2.6 应用一元二次方程-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

曰写优课堂转切A+·九年级数学（上） 第11课时 2.6应用一元二次方程(2) 课前预司 针对训练 1.某文具店将进价为30元的钢笔，以50元 1.列方程解应用题的一般步骤： 售出，平均每月能售出300支.经试销发现 (1)审；(2)设：(3)列：(4)解：(5)验：(6)答. 每支钢笔每涨价10元，其月销售量就减少 2.常见等量关系： 10支，为实现每月利润8000元，设定价为 (1)单件利润=售价一进价： x,则可得方程 利涧率-商品利润 商品进价 ×100%: A.300(x-30)=8000 B.300(x-50)=8000 商品总利润=单件商品利润×销售数量. C.(.x-30)[300-(x-50)]=8000 (2)关于两次平均增长（降低）率问题的一般 D.x-30=8000 关系： 2.博物馆每周都会吸引大量中外游客前来 a(1土x)2=A(其中a表示基数，x表示增长 参观.如果游客过多，对馆中的珍贵文物 (或降低)率，A表示新数). 会产生不利影响.但同时考虑到文物的修 汤课堂导入 缮和保存费用问题，还要保证一定的门票 收入.因此，博物馆采取了涨浮门票价格 每到节假日各大商场都纷纷打出“大放血”、 的方法来控制参观人数，在该方法实施过 “大甩卖”、“跳楼价”、“清仓处理”、“几折起” 程中发现：每周参观人数y与票价x之间 等等降价销售商品的宣传单，那么同学们考 存在着如图所示的一次函数关系，在这样 虑一下商家降价的目的何在？他们还赚 的情况下，如果要确保每周4万元的门票 钱吗？ 收人，那么每周应限定参规人数是多少？ 门票价格应是多少元？ 裸堂探究 W人 探究一 利润问题 7000 6000 例工某商店如果将进货价为8元的商品 5000 4000 按每件10元售出，每天可销售200件.现在采 3000 用提高售价，诚少进货量的方法增加利润.已 2000 1000 知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10 0 方1052前x/元 件.要使每天获得利润700元，请你帮忙确定 售价 【思路点拔】设每件商品提高x元，然后根据 “总利润=单件利润×销售量”列出方程求解。 ·37. 第二章 一元二次方程 探究二增长率（降低率）及其他问题 4.某单位要组织篮球邀请赛，每两队之间都 例2某楼盘准备以每平方米12100元的 要赛一场且只赛一场，计划安排15场比 均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政 赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，根 策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周 据题意，可列方程 ( 转，房地产开发商对价格经过两次下调后（每 A.x(x+1)=15 B.x(x-1)=15 次降价的百分率相同)，决定以每平方米10000 元的均价开盘销售。 C.2x(x+10=15 D.2(x-1D-15 (1)求平均每次下调的百分率（精确到 5.某股票每天的涨、跌幅均不能超过10%， 0.01): 即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫 (2)某人准备以开盘均价购买一套100平 做涨停：当跌了原价的10%后，便不能再 方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案 跌，叫做跌停.某天这只股票跌停，之后两 选择：①打9.8折销售：②不打折，送两年物业 天时间又涨回到原价.若这两天此股票股 管理费，物业管理费是每平方米每月2元.请 价的平均增长率为x,则x满足的方程是 问哪种方案更优惠？ 【思路点拔】(1)设平均每次下调的百分率为 A.(1+x)2=1 10 B.(1+x)2=10 9 x*则12100(1-x)=10000,求解即可：(2)分别计 算两种方案下可节省的钱数，比较即可， c1+2x品 n1+2x-9 6.某县为做大旅游产业，在2020年投入资金 3.2亿元，预计2022年投入资金6亿元， 设旅游产业投资的年平均增长率为x,则 可列方程为 7.为满足市场需求，新生活超市在端午节前 夕购进价格为3元个的某品牌棕子，根据 市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时， 每天能出售500个，并且售价每上涨0.1 元，其销售量将减少10个，为了维护消费 者利益，物价部门规定，该品牌棕子售价 不能超过进价的200%，请你利用所学知 识帮助超市给该品牌棕子定价，使超市每 针对训练 天的销售利润为800元. 3.为落实“两免一补”政策，某区2020年投入 教育经费2500万元，2021年和2022年投 入教育经费共6600万元.设这两年投入的 教育经费的年平均增长百分率为x,则下 列方程正确的是 ( A.2500(1+x%)2=6600 B.2500(1+x)+2500(1+x)=6600 C.2500(1+x)=6600 D.2500.x2=6600 ·38✉第二章 一无二次方程 第10课时 2.6应用一元二次方程(1) 课预习 针对训练 1.修建一个面积为100平方米的矩形花园, 1.列方程解应用题的一般步骤是: 它的长比宽多10米,设宽为x米,可列方 (1)审;审清题意,已知什么,求什么?已知, 程为 ( D) 未知之间有什么关系?(2)设:设未知数,语 A.x(x-10)-100 句要完整,有单位(注意统一)的要注明单 位;(3)列:列代数式,列方程;(4)解:解所列 B.2x+2(x-10)-100 的方程;(5)验;是否是所列方程的根,是否 C.2x+2(x+10)-100 符合题意;(6)答:答案也必需是完整的语 D.x(x+10)=100 句,注明单位且要贴近生活 2.有一块长32cm,宽24cm的长方形纸片,在 2.列方程解应用题的关键--找出等量关系 每个角上截去相同的正方形,再折起来做成 一个无盖的盒子,已知盒子的底面积是原纸 课堂导入 片面积的一半,则盒子的高是 ( D) 一根长22cm的铁丝 C.5cm A.3cm B.2cm D.4cm (1)能否围成面积是30cm{}的矩形? 3.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁 (2)能否围成面积是32cm{}的矩形?请说明 皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全 理由, 等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底 D 课堂探究 面积是24cm^{}的有盖的长方体铁盒,则剪 去的正方形的边长为 2 cm. 探究一 列一元二次方程解几何类问题 例1如图,市中心广场有一块长50米,宽 10cm 30米的矩形场地ABCD,现计划修建几条同样 底面 宽的人行道,使其中两条与AB平行,另一条 与AD平行,其余部分作为草坪,要使草坪部 12cm 分的总面积为1000平方来,则人行道的宽为 4.一幅长20cm,宽12cm的图案如图,其中 多少米? 有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比 【思路点拨】设人行道的宽为x米,则草坪部分 为3:2.若图案中三条彩条所占面积是图 可合成长为(50一2.r)米、宽为(30一x)米的矩形,根 据“草评部分的总面积为1000平方米”列出方程。 解之即可。 解:设竖彩条的宽度为 rcm.则横彩条的宽度为 l2cn 解:设人行道的宽为:米, 10 3r cm.根据题意,得 则草坪部分可合成长为(50一2x) 来、宽为(30一x)来的矩形,依题 20×+x12 -2-×3-x20x12- 意,得(50-2r)(30-x)-1000. 整理,得-55r+250-0. 整理,得-18r+32-0. 解得x=5,x:=50(不合题意,舍去). 解得文:-2x:16(含去).-3. 答:人行道的宽为5来. 答:横彩条的宽度为3cm,坚彩条的宽度为2cr. .35· 三 优课堂A·九年级数学(上) 探究二 动点问题 答:15s或10s或30s后,两妈蚁与O点组成的 刻2如图,在Rt△ABC中,C=90{*},点 三角形的面积为450cm。 P.Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方 2x0 02-50B 向向C点匀速运动,其速度均为2m/s,多少秒 后△PCQ的面积是△ABC面积的一半? 【思路点拨】设时间为:秒,则根据“△PCQ的 解答图1 而积是△ABC面积的一半”列出等量关系求出1的 解答图2 值即可。 6.如图所示,在△ABC中,C=90*,AC 解:设1秒后△PCQ的面积是 6cm.BC-8cm,点P从点A出发沿AC △ABC面积的一半. 边向点C以1cm/s的速度移动,点Q从 则PC-(12-2)m. 12n 点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速 CQ-BC-BQ-(9-27m. 度移动. .△PCQ的面积是△ABC面积的一半, (1)如果P,Q同时出发,当某个点先到达 .(12-20(9-20)-x12×9. 终点时,另一点也停止运动,问:几秒钟 后,可使△PCQ的面积为8cm? 解得t:-,1:- (2)如果P,Q同时出发,且点Q到达点C ·0 <4.5..'1-1.5. 后立即返回,速度保持不变,直到点P到 故1.5s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半. 达点C后同时停止运动,那么在整个移动 过程中,是否存在某一时刻,使得入PCC 针对训练 的面积等于1cm{}?若存在,求出运动时 5.如图所示,AO=OB=50cm,OC是一条射 间;若不存在:请说明理由, 线,OC1AB,一只蚂蚁由A点以2cm/s 解:(1)8-2一4(秒). 的速度向B爬行,同时另一只蚂蚁由O点 当运动时间为(0 1<4)秒时. 以3cm/s的速度沿OC方向爬行,是否存 CP-(6-)cm,CQ-(8-2t)cm. 在这样的时刻,使两只蚂蚁与O点组成的 依题意,得(6-)(8-20)-8. 三角形的面积为450cm②? 解:有两种情况: 解得1-2,1-8(不合题意,含去). ①如解答图1.当蚂蚁在A0 答:2秒钟后,可使△PCQ的面积为8cm。 上运动时,设rs后两只蚂蚁 (2)当运动时间0<1<4时. 与O点组成的三角形面积为 CP-(6-1)em,CQ-(8-2t)cm. 450cm,由题意,得 依题意,得(6-()(8-21)-1. 1x3xx(50-2x)-450. 解得1-5-/②,1=5+②(不合题意,舍去); 解得x-15,r。-10; 当运动时间4<16时. ②如解答图2,当蚂蚁在OB上运动时, CP=(6-t)em.CQ-(21-8)cm. 设工s后,两只蚂蚁与O点纽成的三角形的面积 依题意,得(6-1)(21-8)-1; 为450cm. 整理,得r*-101+25-0,解得1。-1-5. 答:当运动时间为(5一2)s或5s时,△PCQ的 解得x=30,r。=-5(含去). 面积等于1cm。 .36. 第二章 一元二次方程 第11课时 2.6应用一元二次方程(2) 针对训练 课前预习 1.某文具店将进价为30元的钢笔,以50元 1.列方程解应用题的一般步骤; 售出,平均每月能售出300支,经试销发现 (1)审;(2)设:(3)列;(4)解;(5)验;(6)答 每支钢笔每涨价10元,其月销售量就减少 2.常见等量关系: 10支,为实现每月利润8000元,设定价为 (1)单件利润一售价一进价; r,则可得方程 ( C) 利润率-商品利润 ×100%; A.300(x-30)-8000 商品进价 B.300(x-50)-8000 商品总利润三单件商品利润×销售数量 C.(x-30)[300-(x-50)]-800 (2)关于两次平均增长(降低)率问题的一般 D.x-30-8000 关系: 2.博物馆每周都会吸引大量中外游客前来 a(1土x)?}一A(其中a表示基数,x表示增长 参观,如果游客过多,对馆中的珍贵文物 (或降低)率,A表示新数). 会产生不利影响,但同时考虑到文物的修 和保存费用问题,还要保证一定的门票 课堂导入 收入,因此,博物馆采取了涨浮门票价格 每到节假日各大商场都纷纷打出“大放血” 的方法来控制参观人数,在该方法实施过 “大甩卖”、“跳楼价”、“清仓处理”、“几折起” 程中发现:每周参观人数v与票价工之间 等等降价销售商品的宣传单,那么同学们考 存在着如图所示的一次函数关系,在这样 虑一下商家降价的目的何在?他们还赚 的情况下,如果要确保每周4万元的门票 钱吗? 收人,那么每周应限定参观人数是多少? 门票价格应是多少元? 课堂探究 解:设每周参观 y/人t 探究一 人数y与票价 利润问题 7000 6000 之间的一次画 圆1某商店如果将进货价为8元的商品 30 5000 数关系式为y= 按每件10元售出,每天可销售200件,现在采 r十, 2000 用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已 #00# 把(10.7000). 知这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10 (15.4500)代入 0101520/元 件,要使每天获得利润700元,请你帮忙确定 y=x十b中。 售价。 得 10+6-7000. 解得 (--500. 【思路点拨】设每件商品提高工元,然后根据 115+6-4500. “总利润一单件利润×销售量”列出方程求解。 1-12000. --500r+12000. 解:设每件商品提高工元,则每件利润为(10十工 .要确保每周4万元的门票收入,,xy一40000. 一8)-(r+2)元,每天销售量为(200一20.r)件, 即x(-500r+12000)-40000 由题意,得(x+2)(200-20.c)-700. 解得-20,-4. 解得r-3.r:-5. 把x=20,r.=4分别代入y=-500r+12000. 经检验r-3.r.-5均符合题意, 得y-2000.y:-10000. 答:把售价定为每件13元或15元能使每天利润 .要控制参观人数,所以取x-20,y-2000 达到700元. 答:每周应限定参观人数是2000人,门票价格是 20元. .37· 三 优课堂A·九年级数学(上) 探究二 增长率(降低率)及其他问题 4.某单位要组织篮球邀请赛,每两队之间都 则2某楼盘准备以每平方米12100元的 要赛一场且只赛一场,计划安排15场比 均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政 赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,根 策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周 据题意,可列方程 (D) 转,房地产开发商对价格经过两次下调后(每 A.x(x+1)-15 B.x(x-1)-15 次降价的百分率相同),决定以每平方米10000 元的均价开盘销售。 (1)求平均每次下调的百分率(精确到 5.某股票每天的涨、跌幅均不能超过10%; 0.01); 即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫 (2)某人准备以开盘均价购买一套100平 做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再 方米的房子,开发商还给予以下两种优惠方案 跌,叫做跌停,某天这只股票跌停,之后两 选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业 天时间又涨回到原价,若这两天此股票股 管理费,物业管理费是每平方米每月2元.诘 价的平均增长率为x,则x满足的方程是 问哪种方案更优惠? ( B) 【思路点拨】(1)设平均每次下调的百分率为 B.(1+)210 9 x.则12100(1一x)-10000,求解即可;(2)分别计 算两种方案下可节省的钱数,比较即可, 解:(1)设平均每次下调的百分率为文, 6.某县为做大旅游产业,在2020年投入资金 则12100(1-x)-10000. 3.2亿元,预计2022年投入资金6亿元, 解得-11)或-21(含去). 设旅游产业投资的年平均增长率为工,则 可列方程为 3.2x(1+c)-6. 故平均每次下调的百分率约为9.09%; 7.为满足市场需求,新生活超市在端午节前 (2)①优惠:10000(1-0.98)×100-20000(元). ②优惠:2×100x2x12-4800(元). 夕购进价格为3元/个的某品牌棕子,根据 故方案①更优惠. 市场预测,该品牌粽子每个售价为4元时. 每天能出售500个,并且售价每上涨0.1 元,其销售量将减少10个,为了维护消费 者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价 不能超过进价的200%,请你利用所学知 识帮助超市给该品牌棕子定价,使超市每 针对训练 天的销售利润为800元. 3.为落实“两免一补”政策,某区2020年投入 解:设每个粽子的定价为工元时,每天的利润为 教育经费2500万元,2021年和2022年投 800元. 根据题意,得(x-3)(500-10×-4) 人教育经费共6600万元,设这两年投入的 )-800. 教育经费的年平均增长百分率为x,则下 解得-7,r.-5. 列方程正确的是 ( B) ,售价不能超过进价的200%. A.2500(1+x%)-6600 &r3×200%,即x-6.x-5. B.2500(1+x)+2500(1+x)-660 答:每个粽子的定价为5元时,每天的利润为800 C.2500(1十x)?-6600 元. D.2500r-6600 .38.