2.5 一元二次方程根与系数的关系&专题四 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-【优课堂给力A+】2023-2024学年九年级数学全一册课前课中（北师大版）

三优课堂A·九年级数学(上) 第7课时 2.5*一元二次方程根与系数的关系(1) 课箭预习 1.一元二次方程的根与系数的关系(韦达定 理):若x,x:是一元二次方程ar}+bx+c=0 (a≠0)的两个根,则有x十x。= ri)= 2.根与系数的关系使用的前提是二元一次方 程有实数根,即 3.常用的转化关系: (1)x{+r=(x.+x。)?-2xx; (2)11 1x2r1.X2 (3)(x +a)(x+a)=xx+a(x +x)+a^}; (4)lxi-x:|-(x-o){= (x:+x)-4x1x:. 课堂导入 针对训练 1.已知n,”是方程x^}+x-1-0的根,则式 1.在方程ax*十bx十c=0(a≠0)中,a的取值 子m+2m+n-mn= 决定什么?一4ac的取值呢? 2.已知方程2x*-3x-4=0的两根为x;$$ 2.同学们可知道a,b,c的取值与一元二次方程 r.不解方程,求下列各式的值 ar+bx十c-0(a子0)的根还有什么关系? (1)11. xx2 (2)(x-1)(x。-1); 课堂探究 (3)x1-x. 探究一 不解方程,求根的代数式的值 例1x.x:是方程x2+3x+1-0的两 根,利用根与系数的关系,求下列各式的值 (1): :' (2)r一x: (3)+8x+20 【思路点拨】先由韦达定理得x:十文:与×X 的值,再结合其常用转化关系求解,其中(3)题需要 利用根的定义,转化为两根之和进行计算。 .31: 第二章 一元二次方程 第8课时 2.5{*一元二次方程根与系数的关系(2) 针对训练 课预习 1.关于x的方程c*}-mx+6-0有一根是-3, 1.若m,n满足am{}+bm+c-0,an}+bn+c 那么这个方程的另一个根是 _ 0.且m去n,则n,n是方程ax}+bx十c=0的 A.-5 B.5 C.-2 D.2 两个不等实根. 2.易错提示:利用根与系数的关系求一元二次 2.已知x,x。是一元二次方程一mx十 方程中字母系数的值的时候,一定要检验根 二2 的判别式是否为非负数. 则的值为 __ 课堂导入 A.0或1 B.0 C.1 D.-1 1.已知方程2x^{}+5x+3-0的根是x和x,求 3.若方程9r^{}-6(a+1)x+a②-3-0的两根$ x.十x。和x·x。的值分别是多少? 之积等于1,则a的值是 C 2.若一元二次方程的两根分别是和x。,如何 A.士2/3 B.23 C.士2/2 D.2② 快速的写出这个一元二次方程呢? 4.已知x,r。是关于x的一元二次方程x* 课堂探究 -5x+a-0的两个实数根,且x^{+x{}= 探究一 利用根与系数关系,求字母系数的值 13,则a=__. 则已知关于x的方程x②-2(+2)x+ 5.已知xi和x:是关于x的一元二次方程 -2-0有两个不相等的实数根x1,x. +2x+k+2-0的两个不同的实数根. (1)求的取值范围 (1)求人的取值范围; (2)若x+r^{}-xx。-4,求 的值 (2)如果x.+x一xx -1且 为整数, 【思路点拨】(1)由△>0且处-0即可求解; 求的值. (2)利用韦达定理代入计算即可。 .32· 三 优课堂A·九年级数学(上) 探究二 已知两根作方程 探究三 m,n满足am{}+bm+c-0,an{}+bn 2一个一元二次方程的两根为一3,6, 十c-0型问题 且二次项系数为1.求作这个一元二次方程 圆3已知两个不相等的实数n,n满足 3m+2022m+1-0,n}+2022n+3-0,且m$ 【思路点拨】先求出两根之和与两根之积,再利 1,求n1的值. 用根与系数的关系可构造出一元二次方程 n 【思路点拨】将n}+2022n+3-0两边都除以 方程3-十2022x十1-0的两个实数根,再利用韦 达定理可得答案。 针对训练 6.两根为5-4./5+4,且二次项系数为1. 求作这个一元二次方程 针对训练 8.已知实数a,b满足a{}-3a+2-0,-3$$$$ -2-0,则ab的值为 , 。 A.2 B.-2 C.3 D.-3 9.已知6^{}-100a+7=0以及7^-100$ +6 $$$$ -0.且ab≠1,则的值为 ( ~ 50 B.## 过 C 0 .# 7.已知一元二次方程2x*+3x-5=0的两个 10.已知实数a,3满足a”+3a-1-0,g-3 根是x&,x,不解方程,求作以x十x。. -1-0,且a{≠1,求a+33的值. 1.r:为根的一元二次方程 .33 第二章 一元二次方程 第9课时 专题四 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 课预司 针对训练 2.关于x的一元二次方程x-2x-(n-1) 1.一元二次方程ax{}+bx十c=0(a:0)的根与 一0有两个不相等的实数根, △的关系: (1)n的取值范围是 (1)△>0一方程有 的实数根; (2)若,为取值范围内的最小整数,求此方 (2)A一0一方程有两个相等的实数根; 程的根. (3)△<→方程 实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系(韦达定 理):若x,x是一元二次方程ar^{}+br+c= (a0)的两个根,则有x:十x= 探究三 x1·xr= 根的判别式和根与系数的关系的综合 应用 ① 课堂探究 圆3已知关于,的一元二次方程x一(2 探究一 判断一元二次方程根的情况 -1)x+^{+^-1=0有实数根$ 剧1小刚在解关于x的方程ar{}十bx十c (1)的取值范围是 (2)若此方程的两实数根x,x:满足^{}士 0(a:0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个 x×一11,求的值 根是x三一1.他核对时发现所抄的c比原方程的 ) 【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关 c值小2.则原方程的根的情况是 ( 系求待定字母的值时,务必注意根与系数关系应用 A.不存在实数根 的前提条件,即b*-4ac一0. B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 【思路点拨】直接把已知数据代入,进而得出错 误的c值,推出正确的c值后再解方程. 针对训练 针对训练 3.已知关于x的方程x-2x+2k-1-0有$ 1.下列一元二次方程中,有两个不相等的实 实数根. 数根的方程是 ( ) (1)处的取值范围是 A.x2+1-0 B2-2x+1-0 (2)设方程的两个根分别是x,xr。,且+ C.r*+2x+4-0 D.x*---3-0 2 -xx,试求的值. 探究二 由根的情况确定字母的值或取值范围 72 则2若关于x的一元二次方程(十2)r* 一3x十1一0有两个不相等的实数根,则的取 值范围是 【思路点拨】由题可知十2:0,且6一4ac>0. 据此即可确定人的取值范围。 .34·曰写优课堂转动A+·九年级数学（上）】 第8课时2.5一元二次方程根与系数的关系(2) 课前预司 针对训练 1.关于x的方程x2一m.x+6=0有一根是一3， 1.若m,n满足am2+bm十c=0,an2+bn+c 那么这个方程的另一个根是 (C) 0,且m≠n,则m,n是方程ax2十bx十c=0的 两个不等实根。 A.-5 B.5 C.-2 D.2 2.易错提示：利用根与系数的关系求一元二次 2.已知x1,x2是一元二次方程x2一mx十 方程中字母系数的值的时候，一定要检验根 2m-4=0的两个实数根，且1+1=0， TI 2 的判别式是否为非负数： 则m的值为 (B) 物裸堂导入 A.0或1B.0 C.1 D.-1 1.已知方程2x”+5.x+3=0的根是x1和x2,求 3.若方程9x2-6(a+1)x十a2-3=0的两根 x1+x和·x2的值分别是多少？ 之积等于1，则a的值是 (B) 2.若一元二次方程的两根分别是x1和x2,如何 A.±25 B.25 C.±22D.22 快速的写出这个一元二次方程呢？ 4.已知x1,x是关于x的一元二次方程x2 裸堂探究 -5.x+a=0的两个实数根，且x1+x号 探究一 利用根与系数关系，求字母系数的值 13,则a=6 例1已知关于x的方程kx2-2(k+2)x+ 5.已知x1和x2是关于x的一元二次方程 k一2=0有两个不相等的实数根x1,x. x+2x+k+2=0的两个不同的实数根。 (1)求k的取值范围： (1)求k的取值范围： (2)若x+x-xt=4,求k的值. (2)如果x,+x2-x1x<-1且k为整数， 【思路点拔】(1)由△>0且k≠0即可求解： 求k的值 (2)利用韦达定理代入计算即可 解：()，方程有两个不同的实数根， 解：(1)由题意，得△=[-2(+2)]-4k(k一2) △=2-4(k+2)>0,解得k<-1. =24k+165>0.且k≠0. k的取值范围是k<一1： 解得>号具长0 (2)易知1十x=-2.x1x=k十2 北的取值范周是长>一号显长0： +-x<-1 .-2-(k+2)<-1. (2):x1x:是方程的两个根， 解得k>-3 ,十=2+2，x,·-2 义由(1)得k<一1， +=+)-351 ∴.-3<k<-1, k为整数，k的值为一2 即3k°-22k-16=0. 解得=一号（会去)6=8 经检验，k=8是原方程的解 故k的值是8 ·32. 第二章一元二次方程 探究二已知两根作方程 探究三m,n满足am2十bm十c=0,an2十bm 例☑一个一元二次方程的两根为-3,6， 十c=0型问题 且二次项系数为1.求作这个一元二次方程. 例3已知两个不相等的实数m,n满足 3m2+2022m+1=0,n2+2022m+3=0,且mn 【思路点拔】先求出两根之和与两根之积，再利 用根与系数的关系可构造出一元二次方程 ≠1，求mm+1的值. 解：两根为一3,6， 【思路点拨】将n2+2022n+3=0两边都除以 ,.两根之和为一3十6=3， ,得1+202×+3×日)广-0：器此知m更 两根之积为-3×6=一18， 方程3x2+2022x+1=0的两个实数根，再利用韦 ,符合条件的一元二次方程可以为： 达定理可得答案。 x2-3.x-18=0. 解：由n+20221+3=0,得 1+202×+3×() =0, m 1是方程3x+2022r+1-0的两个实数抓， 针对训练 6.两根为5-4,5+4.且二次项系数为1. 则mm1=m+1-_202 3 求作这个一元二次方程。 针对训练 解：：两根为5一4,5+4. 8.已知实数a,b满足a2-3a+2=0,b-3b .两根之和为w5一4十5+1=25， +2=0,则ab的值为 (A) 两根之积为：(5-4)(5+4)=5-16=-11. A.2 B.-2 C.3 D.-3 “,符合条件的一元二次方程可以为 9.已知6a2-100a+7=0以及7b2-100b+6 x2-25x-11-0. =0,且ab≠1，则号的值为 (D) A. R号 c199 n名 7.已知一元二次方程2.x+3.x-5=0的两个 10.已知实数a,3满足&+3a-1=0,3-33 根是x1,x2,不解方程，求作以x1十x2, -1=0,且a3≠1，求a2+33的值. x1工2为根的一元二次方程 解：根据题意知，a≠0. 在a2+3a-1=0的两边同时除以a',得 3 5 解：由题老，得十行=一2=一2， 1_3-1=0: aa .(x1+x:)+x1x=-4,(x1+x)(x1:)= 15 4 。3是关于士的方程一3江10的两 .以十·1为根的一元二次方程为 个根， x2+x+15-0, 4 (L+B-3: 整理，得4.x2+16.x+15=0. =-1 a 由3一33-1=0，得3-33=1 。1+9-(合+)-(g-39)-塑-3- +2=10. ·33· 曰写优课堂转切A+·九年级数学（上）】 第9课时 专题四一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 裸前预习 针对训练 2.关于x的一元二次方程x-2.x一(n-1) 1.一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)的根与 =0有两个不相等的实数根 △的关系： (1)n的取值范围是n>0: (1)△>0一方程有两个不相等的实数根： (2)若n为取值范围内的最小整数，求此方 (2)△=0一方程有两个相等的实数根： 程的根 (3)△<一方程无实数根， 解：(2)：n>0,且n为取值范围内的最小整数， 2.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定 ∴.n=1.则原方程为x-2x=0. 理)：若1，x2是一元二次方程a.x2+br十c=0 解得01=0，：=2. (a≠0)的两个根，则有x+x2= 探究三根的判别式和根与系数的关系的综合 应用 1·2 例3已知关于x的一元二次方程x2一(2k 1)x+2+k-1=0有实数根。 裸堂探究 1)的取值范用是≥骨 探究一 判断一元二次方程根的情况 (2)若此方程的两实数根x,x2满足x十 例I小刚在解关于x的方程ux2+hx十c x=11,求k的值. 0(a≠0)时，只抄对了a=1,b=4,解出其中一个 【思路点拨】利用一元二次方程根与系数的关 根是x=一1.他核对时发现所抄的c比原方程的 系求待定字母的值时，务必注恋根与系数关系应用 c值小2.则原方程的根的情况是 (A) 的前提条件，即b一4ac≥0. A.不存在实数根 解：(2)由题知x1+x4-2-1,x1E-2+k-1, B.有两个不相等的实数根 x+xi=(x1+x)-2.x1E4=(2k-1)-2( C有一个根是x=-1 +友-1=2k2-6k+3. D.有两个相等的实数根 :+x1=11..2k-6k+3=11 解得k=4或k=一1. 【思路点拔】直接把已知数据代入，进而得出错 误的c值，推出正确的c值后再解方程， ≤gk-1 针对训练 针对训练 1.下列一元二次方程中，有两个不相等的实 3.已知关于x的方程x2-2.x+2k-1=0有 数根的方程是 (D) 实数根. A.x2+1=0 (1)k的取值范围是k≤1； B.x2-2x+1=0 C.x2+2x+4=0 D.x2-x-3=0 (2)设方程的两个根分别是x,2,且+ 探究二 由根的情况确定字母的值或取值范围 =x1x2,试求k的值。 例2若关于x的一元二次方程(k+2)x 解：(2)由题知x十r=2,x11=2k一1， 一3x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取 +4-+连=x(+)2-2x 值范围是k<行且龙-2· L I3 Tie =(1x2)°，即2-2(2k-1)=(2k-1) 【思路点拨】由题可知k+2≠0，且b2-4ac>0, 据此即可确定k的取值范围， 解得，=」 。k。。又“”k三1·一“k5 ·34