4.4 探索三角形相似的条件-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

第四章图形的相似 第6课时4.4探索三角形相似的条件(2) 课荷预习 针对训练 1.如图，如果∠BAD=∠CAE,那么添加下 1.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的 列一个条件后，仍不能确定△ABC 两条边和另一个三角形的两条边对应成比 △ADE的是 ( 例，并且 相等，那么这两个三角形 A.∠B=∠D B.∠C=∠AED 相似. 2.运用这个定理证明三角形相似的时候，一定 c船器 D.AB_AC AD AE 要注意相等的角是成比例两边的夹角（与全 等三角形判定SAS类似). 裸堂导入 1题图 2题图 1.由三角形全等的SAS判定方法，是否可以得 2.如图，再补充一个条件： 出两条边对应成比例的两个三角形相似呢？ ,可使△ACB△ADE. 2.如图，你能借助刻度尺用最快的方法画出一 3.如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD 个三角形，使得它与△ABC相似，并且与 =1,BD=2,AC=3.求证：△ACD △ABC的相似比为1：2吗？试一试. ∽△ABC. )课堂探究 探究一相似三角形的判定（类似SAS】 例I如图，在△ABC中，BD平分∠ABC, 交AC于点D,点E是AB上一点，连接DE, 4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格 若BD=BC·BE.求证：△BCD∽△BDE. 中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上， 【思路点拨】由角平分线的定义可得出∠DBE 请判断△ABC和△DEF是否相似，并说 -∠CBD,结合BD-BC·BE(脚%-82)：年 明理由 可证出△BCD△BDE. ·58· 第四章图形的相似 第8课时4.4探究三角形相似的条件(4) 课前预司 针对训练 1.已知点P是线段AB的黄金分割点，且 点C把线段AB分成两条线段AC,BC(AC AP>BP,则下列结论正确的是 ( >BC),如果 ,那么称线段AB 被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金 A船6 2 B船 =0.618 分割点，AC与AB的比叫做黄金比.黄金比 5-1 AC BC5-1 AB AC ≈0.618. C.AH1 2 n品 2 2 2.已知P是线段AB上的点，且AP=BP· 裸堂导入 AB,那么AP：AB的值是 学校要求学生穿衬衣时要把衬衣束进西裤 A5-1 B.35 内，有的男生却喜欢把衬衣散在外面，以为 2 2 这样才潇洒.到底哪一种穿法才美观呢？你 C.5+1 能解释为什么学校要这样要求吗？ 2 D.3+5 3.已知线段AB=2,P是AB的黄金分割点， 课堂探究 且AP>BP,那么AP 探究一 黄金分割 4.已知线段AB,按照如下的方法作图：以 例工1)小明同学发现自己一本书的宽与 AB为边作正方形ABCD,取AD的中点 长之比是黄金比，约为0.618.已知这本书的长 E,连接EB,延长DA到点F,使EF 为20cm,则它的宽约为 EB,以线段AF为边，作正方形AFGH,如 A.12.36cm B.13.6cm 图，求证：点H是线段AB的黄金分割点。 C.32.386cm D.7.64cm (2)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB =2BC,现以点C为圆心，CB的长为半径画 弧，交边AC于点D,再以点A为圆心、AD的 长为半径画弧，交边AB于点E 求证：点E是线段AB的黄金分割点. 【思路点拔】(1)根据黄金比列式计算即可.(2) 设BC=a,根据题意用a表示出AB,AC,结合图 形、黄金分割的定义刻断即可。 ·62✉ 日写优课堂转钧A+·九年级数学（上） 探究二黄金分割的应用 针对训练 例2如图，在△ABC中，点D在边AB 5.在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部 上，且BD=DC=AC,已知∠ACE=108°，BC 的高度比等于下部与全身的高度比，可以 =2. 增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高 (1)∠B的度数为 为2m,设它的下部的高度应设计为xm, (2)我们把有一个内角等于36°的等腰三 则x满足的关系式为 ( 角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比 A.(2-x):x=x:2 (或者底边长与腰长的比)等于黄金比5一] B.x:(2-x)=(2-x):2 2 C.(1-x);x=x1 ①写出图中所有的黄金三角形，并选一个 D.(1-x):x=1:x 予以证明： ②求AD的长 6.宽与长的比是52的矩形叫做黄金矩 【思路点拔】(1)设∠B=x,利用等腰三角形的 形.我们可以用这样的方法画出黄金矩 性质得到∠DCB=∠B=x,则∠ADC=2x,厚表示 形，如图，作正方形ABCD,分别取AD, 出∠A=∠ADC=2x,利用三角形外角的性质得到 BC的中点E,F,连接EF;以点F为圆心， x+2x=108°，解方程求出x即可.(2)①利用黄金 以FD的长为半径画弧，交BC的延长线 三角形的定义可判新△ABC,△DBC,△CAD都是 于点G:作GH⊥AD,交AD的延长线于 黄金三角形：②根据黄金三角形的定义得到C 点H,则下列矩形是黄金矩形的是( A.矩形ABFE B.矩形EFCD 52,则AC=5-1,所以CD=CA=BD5 C.矩形EFGH D.矩形DCGH 1,然后计算AB-BD即可. 6题图 7题图 7.如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD >AB,AD=2,点E是AD上一点，点G 是CD上一点，将△ABE沿直线BE折 叠，使点A落在BC边上的点F处，再将 △DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF 上的点H处，则FH的长为 A.5-1 B5-1 2 C.3-5 D.25-4 8.大自然是美的设计师，即使是 一片小小的树叶，也蕴含着 “黄金分割”的美感.如图，P 为AB的黄金分割点(AP> PB),如果AP的长度为 7cm,那么AB的长度是 cm. ·63第四章图形的相似 探究二定理的应用 5.如图，在△ABC中，点D在AB边上， 例2如图，矩形ABCD中，E为BC上一 ∠ABC=∠ACD. 点，DF⊥AE于点F (1)求证：△ABC∽△ACD: (1)求证：△ABE∽△DFA: (2)若AD=4,AB=9,求AC的长. (2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF 的长 【思路点拔】(1)△ABE和△DFA都是直角三 角形，还需一组角对应相等即可，根据AD∥BC可 (1)证明：：∠ABC=∠ACD,∠A=∠A 得∠DAF=∠AEB,问题得证：(2)运用相似三角 .△ABC△ACD: 形的性质，列出各组对应边的比例式脚可求解， (2)解：：△ABC△ACD. (1)证明：：DF⊥AE, 6提 .∠AFD=90°， ∠B=∠AFD=90°， 9品 又：AD∥BC, .AC=6. ∴.∠DAE=∠AEB, ∴△ABE△DFA: (2)解：AB=6.BE=8,∠B-90, AE=√6+8=10. 6.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC :△ABEn△DFA. 边上一点，连接DE,点F为线段DE上一 漂浩 点，且∠AFE=∠B (1)求证：△ADF△DEC: 中品9DF-2 (2)若BE-2,AD-6,且DF-号DE,求 DF的长度. 针对训练 4.如图，已知AB∥CD,AD,BC交于点O. AO=2,DO=3,CD=5,求AB的长. E (1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC, :∠AFD+∠AFE=180',∠AFE=∠B, ∴.∠AFD=∠C. 解：，AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C, .△ADF△DEC: .△AOB△DC, (2)解：由(1)△ADFn△DEC, 识带脚号 35 提器 aB=号 :AD=6,BE=2, .EC=4. 又DF-号DE, 元=解得DE=6DF .57✉ 曰写优课堂转动A+·九年级数学（上） 第6课时4.4探索三角形相似的条件(2) 课前预司 针对训练 1.如图，如果∠BAD=∠CAE,那么添加下 1.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的 列一个条件后，仍不能确定△ABC 两条边和另一个三角形的两条边对应成比 △ADE的是 (C) 例，并且夹角相等，那么这两个三角形 A.∠B=∠D B.∠C=∠AED 相似。 c船器 D.AB_AC 2.运用这个定理证明三角形相似的时候，一定 AD AE 要注意相等的角是成比例两边的夹角（与全 等三角形判定SAS类似). 裸堂导入 1题图 2题图 1.由三角形全等的SAS判定方法，是否可以得 2.如图，再补充一个条件：∠ADE=∠C(答 出两条边对应成比例的两个三角形相似呢？ 案不唯一)，可使△ACB∽△ADE 2.如图，你能借助刻度尺用最快的方法画出一 3.如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD 个三角形，使得它与△ABC相似，并且与 =1,BD=2,AC=3.求证：△ACD △ABC的相似比为1：2吗？试一试. ∽△ABC. 证明：”AC=万3， AC3 AB3 )课堂探究 提福 :∠A=∠A, 探究一相似三角形的判定（类似SAS】 ∴.△ACD∽△ABC 例I如图，在△ABC中，BD平分∠ABC, 交AC于点D,点E是AB上一点，连接DE, 4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格 若BD=BC·BE.求证：△BCD∽△BDE. 中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上， 【思路点拨】由角平分线的定义可得出∠DBE 请判断△ABC和△DEF是否相似，并说 -∠CBD,结合BD-C·BE(中品-0)年 明理由 可证出△BCDP△BDE 证明：BD平分∠ABC, .∠DBE=∠CBD. 解：相似，理由下： BD=BC·BE, 现察图原，可知∠ACB=∠DEF=90°， 品配 AC=2+4=2V5,EF=4+4平=42 .△BCDn△BDE. BC=/+2-5,DE-√/2+2-22， 普品渴 ∴.△ACB△FED ·58 第四章图形的相似 探究二选择定理判定相似 解：①当DE∥(OB时.△AED△AOB,此时E 圆☑如图，在△ABC与△ADE中，A5 AD (0,4)； ②当DE∥OA时，△BDE△BAO,此时E(2, DE=A正，点B,D,E在一条直线上.求证： BC AC 0): ③过点D作DE⊥AB,交OA于点E,则△ADE △ABD∽△ACE. 【思路点拨】先证得△ABC∽△ADE,可得 △A0B,时铝 ∠BAD=∠CAE.又由铝S即可得正. :AB=/4+8=45,.8AE=45×25. ∴.AE=5,E(0,3). 证明：：在△ABC与△ADE 综上，E点的坐标为(0,4)或(2,0)或(0,3) 中品能能 ∴.△ABC△ADE 5.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为 ∠BAC=∠DAE,.∠BAD=∠CAE. BC边的中点，点P为AB边上一动点，连 船能…是提 接PE,过点E作EQ⊥PE,交边CD于点 Q,直线PQ交直线AD于点G ∴.△ABD∽△ACE (1)当BP=1.5时，求CQ的长： 例3如图，在△ABC中，点D在边AC上， (2)当点G在射线AD上时，设BP=x, AE分别交线段BD,边BC于F,G两点，∠1 DG=y,求y关于x的函数关系式，并写 =∠2部-S求证：BF=FG,ER 出x的取值范围. 【思路点拔】证明△ADF∽△EBF,得到∠I ∠E,而∠1=∠2，得到∠2=∠E,证明△BEFn △GBF,列出比例式即可解决问题， 证明带邵 解答图 解：(1)由题意，得BE-CE=2,∠PEQ=90°， 且∠AFD=∠EFB, .∠PEB+∠QEC=∠EQC+∠QEC=90°， .△AIDF∽△EBF, .∠PEB=∠EQC, .∠1=∠E ,∠B=∠C=90°，.△PEB△EQC, ∠1=∠2∴∠2=∠E :∠BFG=∠EFB.∴.△BEFP△GBF, 器器*品0骨 器器中BF-GE 2)由可物畏-焉c0-兰 当CQ=4时，此时x=11r≤4 针对训练 过点P作PF⊥CD于点F,如解答图， 4.已知，如图，A(0,8),B(4,0),D是AB的 中点，过点D作直线与△AOB的一边交 易运△QPF△QGD.腮-器 于点E,直线DE截△ABO得到的小三角 CF-PB-x.:QF-CQ-CF--x 形与△ABO相似，求满足条件的E点的 DQ=CD-CQ=4- 4 坐标 4 y4-4 化商，可得y=44r二(1≤r≤4. 4-x ·61