4.5 相似三角形判定定理的证明-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

第四章 图形的相似 第9课时 4.5*相似三角形判定定理的证明 课前预习 1.相似三角形的判定定理; (1)两角 的两个三角形相似 (2)两边 且夹角 的两个三 角形相似. (3)三边 的两个三角形相似 (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边延长线)相交,所构成的三角形与原 三角形相似 2.相似三角形判定定理的证明,均利用了数学 中的转化思想,将两个三角形合并在一起 构成“A”型,转化为已学过的方法,利用“平 针对训练 行线分线段成比例”证明 1.证明两角分别相等的两个三角形相似 已知:如图,在△ABC和△AB'C'中,乙A 课堂导入 =乙A', B- B 我们已经学过的相似三角形的判定定理有 求证:△ABCo△ABC' 哪些?如何证明它们一定成立呢 课堂探究 探究一 相似三角形判定定理的证明 则1教材第100页在证明“两边成比例且 夹角相等的两个三角形相似”时,利用了转化 的数学思想,通过添设辅助线,将未知的判定 方法转化为前面已经学过的方法(即已知两角 对应相等推得相似或已知平行推得相似).请 利用上述方法完成这个定理的证明 如图,已知在△ABC和△DEF中,A三 /D.AB DE -DF AC (AB>DE).求证:△ABC o△DEF. 【思路点拨】在AB上截取AG一DE,作GH/ BC,则可得△AGH△ABC,再由已知条件证明 AAGH△DEE,即可证明ABCoADEE .64. 三 优课堂A·九年级数学(上) 探究二 相似三角形判定定理的运用 针对训练 例2如图,在△ABC中,点D在AB上, 点E在AC上,若$ A=60{*$ B=68^{*},AD· 3 的值为 AB=AE·AC,则 ADE的度数为 ( __ C# B ###_ 【思路点拨】由三角形内角和定理可求C= 180{*- A - B,通过证明△ADEco△ACB,可 得乙ADE-C. 例3如图,在平行四边形ABCD中,过点 2题图 3题图 A作AE BC,垂足为E,连接DE,F为线段 3.如图,正方形ABCD的边长是4,E是BC DE上一点,且 AFE= B.若AB=8,AD 的中点,连接BD,AE相交于点O,则OD 6/3,AF-4/3. 的长是 (1)求证:△DFA(△ECD (2)求线段AE的长. 4.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别 【思路点拨】(1)根据平行四边形ABCD中,AB 在边AC,AB上,AG1BC于点G,AF /DC,AD/BC, AEF一 B,得两对角相等,即 DE于点F,EAF= GAC. 可证明△DFA△ECD:(2)由△DFA △ECD (1)求证:△ADEo△ABC 对应边成比例,求出DE的长,再根据勾股定理即 (2)若AD=BE-4,AE=3,求CD的长 可求得AE的长。 .65·曰写优课堂转切A+·九年级数学（上） 第9课时4.5幸相似三角形判定定理的证明 裸前预司 1.相似三角形的判定定理： (1)两角分别相等的两个三角形相似. 解答图 (2)两边威比例且夹角相等的两个三 证明：在AB上截取AG=DE,过点G作BC的 角形相似. 平行线，变AC于点H,知解答图，则△AGH (3)三边成比例的两个三角形相似. P△ABC. (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 福把 AC· (或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似 器AG-DE, ∴AH=DF, 2.相似三角形判定定理的证明，均利用了数学 :∠A=∠D, 中的转化思想，将两个三角形合并在一起， ∴.△AGH2△DEF(SAS). 构成“A”型，转化为已学过的方法，利用“平 .△ABC△DEF 行线分线段成比例”证明. 针对训练 裸堂导入 1.证明两角分别相等的两个三角形相似， 我们已经学过的相似三角形的判定定理有 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A 哪些？如何证明它们一定成立呢？ =∠A',∠B=∠B 求证：△ABC△A'B'C'. 裸堂探究 探究一相似三角形判定定理的证明 例1教材第100页在证明“两边成比例且 B 夹角相等的两个三角形相似”时，利用了转化 证明：在线段A'B上截取A'D■AB,过点D作 的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定 DE∥BC',交A'C'于点E,如解答图 方法转化为前面已经学过的方法（即已知两角 由此得到△A'DE△AB'C', 对应相等推得相似或已知平行推得相似).请 .∠A'DE=∠B' 利用上述方法完成这个定理的证明： ∠B=∠B,.∠A'DE=∠B, 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠A 又：∠A'=∠A, ∠D,R6-RE(AB>DE.求证：△ABC ∴，△A'DE≌△ABC, ,△ABC∽△A'B'C. ∽△DEF 【思路点拨】在AB上截取AG=DE,作GH∥ BC,则可得△AGH∽△ABC,再由已知条件证明 △AGH≌△DEF,即可证明△ABC△DEF 解答图 ·64✉