矩形ABCD中,连接AC,延长BC 【思路点拨】①可证△ABF△BEC,得出 至点E,使BE=AC.连接DE.若 BAC ABF-乙BCE,进而得到 HBC+乙BCH (A) -40{},则/E的度数是 90{*,由此得证;②根据题意得出乙ABO=乙BCO A.65* B.60{* C.50* D.40* $$5 *},结合乙ABF-BCE,得出 FBO- ECO. 结合正方形的性质可证△OBM△OCN,根据全 7.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC 等三角形的性质得出BM一CN,即得证;③过点C 和BD交于点O,过点A作AE1BC于点 作OG1OH交CH于点G,可证出△OGC E,延长BC到点F,使CF-BE,连接DF △OHB,得△OHG是等腰直角三角形,由乙FHO 和OF. - FHC- OHG-90{*-45*}-45^*得证;④由$$ (1)求证:四边形AEFD是矩形; △OGC△OHB,得CG=BH,解直角三角形即可 ($)若AD=5,$CE-3, ABF=60*,求$$ 得证CH-BH-2OH. OF的长. (1)证明:,在平行四边形 针对训练 ABCD中. 8.下列说法正确的有 '.AB/DC.AB-DC. ①有一组邻边相等的矩形是正方形; .'.乙ABE- DCF. ②对角线互相垂直的矩形是正方形; 在△ABE和△DCF中. ③有一个角是直角的菱形是正方形; .'AB=DC. ABE= DCF,BE=CF ④对角线相等的萎形是正方形, .'.△ABE△DCF(SAS). C.3个 A.1个 B.2个 D.4个 $AE=DF. AEB- DFC-90 '.AE/DF。..四边形AEFD是矩形; 9.如图,将正方形纸片按如图折叠,AM为折 (2)解:''边形AEFD是矩形..'.EF-AD-5. 痕,点B落在对角线AC上的点E处,若 CD一6,则BM的长为 “四边形ABCD是平行四边形, ( B) ..BC-AD-5.OB-OD. A./② B6/2-6 C.12-6/2D.6/2 'FC-3..'$BF=CF-2'$BF-$$C+CF-7$$ Rt△ABE中.乙ABE-60{. '. BAE-30*$.AB-2BE-4 '$DF-AE-AB-BE-4-2-2 ③ $BD- BF+DF-7+(23)- 61. 9题图 10题图 OB-OD.乙DFC-90. 10.如图,正方形ABCD的边长为7,在各边 OF-BD- 上顺次截取AE=BF=CG=DH=4.则$ 四边形EFGH的面积为 25. .20.